శాస్త్ర విజ్ఞానము

"ఒకే పుట్టినరోజు" సమస్య



పార్టీలలో సరదాగా అడగదగ్గ ఓ సమస్య ఇది.

ఓ గదిలో 23 మంది ఉన్నారను కోండి. వాళ్లలో ఏ ఇద్దరి పుట్టిన రోజులైనా ఒక్కటి అయ్యే ఆస్కారం ఎంత? (పుట్టిన తారీఖు, నెల ఒకటైతే చాలు, సంవత్సరం ఒక్కటి కానక్కర్లేదు.)

మామూలుగా ఆలోచిస్తే చాలా తక్కువే అనిపిస్తుంది. ఏడాదిలో 365 రోజుల్లో ఇద్దరి పుట్టినరోజులు ఒకటయ్యే ఆస్కారం మరి తక్కువే అనిపిస్తుంది. కాని మొత్తం 23 మందిలో ఏ ఇద్దరి పుట్టినరోజులైనా ఒక్కటయ్యే ఆస్కారం అంటే కొంచెం ఎక్కువే కావచ్చు. అయితే ఆ ఆస్కారం, లేదా సంభావ్యత (probability) ఎంత?

ఎంతో అంచనా వేద్దాం.

ఉన్న 23 మంది పేర్లు చిన్న చీటీల మీద రాసినట్టు ఊహించుకుందాం. ఏడాదిలో రోజులని సూచిస్తూ 365 ఖాళీ పెట్టెలు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఇప్పుడు ఒక్కొక్క వ్యక్తి యొక్క పుట్టిన రోజుని సూచిస్తూ ఆ వ్యక్తి పేరున్న చీటీని ఆ తీదేకి సంబంధించిన ఖాళీ పెట్టెలో వేద్దాం. ఇలా 23 చీటీలు 365 పెట్టెల్లో వేద్దాం.

ఇప్పుడు ఏ రెండు చీటీలు ఒక పెట్టెలోకి రాకుండా ఉండే సంభావ్యత ఎంతో లెక్కిద్దాం. ఏ ఇద్దరి పేర్లు ఒక్క పెట్టెలో లేకుండా ఉండడానికి సంభావ్యత (P) తెలిస్తే, కనీసం ఇద్దరి పేర్లయినా ఒక పెట్టెలో ఉండడానికి సంభావ్యతని (P’=1-P) సులభంగా తెలుసుకోవచ్చు.

వాదన సామాన్యంగా ఉండడానికి మొత్తం పెట్టెల సంఖ్య n అని, చీటీల సంఖ్య k అని అనుకుందాం.

ఉదహారణకి, మొదట ’అమల’ అన్న పేరున్న చీటీని ఏదో ఒక పెట్టెలో వేశాం అనుకుందాం. ఒక పెట్టె నిండిపోయింది కనుక ఇంకా n-1 పెట్టెలు ఖాళీగా ఉన్నాయి. ఆ తరువాత ’వినోద్’ అన్న పేరున్న చీటీని, ’అమల’ చీటీ ఉన్న పెట్టెలో వెయ్యకుండా n-1 పెట్టెల్లో వెయ్యొచ్చు.

కనుక ఈ రెండు చీటీలు ఒక్క పెట్టెలో పడకుండా ఉండే సంభావ్యత, P1 = (n-1)/n = (1 - 1/n)

ఇప్పుడు మూడవదైన ’అబ్దుల్’ అనే చీటీ తీసుకుందాం. ప్రస్తుతానికి n-2 పెట్టెలు ఖాళీగా ఉన్నాయి కనుక ఈ చీటీ ఖాళీ పెట్టెలోనే పడే సంభావ్యత,
P2 = (n-2)/n = (1- 2/n).

అలాగే నాలుగవ చీటీ ఖాళీ పెట్టెలోనే పడే సంభావ్యత P3 = (n-3)/n = (1 - 3/n).

అలాగే మొత్తం k చీటీలు ఒకే పెట్టెలో ఒకటి కన్నా ఎక్కువ చీటీలు పడకుండా వెయ్యగలిగే సంభావ్యత =
P = P1 X P2 X P3 .... X Pk = (1- 1/n)(1 - 2/n)(1 - 3/n)...(1- k-1/n)

ఇప్పుడు n = 365, k = 23, అని మనకి తెలుసు కనుక, పై సమాసాన్ని, చేత్తో కాకపోయినా కంప్యూటర్ ప్రోగ్రాం రాసి లెక్కించడం కష్టం కాదు. కాని మన ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో పై సమాసాన్ని నేర్పుగా చిన్న క్యాల్కులేటర్ తో లెక్కించొచ్చు. అయితే అందుకు n కన్నా k చాలా చిన్నదై ఉండాలి. ఇక్కడ అది నిజమే అవుతుంది. n (=365) కన్నా k (=23) బాగా చిన్నదే.

P = (1- 1/n)(1 - 2/n)(1 - 3/n)...(1- k-1/n) (1)

పై సమాసంలో ఉన్నట్టు చాంతాడంత గుణకారాలని లెక్కించడం కష్టం. ఈ గుణకారాన్ని కూడికగా మార్చగలిగితే పరిస్థితులు సులభం కావచ్చు. ఇక్కడే లాగర్థమ్స్ పనికొస్తాయి.

పైన సమీకరణం (1) లో రెండు పక్కల ’ సహజ లాగ్’ (natural logarithm, ln(x)) తీసుకుంటే,

ln(P) = ln(1 - 1/n) + ln(1 - 2/n) + ln(1 - 3/n) + ... ln(1 - (k-1)/n) (2)


ఇక్కడ k, n కన్నా చాలా చిన్నది కనుక, ln() కి సంబంధించిన ఒక ఉజ్జాయింపు (approximation) ని వాడుకోవచ్చు. 1 కన్నా 'x' కన్నా బాగా చిన్నదైనప్పుడు (|x| << 1),
ln(1 + x) = x
అవుతుంది.

సమీకరణం (2) లో ఈ ఉజ్జాయింపుని వాడితే,
ln(P) = (-1/n) + (-2/n) + (-3/n) + ... (-(k-1)/n) = - k(k-1)/(2n)
అవుతుంది.
(1 + 2 + 3 + ...m = m(m-1)/2, అని మనకి ఇంటర్మీడియెట్ గణితం నుంచి తెలుసు.)

కనుక
P = exp(-k(k-1)/(2n))

ఈ సూత్రంలో n = 356, k=23 అన్న విలువలు ప్రతిక్షేపిస్తే, ఉజ్జాయింపుగా

P = 1/2

అని తేలుతుంది.

అంటే గదిలో ఉన్న 23 మందిలో ఏ ఇద్దరి పుట్టినరోజులైనా ఒక్కటయ్యే సంభావ్యత 50:50 అన్నమాట!

అంటే 23 మంది ఉన్న ఓ వంద బృందాలు తీసుకుంటే వాటిలో ఇంచుమించు సగం బృందాలలో ఏ ఇద్దరి పుట్టినరోజులైనా ఒక్కటవుతాయి అన్నమాట. తలచుకుంటే ఆశ్చర్యంగా లేదూ?

లోకానుభవం బట్టి మనం ఊహించే దానికి, శాస్త్రబద్ధంగా సంభావ్యతా సిద్ధాంతం బట్టి చేసే అంచనా కొన్ని సార్లు భిన్నంగా ఉండొచ్చు. లోకానుభవం లోని దోషాలని శాస్త్రవిజ్ఞానం ఎలా సరిదిద్దుతుందో ఎత్తి చూపడమే ఈ సమస్య ప్రత్యేకత!

Reference:
Keith Ball, "Strange curves, counting rabbits and other mathematical explorations," New Age publishers, 2006.