శాస్త్ర విజ్ఞానము

పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క నిర్మాణం ఇలా సాగుతుంది.

పై వరుసలో 1 రాయాలి. ఇప్పుడు ఆ 1 కింద అటు ఇటుగా మరో రెండు 1 లు రాయాలి. ఇప్పుడు మూడో వరుసలో ఆ రెండు 1 ల కింద మూడు అంకెలు రాయాలి. రెండు ఎడమ కుడి కొసలలో 1 లు ఉండాలి. మధ్యలో ఉన్న అంకె మాత్రం దాని పై వరుసలో అటు ఇటు ఉన్న అంకెల కూడిక అవుతుంది. పైన అటు ఇటు రెండు 1 లు ఉన్నాయి కనుక, మూడో వరుసలో మధ్య అంకె 2 అవుతుంది. ఇప్పుడు అదే విధంగా నాలుగో వరుస కూడా నింపాలి. ఎడమ కుడి కొసలలో 1 లు వస్తాయి. మధ్యన ఉండే అంకెలు మాత్రం వాటి పై వరుసలో అటూ ఇటుగా ఉన్న రెండు అంకెల కూడిక అవుతాయి. అలా నిర్మిస్తూ పోతే వచ్చేదే పాస్కల్ త్రిభుజం (చిత్రం).

ఈ త్రిభుజం సహాయంతో ద్విపద సమాసాలలో వివిధ పదాల గుణకాలని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఈ కింది రూపంలో ఉండే సమాసాలని ద్విపద సమాసాలు అంటారు:

(x+y)^n (^ చిహ్నం ఘాతాన్ని (power) సూచిస్తుంది)

ఉదాహరణకి,
n=0; (x+y)^0 = 1
n=1; (x+y)^1 = 1.x + 1.y
n=2; (x+y)^2 = 1.x^2 + 2.x.y + 1.y^2
n=3 (x+y)^3 = 1.x^3 + 3.x^2.y + 3.x.y^2 + y^3
:
:
ఈ సమాసానికి సామాన్య రూపాన్ని ఇవ్వాలంటే:

(x+y)^n = a0.x^n + a1.x^(n-1).y^1 + a2.x^(n-2).y^2 + ... ak.x^(n-k).y^k + ... + an.y^n

ఇందులో (k+1) అవ పదం యొక్క గుణకం విలువ,
ak = n!/(k!(n-k)!) అవుతుంది.

ఈ విలువకి మరో అర్థం కూడా ఉంది. n వస్తువుల లోంచి k వస్తువులని ఎన్ని విభిన్న విధాలుగా మనం ఎంపిక చెయ్యగలం అన్న ప్రశ్నకి ఇది సమాధానం. ఈ విషయం గురించి చిన్నప్పుడు సంయోగాలు (combinations) అన్న గణిత పాఠంలో చదువుకుని ఉంటాం.

మేరు ప్రస్తారం

ఈ త్రిభుజం గురించి ప్రాచీన భారతీయులకి బాగా తెలుసు అని చెప్పడానికి ఎన్నో ఆధారాలు ఉన్నాయి. క్రీ.పూ 2 - 5 నడిమి కాలంలో పింగళుడు రాసిన ఛందశ్శాస్త్రంలో దీని ప్రస్తావన వచ్చింది. సంస్కృత కావ్యాలలో గాయత్రి (6 అక్షరాలు), అనుష్టుభ్ (8 అక్షరాలు), బృహతి (9 అక్షరాలు), త్రిష్టుభ్ (11 అక్షరాలు), జగతీ (12 అక్షరాలు) మొదలుకొని ఎన్నో రకాల ఛందస్సులు వాడేవారు. ఛందస్సుల రూపకల్పనలో గురు లఘు అక్షరాలని వివిధ విన్యాసాలలో కూర్చితే మొత్తం ఎన్ని రకాల విన్యాసాలు (ప్రస్తారాలు, permutations) వస్తాయో తెలుసుకోవాల్సిన సమస్య వస్తుంది. ఈ సమస్యకి సమాధానంగా పైన చూపించిన పాస్కల్ త్రిభుజం లాంటి త్రిభుజాన్నే పాస్కల్ కి ఇంచుమించు రెండు సహస్రాబ్దాల క్రితమే మన ప్రాచీనులు నిర్మించారు.
దానికే ’మేరు ప్రస్తారం’ అని పేరు. n అక్షరాల లోంచి k అక్షరాలని ఎన్ని రకాలుగా ఎంపిక చేసుకోవచ్చో ఈ మేరు ప్రస్తారం నుండి తెలుసుకోవచ్చు. ఈ మేరు ప్రస్తారం గురించి 10 శతాబ్దానికి చెందిన హలాయుధుడు అనే కవి ప్రస్తావిస్తాడు.

మేరు ప్రస్తారం లో ప్రస్తుతం ఫిబొనాచ్చీ సంఖ్యలు అనబడే ఓ సంఖ్యా శ్రేఢి (Fobinacci series) దాగి ఉన్న విషయం కూడా ప్రాచీన భారత గణిత వేత్తలకి తెలుసు.

ఈ ఫిబొనాచ్చీ సంఖ్యల గురించి మరో పోస్ట్ లో...


1. A concise history of Science in India, DM Bose, SN Sen, BV Subbarayappa (Eds.), Universities Press, 2009.
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal's_triangle