శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

వాయువుల ద్రవీకరణ ప్రయత్నాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, April 29, 2015 1 comments



1799  నాటికే అమోనియా వాయువుని ద్రవీకరించే ప్రయత్నాలు జరిగాయి. ఆ ప్రయత్నంలో ఉష్ణోగ్రతని తగ్గిస్తూ, పీడనాన్ని పెంచుతూ వస్తారు. పీడనాన్ని పెంచినప్పుడు వాయువు యొక్క ద్రవీకరణ బిందువు (అది ద్రవంగా మారే ఉష్ణోగ్రత) పెరుగుతుంది. అంటే దాన్ని మరింత హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత వద్దనే ద్రవీకరించడానికి వీలవుతుంది. ఈ రకమైన పరిశోధనల్లో ఫారడే చురుగ్గా పాల్గొనేవాడు. 1845  లో ఎన్నో వాయువులని ద్రవీకరించగలిగాడు. వాటిలో క్లోరిన్, సల్ఫర్ డయాక్సయిడ్ కూడా ఉన్నాయి. ద్రవీకరించబడ్డ వాయువు మీద పీడనాన్ని తగ్గిస్తే అది వెంటనే ఆవిరి కావడం మొదలెడుతుంది. ఆవిరి అవుతున్న వాయువు ఉష్ణాన్ని లోనికి తీసుకుంటుంది. అప్పుడు మిగతా ద్రవం యొక్క ఉష్ణం గణనీయంగా పడిపోతుంది. అలాంటి పరిస్థితుల్లో ద్రవ కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ఘన కార్బన్ డయాక్సయిడ్ గా మారిపోతుంది. ఘన కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని ఈథర్ తో కలిపి -78 C  అంత తక్కువ ఉష్ణోగ్రతని సాధించగలిగాడు ఫారడే.

కాని ఇలాంటి ద్రవీకరణకి లొంగని మొండి వాయువులు కొన్ని ఉన్నాయి. అవి ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్, హైడ్రోజన్, కార్బన్ మోనాక్సయిడ్, మీథేన్ ఆ కోవకి చెందిన వాయువులు. వాటి మీద పీడనాన్ని ఎంత పెంచినా ఫారడే వాటిని ద్రవీకరించ లేకపోయాడు. అవి “శాశ్వత వాయువులు” అని తలపోయసాగారు.

1860  లలో ఐరిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త థామస్ ఆండ్రూస్ (1813-1885)  కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని ద్రవీకరించే ప్రయత్నంలో ఉన్నాడు. కేవలం పీడనం మాత్రమే పెంచి ఉష్ణోగ్రతని మరీ తగ్గించకుండా అతడు కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని ద్రవీకరించగలిగాడు. అంచెలంచెలుగా ఉష్ణోగ్రతని పెంచుతూ, కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని ద్రవ స్థితిలో ఉంచాలంటే, పెరుగుతున్న ఉష్ణోగ్రతకి అనుగుణంగా పీడనాన్ని కూడా ఏ రీతిలో పెంచాలో ఇతడు పరిశీలించాడు. ఉష్ణోగ్రత  31 C  వద్ద ఉంటే ఇక పీడనాన్ని ఎంత పెంచినా చాలదని ఇతడు గుర్తించాడు. ఆ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిజానికి వాయుదశ, ద్రవదశ ఒక దాంట్లో ఒకటి కరిగిపోతున్నట్టుగా, లీనమైపోతున్నట్టుగా ఉంటుంది. అందుచేత ప్రతీ వాయువుకి ఒక కీలక ఉష్ణోగ్రత (critical temperature)  ఉంటుందని, ఉష్ణోగ్రత అంతకన్నా ఎక్కువ  అయితే పీడనాన్ని ఎంత పెంచినా ఇక వాయువు ద్రవం కాదని (1869  లో) ఆండ్రూస్ సూచించాడు. అందుచేత శాశ్వత వాయువలు  అనేవి లేవని అర్థమయ్యింది. అంతవరకు ప్రయోగశాలలో సాధ్యమైన ఉష్ణోగ్రతల కన్నా ఆ వాయువుల  కీలక ఉష్ణోగ్రతలు ఇంకా తక్కువగా ఉండడం వల్ల వాటిని ద్రవీకరించే ప్రయత్నాలు విఫలం అయ్యాయి.

ఇదిలా ఉండగా ఉష్ణం మీద పరిశోధనలు చేసిన జూల్, థామ్సన్ లు ఒక విషయాన్ని గుర్తించారు. వాయువులని వ్యాకోచించనివ్వడం ద్వార వాటిని చల్లార్చవచ్చని వాళ్లు తెలుసుకున్నారు. ఈ ప్రభావం ఆధారంగా వాయువులని ద్రవీకరించడానికి ఒక మార్గం ఏర్పడింది.  వాయువులని ముందు వ్యాకోచించనివ్వాలి. అప్పుడవి కొంత ఉష్ణాన్ని పోగొట్టుకుని చల్లబడతాయి.   తరువాత అవి పోగొట్టుకున్న ఉష్ణాన్ని తిరిగి లోనికి గ్రహించే అవకాశం లేకుండా చేసి, వాటిని మళ్లీ సంకోచింపజేయాలి. ఇలా వాటిని మళ్లీ మళ్లీ వ్యాకోచింప జేసి, సంకోచింప జేస్తుంటే వాటిలో ఉష్ణం క్రమంగా తరిగిపోయి, ఉష్ణోగ్రత క్రమంగా పడిపోతుంది. ఉష్ణోగ్రత  కీలక ఉష్ణోగ్రత కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు, పీడనాన్ని తగు స్తాయికి పెంచితే వాయువు ద్రవంగా మారుతుంది.

ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త లూయీ పాల్ కాయితే (1832-1913), స్విస్ రసాయన శాస్త్రవేత్త రోల్ పిచే  (1846-1929) ఈ విధానాన్ని ఉపయోగించి 1877  లో ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్, కార్బన్ మోనాక్సయిడ్ లని ద్రవీకరించారు. హైడ్రోజన్ మాత్రం ఈ ప్రయత్నాలకి ఇంకా లొంగలేదు.

వాన్ డెర్ వాల్ కృషి ఫలితంగా హైడ్రోజన్ విషయంలో జూల్-థామ్సన్ ప్రభావం ఒక ప్రత్యేక ఉష్ణోగ్రత కిందనే పని చేస్తుందని అర్తమయ్యింది. సంకోచ, వ్యాకోచ చక్రాన్ని ప్రారంభించక ముందే దాని ఉష్ణోగ్రతని తగినంతగా తగ్గించాలి.

1890  లలో స్కాటిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త జేమ్స్ డీవార్ (1842-1923)   ఈ సమస్య మీద పని చెయ్యడం మొదలెట్టాడు. అతడు ద్రవ ఆక్సిజన్ ని తగు మోతాదులో సిద్ధం చేసి దాన్ని డీవార్ ఫ్లాస్క్ లో నిలువచేశాడు. ఈ ఫ్లాస్క్ లో రెండు గోడలు ఉంటాయి. వాటి మధ్య శూన్యం ఉంటుంది. ఉష్ణవహనం (thermal conduction) చేత గాని,  సంవహనం (convection) చేత గాని శూన్యం ఉష్ణాన్ని ప్రసారం చెయ్యదు. ఎందుకంటే ఈ రండు రకాల ఉష్ణ ప్రసారానికి పదార్థం కావాలి. శూన్యం గుండా ఉష్ణం వికిరణం (radiation)  చేత మాత్రమే ప్రసారం అవుతుంది. గోడలకి వెండి పూత పూసి ఆ విధంగా గోడల మీద పడే వికిరణాలు (radiation) పరావర్తనం చెందేటట్లు, గోడలు ఉష్ణాన్ని లోనికి గ్రహించకుండా ఉండేటట్లు డీవార్ జాగ్రత్తలు తీసుకున్నాడు. ఈ విధంగా వికిరణం చేత కూడా ఉష్ణ నష్టం బాగా తగ్గిపోయింది. (ఈ డీవార్ ఫ్లాస్క్ కి మూత పెడితే వచ్చేదే మనం ఇంట్లో వాడే థర్మోస్ ఫ్లాస్క్.)


డీవార్ ఫ్లాస్క్


ఇలాంటి ఫ్లాస్క్ లలో నిలువ ఉంచబడ్డ ద్రవ ఆక్సిజన్ లో ముంచడం ద్వార హైడ్రోజన్ వాయువు యొక్క ఉష్ణోగ్రతని బాగా తగ్గించడానికి వీలయ్యింది. ఆ విధంగా 1898  లో డీవార్ ద్రవ హైడ్రోజన్ ని తయారు చెయ్యగలిగాడు.

హైడ్రోజన్  20 K  వద్ద ద్రవీకరించింది. అది నిరపేక్ష  0  డిగ్రీల కన్నా కేవలం  20 డిగ్రీలు ఎక్కువ. అయితే ద్రవీకరణ బిందువులు అన్నిట్లోకి ఇది కనిష్ట విలువ మాత్రం కాదు. 1890  లలో జడ వాయువులు కనుక్కోబడ్డాయి. వీటిలో ఒకటైన హీలియమ్ ద్రవీకరణ బిందువు ఇంకా తక్కువ.

డచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త హైకే హామర్లింగ్ ఓన్స్ (1853-1926)   ఈ రంగంలో చివరి అవరోధాన్ని అతిక్రమించగలిగాడు. 1908  లో ఇతగాడు హీలియమ్ ని ముందు ఓ హైడ్రోజన్ బట్టీ లో ముంచి చల్లబరిచి, అలా చల్లారిన హైడ్రోజన్ మీద జూల్-థామ్సన్ ప్రభావాన్ని ప్రయోగించాడు. ఆ పద్ధతి ద్వార  4 K  వద్ద హీలియమ్ ని ద్రవీకరించడానికి వీలయ్యింది.

(నిరపేక్ష సున్నా (absolute zero) అంటే సాధ్యమైన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రత అని అర్థం.  ఈ భావనని 1848 లో థామ్సన్ (లార్డ్ కెల్విన్) ప్రతిపాదించాడు. ఆ ప్రతిపాదనకి గుర్తింపుగా నిరపేక్ష ఉష్ణోగ్రతా మానాన్ని oK  అనే సంకేతంతో సూచిస్తారు. 1905  లో నిరపేక్ష సున్నా వద్ద వ్యవస్థ యొక్క ఎంట్రొపీ సున్నా అవుతుందని నెర్న్‍స్ట్ నిరూపించాడు. దీన్నే ఉష్ణగతి శాస్త్రపు మూడవ నియమం అంటారు. దీన్ని బట్టి తెలిసేదేమంటే నిరపేక్ష సున్నాకి వీలైనంత సన్నిహితంగా సమీపించవచ్చు గాని దాన్ని ఎన్నటికీ చేరుకోలేము.)



(రసాయన శాస్త్రం రెండవ భాగం సమాప్తం)

సంయుక్త సంఖ్యలపై రామానుజన్ వ్యాసం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, April 21, 2015 0 comments


సామన్యంగా ఓ గణితవేత్త ఓ కొత్త గణిత ఫలితాన్ని కనుక్కునే తీరు ఈ విధంగా ఉంటుంది. ముందుగా ఓ కొత్త ఆలోచన రావాలి. ఫలానా ఫలితం నిజం అయ్యుంటుందని ఊహించగలగాలి. ఆ ఫలితంలో కొత్తదనం ఉండాలి. శాస్త్రీయమైన గొప్పదనం ఉండాలి, ప్రత్యేకత ఉండాలి. తరువాత ఆ ఫలితం యొక్క నిరూపణలో కొన్ని ముఖ్యమైన దశలు ఊహించాలి. అంతవరకు తెలిసిన గణిత ఫలితాల నుండి బయల్దేరి ఈ కొత్త ఫలితాన్ని చేరుకునే మార్గం ఎలా ఉంటుందో చూచాయగా అర్థం చేసుకోవాలి. ఇక చివరి దశలో, అలా చూచాయగా అర్థమైన మార్గంలో ఓ అంగుళం వెలితి కూడా లేకుండా ఆ మార్గాన్ని కచ్చితంగా చిత్రించాలి. శాస్త్రీయ ఉపకరణాలన్నీ శ్రద్ధగా ప్రయోగించి ఫలితం నిజమని నిరూపించాలి.

“కాని అసలు ముందు ఓ గొప్ప, విలువైన భావన ఉండడమే కష్టం. అది ఉన్నాక శాస్త్రీయ పద్ధతులని నిష్ఠగా వాడి అది నిజమే కాదో తేల్చుకోవడం పెద్ద కష్టం కాదు. ఏ మాత్రం శిక్షణ వున్న గణిత వేత్త అయినా అలాంటి విశ్లేషణ చెయ్యగలడు,” అంటాడు లిటిల్ వుడ్.

కనుక కేవలం మంచి శిక్షణ గల గణితవేత్తకి, గొప్ప గణిత మేధావికి మధ్య తేడా సిద్ధాంతాలని శాస్త్రీయంగా నిరూపించే కౌశలంలో ఉండదు. ప్రగాఢమైన లోజ్ఞానమే మధ్య స్థాయి గణితవేత్తకి, అత్యుత్తమ స్థాయి గణిత వేత్తకి మధ్య ఉండే వ్యత్యాసానికి కారణం అవుతుంది.

అందుకే ఎన్నో ఏళ్ల తరువాత సహజ గణిత ప్రతిభ దృష్ట్యా వివిధ గణితవేత్తలకి హార్డీ మార్కులు వేస్తూ, తనకి కేవలం 25  మార్కులు ఇచ్చుకుని, లిటిల్ వుడ్ కి 30  ఇస్తాడు. ఆ రోజుల్లో అత్యుత్తమ గణితవేత్తగా పేరు పొందిన డేవిడ్ హిల్బర్ట్ కి (David Hilbert) 80 ఇస్తాడు. కాని రామానుజన్ కి మాత్రం నూటికి నూరు మార్కులు సగౌరవంగా సమర్పించుకుంటాడు.

హార్డీ నుండి ఎన్ని మార్కులు సాధించినా, ప్రపంచ గణిత వేత్తల నుండి ఎంత మన్నన పొందినా రామనుజన్ జీవితంలో ఒక వెలితి మాత్రం మిగిలిపోయింది. ఇంకా బి.ఏ. పట్టం కూడా పొందని మేటి గణిత వేత్తగా ఓ విడ్డూరంగా, ఓ వైపరీత్యంగా మిగిలిపోయాడు రామనుజన్. ఇండియాలో ఉన్నంత కాలం ఆ పట్టం తన చేతికి అందిరాలేదు. గణితవేత్తగా ఒంటరిగా ఏవో సుదూర గణిత లోకాలలో విహరించాడు. తను గొప్పదనమేమిటో తనకి తప్ప ఎవరికీ తెలీని రోజులవి. ఎంత సంపద ఉన్నా ఆ సంపద అవతలి వారికి అదృశ్యంగా ఉండే దురవస్థ అనుభవించాడు.

ఇంగ్లండ్ వచ్చాక పరిస్థితులు మారసాగాయి. తన గొప్పదనమేమిటో నలుగురికీ తెలుస్తోంది. పేరుమోసిన గణితవేత్తలు తనను జెకోబీ తోనూ, ఆయిలర్ తోనూ పోల్చి ప్రశంసించారు. ఏ కళాకారుడికైనా రెండు రకాల తపనలు ఉంటాయి. మొదటిది,  ఆ కళలో ఏదైనా ఉత్కృష్టమైనది సృష్టించాలని, సాధించాలని తపన. నాలుగు కాలల పాటు నిలిచిపోయే ఓ అతిసుందర కళా సృష్టి చెయ్యాలన్న తపన. ఇక రెండవది, అలా చేసిన సృష్టి నలుగురికీ తెలియాలన్న తపన, నలుగురూ ఆ సృజనని గుర్తించి మెచ్చుకోవాలనే తపన. మొదటి తపన సృజనలోని ఆనందానికి చెందినదైతే, రెండవది సాటి మనుషుల నుండి గుర్తింపు పొందాలన్న తపన.
అంతవరకు గణిత సాధనలో ఎంతో ఆనందాన్ని అనుభవించాడు రామానుజన్. ఇక ఇప్పుడు ఆ సాధనకి ప్రతిఫలంగా వచ్చిన గణనీయమైన గుర్తింపును ఆనందిస్తున్నాడు. తను రాసిన వ్యాసాలు ఇప్పుడు వేగంగా అంతర్జాతీయ గణిత పత్రికలలో అచ్చవుతున్నాయి. మొదటి ఇరవై ఏడేళ్లలో 6 వ్యాసాలని రాస్తే, ఇంగ్లండ్ లో ఒక్క 1915  లోనే  9  వ్యాసాలు రాశాడు.

1915  లో రామానుజన్ రాసిన వ్యాసాలలో ఓ ముఖ్యమైన వ్యాసం ‘సంయుక్త సంఖ్యల’ కి (composite numbers) సంబంధించినది.  చాలా ఎక్కువ కారణాంకాలు (factors)  ఉన్న సంఖ్యలని సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు. ఒక విధంగా ఇవి ప్రధాన సంఖ్యలకి (prime numbers)  వ్యతిరేకాలు అన్నమాట. (ఒక సంఖ్య దానితోను, ఒకటి తోను మాత్రమే భాగింపబడితే దాన్ని ప్రధాన సంఖ్య అంటారు.) ఉదాహరణకి 9, 10  సంయుక్త సంఖ్యలు. 9  కి 1,3,9 కారణాంకాలు. అలేగే 10 కి 1,2,5,10  కారణాంకాలు. కాని  11 ప్రధాన సంఖ్య. దానికి కరణాంకాలు కేవలం  1, 11  మాత్రమే. అలాగే  21  సంయుక్త సంఖ్య. దానికి కారణాంకాలు  1,3,7, 21.  22 కూడా సంయుక్త సంఖ్యే. దాని  కారణాంకాలు  1,2,11, 22.  ఆ తరువాత వచ్చే  24  యొక్క కారణాంకాలు -  1,2,3,4,6,8, 12, 24. అంతకు ముందు రెండు సంఖ్యలకి నాలుగేసి కారణాంకాలు ఉంటే,  24  కి మాత్రం మొత్తం  8  కారణాంకాలు ఉన్నాయి. ఇలాంటి సంఖ్యలకి రామానుజన్ ‘అధిక సంయుక్త’ (highly composite) సంఖ్యలు అని పేరు పెట్టాడు. ఒక సంఖ్యకి, దాని కన్నా తక్కువైన ప్రతీ సంఖ్య కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉంటే ఆ సంఖ్యని ‘అధిక సంయుక్త’ సంఖ్య అంటారు. మొదటి కొన్ని ‘అధిక సంయుక్త సంఖ్యలు’ ఇవి – 2,4,6,12, 24, 36, 48, 60, 120. ఈ రకమైన సంఖ్యల గురించి రామానుజన్ ఎన్నో ఆసక్తికరమైన లక్షణాలు కనుక్కుని వాటిని ఓ సుదీర్ఘమైన వ్యాసంగా ప్రచురించాడు.

1915  చివరి కల్లా రామానుజన్ కి కేంబ్రిడ్జ్ నుండి వచ్చిన పారితోషకం రద్దయిపోతుంది. అతను మొదట ఇంగ్లండ్ లో గడపదలచుకున్నది రెండేళ్లు మాత్రమే. ఈ రెండేళ్లు ఎన్నో గణిత సిద్ధాంతాలతో పాటు, ఓ గణితవేత్తగా తన సత్తాని “నిరూపించినా” సాధించాల్సినది ఇంకా ఎంతో వుంది. పారితోషకాన్ని మరో రెండేళ్లు పొడిగించవలసినదని హార్డీ సిఫారసు చేస్తూ విశ్వవిద్యాలయం యొక్క రిజిస్ట్రారుకి ఉత్తరం రాసాడు. విశ్వవిద్యాలయ అధికారులు ఏవో తర్జన భర్జనలు పడి పారితోషకం ఓ ఏడాదికి పొడిగించారు. ఏడాదికి  250  పౌన్లు ఇచ్చే ఆ పారితోషకం అతి సామాన్యమైన దైనిక అవసరాలు గల రామానుజన్ కి ఇబ్బంది లేకుండా సరిపోయేది.

ఇన్ని  సత్పరిణామాలు  వస్తున్నా ఒక్క ఆలోచన మాత్రం మనసులో దొలిచేస్తోంది – అది బి.ఏ. పట్టం.  పట్టం కావాలంటే విద్యార్థిగా రిజిస్టరు కావాలి. రామనుజన్ అక్కడ రీసెర్చ్ స్కాలరుగా రిజిస్టరు అయ్యాడు. అంటే ప్రత్యేకించి ఏమీ చెయ్యనక్కర్లేదు. ఎప్పట్లాగే తన గణిత పరిశోధనలో మునిగిపోవచ్చు. ఆ పరిశోధనల ఫలితంగా, ముఖ్యంగా సంయుక్త సంఖ్యల మీద తను రాసిన సుదీర్ఘమైన వ్యాసానికి గుర్తింపుగా 1916 మార్చ్ నెలలో రామనుజన్ కి బి.ఏ. పట్టం ప్రదానం చెయ్యబడింది.

(ఇంకా వుంది)

వాయువుల గురించి మరిన్ని విషయాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, April 18, 2015 0 comments

1889  లో ఆర్హీనియస్ మరో ప్రయోజనకరమైన సూచన చేశాడు. రెండు అణువులు ఢీకొంటున్నప్పుడు ఆ అభిఘాతంలో తగినంత శక్తి ఉంటే తప్ప ఆ అణువుల మధ చర్య జరగదని ఆర్హీనియస్ సూచించాడు. ఆ శక్తినే ‘ఉత్తేజన శక్తి’ (energy of activation)  అంటారు. ఉత్తేజన శక్తి తక్కువగా ఉంటే రసాయన చర్యలు సాఫీగా, చురుగ్గా సాగిపోతాయి. ఉత్తేజన శక్తి ఎక్కువగా ఉంటే చర్యలు మందగతిలో కళ్లీడ్చుకుంటూ సాగుతాయి!

రసాయన చర్య నెమ్మదిగా సాగుతున్నప్పుడు ఉష్ణోగ్రతని పెంచితే, ఎన్నో అణువులకి ఉత్తేజన శక్తి అందడం వల్ల, చర్య వేగవంతం అవుతుంది. కొన్ని సార్లు విస్ఫోటకంగా జరుగుతుంది కూడా. జ్వలన ఉష్ణోగ్రతని (ignition temperature) చేరుకున్న ఆక్సిజన్-హైడ్రోజన్ మిశ్రమం ఇందుకు చక్కని తార్కాణం.

ఉత్తేజన శక్తి పరంగా చర్య యొక్క వేగాన్ని నిర్ణయించే ఈ పద్ధతిని వాడి ఉత్‍ప్రేరణని వివరించే ఓ కొత్త సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించాడు ఓస్వాల్డ్. ఉత్‍ప్రేరకంతో కలియక వల్ల ఏర్పడ్డ మధ్యగత రాశికి ఉత్తేజన శక్తి తక్కువ కావడం వల్ల ఉత్‍ప్రేరకం యొక్క జోక్యంతో చర్య మరింత వేగంగా సాగుతుందని వివరించాడు.


వాయువుల గురించి మరిన్ని విషయాలు
పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు చివరి దశలో, భౌతిక రసాయన శాస్త్రం అప్పుడప్పుడే అంకురిస్తున్న స్థితిలో, వాయు ధర్మాలని  ఓ కొత్త కోణం నుండి చూస్తూ పరిశోధనలు జరిగాయి. మూడు శతాబ్దాల క్రితమే బాయిల్ తన ‘బాయిల్ నియమాన్ని’ ప్రతిపాదించాడు. ఒక వాయు రాశి యొక్క పీడనం, ఘనపరిమాణం విలోమంగా మారుతాయని ఈ నియమం చెప్తుంది. (ఈ నియమం వర్తించాలంటే ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉండాలని తరువాత తెలిసింది).

అయితే ఈ నియమం అంత కచ్చితమైనది కాదని తరువాత అర్థమయ్యింది. పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మధ్య దశలో జర్మన్-ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త హెన్రీ విక్టర్ రెనాల్ట్ (1810-1878) వాయువుల యొక్క ఘనపరిమాణాల గురించి, పీడనాల గురించి ఎన్నో కొలతలు తీసుకుని, పీడనాన్ని బాగా పెంచినా, ఉష్ణోగ్రతని మరీ తగ్గించినా, వాయువులు బాయిల్ నియమాన్ని అనుసరించవని నిరూపించాడు.

ఇంచుమించు అదే సమయంలో స్కాటిష్ భౌతిక సాశ్త్రవేత్త జేమ్స్ క్లార్క్ మాక్స్‍వెల్ (1831-1879), ఆస్ట్రియన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త లూడ్విగ్ బోల్జ్‍మన్ (1844-1906) వాయువులని గణిత, సైద్ధాంతిక పద్ధతులతో అధ్యయనం చేస్తూ వచ్చారు. వాయువులు అల్లకల్లోలంగా కదిలే అణువుల సందోహాలు అనే భావన మీద ఆధారపడ్డ ఈ సిద్ధాంతానికి ‘వాయు చలన సిద్ధాంతం’ (kinetic theory of gases)  అని పేరు. ఈ సిద్ధాంతం సహాయంతో బాయిల్ నియమాన్ని వివరించడానికి వీలయ్యింది. అయితే అలా నిరూపించడానికి రెండు పూర్వభావనలు (assumptions)  అవసరమయ్యాయి –
1)    వాయు అణువుల మధ్య ఆకర్షక శక్తులు ఉండకూడదు
2)   వాయు అణువులు బిందు పరిమాణంలో ఉండాలి
ఈ రెండు నిబంధనలకి ఒడంబడి ఉండే వాయువులని పరిపూర్ణ వాయువులు (perfect gases) అంటారు.

అయితే ఈ రెండు పూర్వభావనలు పూర్తిగా నిజం కాదు. వాయు అణువుల మధ్య కాస్తో కూస్తూ ఆకర్షణ ఉండకపోదు. అలాగే అణువులు అత్యంత సూక్ష్మమైనవే గాని వాటి పరిమాణం సున్నా కాదు. ఆ కారణం చేత ఏ వాయువూ పూర్తిగా పరిపూర్ణం అనడానికి లేదు. అయితే హైడ్రోజన్ వాయువు, ఆ తరువాత కనుక్కోబడ్డ హీలియమ్ వాయువు పరిపూర్ణ వాయు స్థితికి అత్యంత సన్నిహితంగా వస్తాయని తరువాత తెలిసింది.

ఈ విషయాలన్నిటిని పరిగణనలోకి తీసుకున్న డచ్ భౌతికశాస్త్రవేత్త యోహానెస్ డిడెరిక్ వాన్ డెర్ వాల్స్ (1837-1923)  1873 లో వాయువుల యొక్క ఘనపరిమాణం, పీడనం, ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే ఓ సమీకరణాన్ని సూపొందించాడు. ఈ సమీకరణంలో a, b  అనే రెండు స్థిరాంకాలు వస్తాయి. విభిన్న వాయువులకి ఈ స్థిరాంకాలు విభిన్నంగా ఉంటాయి. ఈ స్థిరాంకాలు అణువుల మధ్య ఆకర్షణని, అణువుల పరిమాణాన్ని వ్యక్తం చేస్తాయి.

ఆ విధంగా వాయువుల పట్ల అవగాహన పెరగడం వల్ల వాటిని ద్రవీకరించే సమస్యని పరిష్కరించడానికి వీలయ్యింది.


(ఇంకా వుంది)

నిరూపణ పట్ల రామానుజన్ దృక్పథం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Sunday, April 12, 2015 0 comments


పైన ఇవ్వబడ్డ  convergent  లు అన్నీ భిన్నాల రూపంలో ఉన్నాయి. అవే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అవుతాయని రామానుజన్ గుర్తించాడు!
పైన ఇవ్వబడ్డ సమస్యలో ఇళ్ళ సంఖ్య 50 కి, 500 కి మధ్య ఉండాలన్న నియమం వుంది కనుక పరిష్కారం ప్రకారం మొత్తం ఇళ్ల సంఖ్య  288  అవుతుంది. X  విలువ 204 అవుతుంది.

“ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది.”
ప్రశ్నని చూడగానే సమాధానం స్ఫురించడం అనేది రామానుజన్ యొక్క ఒక ప్రత్యేక లక్షణం. అదెలా జరుగుతుంది అని అడిగితే, నమక్కళ్ దేవత తన మనసులో అలా స్ఫురింపజేస్తుంది అనేవాడు. ప్రక్రియ ఏదైనా దీనినే పాశ్చాత్యులు intuition (లోజ్ఞానం)  అంటారు. అంటే ఎలాంటి క్రమబద్ధమైన, సహేతుకమైన  ప్రక్రియనీ అనుసరించ కుండా సత్యాన్ని తెలుసుకోవడం. ఈ రకమైన లోజ్ఞానం వల్లనే ఇతరులు ఊహించలేని అధ్బుతమైన గణిత ఫలితాలని, సూత్రాలని ఊహించగలిగాడు. కాని ఏదైతే ఒక విధంగా వరమయ్యిందో, అదే ఒక విధంగా రామానుజన్ యొక్క బలహీనత అయ్యింది అంటారు హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు.

గణితంలో ఓ సిద్ధాంతం నిజమా కాదా అన్నది దాని నిరూపణ మీద ఆధారపడుతుంది. కఠోరమైన, నిర్దుష్టమైన నిరూపణ లేకుండా ఎంత గొప్ప గణిత  వాక్యాన్ని అయినా సమ్మతించడానికి వీలుపడదు.  గణిత లోకంలో ఇది అత్యంత ప్రాథమిక నియమం. కాని రామానుజన్ మాత్రం ఈ నియమం ఇంచుమించు లేనట్టే ప్రవర్తించేవాడు. సిద్ధాంతానికి ఎక్కడో ఓ ముఖ్యమైన భాగంలో ఏదో ఆధారం, హేతువు కనిపిస్తుంది. ఎన్నో సందార్భాలలో నిజం అయినట్టు ఆధారాలు కనిపిస్తాయి. దీనికి తోడు అతడి అనుపమాన వరప్రసాదమైన లోజ్ఞానం ఉండనే ఉంది. నిరూపణకి అది చాలు నన్నట్లు భావించేవాడు రామానుజన్. అలాంటి అద్భుతమైన లోజ్ఞానం ఉండడం చేతనే పెద్ధగా శాస్త్రీయ శిక్షణ లేకున్నా, ఎక్కువ పొరబాట్లు చెయ్యకుండా, వేగంగా పురోగమించాడు. లోజ్ఞానం మీద ఆ విధంగా విపరీతంగా ఆధారపడడం వల్ల, లోజ్ఞానం మినహా ఒక గణిత ఫలితం నిజమా కాదా ఎలా తేల్చుకోవాలో అతడి పెద్దగా అవగాహన ఉండేది కాదు. దీని గురించి వాపోతూ ఒక చోట లిటిల్ వుడ్ అంటాడు –

“అసలు నిరూపణ అంటే ఏంటి అన్న విషయంలో కచ్చితమైన అవగాహన ఉండడం అనేది వర్తమాన గణిత ప్రపంచంలో సర్వసామాన్యమైన విషయం. అది అతడిలో [రామానుజన్ లో] ఇంచుమించు లేదనే చెప్పాలి.”
ఈ పద్ధతికి పూర్తిగా వ్యతిరేకం హార్డీ పద్ధతి. లోజ్ఞానాన్ని పట్టుకుని వేలాడకుండా కచ్చితమైన, కఠోరమైన నిరూపణకే పెద్ద పీట వేసే స్వభావం ఆతడిది. అందుకే ఒక విధంగా రామానుజన్  కి హార్డీ సరైన  స్నేహితుడే కాక, తనలోని వెలితిని ఎత్తి చూపగల అసలైన గురువు అయ్యాడు. 


(ఇంకా వుంది)

అయానిక విఘటన (Ionic Dissociation )

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Sunday, April 5, 2015 0 comments

అయానిక విఘటన (Ionic Dissociation )

ఓస్వాల్డ్, వాంట్ హాఫ్ లతో పాటు భౌతిక రసాయన శాస్త్రంలో మహామహుడైన మరో పేరు కూడా చెప్పుకోవాలి. అతడు స్వీడెన్ కి చెందిన స్వంటె అగస్ట్ ఆర్హీనియస్ (1859-1927). విద్యార్థి దశలోనే ఇతడు ఎలక్‍ట్రోలైట్ ల మీదకి దృష్టి సారించాడు. ఎలక్‍ట్రోలైట్ లు అంటే కరెంటు ప్రవాహానికి ప్రవేశాన్నిచ్చే ద్రావకాలు.



ఆర్హీనియస్

ఫారడే విద్యుత్ విశ్లేషణా ధర్మాలని సూత్రీకరించిన విషయం లోగడ మనం చెప్పుకున్నాం. ఆ ధర్మాల బట్టి పదార్థం లాగానే విద్యుత్తు కూడా చిన్న చిన్న రేణువుల రూపంలో ఉంటుందని అర్థమయ్యింది. ద్రావణాలలో విద్యుత్తుని మోసుకుపోయే రేణువులకి ఫారడే అయాన్లు అని పేరు పెట్టాడు. ఆ తరువాత ఓ అర్థదశాబ్ద కాలం వరకు కూడా ఆ అయాన్లు ఏమిటో, ఎలా ఉంటాయో ఎవరూ తెలుసుకోలేకపోయారు.  అలాగని ఆ రంగంలో అసలు కృషే జరగలేదని కాదు. 1853  లో జర్మన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త యోహాన్ విల్హెల్మ్ హిటార్ఫ్ (1824-1914)  కొన్ని అయాన్లు మరి కొన్ని అయాన్ల కన్నా వేగంగా ప్రయాణించగలవని నిరూపించాడు. ఈ పరిశీలనల ఆధారంగా ‘రవాణా సంఖ్య’ (transport number)  అనే భావన ఆవిర్భవించింది. అయాన్లు విద్యుత్ కరెంటును మోసుకుపోయే రేటుని ఈ సంఖ్య తెలుపుతుంది. ఈ రేటు గురించి తెలిసినా అసలు అయాన్లు అంటే ఏంటి అన్న ప్రశ్న ఎప్పట్లాగే మిగిలిపోయింది.

ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త ఫ్రాన్సువా మారీ రోల్ట్ (1830-1901) కృషి వల్ల ఆర్హీనియస్ ఈ రంగంలోకి ప్రవేశించాడు.  వాంట్ హాఫ్ లాగానే రోల్ట్ కూడా ద్రావణాలని పరిశోధించాడు.  అతడి పరిశోధనలకి పరాకాష్టగా 1887 లో అతడు  ‘రోల్ట్ నియమం’ (Roalt Law)  ని ప్రతిపాదించాడు. ‘ద్రావణంతో సమతాస్థితిలో వున్న ద్రావణి ఆవిరి యొక్క పాక్షిక పీడనం ఆ ద్రావణి యొక్క మోల్ ఫ్రాక్షన్ కి (mole fraction) అనులోమంగా ఉంటుంది,’ అని ఆ నియమం చెప్తుంది.

మోల్ ఫ్రాక్షన్ ని ఇప్పుడు నిర్వచించబోయే ప్రయత్నం చెయ్యబోవడం లేదు. కాని ఒక్కటి మాత్రం సరళంగా చెప్పొచ్చు. ఒక ద్రావకంలో ఒక పదార్థం (solute, ద్రావితం) కరిగినప్పుడు, ఆ పదార్థం యొక్క  రేణువులు (లేదా పరమాణువులు, అణువులు, లేకుంటే ఇంకా సరిగ్గా అర్థం కాని అయాన్లు) ఎంత సంఖ్యలో అందులో కరుగుతాయో రోల్ట్ సూత్రం చెప్తుంది.

తన పరిశోధనా కార్యక్రమాల్లో రోల్ట్ వివిధ ద్రావణాల ఘనీభవన బిందువులని (ద్రావకం గడ్డకట్టే ఉష్ణోగ్రత) కొలిచాడు. శుద్ధ ద్రావణిల (pure solvents) కన్నా ద్రావణాల (solutions) యొక్క ఘనీభవన బిందువు కాస్త తక్కువగా ఉండడం గమనించాడు. ద్రావణంలో ద్రావిత (solute) పదార్థపు రేణువుల సంఖ్య పెరుగుతున్న కొద్ది ఆ ద్రావణం యొక్క ఘనీభవన బిందువు అంతగా పడుతుందని రోల్ట్ నిరూపించాడు.

కాని ఇక్కడే ఒక సమస్య తలెత్తింది. ఒక ద్రావణి (solvent)  లో (ఉదాహరణకి నీరే తీసుకుంటే) ఒక పదార్థం కరిగినప్పుడు ఆ పదార్థం వేరు వేరు అణువులుగా విడిపోతుంది. ఎలక్‍ట్రోలైట్ లు కాని ద్రావకాలనే తీసుకుంటే (ఉదాహరణకి చక్కెర పానకాన్నే తీసుకుంటే) దాని ఘనీభవన బిందువులో వచ్చే తరుగుదల ఆశించిన రీతిలోనే ఉంటుంది. అలా కాకుండా ఉప్పు (NaCl) నీట్లో కలియగా   ఏర్పడ్డ ఎలక్‍ట్రోలైట్ ఘనీభవన బిందువు యొక్క తరుగుదల అనుకున్న దానికి రెట్టింపు స్థాయిలో ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో ఆ ఎలక్‍ట్రోలైట్ కరిగిన రేణువుల సంఖ్య ఉప్పు అణువుల సంఖ్య రెట్టింపుగా వుంది. అలాగే బేరియమ్ క్లోరైడ్ (BaCl2) కరిగినప్పుడు  కరిగిన రేణువుల సంఖ్య అణువుల సంఖ్యకి మూడింతలు ఉంటుంది.

ఒక సోడియమ్ క్లోరైడ్ అణువులో రెండు పరమాణువులు ఉంటాయి. ఒక బేరియమ్ క్లోరైడ్ అణువులో మూడు పరమాణువులు ఉంటాయి. నీరు లాంటి కొన్ని ద్రావణాలలో పదార్థాలు కలిసినప్పుడు ఆ పదార్థపు అణువులు పూర్తిగా పరమాణువులుగా విడిపోతాయాని ఆర్హీనియస్ కి అనిపించింది. పైగా అలా విచ్ఛిన్నం అయిన అణువుల వల్ల దావకం  కరెంటును పోనిచ్చేది. అందుకు భిన్నంగా చక్కెర నీట్లో కలిసినప్పుడు చక్కెర అణువులు పరమాణువుల స్థాయి వరకు విడిపోవడం జరగదు కనుక, చక్కెర పానకం కరెంటుని పోనివ్వదు. అందుచేత కొన్ని ద్రావణిలలో పదార్థాలు కరిగినప్పుడు ఆ పదార్థపు అణువులు కేవలం మామూలు పరమాణువులుగా విడిపోవడం కాకుండా, విద్యుదావేశం గల పరమాణువులుగా విడిపోతాయని ఆర్హీనియస్ అర్థం చేసుకున్నాడు.

ఫారడే ప్రతిపాదించిన అయాన్లు అంటే మరేదో కాదని, అవి కేవలం ఋణమో, ధనమో విద్యుదావేశం గల పరమాణువులే (లేకుంటే పరమాణు సముదాయాలు) నని ఆర్హీనియస్ సూచించాడు. అందుచేత అయాన్లే “విద్యుత్ పరమాణువులు” (atoms of electricity)  కావాలి, లేదా అవి “విద్యుత్ పరమాణువుల”ని మోస్తూ ఉండాలి. ఆర్హీనియస్ ఈ అయానిక విఘటన అనే వర్ణన సహాయంతో విద్యుత్ రసాయన శాస్త్రానికి చెందిన ఎన్నో ప్రభావాలని చక్కగా వర్ణించగలిగాడు.

ఆర్హీనియస్ ఈ భావాలని తన పీ.హెచ్.డి. థీసిస్ లో విపులీకరించాడు. అయితే ఆ భావాలకి చాలా వ్యతిరేకత ఎదురయ్యింది. థీసిస్ ని ఇంచుమించు తిరస్కరించినంత పనయ్యింది. కాని ఓస్వాల్డ్ మాత్రం ఆర్హీనియస్ ప్రతిభకి మురిసిపోయాడు. ఆర్హీనియస్ కి తగిన ఉద్యోగం ఇచ్చి భౌతిక రసాయన శాస్త్రంలో తను చేస్తున్న కృషి కొనసాగించమని  చెయ్యమని ప్రోత్సహించాడు.


(ఇంకా వుంది)

రామానుజన్ పరిష్కరించిన పెల్ సమీకరణం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, April 2, 2015 0 comments

సామాన్య దృష్టికి అందవిహీనంగా కనిపించే వస్తువులో కూడా భావుకుడికి సౌందర్యం సాక్షాత్కరించినట్టు అలాంటి ఉద్విగ్న భరిత పరిస్థితుల్లో కూడా గణితవేత్తల మనసు లెక్కల మీదకి పోతుంది కాబోలు. స్ట్రాండ్ అన్న పత్రిక గణిత సమస్యల మీద  ఓ సరదా శీర్షిక నడిపేది. లోవేన్ ఉదంతం నేపథ్యంలో ఓ సారి ఆ శీర్షికలో ఓ చిత్రమైన సమస్య ప్రచురించబడింది. ఆ సమస్య ఇలా ఉంది -
“లోవేన్ నగరంలో ఒక వీధిలో వరుసగా 1, 2, 3, … n, అని అంకెల గుర్తులు ఉన్న ఇళ్లు ఉన్నాయి. ఈ వరుసలో ఒక ప్రత్యేకమైన ఇల్లు వుంది. దాని స్థానం  x. ఆ ఇంటికి కుడి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం ఎంతో, ఎడమ పక్క ఉండే ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం కూడా అంతే. ఇప్పుడు  n  విలువ  50కి, 500  కి మధ్య ఉందని అనుకుంటే , n, x,  ల విలువలు ఎంత? (జర్మను సేనలు నగరాన్ని ధ్వంసం చేశాయి కనుక, నగరానికి వెళ్లి, స్వయంగా చూసి విషయం తేల్చుకునే అవకాశాం లేదు.)”

ఈ సమస్యని ఒక వ్యక్తి రామానుజన్ కి తెచ్చి చూపించాడు. ఆ వ్యక్తి ఎవరో కాదు – కలకత్తా కి చెందిన ప్రఖ్యాత భారతీయ గణితవేత్త పి. సి. మహలనోబిస్ (P.C. Mahalanobis). ఆ రోజుల్లో మహలనోబిస్ కింగ్స్ కాలేజిలో చదువుకునేవాడు. ట్రైపోస్ ప్రవేశ పరీక్ష కోసం చదువుకునేవాడు. ‘వెవెల్ కోర్ట్’ అనే భవనంలో రామానుజన్ ఉండే గదికి పక్క గదిలోనే ఉండేవాడు. ఆ సమయంలో రామానుజన్ ఎంతో అపురూపంగా గ్యాస్ స్టవ్ మీద దోరగా కూరలు వేయిస్తున్నాడు. మహలనోబిస్ వచ్చి పై సమస్య చదివి వినిపించాడు.

ఆ సమస్యకి రామానుజన్  ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు. ఆ పరిష్కారంలో ఒక విశేషం వుంది. ‘అవిచ్ఛిన్న భిన్నాల’ని (continued fractions) ఉపయోగించి ఈ సమస్యని పరిష్కరించాడు. అంతే కాక, ఈ ఒక్క సమస్యనే కాక, ఈ వర్గానికి చెందిన మరెన్నో సమస్యలని కూడా అదే దెబ్బతో పరిష్కరించాడు. “అలా ఎలా చెయ్యగలిగావ?”ని అడిగాడు ఆ దెబ్బకి ఇంకా తేరుకోని మహలనోబిస్. “ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది,” అని బదులు చెప్పాడు రామానుజన్.
పైన చెప్పుకున్న సమస్యకి పరిష్కారాన్ని ఇలా ప్రారంభించొచ్చు. x  వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి ఒక పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
1 + 2 + 3 … (x-1) = x(x-1)/2
(ఇక్కడ, 1 + 2 + …+m = m(m+1)/2  అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాం.)
అలాగే x  వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి అవతలి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
(x+1) + (x+2) + (x+3)+ … +n = n(n+1)/2 –  (x)(x+1)/2
కనుక,
x(x-1)/2 = n(n+1)/2 –  (x)(x+1)/2
పైన సమీకరణంలోని పదాలకి కాస్త అటు ఇటు చేస్తే,
(2n + 1)2 – 2 (2x) 2 = 1
దీన్ని మరింత సామాన్య రూపంలో ఇలా రాసుకోవచ్చు,
u2 – 2v2 = 1
దీన్నే ‘పెల్’ (Pell)  సమీకరణం అని అంటారు. ప్రాచీన భారత గణితవేత్తలైన బ్రహ్మగుప్తుడికి, భాస్కరుడికి కూడా ఈ సమీకరణం తెలుసు కనుక దీన్ని బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఈ సమీకరణానికి ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. దీని పరిష్కారం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని ఇలా రాసుకోవచ్చు.
(u2 –1)/v2 = 2,

లేదా

(ఉజ్జాయింపుగా)

కనుక  u, v  విలువలు తెలిస్తే విలువని ఉజ్జాయింపుగా, ఒక భిన్నం రూపంలో, వ్యక్తం చెయ్యడానికి  వీలుంటుంది. 

(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email