శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

విశాల సముద్రాలు దాటి…

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, March 2, 2015 0 comments

మొదటి రెండు రోజులు ఓడ ప్రయాణం రామానుజన్ కి అంత సుఖమయంగా సాగలేదు. ఎత్తిపడేసే కెరటాల కుదుపుకి రామానుజన్ కి కడుపులో తిప్పినట్టు అయ్యేది. రెండు రోజుల ప్రయాణం తరువాత ఓడ కొలొంబో దాటింది. ఇక అక్కణ్ణుంచి విశాలమైన అరేబియన్ సముద్రాన్ని దాటాలి. ఇండియాకి యూరప్ కి మధ్య సముద్ర మార్గాలకి సుదీర్ఘమైన చరిత్ర వుంది. యూరప్ నుండి ఇండియాకి సముద్ర మార్గాన్ని కనుక్కున్న వాస్కో ద గామా ఆఫ్రికా చుట్టూ తిరిగి, కేప్ ఆఫ్ గుడ్ హోప్ మీదుగా కేరళ చేరుకున్నాడు. కాని 1869  లో సూయెజ్ కాలువ నిర్మాణం తరువాత ఇండియాకి యూరప్ కి మధ్య దూరం బాగా తరిగిపోయింది. అరేబియన్ సముద్రం దాటాక,  ఈజిప్ట్ కి సౌదీ అరేబియాకి మధ్య వున్న సూయెజ్  కాలువ దాటితే నేరుగా మధ్యధరా సముద్రంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.

 రామానుజన్ ని మోసుకుపోతున్న బ్రిటిష్ ఓడ ఎస్. ఎస్. నెవాసా ముందు ఆఫ్రికా  తూర్పు తీరం మీద యెమెన్ దేశంలో వున్న అడెన్ రేవుని చేరుకుంది. అక్కణ్ణుంచి బయల్దేరగానే ఎర్రసముద్రం మొదలవుతుంది. ఎర్ర సముద్రానికి ఉత్తర కొసలో ఉన్న సూయెజ్ కాలువని దాటగానే మధ్యధరా సముద్రం మొదలయ్యింది. మధ్యధరా సముద్ర తీరం మీద ఉన్న ప్రఖ్యాత జెనొవా రేవులో  ఏప్రిల్  7 న ఓడ లంగరు వేసింది. అక్కణ్ణుంచి బయల్దేరి జిబ్రాల్టర్ జలాసంధి దాటుకుంటూ మధ్యధరా సముద్రాన్ని వొదిలి, బిస్కే ఖాతం లోంచి ప్రయాణిస్తూ ఇంగ్లండ్ దిశగా ఓడ ముందుకి సాగిపోయింది. చివరికి ఏప్రిల్  14  న థేమ్స్ నదీ ముఖం వద్ద ఉన్న ప్లిమత్ రేవులోకి ఓడ ప్రవేశించింది.

నెవిల్, అతడి అన్నయ్య, రామానుజన్ ని కలుసుకోడానికి రేవుకి వచ్చారు. రామానుజన్ ని తీసుకుని లండన్ లో సౌత్ కెన్సింగ్టన్ ప్రాంతానికి తీసుకెళ్లారు. ఆ రోజుల్లో లండన్ ప్రపంచ నగరాలలో గొప్ప ప్రాభవం, వైభవం గల నగరాలలో ఒకటి. యాభై లక్షల జనాభా గల మహా నగరం.   పారిశ్రామిక విప్లవం యొక్క ఫలితాలని నిండుగా అనుభవించిన నగరం. ప్రపంచ వ్యాప్తంగా విస్తరించిన విశాల బ్రిటిష్ సామ్రాజ్యానికి రాజధాని. యాభై లక్షల జనాభా గల ఆ మహా నగరం జనాభా బట్టి చూస్తే మద్రాస్ కన్నా పది రెట్లు పెద్దది. పేరుకి నగరమే అయినా పల్లెటూరి వాతావరణం గల మద్రాస్ కి, ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు లక్షణాలన్నీ నిండుగా సంతరించుకున్న లండన్ కి మధ్య ఎంతో తేడా ఉంది. లండన్ వీధుల్లో కారు దూసుకుపోతుంటే, ఆ తేడాని గమనిస్తూ  మౌనంగా కూర్చుండిపోయాడు రామనుజన్.

అసలే కొత్త ఊరు, కొత్త దేశం, కొత్త సంస్కృతి. కొత్త పరిసరాలకి  రామానుజన్ సులభంగా అలవాటు పడేందుకు గాను   నెవిల్ రామానుజన్ ని నేరుగా కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకెళ్ళకుండా ముందు క్రోమ్వెల్ రోడ్డుకి తీసుకెళ్లాడు. ఆ రోడ్డు మీద కొన్ని భారతీయ కార్యాలయాలు ఉన్నయి. కనుక ఆ ప్రదేశం మరీ కొత్తగా అనిపించకపోవచ్చు. ఆ రోజుల్లోనే ఏ. ఎస్. రామలింగం అనే తమిళుడు కూడా రామానుజన్ కి పరిచయం అయ్యాడు. తమిళనాడు లోని కడలూర్ నుండి వచ్చిన ఈ వ్యక్తిని చూడగానే రామానుజన్ కి ప్రాణం లేచొచ్చినట్టయ్యింది. క్రోమ్వెల్ రోడ్డు మీద ఇంట్లో ఓ నాల్గు రోజులు ఉన్నాక నెవిల్ రామానుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ లో  తన ఇంటికి తీసుకెళ్ళాడు.

మర్నాడు నెవిల్ రామనుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకెళ్లాడు. రామానుజన్ ప్రత్యేకించి ఓ విద్యార్థిలా అక్కడ చదువుకోడానికి రాకపోయినా, గతంలో తనకి ఉన్నత విద్యా రంగంలో పెద్దగా శిక్షణ లేని లోటు తీర్చేందుకు గాను రామానుజన్ అక్కడ కొన్ని  కోర్సులు తీసుకోవాలని నిశ్చయమయ్యింది.  కొద్ది రోజుల్లోనే హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు రామానుజన్ ని చూడడానికి వచ్చారు. వీరిని చూడగానే రామానుజన్ కి చిన్ననాటి ప్రాణా స్నేహితులని చూసినంత సంతోషం కలిగింది. బాహ్యప్రపంచంలో తన స్నేహితులు, బంధుజనం అంతా మద్రాసులో ఉన్నారు. కాని గణితలోకంలో తన స్నేహితులు, సమవుజ్జీలు తక్కువ. అలాంటి వారి జాబితాలో హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు ముఖ్యులు. జూన్ లో ఓ సారి ఇంటికి ఉత్తరం రాస్తూ, “హార్డీ, నెవిల్ తదితరులు అంతా చాలా స్నేహపూర్వకంగా, నిగర్వంగా ఉన్నారు,” అని రాశాడు.


(ఇంకా వుంది)

‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, February 24, 2015 0 comments

ఈ మధ్య కాలంలో అమెరికన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త జోసయా విలార్డ్ గిబ్స్ (1839-1903)   ఉష్ణ గతి శాస్త్రపు నియమాలని క్రమబద్ధంగా రసయన చర్యలకి వర్తింపజేస్తూ వచ్చాడు. 1876 – 1878  మధ్య కాలంలో ఈ అంశం మీద ఎన్నో పత్రాలు ప్రచురించాడు.

గిబ్స్ ‘స్వేచ్ఛా శక్తి (free energy)’  అనే కొత్త భావనని రూపొందించాడు. ఉష్ణాన్ని, ఎంట్రొపీ ని తనలోనే కలుపుకున్న వినూత్న రాశి ఇది. ఒక రసాయన చర్య జరిగినప్పుడు దాని స్వేచ్ఛా శక్తి మారుతుంది. స్వేచ్ఛా శక్తి తగ్గితే, ఎంట్రొపీ పెరుగుతుంది – అలాంటి పరిస్థితుల్లో రసాయన చర్య ఎప్పుడూ ముందుకు సాగుతుంది. (స్వేచ్ఛా శక్తి ఎందుకు ప్రాముఖ్యత పొందింది అంటే ఎంట్రొపీ కన్నా దాన్ని కొలవడం సులభం.) ఒక వ్యవస్థలో ఉష్ణం ఎంత మారింది అన్నది ఆ వ్యవస్థలో స్వేచ్ఛా శక్తి ఎంత తగ్గింది, ఎంట్రొపీ ఎంత పెరిగింది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. సామాన్యంగా అప్రయత్నంగా జరిగే  చర్యలో ఉష్ణం తగ్గడం, అంటే ఆ ఉష్ణం వెలువడడం జరుగుతుంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో, అప్రయత్నంగా జరిగే చర్యలో కూడా, దాని స్వేచ్ఛా శక్తి లోను, ఎంట్రొపీ లోను వచ్చే మార్పు ఎలా వుంటుందంటే, ఆ చర్యలో వ్యవస్థ బయట నుండి ఉష్ణాన్నిలోనికి తీసుకుంటుంది.
  

ఒక వ్యవస్థలోని రసాయనాల గాఢతను బట్టి ఆ వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి ఆధారపడుతుంది అని కూడా గిబ్స్ చెప్పాడు. ఉదాహరణకి  A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి  C + D  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి మధ్య పెద్దగా తేడా లేదని అనుకుందాం. అప్పుడు గాఢతలలో కొద్దిగా మార్పు తెచ్చి తద్వార A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి  C + D యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి అన్నా కొన్ని గాఢతల దగ్గర ఎక్కువ, కొన్ని గాఢతల దగ్గర తక్కువగా ఉండేలా చెయ్యొచ్చు. అలాంటప్పుడు కొన్ని గాఢతల వద్ద చర్య అప్రయత్నంగా ఒక దిశలో పురోగమిస్తే, మరి కొన్ని గాఢతల వద్ద వ్యతిరేక దిశలోను పురోగమిస్తుంది.

ఒక వ్యవస్థలో ఒక ప్రత్యేక రసాయనం యొక్క గాఢతని బట్టి దాని స్వేచ్ఛా శక్తి ఎలా మారుతుందో తెలిపే రాశిని ‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)  అంటారు.  ఈ రసాయన శక్మమే రసాయన చర్యని ముందుకి తోసే “ప్రోద్బలం” అని గిబ్స్ నిరూపించాడు. హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి వైపుగా ఉష్ణం ప్రవహించినట్టే, హెచ్చు రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి వైపుగా రసాయన చర్య పురోగమిస్తుంది.

ఈ విధంగా గిబ్స్ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమాని’కి (law of mass action)  ఓ కొత్త అర్థాన్ని ఇచ్చాడు. సమతాస్థితి వద్ద వ్యవస్థలోని మొత్తం అన్ని రసాయనాల రసాయన శక్మాల మొత్తం కనిష్ట విలువ దగ్గర ఉంటుంది. కనుక  A + B  తో ఆరంభిస్తే, ఆ వ్యవస్థ రసాయన శక్మం అనే “కొండ వాలు” మీదుగా కిందికి దిగుతూ వస్తుంటే  C + D  ఏర్పడతాయి. అలాగే  C + D  తో ఆరంభిస్తే, అది మళ్లీ వాలు మీదుగా కిందికి దిగుతుంటే  A + B  ఏర్పడతాయి.  ఆ రెండు కొండల మధ్య ఉండే “లోయ” లో సమతాస్థితి ఉంటుంది.






(ఇంకా వుంది)

పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు రామనుజన్

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, February 19, 2015 3 comments

ఉదయం తరచు మద్రాసు లోని ప్రఖ్యాత కన్నెమరా గ్రంథాలయానికి వెళ్లి చదువుకునే వాడు. కొన్ని సార్లు కె.బి. మాథవ అనే ఓ గణాంక శాస్త్రవేత్త (statistician) నుండి గణిత పుస్తకాలు తెచ్చుకుని చదువుకునేవాడు. రాత్రిళ్ళు నారాయణ అయ్యర్ అనే స్నేహితుడితో కలిసి లెక్కలు చేసుకునేవాడు. ఈ నారాయణ అయ్యరు పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో పని చేసే రోజుల్లో రామానుజన్ కి ఉన్నతాధికారి. గణితంలో కొంత ప్రవేశం ఉన్నవాడు. ఇద్దరూ రాత్రి తెల్లవార్లూ రెండు పెద్ద పలకల మీద రామానుజన్ ఇంట్లో లెక్కలు చేసుకునేవారు. (పలకల మీద వారి బలపాలు చేసే ‘టక టక’ చప్పుళ్ళకి ఇంట్లో వాళ్లకి నిద్ర కరువయ్యేదట!) ఎన్నో సార్లు రామనుజన్ తన తల్లిని అర్థ రాత్రి లేపమనే వాడట, ఆ నిశాంత నిశా సమయంలో అయితే నిశ్శబ్దంగా, నిరంతరాయంగా లెక్కలు చేసుకోవచ్చని!  గణితంలో పడి ఎన్నో సార్లు అన్నం తినడం మర్చిపోయేవాడట. ఆలోచనా ప్రవాహానికి భంగం కలగకుండా వాళ్ల అమ్మో, అమ్మమ్మో అన్నం ముద్దలు చేసి చేతిలో పెట్టేసేవారట. రామనుజన్ కి అత్యంత ప్రీయమైన వంటకం అయిన గుత్తి వంకాయ చేతిలో పడ్డప్పుడు మాత్రం వ్రత దీక్ష కొంచెం భంగపడేదట!  ఒక పక్క నిలువుగాను, మరో పక్క అడ్డుగాను కోసి మధ్యలో ఉల్లికారం కూరిన వంకాయ, లోకంలో అణువణువునా గణిత చిహ్నాలు చూసే ఆ మేధావికి ఓ అద్భుతమైన గణిత వస్తువులా కనిపించేదేమో!

గణిత అధ్యయనాలు ఒక పక్క అలా ఉధృతంగా సాగుతుండగా, మరో పక్క హార్డికి, రామానుజన్ కి మధ్య ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు కొనసాగుతూ ఉన్నాయి. నిరూపణలు పంపమని హర్డీ ఒత్తిడి చెయ్యడం, ‘అదుగో, ఇదుగో’ అంటూ రామానుజన్ తాత్సారం చెయ్యడం – ఇలా కొంత కాలం జరిగింది.

హార్డీ తన మిత్రుడైన లిటిల్ వుడ్ కి రామానుజన్  ఉత్తరాల గురించి చెప్పాడు. ‘రామానుజన్ ఇలా ఎందుకు ప్రవర్తిస్తున్నాడో అర్థం కావడం లేదు,’ అన్నాడు.

‘నిరూపణలు తెలిస్తే బహుశ అతడి సిద్ధాంతాలని  నువ్వే చేశానంటావని అతడి భయం కాబోలు,’ అని సూచించాడు లిటిల్ వుడ్.

ఆ విషయమే హార్డీ రామానుజన్ ఓ ఉత్తరంలో రాశాడు. అది చదివిన రామానుజన్ అలాంటిదేం లేదని, బాధపడుతూ రాశాడు. ఈ ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాల వల్ల, దూరభారం వల్ల ఆ దశలో రామానుజన్, హార్డీ ల మధ్య కొంత స్పర్థ ఏర్పడిందనే చెప్పొచ్చు.

పోనీ ఇద్దరి మధ్య ఏర్పడ్డ అపార్థాన్ని తొలగించుకుని, రామానుజన్ సిద్ధాంతాలని లోకం గుర్తించేలా చేసేందుకు గాను, కొంత కాలం రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ కి వస్తే బావుంటుందని కూడా హార్డి సూచించాడు. ఆ సూచనకి కూడా రామానుజన్ మొదట సుముఖంగా స్పందించలేదు.

విదేశాలు వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా లేకపోడానికి కారణాలు ఎన్నో. ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడానికి కావలసినంత ధనం ఎక్కణ్ణుంచి సంపాదించాలి? అక్కడ మళ్లీ పరీక్షలు రాయాలా? రాసి తప్పితే తన గతేం కావాలి? ఇలా ఎన్నో ప్రశ్నలు తన మనసులో దొలిచేస్తున్నా, అతి ముఖ్యమైన కారణం మాత్రం ఒకటి వుంది.

ఆ రోజుల్లో బ్రాహ్మణులలో సముద్రాలు దాటి  విదేశాలకి ప్రయాణించకూడదు అన్న నిషేధం ఉండేది. అలా చేసిన వారిని కులం నుండి వెలివేసిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఈ ఆచారాలకి, నమ్మకాలకి ఎంతో విలువనిచ్చే రామానుజన్ కుటుంబానికే కాక, రామనుజన్ కి కూడా ఆ  ఆలోచన పెద్దగా రుచించలేదు. ముఖ్యంగా ప్రాణానికి ప్రాణంగా చూసుకునే కొడుకుని దూరం చేసుకోవడం కోమలతమ్మకి ససేమిరా ఇష్టం లేదు.

ఈ సందిగ్ధ పరిస్థితికి పరిష్కారంగా రామానుజన్ కుటుంబానికి ఒకే మార్గం కనిపించింది -  కులదేవత అయిన నమక్కళ్ దేవతని దారి చూపమని వేడుకోవడం. డిసెంబర్ 1913  లో రామానుజన్ కుటుంబం మొత్తం నమక్కళ్ వెళ్లి అక్కడ వేలుపు దర్శనం చేసుకున్నారు. రామానుజన్ తో పాటు ప్రాణమిత్రుడైన నారాయణ అయ్యర్ కూడా వచ్చాడు. ఒక విధంగా ఈ నమక్కళ్ వెళ్లే ఆలోచన నారాయణ అయ్యర్ దే.  మూడు రోజులు నమక్కళ్ లోనే బస చేశారు. మొదటి రెండు రోజులూ పెద్దగా ఏమీ జరగలేదు గాని, మూడో రాత్రి రామనుజన్ కి ఓ కల వచ్చింది. కలలో కళ్లు మిరుమిట్లు గొలిపే కాంతిలో నమక్కళ్ దేవత ప్రత్యక్షమై విదేశాలకి వెళ్లమని ఆదేశించిందట. పక్కనే పడుకున్న నారాయణ అయ్యర్ ని లేపి రామానుజన్ తన కల గురించి చెప్పాడు.

ఇలాంటి కలే ఒకటి మరో సందర్భంలో కోమలతమ్మకి కూడా వచ్చింది. ‘రామానుజన్ చుట్టూ కొందరు తెల్ల వారు కూర్చున్నట్టు, తన కొడుకు యొక్క అదృష్టానికి, కొడుక్కి మధ్య తను నించోవద్దని నమక్కళ్ దేవత ఆదేశిస్తున్నట్టు కల!
ఈ కలల మహిమ వల్ల రామానుజన్ కుటుంబం అతడి విదేశీ యానం పట్ల మనసు మార్చుకుంది. ఇప్పుడు ఇంగ్లండ్ కి వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా ఉన్నాడు.

సరిగ్గా అలాంటి తరుణం లో ఎరిక్ నెవిల్ (Eric Neville) అనే గణితవేత్త దేవుళ్లా మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఇతడు హార్డీ పంపిన మనిషి. పట్టున ఇరవై  ఐదు కూడా నిండని నెవిల్ గొప్ప సూక్ష్మ బుద్ధి గల గణిత వేత్త. దక్షిణ భారతంలో గణితం మీద ఉపన్యాసాలు ఇవ్వడానికి వచ్చాడు నెవిల్. అదేపనిగా రామానుజన్ ని కూడా కనుక్కుని విషయం తేల్చుకోమని పంపాడు హార్డీ. రామానుజన్ కి రాసిన ఉత్తరాలలో  స్పష్టం చెయ్యకపోయినా హార్డీకి రామానుజన్ ని ఎలాగైనా ఇంగ్లండ్ కి తెప్పించుకోవాలని బాగా పట్టుదలగా ఉంది. ఇంగ్లండ్ కి రావడానికి ఎలాగైనా రామానుజన్ ని ఒప్పించమని నెవిల్ పంపాడు హార్డీ.

నెవిల్ రామానుజన్ ని కలుసుకున్నాడు. రామనుజన్ తన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. చేత్తో రాసిన ఆ కాగితాలు చూసి నెవిల్ మంత్రముగ్ధుడయ్యాడు. రామానుజన్ ని ఎలాగినా ఇంగ్లండి కి రావడానికి ఒప్పించాలి. ఇతడికి నమక్కళ్  దేవత కలలో కనిపించిన భాగోతం అంతా తెలీదు. రామానుజన్ ఒప్పుకోడని సందేహిస్తూనే అడిగాడు. కాని తన ఆహ్వానానికి రామనుజన్ వెంటనే ఒప్పుకోవడం చూసి నెవిల్ ఆశ్చర్యపోయాడు.

అక్కడ ఇంగ్లండ్ లో హార్డీ, ఇక్కడ ఇండియాలో నెవిల్  ముమ్మరంగా పని చేసి రామానుజన్ యాత్రకి, ఇంగ్లండ్ లో బసకి కావలసిన నిధులు వేగంగా అతి తక్కువ కాలంలో ఏర్పాటు చేశారు.

ప్రయాణానికి సన్నాహాలు మొదలయ్యాయి. అంతకు ముందు రామానుజన్ ప్రతిభ విషయంలో ఎటూ తేల్చుకోలేని రామచంద్ర రావుగారు కల్పించుకుని ఈ సన్నాహంలో ఎన్నో విధాలుగా తోడ్పడ్డారు. రామానుజన్ మిత్రులు అతడి పాశ్చాత్య జీవన విధానం గురించి రకరకాలుగా చెప్పారు. వేష భాషల గురించి వేగంగా తర్ఫీదు ఇచ్చారు. రామచంద్ర రావు గారు అతడి పిలక తీసేయక తప్పదని నిర్బంధించారు. ఓ బ్రిటిష్ మిత్రుడు రామానుజన్ ని తన మోటార్ సైకిలు మీద ఊరంతా తిప్పి అవసరమైన బట్టలు కొనిపించాడు. సూటు బూటు వేసుకోడానికి ఎలాగో ఒప్పుకున్నా పాపం రామనుజన్ కి ‘టై’ కట్టుకోవడం మాత్రం మహా తలనొప్పిగా ఉండేది. ఇంత సందడిగా ఏర్పాట్లన్నీ జరుగుతున్నా రామానుజన్ ఈ యాత్ర పట్ల అంత సంతోషంగా లేదని అనిపించింది రామచంద్ర రావుకి. ఏదో విధి లేక ఇదంతా చేస్తున్నట్టు, “దైవ సంకల్పం కనుక చేస్తున్నట్టు” అనిపించింది ఆయనకి.

ఇంగ్లండ్ యాత్ర విషయంలో రామానుజన్ ని ఇబ్బంది పెట్టే ఓ ముఖ్యమైన విషయం ఆహారం. శుద్ధ శాకాహారం తప్ప మరొకటి తెలియని శ్రోత్రియ బ్రాహ్మణుడు. తినే భోజనమే కాక, దాన్ని వండేదెవరు, వడ్డించేదెవరు మొదలైన వాటి విషయంలో ఎన్నో నియమాలు ఉన్నావాడు. ఈ నియమాలన్నీ ఇంగ్లండ్ లో ఎలా పొసగుతాయి?   శాకాహారం విషయంలో ఏ సమస్యా ఉండదని హార్డీ హామీ ఇచ్చాక ఆ చింత కాస్త తీరింది.

మార్చ్  14  నాడు రామానుజన్ తన తల్లిని, భార్యని కుంభకోణం వెళ్లే రైలు ఎక్కించాడు. భార్య జానకమ్మ ఎలాగైనా భర్తతో పాటు ఇంగ్లండి వెళ్లాలనుకుంది. పెళ్ళయ్యాక భర్తతో ఒకే చూరు కింద జీవించిన కాలం తక్కువ. చాల కాలం తరువాత కుంభకోణం నుండి వచ్చి మద్రాసులో పని చేస్తున్న భర్త వద్దకి చేరుకుంది. ఎప్పుడూ గణితంలో మునిగితేలే భర్త తనని పెద్దగా పట్టించుకోకపోయినా, రోజూ కళ్ళెదుట భర్త కనిపిస్తూ ఉంటే ఆమెకో తృప్తి. పోనీ మద్రాసులోనే వున్నా అప్పుడప్పుడు అయినా కుంభకోణం నుండి వచ్చి చూసి పోయే అవకాశం ఉండేది. విశాల సముద్రాలు దాటి ఇప్పుడు విదేశాలకి పయనిస్తున్నాడు. మళ్లీ కొన్నేళ్ల దాక తిరిగి రాడు. మళ్లీ భర్తని ఎప్పుడు చూసుకుంటుందో తెలీదు. ఒకరోజు అత్తగారు ఇంట్లో లేని సమయంలో భర్తని తను కూడా ఇంగ్లండ్ తీసుకెళ్లమని అడిగింది. రామనుజన్ వీలుపడదని గట్టిగా చెప్పలేకపోయాడు. కాని తరువాత రామచంద్రరావు  కల్పించుకుని రామనుజన్ ఒంటరిగా వెళ్ళడమే శ్రేయస్కరమని, అక్కడ అతడు ఏకాగ్రచిత్తంతో గణిత అధ్యయనాలు కొనసాగించాలని, సపరివారంగా ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడం ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో వీలుపడదని చెప్పి ఒప్పించాడు.


మార్చ్ 17  1913  నాడు ఎస్. ఎస్. నెవాసా అన్న ఓడలో ఇంగ్లండ్ కి బయల్దేరాడు. అంతవరకు గణిత లోకంలో ఎన్నో అద్భుత తీరాలని చూసిన రామనుజన్, ఇప్పుడు తన జీవితాన్ని సమూలంగా మార్చేసే ఓ పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు.
(ఇంకా వుంది)

సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, February 13, 2015 0 comments

పైన చెప్పుకున్న చర్య విలియమ్సన్ చెప్పిన ఉత్‍క్రమణీయ చర్యల లాంటిదే. ఇలాంటి చర్యలు సమతాస్థితిని చేరుకుంటాయని, ఆ స్థితిలో  A, B, C, D  లు అన్నీ ఆ రసాయనిక వ్యవస్థలో  కలిసి వుంటాయని మనకి ఇప్పుడు తెలుసు. A, B  ల మధ్య చర్య జరిగే వేగం (రేటు 1) బట్టి C, D లు చర్య జరిపే వేగం (రేటు  2) ఎంత ఎక్కువ (లేక తక్కువ) అన్న దాని మీద సమతాస్థితి ఆధారపడుతుంది.

రేటు  1  రేటు 2  కన్నా బాగా ఎక్కువ అనుకుందాం. అప్పుడు  A, B  ల మధ్య వేగంగా చర్య సాగుతుంది. అధిక మొత్తంలో C, D  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. మరో పక్క  C, D  లు నెమ్మదిగా చర్య జరపగా తక్కువ మోతాదులో  A, B  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. అందుచేత  A, B లు  అధిక శాతం  C,D లుగా మారిపోతాయి. వ్యతిరేక దిశలో పెద్దగా మార్పు జరగలేదు. కనుక సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  C, D  లే కనిపిస్తాయి. పైన ఇవ్వబడ్డ సమీకరణాన్ని గమనిస్తే అలాంటి పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి బాగా కుడి పక్కకి జరిగింది అంటాము.
అదే విధంగా రేటు  2 రేటు 1  కన్నా బాగా ఎక్కువైనప్పుడు అందుకు విరుద్ధమైన ఫలితాలు వస్తాయి. అలాంటప్పుడు C, D  ల మధ్య వేగంగా చర్య జరిగి,  A, B  లు అధిక మొత్తంలో పుడతాయి. A, B   ల మధ్య చర్య అంత వేగంగా సాగడం లేదు కనుక అవి అలాగే ఉండిపోతాయి. ఈ పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  A, B  లే ఉంటాయి. అలాంటప్పుడు సమతాస్థితి బాగా ఎడమ పక్కకి జరిగింది అంటాము.

కాని రేటు  1 , A  యొక్క అణువు ఎంత తరచుగా B  యొక్క అణువుని ఢీకొంటుంది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. ఎందుకంటే అణువులు ఢీకొన్నప్పుడే చర్య జరుగుతుంది. పైగా ఢీ కొన్నంత మాత్రాన చర్య జరగాలని లేదు. అదే విధంగా రేటు 2,  C యొక్క అణువు  D  యొక్క అణువుతో ఎంత తరచుగా ఢీ కొంటుంది అన్నదాని మీద ఆధారపడుతుంది.

ఇప్పుడు ఆ వ్యవస్థ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని మార్చకుండా కాస్త అదనంగా  A  గాని లేక  B గాని (లేక రెండూ గాని) ఆ వ్యవస్థకి కలిపాము అనుకుందాం. A, B  ల గాఢత పెరిగింది కనుక వాటి అణువుల మధ్య అభిఘాతాలు (collisions)  మరింత తరచుగా జరుగుతాయి. (దీనికి సారూప్యాన్ని చెప్పుకోవాలంటే రోడ్డు మీద ట్రాఫిక్ ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు వాహనాలు ఒకదాన్నొకటి గుద్దుకునే ఆస్కారం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అర్థరాత్రి పూట ట్రాఫిక్ పలచగా ఉన్నప్పుడు ఆ అవకాశం తక్కువ.)

అందుచేత A యొక్క, B యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క) గాఢత పెంచినప్పుడు రేటు  1  పెరుగుతుంది. గాఢత తగ్గిస్తే రేటు కూడా తగ్గుతుంది. అలాగే C యొక్క, లేక D ల యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క)  గాఢత పెంచితే రేటు  2  పెరుగుతుంది. ఆ విధంగా రేటు  1  ని గాని, రేటు 2 ని గాని మార్చి సమతాస్థితిలో ఉండే పదార్థాల గాఢతలని నియంత్రించొచ్చు. చర్యలో పాల్గొనే పదార్థాల గాఢతలని మార్చి ఆ విధంగా సమతాస్థితిని వీలుగా మార్చుకోవచ్చు.

సమతాస్థితి వద్ద  A, B, C, D  ల గాఢతలు మారుతాయని, మార్చుకోవచ్చని తెలుసుకున్న గుల్డ్‍బర్గ్, వాగేలు మరో ముఖ్యమైన విషయం గమనించారు. A, B, C, D  లు మారుతున్నా వాటి వెనుక మారకుండా నేపథ్యంలో ఒక రాశి వుందని గుర్తించారు. ద్వంద్వ బాణాలకి ఎడమ పక్క ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి, అలాగే కుడి పక్కన ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి మధ్య నిష్పత్తి, సమతాస్థితి వద్ద మారకుండా ఉండడం గమనించారు.

ఒక ప్రత్యేక పదార్థం యొక్క గాఢతని ఆ పదార్థం యొక్క చిహ్నానికి ఇరు పక్కల బ్రకెట్లు పెట్టి సూచించొచ్చు అనుకుందాం. అప్పుడు సమతాస్థితి వద్ద ఈ కింది రాశి స్థిరాంకం అవుతుంది.


పై సమీకరణంలో K  ని సమతాస్థితి స్థిరాంకం (equilibirium constant) అంటారు. ఒక ప్రత్యేక ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యకైనా ఇలాంటి స్థిరాంకం ఒకటి ఉంటుంది.


ఆ విధంగా గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు ప్రతిపాదించిన ఈ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)’ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యలని చక్కగా వివరించగలిగింది. బెర్థొలే చేసిన తప్పుడు సూచన కన్నా ఇది ఎంతో మేలని తేలింది. అయితే దురదృష్టవశాత్తు గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు తమ కృషి గురించి నార్వేజియన్ భాషలో రాసి ప్రచురించారు. అందుచేత 1879  లో దాన్ని జర్మన్ భాషలోకి తర్జుమా చేసిన దాకా దాని గురించి ప్రపంచానికి పెద్దగా తెలియలేదు.

(ఇంకా వుంది)

హార్డీ రాసిన ప్రత్యుత్తరం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, February 4, 2015 1 comments

అలా రామనుజన్ పంపిన సిద్ధాంతాలని పరిశీలిస్తూ హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు ఎంత సేపు గడిపారో తెలీదు. మొదట్లో రామానుజన్ సృజనలో ఎంతో కొంత ప్రత్యేకత ఉందనుకున్నారు. నిజంగా గణితం తెలిసిన వాడే, మోసగాడు కాడు అనుకున్నారు. కాని ఉత్తరాన్ని, అందులోని అంశాలని కొన్ని గంటల పాటు శ్రధ్ధగా పరిశీలించిన మీదట ఆ గణిత స్నేహితులు ఇద్దరూ ఒక నిర్ణయానికి వచ్చారు – ఆ ఉత్తరాన్ని రాసిన వ్యక్తి “అత్యున్నత కోవకి చెందిన గణిత వేత్త అయ్యుండాలి.”

అంతకు ముందు రామానుజన్ ఉత్తరాలు రాసిన ఇద్దరు బ్రిటిష్ గణితవేత్తలు చేసినట్టుగా నిరాకరించి హార్డీ పొరబాటు చెయ్యలేదు.

రామానుజన్ ఉత్తరానికి ప్రతులని కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఎందరో ప్రముఖులకి పంపాడు హార్డీ. రామనుజన్ సిద్ధాంతాలు కేంబ్రిడ్జ్ లో గొప్ప సంచలనాన్ని సృష్టించాయి. ఇంతలో హార్డీ లండన్ లోని ఇండియా కార్యాలయాన్ని సంపర్కించి రామనుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకు వచ్చే ప్రయత్నాలు మొదలెట్టాడు.
ఇక ఆలస్యం చెయ్యకుండా రామనుజన్ కి ఉత్తరం రాశాడు.
  
Dear Sir, I was exceedingly interested by your letter and by the theorems…”
“అయ్యా, మీ ఉత్తరం, అందులో వివరింపబడ్డ సిద్ధాంతాలు నాకు ఎంతో ఆసక్తికరంగా తోచాయి..”
 అంటూ ప్రశంసాపూర్వకంగా మొదలుపెట్టినా ఆ సిద్ధాంతాలకి నిరూపణలు కూడా జత  చేసి వుంటే బావుండేదని, నిరూపణలు లేకుండా ఆ సిద్ధాంతాల విలువ తేల్చుకోవడానికి సాధ్యం కాదని రాశాడు. ఆ నిరూపణలు కూడా ఆషామాషీ నిరూపణలు కాదు. “నిస్సందేహమైన నిర్దుష్టత” (absolute rigor) గల నిరూపణలు కావాలని కోరాడు.
ఆ నిరూపణలు వీలైనంత తొందరగా పంపమని, సకాలంలో పంపగలిగితే వాటిని అత్యున్నత గణిత పత్రికలలో ప్రచురించడానికి వీలవుతుందని రాశాడు.

ఒక పక్క రామనుజన్ ప్రతిభకి ఇంగ్లండ్ నుండి స్పందన ఇల ఉండగా, మద్రాసులో కూడా పరిస్థితి నెమ్మదిగా మెరుగుపడసాగింది. మద్రాస్ లో రామానుజన్ కి సర్ ఫ్రాన్సిస్ అనే  అభిమాని, శ్రేయోభిలాషి ఉండేవాడు. ఇతడు గణితంలో ప్రముఖులు ఎవరికైనా రామనుజన్ చేసిన గణిత సృజనని చూపించి రామనుజన్ పట్ల సదభిప్రాయం కలిగే చెయ్యాలని అనుకునేవాడు. ఓ సారి గిల్బర్ట్ వాకర్ అనే గణిత వేత్త మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఈ వ్యక్తి సిమ్లా లో ‘భారతీయ వాతావరణ విభాగం’లో పని చేసేవాడు. సర్ ఫ్రాన్సిస్ ఈ వాకర్ కి రామనుజన్ రాసిన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. ఆ గణితం చూసి వాకర్ మురిసిపోయాడు.

కేంబ్రిడ్జ్ స్థాయి గణిత వేత్తలతో పోల్చదగ్గ వాడు  రామనుజన్ అన్నాడు. రామానుజన్ పరిశోధించే గణితం ‘శుద్ధ గణితం’ (pure mathematics). కాని వాతావరణ పరిశోధనలలో గణితాన్ని ఉపయోగించే వాకర్ కి తెలిసిన గణితం ‘అనువర్తిత గణితం’ (applied mathematics). కనుక ఒక పక్క తనకి రామానుజన్ చేస్తున్న గణితంలో పెద్దగా ప్రవేశం లేదని ఒప్పుకుంటూనే, రామానుజన్ ని కొంత కాలం ఇంగ్లండ్ లో ఓ పెద్ద విశ్వవిద్యాలయంలో పని చేసేలా సదుపాయం కల్పిస్తే ఆయన  ప్రతిభ లోకానికి తెలుస్తుందని సూచించాడు.

ఇది విన్న రామానుజన్ కి తన మీద తనకి నమ్మకం బలపడింది. త్వరలోనే హార్డీకి జవాబు రాశాడు. మొదటి ఉత్తరంలో ప్రాథేయపడుతున్నట్టుగా ఉన్న ధోరణి ఈ సారి కొంచెం మారింది. తన మొదటి ఉత్తరానికి సుముఖంగా స్పందించినందుకు హర్డీకి కృతజ్ఞతలు చెప్తూనే ఉత్తరాన్ని ఆరంభిస్తాడు. కాని నిరూపణలు ఇవ్వకపోవడానికి కారణం ఉత్తరంలో ఖాళీ లేకపోవడమే నని, అంటునే హార్డీకి ఇలా సవాలు విసుర్తాడు – “నేను పంపిన ఫలితాలని కావాలంటే సమకాలీన గణితవేత్తలు నడిచే గాడిలోనే నడిచి మీకు మీరే సరిచూసుకోండి.  అప్పుడు నా గణిత ఫలితాలలో ఏదో లోతైన సత్యం ఉందని మీకే తెలుస్తుంది.”

వాకర్ ఉత్తరంతో ఉత్సాహం వచ్చిన బి. హనుమంత రావు అనే లెక్కల ప్రొఫెసరు రామానుజన్ కి సహాయపడుతూ ఏదైనా చెయ్యాలనే ఉద్దేశంతో  మద్రాసులో కొందరు ప్రముఖులని సమావేశ పరిచి రామనుజన్ కి ఓ స్కాలర్షిప్ అందేలా ఏర్పాటు చేశాడు. నెలకి డెబ్బై ఐదు రూపాయలు ఇచ్చే ఆ స్కాలర్షిప్ తో మద్రాస్ లో రామానుజన్ పరిస్థితి గణనీయంగా మారింది. పొట్టకూటి కోసం ఇష్టం లేని ఉద్యోగాలు చెయ్యనక్కర్లేదు. రాత్రనక, పగలనక తనకి ప్రియాతిప్రియమైన గణితంలో మునిగితేలొచ్చు.
(ఇంకా వుంది)

రసాయనిక ఉష్ణగతిశాస్త్రం (chemical thermodynamics)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, January 29, 2015 0 comments


బెర్థెలో నాటీకే ఉత్‍క్రమణీయ చర్యల గురించి తెలుసు. 1850  లో వాటిని మొట్టమొదట విలియమ్సన్ ప్రత్యేకమైన శ్రద్ధతో  అధ్యయనం చేశాడు. ఆ అధ్యయనాలే ఈథర్ ల మీద తను చేసిన పరిశోధనలకి దారి తీసింది. అతడు కొన్ని రసాయన చర్యలలో A, B అనే మిశ్రమంతో మొదలెడితే  C, D అనే పదార్థాలు ఏర్పడడం గమనించాడు. అలాగే  C, D  ల మిశ్రమంతో మొదలెడితే A, B  లు ఉత్పన్నం కావడం చూశాడు. రెండు సందర్భాలలో చివర్లో A, B, C, D  లు నాలుగూ మిగలడం కనిపించింది. ఆ నాలుగింటి మధ్య స్థిర నిష్పత్తులు ఉండడం కనిపించింది. ఆ మిశ్రమం సమతాస్థితి (equilibrium) వద్ద ఉన్నట్టు తెలిసింది.

చివర్లో నాలుగు పదార్థాలు స్థిరమైన మోతాదుల్లో ఉండడం చూసి ఇక చర్య జరగడం ఆగిపోయిందని విలిమ్సన్ పొరబడలేదు. అలాంటి స్థితిలో కూడా A, B  లు C, D  లతో చర్య జరుపుతున్నాయనే అనుకున్నాడు. ఆ చర్య రెండు దిశలలోను నడుస్తూనే వుంది. అయితే ఒక దిశలో సాధించిన పురోగతి, రెండవ దిశలో జరిగిన మార్పు వమ్ము చేస్తోంది. కనుక తటస్థంగా ఉన్న భ్రాంతి కలుగుతుంది.  ఈ స్థితినే చలిత సమతాస్థితి అంటారు (dynamic equilibrium).

విలియమ్సన్ కృషి రసాయనిక చలన శాస్త్రానికి నాంది పాడింది. ఒక రసాయన చర్య ముందుకు సాగాలంటే అది కేవలం ఉష్ణం వెలువడడం మీద ఆధారపడి లేదని విలియమ్సన్ కృషి వల్ల తెలిసింది. ఒక పక్క బెర్థెలో, థామ్సన్ లు ఉష్ణమానినితో కొలతలు తీసుకుంటుంటే, మరో పక్క ఉష్ణం కాకపోతే రసాయన చర్య యొక్క గమన దిశని నిర్ధారించే  ఆ “అదనపు కారణం” ఏమిటి అన్న విషయం మీద లోతైన కృషి జరుగుతోంది. కాని ఆ కొత్త భావాలు ఎవరికీ అర్థం గాక ఆ కృషి ఎంతో కాలం మూలనపడింది.



రసాయనిక ఉష్ణగతిశాస్త్రం (chemical thermodynamics)

1863  లో  కాటో మాక్సిమిలియన్ గుల్డ్‍బర్గ్ (1836-1902), పీటర్ వాగే (1833-1900)  అని నార్వేకి చెందిన ఇద్దరు రసాయన శాస్త్రవేత్తలు అప్రయత్నంగా జరిగే రసాయన చర్యల గురించి ఓ పత్రం రాశారు. అర్థ శతాబ్దం క్రితం బెర్థెలొ ఈ విషయం గురించి ఓ సూచన చేశాడు. ఒక చర్య ఏ దిశలో పురోగమిస్తుంది అన్నది అందులోని అంశాల ద్రవ్యరాశి మీద ఆధారపడుతుంది అన్నది బెర్థెలొ ఆలోచన. నార్వేకి చెందిన ఇద్దరు రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఈ సూచన మీదకి దృష్టి పోనిచ్చారు.

పై ప్రశ్నకి సమాధానం పూర్తిగా ద్రవ్యరాశిలో లేదని గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు అభిప్రాయ పడ్డారు. ద్రవ్యరాశి మీద కాక ఒక నియత ఘనపరిమాణంలో ఎంత ద్రవ్యరాశి కుదించబడింది అన్న దాని మీద, అంటే ఆ పదార్థపు గాఢత (concentration) మీద పై ప్రశ్నకి సమాధానం ఆధారపడిందని వీరి అభిప్రాయం.
ఉదాహరణకి A, B  ల మధ్య చర్య జరిగినప్పుడు C, D  లు పుడతాయని అనుకుందాం. అలాగే  C, D  ల మధ్య చర్య జరిగినప్పుడు తిరిగి A, B  లు పుడతాయి. ఈ ద్వంద్వ చర్యని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు-
A + B <-> C + D

(ఇంకా వుంది)




రసాయనిక చర్యలలో ఉష్ణం విడుదల యొక్క ప్రాముఖ్యత

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, January 24, 2015 0 comments

హెస్ నియమం వల్ల శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం భౌతిక మార్పులకే కాక రసాయనిక మార్పులకి కూడా వర్తిస్తుందని తెలిసింది. ఈ సార్వత్రీకరణ ప్రయత్నంలో మరింత ముందుకు వెళ్తూ ఉష్ణ గతి శాస్త్రపు నియమాలన్నీ రసాయన శాస్త్రంలో కూడా పని చేస్తాయేమో నన్న భావన ఉదయించింది.

ఆ విధంగా ఉష్ణగతి శాస్త్రంలోని చింతనా సరళి రసాయన శాస్త్రానికి కూడా విస్తరించింది. భౌతిక చర్యలలో లాగానే, రసాయన చర్యలలో కూడా స్వతహాగా ఒక అప్రయత్న పరిణామ దిశ ఉంటుందని, ఆ దిశలో ఎంట్రొపీ ఎప్పుడూ పెరుగుతుందని అనిపించింది. అయితే ఎంట్రొపీని సూటిగా కొలవడం అంత సులభం కాదు.  భౌతిక శాస్త్రంలో చలనానికి కారణం ‘బలం’ (force). అలాగే రసాయన శాస్త్రంలో చర్య యొక్క పురోగతికి కారణమైన ‘బలాలని’ నిర్వచించే ప్రయత్నంలో పడ్డారు రసాయన శాస్త్రవేత్తలు.

1860  లలో కర్బన రసాయన సంయోజనంలో అమూల్యమైన కృషి చేసిన బెర్థెలొ ఉష్ణరసాయన శాస్త్రం మీదకి దృష్టి సారించాడు. స్థిరమైన ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉంచబడ్డ నీటిలో నిక్షిప్తమైన ఓ మూసిన మందిరంలో రసాయన చర్యలు నిర్వహించే పద్ధతి కనిపెట్టాడు. రసాయన చర్య జరిగినప్పుడు చుట్టూ ఉండే నీటిలో ఉష్ణోగ్రతలో వచ్చే మార్పుల బట్టి చర్యలో వచ్చే శక్తి మార్పుల గురించి తెలుసుకోవచ్చు. చర్య చివరిలో నీటి ఉష్ణోగ్రత ఎంత పెరిగిందో తెలిస్తే దాన్ని బట్టి చర్య నుండి ఎంత ఉష్ణోగ్రత వెలువడిందో తెలుసుకోవచ్చు.

ఈ రకమైన ‘ఉష్ణమానిని’ (calorimeter)  సహాయంతో కొన్ని వందలాది వివిధ రసాయన చర్యల నుండి వెలువడ్డ ఉష్ణాన్ని చాలా కచ్చితంగా కొలిచాడు బెర్థెలొ. స్వతంత్రంగా పని చేస్తూ డేనిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త హన్స్ పీటర్ యోర్గెన్ జూలియస్ థామ్సన్ (1826-1909)   కూడా అలాంటి ప్రయోగాలే చేశాడు.

ఉష్ణాన్ని వెలువరించే రసాయన చర్యలు అప్రయత్నంగా వాటికవే జరుగుతున్నాయని, ఉష్ణాన్ని లోనికి గ్రహించే చర్యలు అందుకు భిన్నంగా ఉన్నాయని బెర్థెలో కి అనిపించింది. ఉష్ణాన్ని వెలువరించే ఏ  రసాయన చర్యని అయినా, వ్యతిరేక దిశలో జరిగేలా ప్రోద్బలం చేస్తే అందులోకి తప్పనిసరిగా ఉష్ణాన్ని లోనికి గ్రహిస్తుంది కనుక, ప్రతీ రసాయన చర్య సహజంగా, అప్రయత్నంగా ఒక దిశలోనే సాగుతుందని, అలా సాగుతున్నప్పుడు అది ఉష్ణాన్ని వెలువరిస్తుందని అర్థమయ్యింది.

ఉదాహరణకి హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ల కలయికలో నీరు ఏర్పడినప్పుడు, ఆ చర్యలో అపారమైన ఉష్ణం ఉత్పన్నం అవుతుంది. ఆ చర్య అప్రయత్నంగా జరుగుతుంది. ఒకసారి మొదలైతే వేగంగా ముగింపు వరకు – చాలా విస్ఫోటాత్మకంగా - సాగిపోతుంది.

కాని ఆ చర్య వ్యతిరేక దిశలో జరగాలంటే (అంటే నీటిని హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్లుగా వేరు చెయ్యాలంటే) అందుకు శక్తిని వెచ్చించాలి. ఆ శక్తిని ఉష్ణం రూపంలో ఇవ్వొచ్చు. లేదా విద్యుత్ శక్తి రూపంలో ఇవ్వొచ్చు. కనుక నీటి అణువు యొక్క విచ్ఛిత్తి అప్రయత్నంగా జరగదు. శక్తిని సరఫరా చేసినంత వరకు అది జరగదు. అప్పుడు కూడా శక్తి సరఫరా నిలిచిపోయిన మరు క్షణం ఆ చర్య కూడా ఆగిపోతుంది.

కాని బెర్థెలొ ప్రతిపాదించిన ఈ సార్వత్రిక నియమం వినటానికి బాగానే వున్నా అందులో దోషం వుంది. మొదటి విషయం ఏంటంటే అప్రయత్నంగా జరిగే రసాయన చర్యలన్నీ శక్తిని వెలువరించవు. కొన్ని నిజానికి ఉష్ణాన్ని గ్రహిస్తాయి. అలా జరిగినప్పుడు పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత కాస్త తగ్గుతుంది కూడా.

రెండవ విషయం ఏంటంటే కొన్ని ఉత్‍క్రమణీయ (reversible) చర్యలు ఉంటాయి. అలాంటి చర్యలలో A, B  అనే రెండు పదార్థాలు కలిసి C, D  అనే పదార్థాలుగా మారొచ్చు. అలాగే C, D పదార్థాలు కూడా కలిసి తిరిగి A, B  పదార్థాలుగా  సహజంగా, అప్రయత్నంగా మారొచ్చు.  మరి చర్య ముందుకి నడుస్తున్నప్పుడు ఉష్ణం ఉత్పన్నమైతే, వ్యతిరేక దిశలో అది ఉష్ణాన్ని లోనికి గ్రహించాలి. దీనికి ఒక చిన్న ఉదాహరణ హైడ్రోజన్ అయొడైడ్. ఇది హైడ్రొజన్, అయొడైడ్ ల మిశ్రమంగా విడిపోతుంది. ఆ మిశ్రమం మళ్లీ హైడ్రోజన్ అయొడైడ్ గా మారగలదు.  ఇలాంటి చర్యని ఈ కింది రసాయన సమీకరణంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.

 2 HI <--> H2 + I2

జంట బాణాలు ఉత్‍క్రమణీయ (reversible) చర్యని సూచిస్తాయి.
(ఇంకా వుంది)



జీవితాన్ని మార్చిన ఉత్తరాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి 2 comments


మిత్రుల ప్రోత్సాహం మీద 1912, 1913  ప్రాంతాల్లో ఇంగ్లండ్ కి చెందిన గణితవేత్తలకి ఉత్తరాలు రాయడం మొదలెట్టాడు రామనుజన్. ముందుగా  హెచ్. ఎఫ్. బేకర్ అనే గణితవేత్తకి రాశాడు. ఈ బేకర్ రాయల్ సొసయిటీలో సభ్యుడుగా ఉండేవాడు. గతంలో లండన్ గణిత సదస్సుకి అధ్యక్షుడిగా కూడా పని చేశాడు. బేకర్ వద్ద నుండి తిరస్కారంగా జవాబు వచ్చింది.

తరివాత ప్రఖ్యాత కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయంలో గణితవేత్త అయిన ఇ. డబల్యూ. హాబ్సన్ కి రాశాడు. ఈ హాబ్సన్ కూడా రాయల్ సొసయిటీలో సభ్యుడే. హాబ్సన్ కూడా సహాయం చెయ్యడానికి నిరాకరించాడు.
తరువాత జనవరి 16, 1913  లో రామానుజన్ మరో కేంబ్రిడ్జ్ గణితవేత్తకి రాశాడు. అతడి పేరు గాడ్ఫ్రీ హరోల్డ్ హార్డీ ( జి. హెచ్. హార్డీ. ).

 

జి. హెచ్. హార్డీ
ఇతడు యువతరం గణితవేత్తలకి చెందినవాడు. సహాయాన్ని అర్థిస్తూ రామానుజన్ నుండి ఉత్తరం వచ్చింది.
ఆ ఉత్తరం ఇలా వుంది –
“ఆర్యా,
మద్రాస్ లో పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో అకౌంట్స్ విభాగంలో, ఏడాదికి ఇరవై పౌండ్ల జీతంతో, పని చేస్తున్న ఓ బడుగు గుమాస్తాగా నన్ను నేను వినమ్రంగా పరిచయం చేసుకుంటున్నాను. పెద్దగా పై చదువులకి నోచుకోలేదు. స్కూలు చదువుతోనే నా చదువు ఆగిపోయింది. తీరిక వేళల్లో గణితంలో నాకు చేతనైన తీరులో శ్రమిస్తున్నాను. విశ్వవిద్యాలయాలలో సాంప్రదాయబద్ధమైన గణిత శిక్షణ పొందే భాగ్యానికి  నోచుకోలేదు. కాని  స్వశక్తితో నా కంటూ ఓ కొత్త బాటని మలచుకుంటున్నాను. డైవర్జంట్ సీరీస్ మీద కొన్ని ప్రత్యేక పరిశోధనలు చేశాను. నేను సాధించిన ఫలితాలు స్థానిక గణితవేత్తలు “సంచలనాత్మకంగా” ఉన్నాయని అంటున్నారు…”

ఇంతింతై వటుడింతై … అన్నట్టు ‘విశ్వవిద్యాలయాలలో సాంప్రదాయబద్ధమైన గణిత శిక్షణ పొందే భాగ్యానికి  నోచుకోలేదు’ అంటూ ఎంతో వినమ్రంగా మొదలుపెట్టిన పెద్దమనిషి, రెండవ పారాలోనే ‘గామా ప్రమేయం’ యొక్క ఋణ విలువలకి ఓ కొత్త అర్థాన్ని ఇవ్వగలనని బయల్దేరాడు. అక్కడితో ఆగక మూడవ పారాలోనే అంతకు మూడేళ్ల క్రితం హార్డీ రాసిన ఓ వ్యాసంలో ఏదో వెలితి ఎత్తి చూపాడు.

మూడేళ్ల క్రితం హార్డీ ఓ వ్యాసం రాశాడు. హార్డీ రాసిన వ్యాసంలో ఒక చోట ‘ప్రధాన సంఖ్య సిద్ధాంతం’ ప్రసక్తి వస్తుంది. N  పూర్ణ సంఖ్య అయితే, అది  1 తోను, N  తోను తప్ప మరే  ఇతర సంఖ్యతోను భాగింపబడకపోతే N  ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. అయితే  x  అనే సంఖ్య కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి? అన్న ప్రశ్న ఎంతో కాలంగా ఉంది. దానికి సంబంధించి p(x) అనే ప్రమేయాన్ని నిర్వచించారు. అంటే x  కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య. ఈ ప్రమేయాన్ని ఉజ్జాయింపుగా ఇలా వ్యక్తం చేస్తారు,
p(x) = ln(x)/x
ఇక్కడ ln(x) అనేది సహజ సంవర్గమానం (natural logarithm).

అయితే పైన ఇచ్చిన సూత్రం p(x) కి కేవలం ఉజ్జాయింపే. వాస్తవానికి, పైన ఇచ్చిన సూత్రానికి మధ్య దోషాన్ని r(x)  అనే మరో ప్రమేయంతో వ్యక్తం చేస్తారు. ఈ r(x) యొక్క రూపురేఖల గురించి ఆ రోజుల్లో ఎవరికీ పెద్దగా తెలీదు. తన వ్యాసంలో హార్డీ అదే అన్నాడు.

కాని రామానుజన్ ఇప్పుడు r(x) ని చాలా కచ్చితంగా అంచనా వేశాను అంటున్నాడు. గతంలో లజాంద్రె (Legendre), గౌస్ (Gauss) వంటి మహామహులు చెయ్యలేని దాన్ని ఈ అనామకుడైన భారతీయ క్లర్కు చేశానంటున్నాడు. ఇది ఎలా నమ్మడం?

రామానుజన్ తన ఉత్తరంలో తను కనిపెట్టిన గణిత సిద్ధాంతాలు కొన్ని జత చేశాడు. వాటి మీద హార్డీ అభిప్రాయం తెలియజేయవలసిందంటూ సగౌరవంగా అర్థిస్తూ సెలవు తీసుకున్నాడు.

ఉత్తరం మొత్తం పది పేజీల పొడవు ఉంది. చాలా చక్కని దస్తూరీతో, ఓ స్కూలు పిల్లవాడు రాసినట్టుగా నీటుగా ఉంది. అందులో ఓ యాభై సిద్ధాంతాలు పొందుపరచబడి వుంటాయి.

ఉత్తరాన్ని చదివిన హార్డీ ఎటూ తేల్చుకోలేకపోయాడు. ముక్కు మొహం తెలీని భారతీయుడు  ఇలా ప్రగల్భాలు పలకడం తనకి విడ్డూరంగా అనిపించింది. ఇలాంటి విడ్డూరమైన ఉత్తరాలు అందుకోవడం తనకి కొత్తేం కాదు. నమ్మశక్యం కాని విజయాలు సాధించాం అంటూ ఎందరో గణితోన్మాదుల నుంచి అతడికి ఉత్తరాలు వస్తుంటాయి. ఇదీ అలాంటీ వ్యవహారమే అనుకున్నాడు ముందు. ఉత్తరాన్ని పక్కన పెట్టి తన దినచర్యలో మునిగిపోయాడు.
ఉదయం తొమ్మిది గంటల కల్లా తయారై ఎప్పట్లాగే గణిత అధ్యయనానికి ఉపక్రమించాడు. మధ్యాహ్నం భోజనం తరువాత టెన్నీస్ ఆటకి బయల్దేరాడు. ఆట ఆడుతున్నాడేగాని ఒక పక్క మనసులో ఏదో దొలిచేస్తోంది. ఉదయం తను చదివిన ఉత్తరం పదే పదే మనసులో మెదుల్తోంది. అంత విచిత్రమైన, విపరీతమైన గణిత సిద్ధాంతాలు తనెక్కడా చూళ్ళేదు.


ఆ సిద్ధాంతాలన్నీ నిజమని నమ్మకం ఏంటి? ఏ ఆధారమూ లేని పిచ్చిరాతలేనేమో? లేదా ఆ భారతీయుడెవడో ఏ పుస్తకంలోనో ఇవన్నీ చూసి తన సొంత సృష్టి అని బుకాయిస్తున్నాడేమో? 

(ఇంకా వుంది)

పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో రామానుజన్ ప్రతిభ బయటపడింది

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, January 23, 2015 3 comments

విషయాన్ని విపులీకరించకుండా, వివరణ లేకుండా, అన్నిటికన్నా ముఖ్యంగా తగిన నిరూపణ లేకుండా సిద్ధాంతం తరువాత సిద్ధాంతాన్ని  గుప్పించిన ఆ వ్యాసాన్ని చదివి అర్థం చేసుకోవడానికి ఆ పత్రిక యొక్క సంపాదకుడికి గగనమయ్యింది. వ్యాసంలో ఎన్నో సవరణలు సూచిస్తూ తిప్పి కొట్టాడు. అలా ఆ వ్యాసం సంపాదకుడికి రచయితకి మధ్య రెండు మూడు పర్యాయాలు ప్రయాణాలు చేసింది. బెర్నూలీ సంఖ్యల లక్షణాలు నేపథ్యంగా తల ఈ పత్రంలో రామానుజన్ ఎన్నో విలక్షణమైన గణిత విభాగాల మధ్య చిత్రమైన సంబంధాలు ఎత్తి చూపాడు. అయితే నిరూపణలు ఇవ్వకపోవడం వల్ల, ఇచ్చినా పూర్తిగా నిర్దుష్టంగా ఇవ్వకపోవడం వల్ల తదనంతరం ఇతర గణితవేత్తలు ఆ సిద్ధాంతాలని విశ్లేషించి వాటిలోని సత్యాన్ని నిరూపించవలసి వచ్చింది. కాని ఆశ్చర్యం ఏంటంటే ఇంచుమించు ప్రతీ సారీ రామానుజన్ ప్రతిపాదించిన విషయం నిజమేనని తరువాత తేలుతుంది. కాని అది ‘ఇంచుమించు’ మాత్రమే. కొన్ని అరుదైన సందర్భాలలో తను ఊహించింది తప్పని తేలింది. ఉదాహరణకి పైన పేర్కొన్న పత్రంలో

-      Bn భిన్న సంఖ్య అయినప్పుడు, Bn /n అనే భిన్నంలో లవానికి, హారానికి సామాన్య గుణకాలు లేనప్పుడు, లవం   తప్పనిసరిగా ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.

అన్న లక్షణాన్ని ప్రతిపాదించాడు.ఈ విషయం తప్పని తరువాత తెలిసింది. ఉదాహరణకి B20/20 = 174611  అవుతుంది.  ఇది ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే 174611 = 283 X 617 అవుతుంది.
ఇలా అరుదుగా పొరబాట్లు జరిగినా  రామానుజన్ నోట్సు పుస్తకాలలో చిత్రవిచిత్రమైన సైద్ధాంతిక నిధులు ఉన్నాయి.  నిరూపణ లేని ఆ సిద్ధాంతాలని  తదనంతరం ఎంతో మంది గణిత పండితులు శ్రమించి నిరూపించి, వాటిలో సత్యాన్ని నిర్ధారణ చేసుకుని ఆశ్చర్యపోయారు. ఇంత కఠినమైన సిద్ధాంతాలని ఏ నిరూపణా లేకుండా రామానుజన్ ఎలా ఊహించాడు?

రామచంద్ర రావు దాతృత్వం మీద అలా ఓ ఏడాది గడిచింది. ఆ ఏడాదిలో ఎన్నో సార్లు భారతీయ గణిత సదస్సు ప్రచురించిన పత్రికలో తను కనిపెట్టిన చిన్న చితక సమస్యలు ప్రచురిస్తూ వచ్చాడు. ఆ తరువాత ఓ శ్రేయోభిలాషి చేసిన సిఫారసు వల్ల మద్రాస్ అకౌంటంట్ జనరల్ కార్యాలయంలో ఓ చిన్న ఉద్యోగం దొరికింది. నెలకి ఇరవై రూపాయలు జీతం. కాని ఆ ఉద్యోగంలో కొన్ని వారాలు మాత్రమే పని చేశాడు.

తరువాత మద్రాస్ పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో ఓ గుమాస్తా ఉద్యోగం ఉందంటే దానికి దరఖాస్తు పెట్టుకున్నాడు. ఆ ఉత్తరంతో పాటు ప్రెసిడెన్సీ కాలేజికి చెందిన ఇ.డబల్యూ. మిడిల్ మాస్ట్ అనే లెక్కల ప్రొఫెసర్ ఇచ్చిన సిఫారసు పత్రం కూడా జోడించాడు. “గణితలో అసమాన ప్రతిభ గల యువకుడు” అంటూ ఆ ఉత్తరంలో రామానుజన్ ని పొగిడాడా బ్రిటిష్ ప్రొఫెసరు.

రామానుజన్ కి ఆ ఉద్యోగం సులభంగానే దొరికింది. అకౌంట్స్ విభాగంలో గుమాస్తాగా నెలకి ముప్పై రూపాయల జీతంతో మార్చ్  1, 1912, నాడు రామనుజన్ కొత్త ఉద్యోగంలో చేరాడు. పెళ్ళయిందన్న మాటే గాని జానకి తన భర్తని పెద్దగా చూసిందే లేదు. రాజేంద్రంలోనే పుట్టింట్లో ఉంటూ అప్పుడప్పుడు కుంభకోణంలో అత్తగారి ఇంటికి వెళ్ళి వస్తుండేది. భర్తకి ఎప్పుడు సరైన ఉద్యోగం వస్తుందా, తనని కాపురానికి రమ్మని ఎప్పుడు పిలుస్తాడా అని ఆత్రంగా ఎదురుచూసేది.  ఇప్పుడు పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో ఉద్యోగం వచ్చింది కనుక రామానుజన్ భార్యని, తల్లిదండ్రులని రప్పించుకున్నాడు.

జానకి తన భర్త దినచర్యని ఆశ్చర్యంగా గమనించేది. ఉదయం ఉద్యోగానికి బయల్దేరే ముందు లెక్కలు చేసుకునేవాడు. సాయంత్రం ఇంటికి వచ్చాక మళ్లీ లెక్కలు చేసుకునేవాడు. రాత్రి తెల్లార్లూ కూర్చుని లెక్కలు చేసుకుని ఒకొక్కసారి తెల్లవారు జామున కునుకు తీసి, ఓ రెండు మూడు గంటలు నిద్రపోయి, లేచి ఉద్యోగానికి వెళ్ళేవాడు. ఆఫీసులో పని చాలా సులభంగా ఉండేది. అధునాతన గణితాన్ని తిరగరాయగల సత్తా గలవాడికి కూడికలు, తీసివేతలు ఓ లెక్క కాదు. వేగంగా తనకిచ్చిన పని పూర్తి చేసిన తీరిక వేళల్లో అక్కడ కూడా లెక్కలు చేసుకునేవాడు.


పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో కూడా రామానుజన్ గణిత ప్రతిభ గురించి నలుగురికీ తెలిసింది. అయితే అతడి గణితాన్ని అర్థం చేసుకుని దాని మూల్యం తెలుసుకునే వారు లేకపోయారు. తనకి కావలసిన సలహా గాని, సహాయం గాని ఇవ్వగల వారు దేశంలో లేరని, పాశ్చాత్యులని సంప్రదించి చూడమని కొందరు శ్రేయోభిలాషులు సలహా ఇచ్చారు. అలాంటి వారిలో ఒకరు పచ్చయ్యప్పా కాలేజికి చెందిన లెక్కల ప్రొఫెసరు, సింగార వేలు ముదలియార్. 

(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

Silence...Please!!!

ఆఁ...అది...ఇప్పుడు మిమ్మల్ని గ్రంథాలయంలోకి అడుగుపెట్టటానికి అనుమతినిస్తున్నా. ఇక్కడ నొక్కి లోనికి వెళ్ళండి.

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

Total Pageviews

Sign In

Share It

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email