శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

కాంతి రసాయన శాస్త్రంలో (photochemistry) తొలి పరిమాణాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, March 28, 2015 1 comments


1890  లలో గిబ్స్ యొక్క ఘనతని గుర్తించిన వాడు ఓస్వాల్డ్ ఒక్కడే కాడు. డచ్ భౌతిక రసాయన శాస్త్రవేత్త హెండ్రిక్ విలెమ్ బఖ్వి రోజెబూమ్ (1854-1907)  యూరప్ అంతటా గిబ్స్ ‘దశా నియమాన్ని’ (phase rule) బాగా ప్రచారం చేశాడు.

అలాగే  1899  లో ఫ్రాన్స్ కి చెందిన హెన్రీ లూయీ ల షాట్లియే (1850-1936)   గిబ్స్ పరిశోధనలని ఫ్రెంచ్ లోకి అనువదించాడు. భౌతిక రసాయన శాస్త్రవేత్త అయిన ‘ల షాట్లియే’ (Le Chatlier) పేరు మనకి ఇప్పుడు అతడి పేరుతో ఉన్న ‘ల షాట్లియే సూత్రం’ వల్ల తెలుసు. 1888 ఇతగాడు ప్రతిపాదించిన సూత్రానికి ‘ల షాట్లియే సూత్రం’ అని పేరు వచ్చింది. ఆ సూత్రాన్ని ఇలా నిర్వచించవచ్చు. ‘సమతా స్థితి వద్ద వ్యవస్థలో, ఆ స్థితికి కారణమైన ఏ ఒక్క కారణాంకాన్ని అయిన కొద్దిగా మార్చినప్పుడు, దాని ఫలితంగా వ్యవస్థలో వచ్చే పరిణామాలు మొదటి మార్పుని వీలైనంత వరకు తగ్గించే దిశలో ఉంటాయి.’

ఉదాహరణకి సమతాస్థితిలో ఉన్న వ్యవస్థ యొక్క పీడనాన్ని పెంచితే ఆ వ్యవస్థ వీలైనంత తక్కువ చోటుని ఆక్రమించే విధంగా పరిణామం చెందొచ్చు. ఆ కారణం చేత పీడనం కొద్దిగా పడుతుంది.
అలాగే సమతాస్థితిలో వ్యవస్థ ఉన్నప్పుడు ఉష్ణోగ్రత పెంచితే, ఆ పెంపుని తగ్గించే విధంగా వ్యవస్థలో మార్పులు వస్తాయి. ఈ రకమైన పరిణామాలు అన్నిటిని గిబ్స్  రూపొందించిన రసయన ఉష్ణగతి శాస్త్రం వివరించగలిగింది.

యూరొపియన్లు గిబ్స్ ని ఆలస్యంగా గుర్తించినా కూడా  భౌతిక రసాయన శాస్త్ర పురోగతి అనుకున్నంతగా నెమ్మదించలేదు. ఎందుకంటే గిబ్స్ కనుక్కున్న ఎన్నో విషయాలని 1880  లలో వాంట్ హాఫ్ స్వచ్ఛందంగా కనుక్కున్నాడు. (టెట్రహెడ్రల్ కార్బన్ పరమాణు నమూనాని ప్రతిపాదించిన వాడిగా వాంట్ హాఫ్ గురించి లోగడ చెప్పుకున్నాం.)

భౌతిక రసాయన శాస్త్ర రంగంలో ఓస్వాల్డ్ తరువాత వాంట్ హాఫ్ పేరే చెప్పుకోవాల్సి వుంటుంది. అతడు ప్రత్యేకించి ద్రావణాలు (solutions)  కి సంబంధించిన సమస్యల మీద పని చేశాడు. 1886 కల్లా  ఇతడు ద్రావణాల అవగాహనలో ఎంతో పురోగమించాడు. ద్రావణంలో కరిగిన పదార్థానికి (solvent, ద్రావణి)  చెందిన అణువులు ద్రావణం అంతటా వ్యాపించి ఉన్నందు వల్ల అవి  వాయువులోని అణువులు అనుసరించే ధర్మాలని పోలిన ధర్మాలని అనుసరిస్తాయని వాంట్ హాఫ్ కనుక్కున్నాడు.

ఈ కొత్త భౌతిక రసాయన శాస్త్రం రసాయన చర్యల మీద కేవలం ఉష్ణం యొక్క ప్రభావాన్ని మాత్రమే అధ్యయనం చెయ్యలేదు. మరింత సామాన్యంగా  శక్తికి రసాయన చర్యలకి మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసింది. ఉదాహరణకి ఉష్ణం లాగానే రసాయన చర్యల నుండి విద్యుత్తు కూడా పుట్టొచ్చు. అలాగే విద్యుత్తు వల్ల రసాయన చర్యలు ఏర్పడవచ్చు కూడా.

వాల్టర్ హర్మన్ నెర్న్‍స్ట్ (1864-1941) అనే జర్మన్ శాస్త్రవేత్త ఉష్ణగతి శాస్త్ర ధర్మాలని బ్యాటరీలో జరిగే రసాయన చర్యల అధ్యయనంలో వర్తింపజేశాడు. ఈ అధ్యయనాల వల్ల 1889  లో ముఖ్యమైన విషయం బయట పడింది. బ్యాటరీలో పుట్టే కరెంటు లక్షణాల బట్టి ఆ కరెంటుని పుట్టించే రసాయన చర్య యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తిని అంచనా వేయొచ్చని నెర్న్‍స్ట్ తెలుసుకున్నాడు.
రసాయన చర్యల లోంచి పుట్టే మరో ముఖ్యమైన శక్తిస్వరూపం కాంతి. కాంతి వల్ల రసాయన చర్యలు సంభవించగలవు కూడా. ఈ విషయాలు పందొమ్మిదవ శతాబ్దానికి ముందే తెలుసు. ముఖ్యంగా కాంతి కొన్ని రకాల సిల్వర్ సమ్మేళనాలని విచ్ఛిన్నం చెయ్యగలదు. అలా విచ్ఛిన్నమైన పదార్థం నుండి నల్లని వెండి రజను పుడుతుంది. ఈ విధంగా కాంతి ప్రభావం మీద నడిచే రసాయన చర్యల అధ్యయనాన్ని కాంతిరసాయన శాస్త్రం (photochemistry) అంటారు.

1830  లలో వెండి సమ్మేళనాల మీద కాంతి ప్రభావాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని సూర్యకాంతిని వాడి చిత్రాలు గీసే ఓ పద్ధతిని కనిపెట్టారు. ఒక గాజు ఫలకం మీద ఆ వెండి సమ్మేళనాన్ని సన్నని పూతగా పూస్తారు. ఆ ఫలకం మీద కటకం (lens)  సహాయంతో సూర్య కాంతిని కేంద్రీకరించి దాని మీద ఓ దృశ్యం పడేలా చేస్తారు. ఫలకం మీద వివిధ స్థానాలలో కాంతి వివిధ తీక్షణతల వద్ద పడుతుంది. కాంతి ఎక్కువ పడ్డ చోట సిల్వర్ సమ్మేళనంలో నల్లని వెండి రజనుగా విచ్ఛిన్నం అయ్యే ప్రవృత్తి ఎక్కువ అవుతుంది. తక్కువ పడ్డ చోట ఆ ప్రవృత్తి మరింత తక్కువగానే ఉంటుంది.

ఇప్పుడా సిల్వర్ సమ్మేళనాన్ని లోహపు సిల్వర్ గా విచ్ఛిన్నం చేసే రసాయనాలతో చర్య జరుపుతారు. ఫలకం మీద తీక్షణమైన కాంతి పడ్డ ప్రాంతాలలో మరింత సులభంగా నల్లని వెండి రజను ఏర్పడుతుంది. వెండి సమ్మేళనంలో ఈ వికాసాన్ని (development) సరైన దశలో ఆపేస్తే తెలుపు (మారని వెండి సమ్మేళనం ఉన్న చోట), నలుపు (నల్లని వెండి రజను ఏర్పడ్డ చోట) చారలు ఏర్పడతాయి.  ఆ చారలు బాహ్య దృశ్యానికి చక్కగా అద్దం పడతాయి.

అలా ఏర్పడ్డ చారలని మరిన్ని విస్తారమైన రసాయన చర్యలకి గురి చేస్తే (ఆ వివరాలు ఈ పుస్తకంలో అప్రస్తుతం) అలాంటి ప్రక్రియ వల్ల బాహ్య దృశ్యాల యొక్క కచ్చితమైన చిత్తరువులని తయారు చెయ్యడానికి వీలవుతుంది. ఈ ప్రక్రియనే ఫోటోగ్రఫీ (photography)  అంటాం. ఈ కొత్త విధానానికి ఊపిరి పోసిన వ్యక్తులు ఎంతో  మంది వున్నారు. వారిలో కొందరు – ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త జోసెఫ్ నైసెఫోర్ నీస్ (1765-1833), ఫ్రెంచ్ చిత్రకారుడు లూయీ జాక్ మాందే దాగెర్ (1789-1851) , ఇంగ్లీష్ ఆవిష్కర్త విలియమ్ హెన్రీ ఫాక్స్ టాల్బట్ (1800-1877).

పై ప్రక్రియలలో కాంతి ఓ ఉత్‍ప్రేరకంలా ప్రవర్తించడం చాలా విశేషం. హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ వాయువుల మిశ్రమం మీద కాస్తంత కాంతి ప్రసరిస్తే విస్ఫోటాత్మకమైన చర్య జరుగుతుంది గాని, చీకట్లో అసలు చర్యే జరగదు.

ఇలా ఎందుకు జరుగుతుంది అనే ప్రశ్నకి వివరణ 1918  లో నెర్న్‍స్ట్ ఇచ్చాడు. కాస్తంత కాంతి ఒక క్లోరిన్ అణువుని, రెండు క్లోరిన్ పరమాణువులుగా భేదించగలదు. క్లోరిన్ అణువులో ఉన్నప్పటి కన్నా విడివడ్డ క్లోరిన్ పరమాణువు మరింత సక్రియంగా ఉంటుంది. అలా విడివడ్డ  క్లోరిన్ పరమాణువు హైడ్రోజన్ అణువు లోంచి ఓ హైడ్రోజన్ పరమాణువుని వేరు చేసి, దాంతో చర్య జరిపి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ అణువుని ఏర్పరుస్తుంది. అప్పుడు ఒంటరిగా మిగిలిన  రెండవ క్లోరిన్ పరమాణువు అలాగే ఒంటరిగా మిగిలిన రెండవ హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో చర్య జరిపి మరో హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ అణువుగా ఏర్పరుస్తుంది.


ఆ విధంగా మొదట ప్రసరించిన ఆ కాస్తంత కాంతి వల్ల ఇలా వరుసగా చర్యలు జరిగి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇది ఒక విధమైన కాంతి రసాయనిక గొలుసుకట్టు చర్య (chain reaction). దీని వల్ల అధిక సంఖ్యలో హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ అణువులు విస్ఫోటాత్మకంగా ఏర్పడతాయి.

(ఇంకా వుంది)

మాడ్యులర్ సమీకరణాలు - పై విలువ

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, March 23, 2015 7 comments

p విలువ ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతకి, వ్యాసానికి మధ్య నిష్పత్తితో సమానం అని చిన్నతరగతులలోనే పిల్లలు నేర్చుకుంటారు. అయితే p  విలువ 22/7  ని పిల్లలకి నేర్పుతారు. ఇది కేవలం ఉజ్జాయింపు మాత్రమే. నిజానికి అదో ‘అకరణీయ సంఖ్య’ (irrational number).  ఇంకా కచ్చితంగా చెప్పాలంటే అది అకరణీయ సంఖ్యలలో ఉపజాతి అయిన అతీత సంఖ్య (transcendental number).   దాన్ని రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలుపడదు. కాని అనంత శ్రేణుల రూపంలో p  విలువని ఎన్నో రకాలుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
ఉదాహరణకి జేమ్స్ గ్రెగరీ అనే స్కాటిష్ గణితవేత్త p విలువని ఈ ఇంపైన అనంత శ్రేణి రూపంలో వ్యక్తం చేశాడు.
 

ఈ రూపాన్ని మరి కొందరు గణితవేత్తలు కూడా కనుక్కున్నారు. p విలువని జాన్ వాలిస్ అనే గణిత వేత్త ఈ అనంత లబ్ధంగా (infinite product) వ్యక్తం చేశాడు.

p విలువని ఇలా అనంత శ్రేణిగానో, అనంత లబ్ధం గానో వ్యక్తం చేసినప్పుడు, కుడి పక్క ఇవ్వబడ్డ దాని విస్తృత రూపంలో ఎన్ని పదాలు తీసుకుంటే, దాని విలువ అంత కచ్చితంగా అంచనా వెయ్యడానికి వీలవుతుంది. ఉదాహరణకి పైన జేమ్స్ గ్రెగరీ ఇచ్చిన అనంత శ్రేణిలో మొదటి  పదం (1)  మాత్రమే తీసుకుంటే, p విలువ 4  అని వస్తుంది. మొదటి రెండు పదాలు (1,  -1/3)  తీసుకుంటే p విలువ = 4(1-1/3) = 8/3=2.666… అవుతుంది. మూడు పదాలు తీసుకుంటే, p విలువ = 4(1 – 1/3 + 1/5) = 3.4667  అవుతుంది. p యొక్క అసలు విలువ 3.141592… కనుక పదాల సంఖ్య పెంచుతుంటే p విలువ యొక్క అంచనా ఇంకా ఇంకా నిర్దుష్టం అవుతుంటుంది.

p విలువ ని కచ్చితంగా అంచనా వెయ్యాల్సిన అవసరం ఎంతో వుంది. ఎన్నో వైజ్ఞానిక విభాగాలలో, సాంకేతిక విభాగాలలో ఎదురయ్యే గణనాలలో p విలువ ముఖ్య పాత్ర ధరిస్తుంది. కనుక p విలువని ఎంతో కచ్చితంగా అంచనా వెసే ప్రయత్నాన్ని ఓ ఆటలాగా తీసుకుని కొన్ని శతాబ్దాలుగా ఎంతో మంది గణితవేత్తలు ఎన్నో దశాంశ స్థానాల వరకు p విలువని అంచనా వెయ్యగలిగారు. పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు నడిమి కాలానికే p విలువ ఐదొందల దశాంశ స్థానాల వరకు అంచనా వేసేశారు. ప్రాచీన భారత గణిత వేత్తలలు కూడా ఈ p విలువని వెలకట్టే ఆటలో పాల్గొన్నారు. పదవ శతాబ్దానికి చెందిన ఆర్యభట్టు p విలువని  31  దశాంశ స్థానల వరకు వెలకట్టడమే కాక ఆ విలువని ఓ సంస్కృత శ్లోక రూపంలో అద్భుతంగా వ్యక్తం చేశాడు. పదకొండవ శతాబ్దానికి చెందిన బ్రహ్మగుప్తుడు p విలువ  విలువకి సన్నిహితంగా ఉందని గుర్తించాడు.

పదిహేడవ శతాబ్దంలో కాల్కులస్ ఆవిష్కరణ తరువాత, అనంత శ్రేణుల గురించి అవగాహన మరింత పెంపొందిన తరువాత, p విలువని అంచనా వేసే పద్ధతులు గణనీయంగా అభివృద్ధి చెందాయి. ఐసాక్ న్యూటన్ కూడా ఏమీ తోచని సమయాలలో ఉబుసుపోక కోసం p విలువ అంచనా వేస్తూ కాలయాపన చేస్తున్నట్టు ఒక చోట రాసుకుంటాడు. p విలువని అనంత శ్రేణిగా వ్యక్తం చేసినప్పుడు ఆ వ్యక్తరూపం శ్రేష్టమైనదా కాదా అన్న ప్రశ్న వస్తుంది. అతి తక్కువ పదాలతో p విలువని ఎంతో కచ్చితంగా వ్యక్తం చేసే వీలునిచ్చే శ్రేణి శ్రేష్టమైనదని లెక్క. ఆ దృష్టితో చూస్తే పైన జేమ్స్ గ్రెగరీ ఇచ్చిన రూపం వల్ల పెద్దగా ప్రయోజనం లేదు. దాంతో మూడు దశాంస స్థానాల వరకు p విలువని లెక్కించడానికి ఐదొందలు పైగా పదాలు తీసుకోవాలి. అందుకు భిన్నంగా రామనుజన్ కనిపెట్టిన పద్ధతి ప్రకారం మాడ్యులర్ సమీకరణాలని ఉపయోగించి అత్యంత వేగంగా, అతి తక్కువ పదాలతో p విలువని లెక్కించొచ్చు. కంప్యూటర్ యుగం మొదలయ్యాక p విలువని కంప్యూటర్ల సహాయంతో లెక్కించే ప్రయాస మొదలయ్యింది. అలాంటి ప్రయత్నాలలో p విలువని అత్యంత వేగంగా లెక్కించే కొన్ని పద్ధతులు చాలా కాలం క్రితం రామానుజన్  కనిపెట్టిన పద్ధతుల మీద ఆధారపడడం విశేషం.

ఇంగ్లండ్ లో రామానుజన్  జీవితం అలా గణితలోకంలో విహార యాత్ర లాగా సాఫీగా సాగిపోతున్న తరుణంలో యూరప్ లో రాజకీయ పరిస్థితుల్లో కొన్ని అవాంఛనీయ పరిణామాలు తలెత్తాయి. ఒక పక్క జర్మనీ కి, మరో పక్క ఫ్రాన్స్, బ్రిటన్ లకి మధ్య ఏ నాటినుండో రాజుకుంటున్న అగ్గి ఒక్కసారిగా భగ్గుమంది. ఒకటి రెండు నెలలలో ముగిసిపోతుంది అనుకున్న పోరు, ఓ మహాసంగ్రామంగా వికటించి సమస్త యూరప్ ని ఆక్రమించుకుంది. లక్షల సంఖ్యలో సైనికుల, సామాన్యుల ప్రాణాలని పొట్టన పెట్టుకుంది.

ఇక్కడ కుంభకోణంలో రామానుజన్ భద్రత గురించి అతడి కుటుంబీకులు ఆందోళన చెందసాగారు. తను ఉన్న దేశంలో  యుద్ధం జరగడం లేదని, అది పొరుగుదేశానికి మాత్రమే పరిమితం అని వారికి ధైర్యం చెప్తూ మొదట్లో రామానుజన్ ఉత్తరం రాశాడు. కాని త్వరలోనే పరిస్థితులు మారిపోయాయి. బ్రిటిష్ సేనలో ఒక విభాగం కేంబ్రిడ్జ్ పరిసర ప్రాంతంలో మొహరించింది. కాలేజి భవనాలు  సైనిక శిక్షణా శిబిరాలుగా మారిపోయాయి. ఒక గ్రంథాలయాన్ని తాత్కాలిక ఆసుపత్రిగా మార్చేశారు.

జర్మన్ సేనల అరాచకాలకి హద్దు లేకుండా పోయింది. సైనికుడు సైనికుడితో తలపడకుండా సామాన్యులని ఊచకోత కోసే అమానుషానికి ఒడిగట్టాయి జర్మన్ సేనలు. బెల్జియమ్ లోని లోవేన్ (Louvain) నగరాన్ని జర్మన్ సేనలు ముట్టడి చేసి నగరాన్ని తగులబెట్టాయి. ఎంతో మంది సామాన్య పౌరులు అగ్నికి బలి అయ్యారు. లొవేన్ ఉదంతంతో ప్రపంచ దేశాల దృక్పథం జర్మనీకి ప్రతికూలంగా మారిపోయింది. లోవేన్ వినాశం విషయమై దేశదేశాల పత్రికలు జర్మనీ పై దుమ్మెత్తి పోశాయి.

(ఇంకా వుంది)

బ్రౌనియన్ చలనం - అణుసిద్ధాంతం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, March 18, 2015 0 comments

ఓస్వాల్డ్ తన వ్యాఖ్యానంలో ఉత్‍ప్రేరణ విషయంలో గిబ్స్  సిద్ధాంతాలని చర్చించాడు. పదార్థాల మధ్య శక్తిపరమైన సంబంధాలని మార్చకుండా, ఉత్‍ప్రేరకాలు చర్యలని వేగవంతం చేస్తాయని వాదించాడు. చర్యలో పాల్గొనే రసాయనంతో ఉత్‍ప్రేరకం కలిసి ఒక మధ్యగత పదార్థాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఆ మధ్యగత పదార్థం మళ్లీ విచ్ఛిన్నమై ఆఖరులో  రావలసిన ఉత్పత్తులని విడుదల చేస్తుంది.  ఆ కారణం చేత ఉత్‍ప్రేరకం మాత్రం మొదట్లో ఉన్న స్థితికి వచ్చేస్తుంది.



ఉత్‍ప్రేరకం పని తీరు

ఉత్‍ప్రేరకంతో కలిసిన మధ్యగత పదార్థమే లేకుంటే ఆ చర్య మరింత నెమ్మదిగా నడిచేది. కొన్ని సందర్భాల్లో ఆ నడక ఎంత నెమ్మదిగా ఉంటుందంటే అసలు చర్య జరుగుతోందని గుర్తుపట్టడమే కష్టం. కనుక ఉత్‍ప్రేరకం తాను మారకుండా చర్యని మాత్రం వేగవంతం చేస్తుంది. మరో విషయం ఏంటంటే ఈ చర్యలో ఉత్‍ప్రేరకం  యొక్క అణువుని పదే పదే వాడడం జరుగుతుంది కనుక, ఉత్‍ప్రేరకం అతి తక్కువ మొతాదులో ఉన్నా చాలు చర్య గణనీయంగా త్వరితం అవుతుంది.

ఉత్‍ప్రేరణ పట్ల ఈ రకమైన దృక్పథాన్ని ఈ నాటికీ శాస్త్రం ఒప్పుకుంటుంది. ఉత్‍ప్రేరకాలుగా పనిచేసే ప్రోటీన్ల (వీటిని ఎన్‍జైమ్ లు అంటారు) చర్యని ఈ తీరులో అర్థం చేసుకోడానికి వీలయ్యింది. జీవ పదార్థంలో రసాయన చర్యలని ఈ ఎన్‍జైమ్ లు త్వరితం చేస్తాయి.

ఆస్ట్రియాకి చెందిన భౌతికశాస్త్రవేత్త, తాత్వికుడు అయిన ఎర్నెస్ట్ మాక్ (1838-1916) సిద్ధాంతాలతో  ఓస్వాల్డ్ పూర్తిగా ఏకీభవించేవాడు. ప్రత్యక్షంగా కొలవదగ్గ రాశులతో మాత్రమే భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు వ్యవహరించాలని, కేవలం పరోక్షమైన ఆధారాల మీద నిలిచే గణిత నమూనాలు నిర్మించడం మంచిది కాదని మాక్ అనేవాడు. ఆ కారణం చేత ఓస్వాల్డ్ ‘పరమాణువులు’ అనే భావనని ఒప్పుకునేవాడు కాడు. ఎందుకంటే వాటి ఉన్కిని తెలిపే ప్రత్యక్ష ఆధారాలు లేవు. ప్రముఖ శాస్త్రవేత్తలలో పరమాణు సిద్ధాంతాన్ని నమ్మని వారిలో ఇతడు ఆఖరి వాడని చెప్పుకోవచ్చు. (కాని పరమాణు సిద్ధాంతానికి సత్ప్రయోజనాలు ఉన్నాయని మాత్రం ఓస్వాల్డ్ ఒప్పుకునేవాడు.)

ఈ సందర్భంలోనే ‘బ్రౌనియన్ చలనం’ అనే సంగతి ప్రస్తావనకి వచ్చింది. నీటిలో విస్తరించిన సన్నని రేణువులు చంచలంగా కదులుతుంటాయి. మైక్రోస్కోప్  లో కూడా చూడదగ్గ ఆ కదలికనే బ్రౌనియన్ చలనం అంటారు. ఈ చలనాన్ని మొట్టమొదట (1827 లో) స్కాటిష్ వృక్ష శాస్త్రవేత్త రాబర్ట్ బ్రౌన్ (1773-1858) గమనించాడు.

1905  లో జర్మన్-స్విస్ శాస్త్రవేత్త ఆల్బర్ట్ ఐన్‍స్టయిన్ (1879-1955) బ్రౌనియన్ చలనాల విషయంలో ఓ ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించాడు. నీటిలో విస్తరించిన రేణువులని నీటి అణువులు తన్నే తాపుల వల్ల ఆ రేణువులు అలా కదులుతున్నాయని ఐన్‍స్టయిన్ సూచించాడు. నీటి అణువులు అల్లకల్లోలంగా కదులుతుంటాయి కనుక వాటి తాపులకి నీటిలో మునిగిన రేణువులు కూడా అలజడిగా కదులుతుంటాయి. అలా కదిలే రేణువుల చలనాలని కచ్చితంగా కొలిచినప్పుడు, ఆ కొలతల నుండి నీటి అణువుల పరిమాణాన్ని అంచనా వేయొచ్చని ఐన్‍స్టయిన్ గణితపరంగా నిరూపించాడు. 



1908  లో ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త జాన్ బాప్తిస్త్ పెరిన్ (1870-1942)  పై సిద్ధాంతానికి అవసరమైన కొలతలు తీసుకునే ఏర్పాటు చేశాడు. ఆ కొలతల ఆధారంగా అణువుల, పరమాణువుల వ్యాసాల మొట్టమొదటి అంచనాలు చేశాడు. బ్రౌనియన్ చలనం అనేది పరమాణువుల, అణువుల ఉనికికి ఇంచుమించు ప్రత్యక్షమైన సాక్ష్యం కనుక ఓస్వాల్డ్ పరమాణు సిద్ధాంతం పట్ల తన ప్రతికూల వైఖరిని మార్చుకోవలసి వచ్చింది.

(పెరిన్ కాలంలోనే పరమాణువుల ఉనికికి ఆధారాలు క్రమంగా పెరుగుతూ వచ్చాయి. పరమాణువుల వ్యాసం రమారమి 1/250,000,000  ఇంచి  ఉంటుందని తొలి అంచనాలు తెలిపాయి. ఈ పుస్తకం మూడవ భాగంలోని చివరి అధ్యాయాలలో ఆ ఆధారాలని వివరంగా సమీక్షించడం జరుగుతుంది. గ్రీకు తాత్వికుడు డెమాక్రిటస్ ఆరంభించిన ఈ పరమాణు గాధలో పతాకసన్నివేశంగా జర్మన్-అమెరికన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఎర్విన్ విల్హెల్మ్ ముల్లర్ (1911-1977)  field-emission microscope  ని కనిపెట్టాడు. 1950  ల నడిమి కాలంలో ఈ పరికరంతో తీసిన పరమాణువుల ఫోటోలు సంచలనాన్ని సృష్టించాయి. ఓ సన్నని లోహపు సూది మొన మీద నిలుపబడ్డ పరమాణువుల అమరికని ఈ పరికరం ప్రస్ఫుటం చెయ్యగలిగింది.)

(ఇంకా వుంది)

రామానుజన్ హార్డీ ల మధ్య సహాధ్యాయం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, March 12, 2015 0 comments


రామానుజన్ హార్డీ ల మధ్య సహాధ్యాయం మొదలయ్యింది. అంతవరకు రామానుజన్ పంపిన ఉత్తరాలలోని గణిత విషయాల గురించి హార్డీకి వేల సందేహాలు ఉన్నాయి. వాటిని నివృత్తి చేసుకొవాలంటే అంతవరకు దూరం అడ్డొచ్చింది. కాని ఆ విచిత్ర సిద్ధాంతాల ఆవిష్కారకుడు పక్కనే ఉన్నాడు. ఏం సందేహం వచ్చినా వెంటనే అడిగి తేల్చుకోవచ్చు. రామానుజన్ నోట్సు పుస్తకాల అధ్యయనం మొదలెట్టాడు హార్డీ.

రామనుజన్ పంపిన 120  సిద్ధాంతాలలో చాలా మటుకు ఈ నోట్సు పుస్తకాలలోనే ఉన్నాయి. ఐదవ అధ్యాయంలో రామానుజన్ రాసిన మొదటి వ్యాసంలో వర్ణింపబడ్డ బెర్నూలీ సంఖ్యల ప్రస్తావన వచ్చింది. అధ్యాయం 6 లో ‘అపసరణ శ్రేణుల’ (divergent series)  మీద అతడు చేసిన వినూత్న పరిశోధనలు పొందుపరచబడ్డాయి. రామానుజన్ సిద్ధాంతాలలో గొప్ప నవీనత, ప్రతిభ కనిపిస్తున్నా ఆ ఫలితాలన్నీ నిజం కావని హార్డీ గమనించాడు. కొన్ని సిద్ధాంతాలైతే పాశ్చాత్య గణితవేత్తలో ఏనాడో కనుక్కున్న ఫలితాలే.  మరి కొన్ని ఫలితాలు రామానుజన్ నమ్మినంత గొప్పవేమీ కావు. కాని అధికశాతం సిద్ధాంతాలు మాత్రం దిగ్ర్భాంతి కలిగించేటంత ప్రగాఢమైనవి. ఆ నోట్సు పుస్తకాలలో సుమారు ఓ దశాబ్దం పాటు పోగు చేసిన గణిత సంపత్తి వుంది. వేల కొద్ది సిద్ధాంతాలు, ఉపసిద్ధాంతాలు, ఉదాహరణలు రాశిపోసినట్టు ఉన్నాయి. ఆ నోట్సు పుస్తకాలలో నిక్షిప్తమై వున్న గణిత సంపదని తవ్వి తియ్యడానికి కొన్ని తరాల పాటు గణితవేత్తలు శ్రమించారు. 1921  వరకు అంటే సుమారు ఏడేళ్ల పాటు ఆ నోట్సుపుస్తకాలని అధ్యయనం చేసిన హార్డీయే  ఆ పుస్తకాలలో ఇంకా అప్రచురితమైన అపార గణిత పన్నిధి వుందని వాపోయాడు. రామనుజన్ మొదటి పుస్తకంలో 12, 13 వ అధ్యాయాలని క్షుణ్ణంగా చదివి రెండేళ్ల తరువాత వాటి మీద ఓ వ్యాసం రాసిన హార్డీ ఆ రెండేళ్లూ కేవలం ఆ రెండు అధ్యాయాలు మాత్రమే వివరంగా పరిశీలించడానికి వీలయ్యింది అని చెప్పుకున్నాడు.

ఆ రొజుల్లోనే హంగరీ దేశానికి చెందిన జార్జ్ పోల్యా (George Polya) అనే గణివేత్త హార్డీని చూడడానికి వచ్చాడు. హంగరీ దేశం గణితవేత్తలకి పెట్టింది పేరు. కేవలం  1  కోటి జనాభా గల ఆ దేశం ఎంతో మంది గొప్ప గణితవేత్తలని ప్రపంచానికి అందించింది. జాన్ ఫాన్ నాయ్మన్ (John von Neumann), పాల్ ఎర్డోస్ (Paul Erdos), జానోస్ బోల్యాయ్ (Janos Bolyai) మొదలైన మహా గణితజ్ఞులు అక్కడి వారే. అలాంటి సాంప్రదాయం నుండి వచ్చినవాడు జార్జ్ పోల్యా. గణిత పరిశోధనలోనే కాక గణిత విద్యాబోధనలో కూడా ఇతడు కొత్త పుంతలు తొక్కాడు. ఇతడు రాసిన ‘How to solve it’ అనే పుస్తకం గణిత విద్యాబోధనలో ఓ  చిరస్మరణీయమైన గ్రంథంగా చెప్పుకుంటారు. హార్డీని అడిగి పోల్యా రామానుజన్ నోట్సు పుస్తకాల ప్రతులు తీసుకుపోయాడు. కాని కొన్ని రోజుల్లోనే ఆదుర్దాగా వచ్చి ఆ పుస్తకాలు హర్డీకి తిరిగి ఇచ్చేశాడు.

“అదేం, అంత త్వరగా తిరిగి ఇచ్చేస్తున్నారు?” అడిగాడు హార్డీ.

“రామానుజన్ నోట్సుల సమ్మోహనం ఎలాంటిది అంటే ఇక నేను జీవితాంతం ఆ సిద్ధాంతాలని నిరూపించే ప్రయత్నంలో గడిపేస్తానేమోనని, ఇక నాకై నేను సొంతంగా ఏమీ కనిపెట్టనేమో నని భయం వేసింది,” అని మనసులో మాట   చెప్పాడు పోల్యా.

1929  లో జి. ఎన్. వాట్సన్, బి. ఎమ్. విల్సన్ అనే ఇద్దరు గణితశాస్త్ర ప్రొఫెసర్లు రామానుజన్ నోట్సుల అధ్యయనానికి పూనుకున్నారు. వాటిలోని సిద్ధాంతాలని నిరూపించి, ఆ నిరూపణలని సవివరంగా వెల్లడి చేసి, సామాన్యులకి బోధపడేలా ఆ సిద్ధాంతాలని విపులీకరించి,  రామానుజన్ సృజనకి ‘టికా, తాత్పర్యం’ రాసే బృహద్ యత్నం ఆరంభించారు. రెండేళ్లు శ్రమించిన తరువాత ఇద్దరికీ కార్యభారం తెలిసొచ్చింది. ఉదాహరణకి ఒక మాడ్యులర్ సమీకరణాల జతని నిరూపించడానికి వాట్సన్ కి ఓ నెల పట్టింది. ఈ లెక్కన కొన్ని వేల సిద్ధాంతాలని నిరూపించాలి. మరో ఐదేళ్లు పట్టొచ్చు అని అంచనా వేశాడు. ఓ దశాబ్ద కాలం రామానుజన్ నోట్సుల తో గడిపిన వాట్సన్ వాటి మీద రెండు డజన్ల వ్యాసాలు, పుంఖానుపుంఖాలుగా వివరణ పోగుచేశాడు. విల్సన్ మాత్రం ఈ శ్రమలో దీర్ఘకాలం పాలుపంచుకోలేక పోయాడు. నాలుగేళ్ల ప్రయాస తరువాత అతడు విఫలమైన శస్త్ర చికిత్స వల్ల 1935  లో ప్రాణాలు కోల్పోయాడు.

రామానుజన్ నోట్సులని సరళీకరించే ప్రయాస భారతాన్ని తెనిగించే ప్రయాస లాగా ఉంటుంది. వాట్సన్, విల్సన్ ల తరువాత 1977  లో మరో గణితవేత్త ఆ ప్రయాసని కొనసగించాల దలచాడు. బ్రూస్ బెర్న్డ్ (Bruce Berndt) అనే అమెరికన్ గణిత వేత్త ఆ మహత్యార్యాన్ని చేపట్టాడు. రామానుజన్ నోట్సులని అధ్యయనం చేసి వాటి మీద వ్యాఖ్యానిస్తూ పదమూడు పుస్తకాలు రచించాడు. అతడి ప్రయాస ఇప్పటికీ కొనసాగుతోంది.
రామానుజన్ మేధస్సు ఎలాంటిదో హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లకి త్వరలోనే అర్థమయ్యింది. గత గణితవేత్తలతో పోల్చుతూ జర్మనీకి చెందిన జేకబ్ జెకోబీతో (Jacob Jacobi) పోల్చాడు లిటిల్ వుడ్. అది చాలదన్నట్టు జెకోబీతోనే కాక, మహామహుడైన లియొనార్డ్ ఆయిలర్ (Leonard Euler) తో  కూడా రామానుజన్ సరితూగుతాడు అని హార్డీ అభిప్రాయపడ్డాడు.

కేంబ్రిడ్జ్ లో పరిసరాలు రామానుజన్ పరిశోధనలకి, అధ్యయనాలకి అనువుగా ఉన్నాయి. ఉద్యోగం చేసి డబ్బు గడించాల్సిన పని లేదు. కుటుంబ వ్యవహారాల కోసం సమయం వెచ్చించాల్సిన పని లేదు. తనకి ఇష్టమైన గణితంలో ఇప్పుడు పూర్తిగా మునిగిపోవచ్చు. ఆ అనువైన ఏకాంతంలో అతడి  పరిశోధన వేగంగా సాగింది. ఏడాది తిరిగే లోపు అధిక సంఖ్యలో గణిత వ్యాసాలు ప్రచురించగలిగాడు. రామానుజన్, హార్డీల మధ్య కూడా సహకార పరిశోధన ముమ్మరంగా సాగింది. అదే సంవత్సరం జూన్ నెల తిరిగేసరికే ఆ పరిశోధనలో రెండు వ్యాసాలు రాయడానికి సరిపడే సమాచారం బయటపడింది.  వాటిలో ఒక వ్యాసం పేరు: “Modular equations and approximations to p.”
(ఇంకా వుంది)

ఉత్‍ప్రేరణ (catalysis)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, March 10, 2015 0 comments


పదార్థం యొక్క వివిధ దశల (phases of matter)    (ఘన, ద్రవ, వాయు దశలు) మధ్య ఉండే సమతాస్థితులకి గిబ్స్ ఉష్ణగతి శాస్త్ర ధర్మాలని వర్తింపజేస్తూ పోయాడు. నీరు, నీటి ఆవిరి కొన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద, పీడనాల (pressures)  వద్ద కలసి ఉండగలవు. ఉష్ణోగ్రత మారితే, సమతాస్థితిని నిలుపుకునేందుకు గాను, తదనుగుణంగా పీడనంలో కూడా మార్పు రావాలి. కాని ద్రవ నీరు, నీటి ఆవిరి, మంచు గడ్డ – ఈ మూడు దశలు కలిసి ఉండడం అనేది ఒక ప్రత్యేక ఉష్ణోగ్రత, పీడనం వద్ద మాత్రమే సాధ్యం అవుతుంది.

ఈ విషయాలని గణితపరంగా వర్ణించడానికి గిబ్స్ phase rule (దశా నియమం) అని ఓ చక్కని సూత్రాన్ని ప్రతిపాదించాడు. ఈ నియమం వ్యవస్థ యొక్క ఉష్ణోగ్రత, పీడనం మాత్రమే కాక వివిధ అంతర అంశాల (components)  యొక్క గాఢతలని మార్చుతుంటే సమతాస్థితి ఎలా మారుతుందో చెప్తుంది.

ఆ విధంగా రసాయన ఉష్ణగతి శాస్త్రం ఎంత క్షుణ్ణంగా, ఎంత నిర్దుష్టంగా రూపొందించబడింది అంటే గిబ్స్ తరువాత ఈ రంగంలో ప్రవేశించిన వారికి చెయ్యడానికి ఇక పెద్దగా ఏమీ మిగలలేదు. గిబ్స్ అంత ప్రతిభావంతమైన, ప్రధానమైన కృషి చేసినా తన రచనలన్నీ అమెరికన్ పత్రికలలో మాత్రమే ప్రచురితం అయ్యాయి కనుక, యూరప్ కి చెందిన శాస్త్రవేత్తలు ఆ పరిశోధనలని పెద్దగా పట్టించుకోలేదు.

(అయితే ఇందుకు ఒక ముఖ్యమైన మినహాయింపు ఉంది. ఈ సందర్భంలో మరో అమెరికన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త గిల్బర్ట్ న్యూటన్ లువిస్ (1875-1946) కృషి గురించి కూడా చెప్పుకోవాలి. 1923  లో అతడు ఉష్ణగతి శాస్త్రం మీద రాసిన ఓ ప్రముఖ కృతిలో ‘వృత్తి’ (activity) అన్న భావనని పరిచయం చేశాడు. ఒక రసాయనం యొక్క గాఢత, దాని వృత్తి – ఈ రెండూ అభిన్నం కాదు. కాని రెండిటికీ సంబంధం వుంది. గాఢత బదులుగా ఈ వృత్తి అనే రాశిని ప్రక్షేపిస్తే రసాయన ఉష్ణగతి  శాస్త్రపు సమీకరణాలు వాస్తవానికి మరింత కచ్చితంగా సరిపోతాయి).



ఉత్‍ప్రేరణ (catalysis)

పందిమ్మిదవ శతాబ్దపు చివరి దశలో రసాయన చర్యలకి సంబంధించిన భౌతిక పరిణామాల అధ్యయనంలో జర్మనీ దేశం ప్రపంచంలో అగ్రస్థానంలో ఉండేది. భౌతిక రసాయన శాస్త్రంలో విశ్వవిఖ్యాతి పొందిన రష్యన్-జర్మన్ శాస్త్రవేత్త ఒకడు ఉన్నాడు. అతడి పేరు ఫ్రీడ్రిక్ విల్హెల్మ్ ఓస్వాల్డ్ (1853-1932). అతడి ఏకైక కృషి ఫలితంగానే భౌతిక రసాయన శాస్త్రం ఒక  ప్రముఖమైన రంగంగా పేరు తెచ్చుకుంది. 1887  లో అతడు ఆ రంగంలో మొట్టమొదటి పాఠ్య పుస్తకం రాశాడు.  ఈ రంగానికే అనితరంగా కేటాయించబడ్డ ఓ వైజ్ఞానిక పత్రికను కూడా ప్రారంభించాడు.




ఓస్వాల్డ్


గిబ్స్ యొక్క కృషిని గుర్తించి, మెచ్చుకున్న యూరొపియన్లలో మరి ఓస్వాల్డ్ మొట్టమొదటి వాడయ్యాడు. ఉష్ణగతిశాస్త్రం మీద గిబ్స్ రాసిన పరిశోధనా పత్రాలని ఓస్వాల్డ్ 1892  లో జర్మన్ భాషలోకి అనువదించాడు. ఉత్‍ప్రేరణకి సంబంధించి గిబ్స్ సిద్ధాంతాలని ఓస్వాల్డ్ ఇంచుమించు వెనువెంటనే ఆచరణలో పెట్టడం ప్రారంభించాడు.

Catalysis (ఉత్‍ప్రేరణ)   అనే పదాన్ని 1835  లో బెర్జీలియస్ సూచించాడు. ఉత్‍ప్రేరణ అంటే ఒక ప్రత్యేక కోవకి చెందిన రసాయనాలని చాలా చిన్న మోతాదుల్లో వాడి, ఒక రసాయన చర్యని మరింత వేగవంతం చేసే ఒక ప్రక్రియ. ఆ ప్రత్యేక రసాయనాలనే catalysts (ఉత్‍ప్రేరకాలు) అంటారు. అలా వేగవంతం అయిన చర్యలో ఈ ఉత్‍ప్రేరకాలు మాత్రం పాల్గొనకపోవడం విశేషం. ఉదాహరణకి ప్లాటినమ్ లోహపు పొడి ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ ల మధ్య చర్యని వేగవంతం చేస్తుంది. అలాగే వివిధ కర్బన రసాయనాలతో హైడ్రోజన్ కలయికకి కూడా ఈ లోహం ఉత్‍ప్రేరకంగా పని చేస్తుంది. ఈ నిజాన్ని 1816  లో (సోడియమ్, పొటాషియమ్ మూలకాలని శుధ్ధి చేసిన) డేవీ మొట్టమొదట కనుక్కున్నాడు. అలాగే ఎన్నో కర్బన రసాయనాలు మరింత సరళ అంశాలుగా విచ్ఛిన్నం కావడానికి ఆసిడ్లు ఉత్‍ప్రేరకాలుగా పని చేస్తాయి. 1812  లో జి. ఎస్. కిర్షాఫ్ ఈ విషయాన్ని మొట్టమొదట ప్రదర్శించాడు. అలాంటి చర్య ముగిశాక, దానికి ఉత్‍ప్రేరకంగా పని చేసిన ప్లాటినమ్ గాని, ఆసిడ్ గాని చర్య మొదట్లో ఉన్నంతే మిగులుతుంది.

1894  లో ఓస్వాల్డ్ మరెవరో రాసిన ఓ పరిశోధనా పత్రం యొక్క సంక్షిప్త రూపాన్ని తయారు చేశాడు. దాన్ని తన పత్రికలో ప్రచురించాలని అతడి ఉద్దేశం. ఆహారపదార్థాలు మండేటప్పుడు పుట్టే ఉష్ణం గురించి ఆ పత్రం ప్రస్తావిస్తుంది (అలాంటి చర్యల అధ్యయనం జీర్ణ ప్రక్రియ గురించి అవగాహన పెంచుతుంది).  ఆ పత్రాన్ని రాసిన రచయిత భావాలని పూర్తిగా వ్యతిరేకిస్తూ, ఆ సందర్భంలో ఉత్‍ప్రేరణ గురించి వ్యాఖ్యానిస్తూ తన పత్రికలో రశాడు.

(ఇంకా వుంది)

విశాల సముద్రాలు దాటి…

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, March 2, 2015 0 comments

మొదటి రెండు రోజులు ఓడ ప్రయాణం రామానుజన్ కి అంత సుఖమయంగా సాగలేదు. ఎత్తిపడేసే కెరటాల కుదుపుకి రామానుజన్ కి కడుపులో తిప్పినట్టు అయ్యేది. రెండు రోజుల ప్రయాణం తరువాత ఓడ కొలొంబో దాటింది. ఇక అక్కణ్ణుంచి విశాలమైన అరేబియన్ సముద్రాన్ని దాటాలి. ఇండియాకి యూరప్ కి మధ్య సముద్ర మార్గాలకి సుదీర్ఘమైన చరిత్ర వుంది. యూరప్ నుండి ఇండియాకి సముద్ర మార్గాన్ని కనుక్కున్న వాస్కో ద గామా ఆఫ్రికా చుట్టూ తిరిగి, కేప్ ఆఫ్ గుడ్ హోప్ మీదుగా కేరళ చేరుకున్నాడు. కాని 1869  లో సూయెజ్ కాలువ నిర్మాణం తరువాత ఇండియాకి యూరప్ కి మధ్య దూరం బాగా తరిగిపోయింది. అరేబియన్ సముద్రం దాటాక,  ఈజిప్ట్ కి సౌదీ అరేబియాకి మధ్య వున్న సూయెజ్  కాలువ దాటితే నేరుగా మధ్యధరా సముద్రంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.

 రామానుజన్ ని మోసుకుపోతున్న బ్రిటిష్ ఓడ ఎస్. ఎస్. నెవాసా ముందు ఆఫ్రికా  తూర్పు తీరం మీద యెమెన్ దేశంలో వున్న అడెన్ రేవుని చేరుకుంది. అక్కణ్ణుంచి బయల్దేరగానే ఎర్రసముద్రం మొదలవుతుంది. ఎర్ర సముద్రానికి ఉత్తర కొసలో ఉన్న సూయెజ్ కాలువని దాటగానే మధ్యధరా సముద్రం మొదలయ్యింది. మధ్యధరా సముద్ర తీరం మీద ఉన్న ప్రఖ్యాత జెనొవా రేవులో  ఏప్రిల్  7 న ఓడ లంగరు వేసింది. అక్కణ్ణుంచి బయల్దేరి జిబ్రాల్టర్ జలాసంధి దాటుకుంటూ మధ్యధరా సముద్రాన్ని వొదిలి, బిస్కే ఖాతం లోంచి ప్రయాణిస్తూ ఇంగ్లండ్ దిశగా ఓడ ముందుకి సాగిపోయింది. చివరికి ఏప్రిల్  14  న థేమ్స్ నదీ ముఖం వద్ద ఉన్న ప్లిమత్ రేవులోకి ఓడ ప్రవేశించింది.

నెవిల్, అతడి అన్నయ్య, రామానుజన్ ని కలుసుకోడానికి రేవుకి వచ్చారు. రామానుజన్ ని తీసుకుని లండన్ లో సౌత్ కెన్సింగ్టన్ ప్రాంతానికి తీసుకెళ్లారు. ఆ రోజుల్లో లండన్ ప్రపంచ నగరాలలో గొప్ప ప్రాభవం, వైభవం గల నగరాలలో ఒకటి. యాభై లక్షల జనాభా గల మహా నగరం.   పారిశ్రామిక విప్లవం యొక్క ఫలితాలని నిండుగా అనుభవించిన నగరం. ప్రపంచ వ్యాప్తంగా విస్తరించిన విశాల బ్రిటిష్ సామ్రాజ్యానికి రాజధాని. యాభై లక్షల జనాభా గల ఆ మహా నగరం జనాభా బట్టి చూస్తే మద్రాస్ కన్నా పది రెట్లు పెద్దది. పేరుకి నగరమే అయినా పల్లెటూరి వాతావరణం గల మద్రాస్ కి, ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు లక్షణాలన్నీ నిండుగా సంతరించుకున్న లండన్ కి మధ్య ఎంతో తేడా ఉంది. లండన్ వీధుల్లో కారు దూసుకుపోతుంటే, ఆ తేడాని గమనిస్తూ  మౌనంగా కూర్చుండిపోయాడు రామనుజన్.

అసలే కొత్త ఊరు, కొత్త దేశం, కొత్త సంస్కృతి. కొత్త పరిసరాలకి  రామానుజన్ సులభంగా అలవాటు పడేందుకు గాను   నెవిల్ రామానుజన్ ని నేరుగా కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకెళ్ళకుండా ముందు క్రోమ్వెల్ రోడ్డుకి తీసుకెళ్లాడు. ఆ రోడ్డు మీద కొన్ని భారతీయ కార్యాలయాలు ఉన్నయి. కనుక ఆ ప్రదేశం మరీ కొత్తగా అనిపించకపోవచ్చు. ఆ రోజుల్లోనే ఏ. ఎస్. రామలింగం అనే తమిళుడు కూడా రామానుజన్ కి పరిచయం అయ్యాడు. తమిళనాడు లోని కడలూర్ నుండి వచ్చిన ఈ వ్యక్తిని చూడగానే రామానుజన్ కి ప్రాణం లేచొచ్చినట్టయ్యింది. క్రోమ్వెల్ రోడ్డు మీద ఇంట్లో ఓ నాల్గు రోజులు ఉన్నాక నెవిల్ రామానుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ లో  తన ఇంటికి తీసుకెళ్ళాడు.

మర్నాడు నెవిల్ రామనుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకెళ్లాడు. రామానుజన్ ప్రత్యేకించి ఓ విద్యార్థిలా అక్కడ చదువుకోడానికి రాకపోయినా, గతంలో తనకి ఉన్నత విద్యా రంగంలో పెద్దగా శిక్షణ లేని లోటు తీర్చేందుకు గాను రామానుజన్ అక్కడ కొన్ని  కోర్సులు తీసుకోవాలని నిశ్చయమయ్యింది.  కొద్ది రోజుల్లోనే హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు రామానుజన్ ని చూడడానికి వచ్చారు. వీరిని చూడగానే రామానుజన్ కి చిన్ననాటి ప్రాణా స్నేహితులని చూసినంత సంతోషం కలిగింది. బాహ్యప్రపంచంలో తన స్నేహితులు, బంధుజనం అంతా మద్రాసులో ఉన్నారు. కాని గణితలోకంలో తన స్నేహితులు, సమవుజ్జీలు తక్కువ. అలాంటి వారి జాబితాలో హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు ముఖ్యులు. జూన్ లో ఓ సారి ఇంటికి ఉత్తరం రాస్తూ, “హార్డీ, నెవిల్ తదితరులు అంతా చాలా స్నేహపూర్వకంగా, నిగర్వంగా ఉన్నారు,” అని రాశాడు.


(ఇంకా వుంది)

‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, February 24, 2015 0 comments

ఈ మధ్య కాలంలో అమెరికన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త జోసయా విలార్డ్ గిబ్స్ (1839-1903)   ఉష్ణ గతి శాస్త్రపు నియమాలని క్రమబద్ధంగా రసయన చర్యలకి వర్తింపజేస్తూ వచ్చాడు. 1876 – 1878  మధ్య కాలంలో ఈ అంశం మీద ఎన్నో పత్రాలు ప్రచురించాడు.

గిబ్స్ ‘స్వేచ్ఛా శక్తి (free energy)’  అనే కొత్త భావనని రూపొందించాడు. ఉష్ణాన్ని, ఎంట్రొపీ ని తనలోనే కలుపుకున్న వినూత్న రాశి ఇది. ఒక రసాయన చర్య జరిగినప్పుడు దాని స్వేచ్ఛా శక్తి మారుతుంది. స్వేచ్ఛా శక్తి తగ్గితే, ఎంట్రొపీ పెరుగుతుంది – అలాంటి పరిస్థితుల్లో రసాయన చర్య ఎప్పుడూ ముందుకు సాగుతుంది. (స్వేచ్ఛా శక్తి ఎందుకు ప్రాముఖ్యత పొందింది అంటే ఎంట్రొపీ కన్నా దాన్ని కొలవడం సులభం.) ఒక వ్యవస్థలో ఉష్ణం ఎంత మారింది అన్నది ఆ వ్యవస్థలో స్వేచ్ఛా శక్తి ఎంత తగ్గింది, ఎంట్రొపీ ఎంత పెరిగింది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. సామాన్యంగా అప్రయత్నంగా జరిగే  చర్యలో ఉష్ణం తగ్గడం, అంటే ఆ ఉష్ణం వెలువడడం జరుగుతుంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో, అప్రయత్నంగా జరిగే చర్యలో కూడా, దాని స్వేచ్ఛా శక్తి లోను, ఎంట్రొపీ లోను వచ్చే మార్పు ఎలా వుంటుందంటే, ఆ చర్యలో వ్యవస్థ బయట నుండి ఉష్ణాన్నిలోనికి తీసుకుంటుంది.
  

ఒక వ్యవస్థలోని రసాయనాల గాఢతను బట్టి ఆ వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి ఆధారపడుతుంది అని కూడా గిబ్స్ చెప్పాడు. ఉదాహరణకి  A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి  C + D  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి మధ్య పెద్దగా తేడా లేదని అనుకుందాం. అప్పుడు గాఢతలలో కొద్దిగా మార్పు తెచ్చి తద్వార A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి  C + D యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి అన్నా కొన్ని గాఢతల దగ్గర ఎక్కువ, కొన్ని గాఢతల దగ్గర తక్కువగా ఉండేలా చెయ్యొచ్చు. అలాంటప్పుడు కొన్ని గాఢతల వద్ద చర్య అప్రయత్నంగా ఒక దిశలో పురోగమిస్తే, మరి కొన్ని గాఢతల వద్ద వ్యతిరేక దిశలోను పురోగమిస్తుంది.

ఒక వ్యవస్థలో ఒక ప్రత్యేక రసాయనం యొక్క గాఢతని బట్టి దాని స్వేచ్ఛా శక్తి ఎలా మారుతుందో తెలిపే రాశిని ‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)  అంటారు.  ఈ రసాయన శక్మమే రసాయన చర్యని ముందుకి తోసే “ప్రోద్బలం” అని గిబ్స్ నిరూపించాడు. హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి వైపుగా ఉష్ణం ప్రవహించినట్టే, హెచ్చు రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి వైపుగా రసాయన చర్య పురోగమిస్తుంది.

ఈ విధంగా గిబ్స్ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమాని’కి (law of mass action)  ఓ కొత్త అర్థాన్ని ఇచ్చాడు. సమతాస్థితి వద్ద వ్యవస్థలోని మొత్తం అన్ని రసాయనాల రసాయన శక్మాల మొత్తం కనిష్ట విలువ దగ్గర ఉంటుంది. కనుక  A + B  తో ఆరంభిస్తే, ఆ వ్యవస్థ రసాయన శక్మం అనే “కొండ వాలు” మీదుగా కిందికి దిగుతూ వస్తుంటే  C + D  ఏర్పడతాయి. అలాగే  C + D  తో ఆరంభిస్తే, అది మళ్లీ వాలు మీదుగా కిందికి దిగుతుంటే  A + B  ఏర్పడతాయి.  ఆ రెండు కొండల మధ్య ఉండే “లోయ” లో సమతాస్థితి ఉంటుంది.






(ఇంకా వుంది)

పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు రామనుజన్

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, February 19, 2015 3 comments

ఉదయం తరచు మద్రాసు లోని ప్రఖ్యాత కన్నెమరా గ్రంథాలయానికి వెళ్లి చదువుకునే వాడు. కొన్ని సార్లు కె.బి. మాథవ అనే ఓ గణాంక శాస్త్రవేత్త (statistician) నుండి గణిత పుస్తకాలు తెచ్చుకుని చదువుకునేవాడు. రాత్రిళ్ళు నారాయణ అయ్యర్ అనే స్నేహితుడితో కలిసి లెక్కలు చేసుకునేవాడు. ఈ నారాయణ అయ్యరు పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో పని చేసే రోజుల్లో రామానుజన్ కి ఉన్నతాధికారి. గణితంలో కొంత ప్రవేశం ఉన్నవాడు. ఇద్దరూ రాత్రి తెల్లవార్లూ రెండు పెద్ద పలకల మీద రామానుజన్ ఇంట్లో లెక్కలు చేసుకునేవారు. (పలకల మీద వారి బలపాలు చేసే ‘టక టక’ చప్పుళ్ళకి ఇంట్లో వాళ్లకి నిద్ర కరువయ్యేదట!) ఎన్నో సార్లు రామనుజన్ తన తల్లిని అర్థ రాత్రి లేపమనే వాడట, ఆ నిశాంత నిశా సమయంలో అయితే నిశ్శబ్దంగా, నిరంతరాయంగా లెక్కలు చేసుకోవచ్చని!  గణితంలో పడి ఎన్నో సార్లు అన్నం తినడం మర్చిపోయేవాడట. ఆలోచనా ప్రవాహానికి భంగం కలగకుండా వాళ్ల అమ్మో, అమ్మమ్మో అన్నం ముద్దలు చేసి చేతిలో పెట్టేసేవారట. రామనుజన్ కి అత్యంత ప్రీయమైన వంటకం అయిన గుత్తి వంకాయ చేతిలో పడ్డప్పుడు మాత్రం వ్రత దీక్ష కొంచెం భంగపడేదట!  ఒక పక్క నిలువుగాను, మరో పక్క అడ్డుగాను కోసి మధ్యలో ఉల్లికారం కూరిన వంకాయ, లోకంలో అణువణువునా గణిత చిహ్నాలు చూసే ఆ మేధావికి ఓ అద్భుతమైన గణిత వస్తువులా కనిపించేదేమో!

గణిత అధ్యయనాలు ఒక పక్క అలా ఉధృతంగా సాగుతుండగా, మరో పక్క హార్డికి, రామానుజన్ కి మధ్య ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు కొనసాగుతూ ఉన్నాయి. నిరూపణలు పంపమని హర్డీ ఒత్తిడి చెయ్యడం, ‘అదుగో, ఇదుగో’ అంటూ రామానుజన్ తాత్సారం చెయ్యడం – ఇలా కొంత కాలం జరిగింది.

హార్డీ తన మిత్రుడైన లిటిల్ వుడ్ కి రామానుజన్  ఉత్తరాల గురించి చెప్పాడు. ‘రామానుజన్ ఇలా ఎందుకు ప్రవర్తిస్తున్నాడో అర్థం కావడం లేదు,’ అన్నాడు.

‘నిరూపణలు తెలిస్తే బహుశ అతడి సిద్ధాంతాలని  నువ్వే చేశానంటావని అతడి భయం కాబోలు,’ అని సూచించాడు లిటిల్ వుడ్.

ఆ విషయమే హార్డీ రామానుజన్ ఓ ఉత్తరంలో రాశాడు. అది చదివిన రామానుజన్ అలాంటిదేం లేదని, బాధపడుతూ రాశాడు. ఈ ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాల వల్ల, దూరభారం వల్ల ఆ దశలో రామానుజన్, హార్డీ ల మధ్య కొంత స్పర్థ ఏర్పడిందనే చెప్పొచ్చు.

పోనీ ఇద్దరి మధ్య ఏర్పడ్డ అపార్థాన్ని తొలగించుకుని, రామానుజన్ సిద్ధాంతాలని లోకం గుర్తించేలా చేసేందుకు గాను, కొంత కాలం రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ కి వస్తే బావుంటుందని కూడా హార్డి సూచించాడు. ఆ సూచనకి కూడా రామానుజన్ మొదట సుముఖంగా స్పందించలేదు.

విదేశాలు వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా లేకపోడానికి కారణాలు ఎన్నో. ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడానికి కావలసినంత ధనం ఎక్కణ్ణుంచి సంపాదించాలి? అక్కడ మళ్లీ పరీక్షలు రాయాలా? రాసి తప్పితే తన గతేం కావాలి? ఇలా ఎన్నో ప్రశ్నలు తన మనసులో దొలిచేస్తున్నా, అతి ముఖ్యమైన కారణం మాత్రం ఒకటి వుంది.

ఆ రోజుల్లో బ్రాహ్మణులలో సముద్రాలు దాటి  విదేశాలకి ప్రయాణించకూడదు అన్న నిషేధం ఉండేది. అలా చేసిన వారిని కులం నుండి వెలివేసిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఈ ఆచారాలకి, నమ్మకాలకి ఎంతో విలువనిచ్చే రామానుజన్ కుటుంబానికే కాక, రామనుజన్ కి కూడా ఆ  ఆలోచన పెద్దగా రుచించలేదు. ముఖ్యంగా ప్రాణానికి ప్రాణంగా చూసుకునే కొడుకుని దూరం చేసుకోవడం కోమలతమ్మకి ససేమిరా ఇష్టం లేదు.

ఈ సందిగ్ధ పరిస్థితికి పరిష్కారంగా రామానుజన్ కుటుంబానికి ఒకే మార్గం కనిపించింది -  కులదేవత అయిన నమక్కళ్ దేవతని దారి చూపమని వేడుకోవడం. డిసెంబర్ 1913  లో రామానుజన్ కుటుంబం మొత్తం నమక్కళ్ వెళ్లి అక్కడ వేలుపు దర్శనం చేసుకున్నారు. రామానుజన్ తో పాటు ప్రాణమిత్రుడైన నారాయణ అయ్యర్ కూడా వచ్చాడు. ఒక విధంగా ఈ నమక్కళ్ వెళ్లే ఆలోచన నారాయణ అయ్యర్ దే.  మూడు రోజులు నమక్కళ్ లోనే బస చేశారు. మొదటి రెండు రోజులూ పెద్దగా ఏమీ జరగలేదు గాని, మూడో రాత్రి రామనుజన్ కి ఓ కల వచ్చింది. కలలో కళ్లు మిరుమిట్లు గొలిపే కాంతిలో నమక్కళ్ దేవత ప్రత్యక్షమై విదేశాలకి వెళ్లమని ఆదేశించిందట. పక్కనే పడుకున్న నారాయణ అయ్యర్ ని లేపి రామానుజన్ తన కల గురించి చెప్పాడు.

ఇలాంటి కలే ఒకటి మరో సందర్భంలో కోమలతమ్మకి కూడా వచ్చింది. ‘రామానుజన్ చుట్టూ కొందరు తెల్ల వారు కూర్చున్నట్టు, తన కొడుకు యొక్క అదృష్టానికి, కొడుక్కి మధ్య తను నించోవద్దని నమక్కళ్ దేవత ఆదేశిస్తున్నట్టు కల!
ఈ కలల మహిమ వల్ల రామానుజన్ కుటుంబం అతడి విదేశీ యానం పట్ల మనసు మార్చుకుంది. ఇప్పుడు ఇంగ్లండ్ కి వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా ఉన్నాడు.

సరిగ్గా అలాంటి తరుణం లో ఎరిక్ నెవిల్ (Eric Neville) అనే గణితవేత్త దేవుళ్లా మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఇతడు హార్డీ పంపిన మనిషి. పట్టున ఇరవై  ఐదు కూడా నిండని నెవిల్ గొప్ప సూక్ష్మ బుద్ధి గల గణిత వేత్త. దక్షిణ భారతంలో గణితం మీద ఉపన్యాసాలు ఇవ్వడానికి వచ్చాడు నెవిల్. అదేపనిగా రామానుజన్ ని కూడా కనుక్కుని విషయం తేల్చుకోమని పంపాడు హార్డీ. రామానుజన్ కి రాసిన ఉత్తరాలలో  స్పష్టం చెయ్యకపోయినా హార్డీకి రామానుజన్ ని ఎలాగైనా ఇంగ్లండ్ కి తెప్పించుకోవాలని బాగా పట్టుదలగా ఉంది. ఇంగ్లండ్ కి రావడానికి ఎలాగైనా రామానుజన్ ని ఒప్పించమని నెవిల్ పంపాడు హార్డీ.

నెవిల్ రామానుజన్ ని కలుసుకున్నాడు. రామనుజన్ తన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. చేత్తో రాసిన ఆ కాగితాలు చూసి నెవిల్ మంత్రముగ్ధుడయ్యాడు. రామానుజన్ ని ఎలాగినా ఇంగ్లండి కి రావడానికి ఒప్పించాలి. ఇతడికి నమక్కళ్  దేవత కలలో కనిపించిన భాగోతం అంతా తెలీదు. రామానుజన్ ఒప్పుకోడని సందేహిస్తూనే అడిగాడు. కాని తన ఆహ్వానానికి రామనుజన్ వెంటనే ఒప్పుకోవడం చూసి నెవిల్ ఆశ్చర్యపోయాడు.

అక్కడ ఇంగ్లండ్ లో హార్డీ, ఇక్కడ ఇండియాలో నెవిల్  ముమ్మరంగా పని చేసి రామానుజన్ యాత్రకి, ఇంగ్లండ్ లో బసకి కావలసిన నిధులు వేగంగా అతి తక్కువ కాలంలో ఏర్పాటు చేశారు.

ప్రయాణానికి సన్నాహాలు మొదలయ్యాయి. అంతకు ముందు రామానుజన్ ప్రతిభ విషయంలో ఎటూ తేల్చుకోలేని రామచంద్ర రావుగారు కల్పించుకుని ఈ సన్నాహంలో ఎన్నో విధాలుగా తోడ్పడ్డారు. రామానుజన్ మిత్రులు అతడి పాశ్చాత్య జీవన విధానం గురించి రకరకాలుగా చెప్పారు. వేష భాషల గురించి వేగంగా తర్ఫీదు ఇచ్చారు. రామచంద్ర రావు గారు అతడి పిలక తీసేయక తప్పదని నిర్బంధించారు. ఓ బ్రిటిష్ మిత్రుడు రామానుజన్ ని తన మోటార్ సైకిలు మీద ఊరంతా తిప్పి అవసరమైన బట్టలు కొనిపించాడు. సూటు బూటు వేసుకోడానికి ఎలాగో ఒప్పుకున్నా పాపం రామనుజన్ కి ‘టై’ కట్టుకోవడం మాత్రం మహా తలనొప్పిగా ఉండేది. ఇంత సందడిగా ఏర్పాట్లన్నీ జరుగుతున్నా రామానుజన్ ఈ యాత్ర పట్ల అంత సంతోషంగా లేదని అనిపించింది రామచంద్ర రావుకి. ఏదో విధి లేక ఇదంతా చేస్తున్నట్టు, “దైవ సంకల్పం కనుక చేస్తున్నట్టు” అనిపించింది ఆయనకి.

ఇంగ్లండ్ యాత్ర విషయంలో రామానుజన్ ని ఇబ్బంది పెట్టే ఓ ముఖ్యమైన విషయం ఆహారం. శుద్ధ శాకాహారం తప్ప మరొకటి తెలియని శ్రోత్రియ బ్రాహ్మణుడు. తినే భోజనమే కాక, దాన్ని వండేదెవరు, వడ్డించేదెవరు మొదలైన వాటి విషయంలో ఎన్నో నియమాలు ఉన్నావాడు. ఈ నియమాలన్నీ ఇంగ్లండ్ లో ఎలా పొసగుతాయి?   శాకాహారం విషయంలో ఏ సమస్యా ఉండదని హార్డీ హామీ ఇచ్చాక ఆ చింత కాస్త తీరింది.

మార్చ్  14  నాడు రామానుజన్ తన తల్లిని, భార్యని కుంభకోణం వెళ్లే రైలు ఎక్కించాడు. భార్య జానకమ్మ ఎలాగైనా భర్తతో పాటు ఇంగ్లండి వెళ్లాలనుకుంది. పెళ్ళయ్యాక భర్తతో ఒకే చూరు కింద జీవించిన కాలం తక్కువ. చాల కాలం తరువాత కుంభకోణం నుండి వచ్చి మద్రాసులో పని చేస్తున్న భర్త వద్దకి చేరుకుంది. ఎప్పుడూ గణితంలో మునిగితేలే భర్త తనని పెద్దగా పట్టించుకోకపోయినా, రోజూ కళ్ళెదుట భర్త కనిపిస్తూ ఉంటే ఆమెకో తృప్తి. పోనీ మద్రాసులోనే వున్నా అప్పుడప్పుడు అయినా కుంభకోణం నుండి వచ్చి చూసి పోయే అవకాశం ఉండేది. విశాల సముద్రాలు దాటి ఇప్పుడు విదేశాలకి పయనిస్తున్నాడు. మళ్లీ కొన్నేళ్ల దాక తిరిగి రాడు. మళ్లీ భర్తని ఎప్పుడు చూసుకుంటుందో తెలీదు. ఒకరోజు అత్తగారు ఇంట్లో లేని సమయంలో భర్తని తను కూడా ఇంగ్లండ్ తీసుకెళ్లమని అడిగింది. రామనుజన్ వీలుపడదని గట్టిగా చెప్పలేకపోయాడు. కాని తరువాత రామచంద్రరావు  కల్పించుకుని రామనుజన్ ఒంటరిగా వెళ్ళడమే శ్రేయస్కరమని, అక్కడ అతడు ఏకాగ్రచిత్తంతో గణిత అధ్యయనాలు కొనసాగించాలని, సపరివారంగా ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడం ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో వీలుపడదని చెప్పి ఒప్పించాడు.


మార్చ్ 17  1913  నాడు ఎస్. ఎస్. నెవాసా అన్న ఓడలో ఇంగ్లండ్ కి బయల్దేరాడు. అంతవరకు గణిత లోకంలో ఎన్నో అద్భుత తీరాలని చూసిన రామనుజన్, ఇప్పుడు తన జీవితాన్ని సమూలంగా మార్చేసే ఓ పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు.
(ఇంకా వుంది)

సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, February 13, 2015 0 comments

పైన చెప్పుకున్న చర్య విలియమ్సన్ చెప్పిన ఉత్‍క్రమణీయ చర్యల లాంటిదే. ఇలాంటి చర్యలు సమతాస్థితిని చేరుకుంటాయని, ఆ స్థితిలో  A, B, C, D  లు అన్నీ ఆ రసాయనిక వ్యవస్థలో  కలిసి వుంటాయని మనకి ఇప్పుడు తెలుసు. A, B  ల మధ్య చర్య జరిగే వేగం (రేటు 1) బట్టి C, D లు చర్య జరిపే వేగం (రేటు  2) ఎంత ఎక్కువ (లేక తక్కువ) అన్న దాని మీద సమతాస్థితి ఆధారపడుతుంది.

రేటు  1  రేటు 2  కన్నా బాగా ఎక్కువ అనుకుందాం. అప్పుడు  A, B  ల మధ్య వేగంగా చర్య సాగుతుంది. అధిక మొత్తంలో C, D  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. మరో పక్క  C, D  లు నెమ్మదిగా చర్య జరపగా తక్కువ మోతాదులో  A, B  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. అందుచేత  A, B లు  అధిక శాతం  C,D లుగా మారిపోతాయి. వ్యతిరేక దిశలో పెద్దగా మార్పు జరగలేదు. కనుక సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  C, D  లే కనిపిస్తాయి. పైన ఇవ్వబడ్డ సమీకరణాన్ని గమనిస్తే అలాంటి పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి బాగా కుడి పక్కకి జరిగింది అంటాము.
అదే విధంగా రేటు  2 రేటు 1  కన్నా బాగా ఎక్కువైనప్పుడు అందుకు విరుద్ధమైన ఫలితాలు వస్తాయి. అలాంటప్పుడు C, D  ల మధ్య వేగంగా చర్య జరిగి,  A, B  లు అధిక మొత్తంలో పుడతాయి. A, B   ల మధ్య చర్య అంత వేగంగా సాగడం లేదు కనుక అవి అలాగే ఉండిపోతాయి. ఈ పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  A, B  లే ఉంటాయి. అలాంటప్పుడు సమతాస్థితి బాగా ఎడమ పక్కకి జరిగింది అంటాము.

కాని రేటు  1 , A  యొక్క అణువు ఎంత తరచుగా B  యొక్క అణువుని ఢీకొంటుంది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. ఎందుకంటే అణువులు ఢీకొన్నప్పుడే చర్య జరుగుతుంది. పైగా ఢీ కొన్నంత మాత్రాన చర్య జరగాలని లేదు. అదే విధంగా రేటు 2,  C యొక్క అణువు  D  యొక్క అణువుతో ఎంత తరచుగా ఢీ కొంటుంది అన్నదాని మీద ఆధారపడుతుంది.

ఇప్పుడు ఆ వ్యవస్థ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని మార్చకుండా కాస్త అదనంగా  A  గాని లేక  B గాని (లేక రెండూ గాని) ఆ వ్యవస్థకి కలిపాము అనుకుందాం. A, B  ల గాఢత పెరిగింది కనుక వాటి అణువుల మధ్య అభిఘాతాలు (collisions)  మరింత తరచుగా జరుగుతాయి. (దీనికి సారూప్యాన్ని చెప్పుకోవాలంటే రోడ్డు మీద ట్రాఫిక్ ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు వాహనాలు ఒకదాన్నొకటి గుద్దుకునే ఆస్కారం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అర్థరాత్రి పూట ట్రాఫిక్ పలచగా ఉన్నప్పుడు ఆ అవకాశం తక్కువ.)

అందుచేత A యొక్క, B యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క) గాఢత పెంచినప్పుడు రేటు  1  పెరుగుతుంది. గాఢత తగ్గిస్తే రేటు కూడా తగ్గుతుంది. అలాగే C యొక్క, లేక D ల యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క)  గాఢత పెంచితే రేటు  2  పెరుగుతుంది. ఆ విధంగా రేటు  1  ని గాని, రేటు 2 ని గాని మార్చి సమతాస్థితిలో ఉండే పదార్థాల గాఢతలని నియంత్రించొచ్చు. చర్యలో పాల్గొనే పదార్థాల గాఢతలని మార్చి ఆ విధంగా సమతాస్థితిని వీలుగా మార్చుకోవచ్చు.

సమతాస్థితి వద్ద  A, B, C, D  ల గాఢతలు మారుతాయని, మార్చుకోవచ్చని తెలుసుకున్న గుల్డ్‍బర్గ్, వాగేలు మరో ముఖ్యమైన విషయం గమనించారు. A, B, C, D  లు మారుతున్నా వాటి వెనుక మారకుండా నేపథ్యంలో ఒక రాశి వుందని గుర్తించారు. ద్వంద్వ బాణాలకి ఎడమ పక్క ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి, అలాగే కుడి పక్కన ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి మధ్య నిష్పత్తి, సమతాస్థితి వద్ద మారకుండా ఉండడం గమనించారు.

ఒక ప్రత్యేక పదార్థం యొక్క గాఢతని ఆ పదార్థం యొక్క చిహ్నానికి ఇరు పక్కల బ్రకెట్లు పెట్టి సూచించొచ్చు అనుకుందాం. అప్పుడు సమతాస్థితి వద్ద ఈ కింది రాశి స్థిరాంకం అవుతుంది.


పై సమీకరణంలో K  ని సమతాస్థితి స్థిరాంకం (equilibirium constant) అంటారు. ఒక ప్రత్యేక ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యకైనా ఇలాంటి స్థిరాంకం ఒకటి ఉంటుంది.


ఆ విధంగా గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు ప్రతిపాదించిన ఈ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)’ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యలని చక్కగా వివరించగలిగింది. బెర్థొలే చేసిన తప్పుడు సూచన కన్నా ఇది ఎంతో మేలని తేలింది. అయితే దురదృష్టవశాత్తు గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు తమ కృషి గురించి నార్వేజియన్ భాషలో రాసి ప్రచురించారు. అందుచేత 1879  లో దాన్ని జర్మన్ భాషలోకి తర్జుమా చేసిన దాకా దాని గురించి ప్రపంచానికి పెద్దగా తెలియలేదు.

(ఇంకా వుంది)

హార్డీ రాసిన ప్రత్యుత్తరం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, February 4, 2015 1 comments

అలా రామనుజన్ పంపిన సిద్ధాంతాలని పరిశీలిస్తూ హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు ఎంత సేపు గడిపారో తెలీదు. మొదట్లో రామానుజన్ సృజనలో ఎంతో కొంత ప్రత్యేకత ఉందనుకున్నారు. నిజంగా గణితం తెలిసిన వాడే, మోసగాడు కాడు అనుకున్నారు. కాని ఉత్తరాన్ని, అందులోని అంశాలని కొన్ని గంటల పాటు శ్రధ్ధగా పరిశీలించిన మీదట ఆ గణిత స్నేహితులు ఇద్దరూ ఒక నిర్ణయానికి వచ్చారు – ఆ ఉత్తరాన్ని రాసిన వ్యక్తి “అత్యున్నత కోవకి చెందిన గణిత వేత్త అయ్యుండాలి.”

అంతకు ముందు రామానుజన్ ఉత్తరాలు రాసిన ఇద్దరు బ్రిటిష్ గణితవేత్తలు చేసినట్టుగా నిరాకరించి హార్డీ పొరబాటు చెయ్యలేదు.

రామానుజన్ ఉత్తరానికి ప్రతులని కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఎందరో ప్రముఖులకి పంపాడు హార్డీ. రామనుజన్ సిద్ధాంతాలు కేంబ్రిడ్జ్ లో గొప్ప సంచలనాన్ని సృష్టించాయి. ఇంతలో హార్డీ లండన్ లోని ఇండియా కార్యాలయాన్ని సంపర్కించి రామనుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకు వచ్చే ప్రయత్నాలు మొదలెట్టాడు.
ఇక ఆలస్యం చెయ్యకుండా రామనుజన్ కి ఉత్తరం రాశాడు.
  
Dear Sir, I was exceedingly interested by your letter and by the theorems…”
“అయ్యా, మీ ఉత్తరం, అందులో వివరింపబడ్డ సిద్ధాంతాలు నాకు ఎంతో ఆసక్తికరంగా తోచాయి..”
 అంటూ ప్రశంసాపూర్వకంగా మొదలుపెట్టినా ఆ సిద్ధాంతాలకి నిరూపణలు కూడా జత  చేసి వుంటే బావుండేదని, నిరూపణలు లేకుండా ఆ సిద్ధాంతాల విలువ తేల్చుకోవడానికి సాధ్యం కాదని రాశాడు. ఆ నిరూపణలు కూడా ఆషామాషీ నిరూపణలు కాదు. “నిస్సందేహమైన నిర్దుష్టత” (absolute rigor) గల నిరూపణలు కావాలని కోరాడు.
ఆ నిరూపణలు వీలైనంత తొందరగా పంపమని, సకాలంలో పంపగలిగితే వాటిని అత్యున్నత గణిత పత్రికలలో ప్రచురించడానికి వీలవుతుందని రాశాడు.

ఒక పక్క రామనుజన్ ప్రతిభకి ఇంగ్లండ్ నుండి స్పందన ఇల ఉండగా, మద్రాసులో కూడా పరిస్థితి నెమ్మదిగా మెరుగుపడసాగింది. మద్రాస్ లో రామానుజన్ కి సర్ ఫ్రాన్సిస్ అనే  అభిమాని, శ్రేయోభిలాషి ఉండేవాడు. ఇతడు గణితంలో ప్రముఖులు ఎవరికైనా రామనుజన్ చేసిన గణిత సృజనని చూపించి రామనుజన్ పట్ల సదభిప్రాయం కలిగే చెయ్యాలని అనుకునేవాడు. ఓ సారి గిల్బర్ట్ వాకర్ అనే గణిత వేత్త మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఈ వ్యక్తి సిమ్లా లో ‘భారతీయ వాతావరణ విభాగం’లో పని చేసేవాడు. సర్ ఫ్రాన్సిస్ ఈ వాకర్ కి రామనుజన్ రాసిన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. ఆ గణితం చూసి వాకర్ మురిసిపోయాడు.

కేంబ్రిడ్జ్ స్థాయి గణిత వేత్తలతో పోల్చదగ్గ వాడు  రామనుజన్ అన్నాడు. రామానుజన్ పరిశోధించే గణితం ‘శుద్ధ గణితం’ (pure mathematics). కాని వాతావరణ పరిశోధనలలో గణితాన్ని ఉపయోగించే వాకర్ కి తెలిసిన గణితం ‘అనువర్తిత గణితం’ (applied mathematics). కనుక ఒక పక్క తనకి రామానుజన్ చేస్తున్న గణితంలో పెద్దగా ప్రవేశం లేదని ఒప్పుకుంటూనే, రామానుజన్ ని కొంత కాలం ఇంగ్లండ్ లో ఓ పెద్ద విశ్వవిద్యాలయంలో పని చేసేలా సదుపాయం కల్పిస్తే ఆయన  ప్రతిభ లోకానికి తెలుస్తుందని సూచించాడు.

ఇది విన్న రామానుజన్ కి తన మీద తనకి నమ్మకం బలపడింది. త్వరలోనే హార్డీకి జవాబు రాశాడు. మొదటి ఉత్తరంలో ప్రాథేయపడుతున్నట్టుగా ఉన్న ధోరణి ఈ సారి కొంచెం మారింది. తన మొదటి ఉత్తరానికి సుముఖంగా స్పందించినందుకు హర్డీకి కృతజ్ఞతలు చెప్తూనే ఉత్తరాన్ని ఆరంభిస్తాడు. కాని నిరూపణలు ఇవ్వకపోవడానికి కారణం ఉత్తరంలో ఖాళీ లేకపోవడమే నని, అంటునే హార్డీకి ఇలా సవాలు విసుర్తాడు – “నేను పంపిన ఫలితాలని కావాలంటే సమకాలీన గణితవేత్తలు నడిచే గాడిలోనే నడిచి మీకు మీరే సరిచూసుకోండి.  అప్పుడు నా గణిత ఫలితాలలో ఏదో లోతైన సత్యం ఉందని మీకే తెలుస్తుంది.”

వాకర్ ఉత్తరంతో ఉత్సాహం వచ్చిన బి. హనుమంత రావు అనే లెక్కల ప్రొఫెసరు రామానుజన్ కి సహాయపడుతూ ఏదైనా చెయ్యాలనే ఉద్దేశంతో  మద్రాసులో కొందరు ప్రముఖులని సమావేశ పరిచి రామనుజన్ కి ఓ స్కాలర్షిప్ అందేలా ఏర్పాటు చేశాడు. నెలకి డెబ్బై ఐదు రూపాయలు ఇచ్చే ఆ స్కాలర్షిప్ తో మద్రాస్ లో రామానుజన్ పరిస్థితి గణనీయంగా మారింది. పొట్టకూటి కోసం ఇష్టం లేని ఉద్యోగాలు చెయ్యనక్కర్లేదు. రాత్రనక, పగలనక తనకి ప్రియాతిప్రియమైన గణితంలో మునిగితేలొచ్చు.
(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

Silence...Please!!!

ఆఁ...అది...ఇప్పుడు మిమ్మల్ని గ్రంథాలయంలోకి అడుగుపెట్టటానికి అనుమతినిస్తున్నా. ఇక్కడ నొక్కి లోనికి వెళ్ళండి.

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

Sign In

Share It

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email