శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

రామానుజన్ కి గడ్డు రోజులు మొదలయ్యాయి

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, May 22, 2015 0 comments




ఆ విధంగా హార్డీ ప్రోత్సాహంతో, కేంబ్రిడ్జ్ ఇచ్చిన గుర్తింపుతో రామానుజన్ క్రమంగా గణితలోకపు శిఖరాలని ఎగబ్రాకాడు. ఆధునిక భారతానికి చెందిన అత్యుత్తమ గణితవేత్తగా మన్ననలు అందుకున్నాడు. ఆయిలర్, జెకోబీ లాంటి గణిత ప్రపంచపు మహానుభావులతో పోల్చబడ్డాడు. ఈ విధంగా రామనుజన్ కీర్తి దిశ దిశలా వ్యాపిస్తుంటే పైపైన చూసే వారికి అంతకన్నా అదృష్టవంతుడు లేడని అనిపిస్తుంది. ఏ మనిషైనా ఇంత కన్నా కోరుకునేది ఏముంది? కుంభకోణంలో గడిపిన రోజులలా కాక ఇప్పుడు నిత్యావసరాల కోసం చూసుకోవలసిన పని లేదు. వంశానికి, ప్రాంతానికి మాత్రమే కాక మొత్తం దేశానికే గణితంలో తరగని కీర్తి గణించాడు. కాని ఒక పక్క ఇన్ని సత్ఫలితాలు సాధిస్తున్నా రామానుజన్ లో మరో పక్క ఆంతరికంగా ఓ కనిపించని దుష్పరిమాణం చోటుచేసుకుంటోంది. ఒక పక్క లోకం అంతా గౌరవించే గణితవేత్త, ఆంతరికంగా తనకంటూ పెద్దగా ఎవరూ లేని ఒంటరివాడు అయిపోయాడు. ఒక పక్క ఇంగ్లండ్ దేశం తనకి ఆకాశానికెత్తి ఓ గొప్ప గణితవేత్తగా తనని గుర్తించినా, ఆ దేశంలో పరాయివాడిగా, విదేశీయుడిగా, ఓ బానిస దేశం నుండి వచ్చిన ఓ కందిశీకుడిగా, తన వారికి తన దేశానికి దూరంగా గడిపిన రోజులు తనని కృంగదీశాయి.  తగినంత సంపద ఉన్నా తనకి అనువైన ఆహారానికి నోచుకోలేక ఆరోగ్యాన్ని క్రమంగా పాడుచేసుకున్నాడు. ఈ విపరీత పరిస్థితులకి ఆధారమైన  కారణాలు ఎలా పరిణమించాయో గమనిద్దాం.

ఇంగ్లండ్ కి రమ్మని హార్డీ రామానుజన్ ని ఆహ్వానించినప్పుడు రామానుజన్ పెట్టిన షరతులలో ఒకటి – తనకి శాకాహార సదుపాయం ఏర్పాటు చెయ్యాలి. అలాగేనని ఒప్పించి రప్పించాడు హార్డీ. శ్రోత్రియ బ్రాహ్మణ వంశం నుండి వచ్చిన వాడు కనుక ఆహర వ్యవహారాలలో చాలా నిష్టగా ఉండేవాడు రామానుజన్. ఆహారవ్యవహారాలలో కొన్ని వర్గాల వారు ఇంత నిష్టగా ఉండడానికి కారణం వుంది. మనం తినే ఆహారం మన ఆలోచనలని, స్వభావాన్ని మలచుతుంది అన్న భావనే అందుకు కారణం. ఈ భావనకి నిదర్శనంగా ఓ కథ చెప్తారు.
ఒక నిరుపేద బ్రాహ్మణుడు విపరీతమైన ఆకలితో ఇంటింటికీ యాచిస్తూ పోయాడట. ఒక గడప వద్ద ఓ వ్యక్తి పిలిచి భోజనం పెట్టాడట. బాగా ఆకలి మీద ఉండటంతో ఆ ఇచ్చింది ఎవరో ఏమిటో కూడా చూడకుండా తినేశాడట ఆ బ్రాహ్మణుడు. ఆకలి తీరాక కొంత దూరం పోయాక చీకటి పడింది. తలదాచుకోడానికి ఓ ఇంటి తలుపు తట్టాడు. ఆ ఇంటాయన లోపలికి పిలిచి ఆతిథ్యమిచ్చాడట. ఆ రాత్రి తనకి ఆతిథ్యం ఇచ్చిన ఇంట్లో ఓ బంగారు విగ్రహాన్ని చూశాడట. ఇంటాయన చేసిన మేలు మరచి ఆ విగ్రహంతో పరారయ్యాడట ఆ బ్రాహ్మణుడు. కొంత దూరం పోయాక పశ్చాత్తాపం కలిగి విగ్రహాన్ని తిరిగి తెచ్చి తనకి ఆతిథ్యం ఇచ్చిన ఇంటాయన్ని క్షమించమని అడిగాడట. “ఫరవాలేదులే, బాధపడకు,” అన్నాడట ఆ ఇంటాయన. “నిన్ను నీకు అన్నం పెట్టింది ఓ దొంగ. నువ్వు అతడు పెట్టిన అన్నం తింటున్నప్పుడే చూసి అనుకున్నాను, ఇలాంటిదేదో జరుగుతుందని.”

ఆహార వ్యవహారాలలో  రామనుజన్ పాటించిన నియమాల గురించి వివరాలు పెద్దగా లేవు. అయితే పరమ నిష్టగా ఉండేవాడని మాత్రం మిత్రులు చెప్తారు. ఉల్లి తినేవాడు కాడంటారు. అసలు టొమాటోలు కూడా తాకేవాడని మరి కొందరు. ఇంగ్లండ్ కి వెళ్లిన కొత్తల్లో ఒకటి రెండు సార్లు బంగాళ్ల దుంపల వేపుడు కావాలని అడిగితే కాలేజి మెస్ లో అలాగే చేసి ఇచ్చారు. అయితే ఆ వేపినది పంది కొవ్వులో! అది తెలిసిన రామానుజన్ కాలేజి మెస్ లో తినడం మానేశాడు. తనే సొంతంగా పప్పుదినుసులు తెప్పించుకుని తనకి అలవాటైన సాంబారు, పెరుగు, తనకి అత్యంత ప్రియమైన ‘రసం’ (చారు), ఘాటైన వేపుళ్ళు, మొదలైనవి చేసుకుని తినేవాడట. ఈ ఏర్పాటు వల్ల భోజనాల దగ్గర అందరితో కలిసి సరదాగా తినే అవకాశాన్ని కోల్పోయాడు. తక్కిన సమయాలలో శాస్త్ర విషయాలలో లోతైన చర్చలో పడిపోయినా, భోజనాల వద్ద మాత్రం కాలేజి ప్రొఫెసర్లంతా సరదాగా కాలేక్షేపం చేసేవారు. వేరేగా తినడం వల్ల తన సహోద్యోగులతో సరదాగా గడిపే అవకాశం పోగొట్టుకున్నాడు. ఒంటరితనాన్ని కొని తెచ్చుకున్నాడు రామనుజన్.

ఆహారవ్యవహారాల వల్ల వచ్చిన ఇబ్బందులు ఇలా ఉండగా అసలు  ఓ విదేశీయుడిగా ఇంగ్లండ్లో ఉండడం వల్ల ఇతర ఇబ్బందులు తలెత్తాయి. ఓ గణిత వేత్తగా కేంబ్రిడ్జ్ లోని గణిత సమాజం తనని గౌరవించినా, విశ్వవిద్యాలయపు గోడలు దాటి బయటి ప్రపంచంలోకి అడుగుపెడితే తను కేవలం ఓ విదేశీయుడు మాత్రమే. అదీ గాక రవి అస్తమించని బ్రిటిష్ సామ్రాజ్యంలో భాగమైన ఓ బానిస దేశానికి చెందిన సామాన్యుడు. పైగా రూపురేఖలలో తెల్ల వారి గుంపులో ప్రత్యేకంగా, ప్రస్ఫుటంగా కనిపించే నల్లని ఛాయ వాడు.   నల్లని ఛాయగల వారి పట్ల తెల్లవారు సహజంగా కనబరిచే జాత్యహంకారాన్ని ఆ రోజుల్లో బ్రిటన్ లో భారతీయులు ఎన్నో సందర్భాలలో ఎదుర్కుంటూ ఉండేవారు.

దీనికి తోడు బ్రిటిష్ వారికి భారతీయులకి మధ్య స్వభావంలో కొన్ని ముఖ్యమైన తేడాలు ఉన్నాయి.
మనం ఒకరి ఇంటికి అతిథిగా వెళ్లినప్పుడు, ఆ ఇంటివాళ్లు కలుపుగోరుగా ఉంటూ, గలగలా మాట్లాడే స్వభావం గలవారైతే అతిథికి సంతోషంగా ఉంటుంది. ఆ ఇంటికి, ఇంటి వాతావరణానికి సులభంగా అలవాటు పడగలుగుతాడు. అట్లా కాకుండా ఇంట్లో వారు ముభావంగా, మౌనంగా ఉంటూ, ‘నన్ను తాకబోకు నా మాల కాకి’ అనే ధోరణిలో ఉంటే ఇంటికి వచ్చిన అతిథికి నరకం అయిపోతుంది.

బ్రిటిష్ వారు స్వాభావికంగా కొత్తవారితో సులభంగా మాట్లాడరు. పూనుకుని మాటకలపడానికి ప్రయత్నించినా త్వరగా స్పందించరు. కొత్తవారి పట్ల వారు ప్రదర్శించే నిర్లక్ష్య వైఖరి తెలీని వారికి పొగరుపోతుతనంలా కనిపిస్తుంది. బ్రిటన్లో జీవించిన ఎందరో భారతీయులు బ్రిటిష్ వారి యొక్క ఈ లక్షణం వల్ల తాము ఎలా ఇబ్బంది పడిందీ, పరాయి దేశంలో ఎలా ఒంటరితనాన్ని అనుభవించినదీ చెప్పుకుంటారు. పోనీ నోరు మెదపి మాట్లాడినా పైపై విషయాల గురించి, బాహ్య విషయాల గురించి మాట్లాడాలి. వ్యక్తిగత విషయాల గురించి మనసు విప్పి బాహాటంగా మాట్లాడడం వారి సంస్కృతికి విరుద్ధం. కాని అలాంటి పద్ధతి మన సంస్కృతికి విరుద్ధం! ఇద్దరు భారతీయులు కలిస్తే ఐదు నిముషాలలో ఒకరి వ్యక్తిగత విషయాలు ఒకరికి, అడగకుండానే, క్షుణ్ణంగా తెలిసిపోతాయి! ఇలాంటి సంస్కృతిలో మనసులో ఏదైనా బాధ ఉన్నప్పుడు, సులభంగా పొరుగువాడితో చెప్పుకుని స్వాంతన పొందే అవకాశం ఉంటుంది. ఆ అవకాశం లేని బ్రిటన్ లో విదేశీయులకి, ముఖ్యంగా ఆనాటి భారతీయులకి, ఒంటరితనం పెరగడంలో ఆశ్చర్యం లేదు.

రామానుజన్ ఒంటరితనాన్ని పెంచడానికి కొంతవరకు కుంభకోణంలో తన కుటుంబంలో వచ్చిన పరిణామాలు కూడా కారణం కావచ్చు. రామనుజన్ తరచు తన ఇంటికి ఉత్తరాలు రాస్తుండేవాడు. తరచు తన ఇంటి నుండి కూడా ఉత్తరాలు వస్తుండేవి. ఎక్కువగా తల్లి రాస్తుండేది, అప్పుడప్పుడు జానకి కూడా రాస్తుండేది. కాని క్రమంగా జానకి నుండి ఉత్తరాలు తగ్గిపోయి ఒక దశలో పూర్తిగా ఆగిపోయాయి. ఇంట్లో ఏం జరిగిందో తనకి అర్థం కాలేదు. ఎంతో మంది అత్తగార్లలాగానే కోమలతమ్మ జానకిని తన గుప్పెట్లో ఉంచుకోడానికి చూసేది. జానకిని సూటిగా భర్తకి ఉత్తరాలు రాయనిచ్చేది కాదు. జానకి మీద కొడుక్కి చాడీలు చెప్పేది. జానకికి తన గోడు చెప్పుకునే అవకాశం ఇచ్చేది కాదు.  ఒక సారి రామానుజన్ కి ఓ పార్సెలు పంపాల్సి వుంది. ఇంటి నుండి నానా రకాల భోజనపదార్థాలు, పప్పు దినుసులు రామానుజన్ కి రవాణా అవుతుండేవి. ఒక సారి అలాంటి పార్సెల్ లో అత్తగారు ఇంట్లో లేని సమయం చూసి జానకి ఓ చిన్న చీటీ రాసి పెట్టింది. ఇంటికి తిరిగొచ్చిన అత్తగారు అది చూసి చీటీ పెట్టినందుకు తిట్టి పోసింది. భర్త లేని ఆ ఇంట్లో జానకి బతుకు దుర్భరం అయిపోయింది. అత్తగారు తనకి కట్టుకోడానికి ఎప్పుడూ నాసిరకం చీరలే ఇచ్చేది. తన కంటూ చిల్లి గవ్వ కూడా ఉండనిచ్చేది కాదు. కావేరికి వెళ్ళి నీళ్లు తేవడం దగ్గర్నుంచి, ఇంటిల్లి చాకిరీ తన నెత్తిన పడేది. మద్రాస్ లో ఉండే రోజుల్లో భర్తతో పాటు ఒకే చూరు కింద జీవించే రోజుల్లో కూడా భర్తతో పెద్దగా మాట్లాడనిచ్చేది కాదు. పెళ్లయింది అన్నమాటే గాని భర్తతో కాపురం చేసింది లేదు. ఒక దశలో రామానుజన్ అనారోగ్యం సంగతి ఇంట్లో తెలిసింది. దురదృష్ట జాతకురాలైన జానకిని పెళ్ళి చేసుకోవడం వల్లనే తన కొడుక్కి ఇలాంటి దుస్థితి పట్టిందని కోమలతమ్మ కోడలిని ఆడిపోసుకునేది. ఎప్పుడూ నోరు విప్పని రామానుజన్ తండ్రి శ్రీనివాస అయ్యంగారు కూడా ఒక దశలో  భర్య చేస్తున్న అన్యాయాన్ని బలంగా ఖండిస్తూ, కోడలిని సమర్ధించాడు. భర్త అభిప్రాయానికి ఎప్పుడూ విలువ ఇవ్వని భార్య ఈ సందర్భంలో కూడా భర్తని పట్టించుకోలేదు. ఇల్లు విడిచి పారిపోవడం తప్ప జానకికి వేరే గత్యంతరం కనిపించలేదు.

ఒక సారి జానకమ్మ తమ్ముడి పెళ్ళి నిశ్చయమయ్యింది. పెళ్ళి తమ సొంతూరు అయిన రాజేంద్రం లో జరగనుంది. పెళ్ళికని వెళ్ళిన జానకమ్మ మళ్ళీ కుంభకోణానికి తిరిగి రాలేదు. ఆ రోజుల్లో జానకి తమ్ముడు పాకిస్తాన్ లోని కరాచిలో పని చేసేవాడు. తమ్ముడి తో పాటు కరాచికి వెళ్లిపోయింది. మళ్ళీ రామానుజన్ ఇండియాకి తిరిగి వచ్చినంత వరకు తన మెట్టింటి వారి ముఖం చూడలేదు.

ఇంటి నుండి వెళ్ళిపోయిన భార్య నుండి ఉత్తరాలు రావడం ఆగిపోయాయి. ఇంట్లో ఏం జరిగిందో రామానుజన్ కి తెలీదు. కొంత కాలం వరకు బాధని మనసులోనే దాచుకున్నాడు. ఒక దశలో ఇక ఉండబట్టలేక హార్డీ తదితరులతో తన కష్టాన్ని పంచుకున్నాడు.
(ఇంకా వుంది)

సంయోజక కర్బన రసాయన శాస్త్రం (Synthetic Organic Chemistry)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, May 13, 2015 0 comments

ఆధ్యాయం 10
సంయోజక కర్బన రసాయన శాస్త్రం (Synthetic Organic Chemistry)

అద్దకాలు

పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మొదటి భాగంలో బెర్థెలొ మొదలగు వాళ్లు రసాయన సమ్మేళనాలని సంయోజించే తొలి ప్రయత్నాలు చేస్తున్న దశలో, తమకి తెలిసిన సైన్స్ పరిధిని గణనీయంగా విస్తరింపజేస్తున్నారు. వారి పరిశోధనలని వాస్తవ భౌతిక ప్రపంచానికే పరిమితం చెయ్యకుండా, ప్రకృతి చేసే సృజనకి ప్రతి సృజన చేసే ప్రయత్నం చేస్తున్నారు. ఏదో ఒకనాడు ఆ సృజనలో ప్రకృతినే మించి పోవాలని చూస్తున్నారు. సంయోజక కొవ్వు పదార్థాల విషయంలో బెర్థెలొ చేసిన కృషి ఆ దిశలో ఓ చిన్న మొదటిమెట్టు. అయితే ఆ దిశలోఇంకా ఎంతో దూరం వెళ్లాల్సివుంది.

అణువుల గురించి అసంపూర్ణమైన జ్ఞానం ఉండడం వల్ల పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మధ్య దశలో కర్బన రసాయన శాస్త్రవేత్తల పురోగతి కుంటువడింది. కాని ఈ అసంపూర్ణతే ఒక సన్నివేశంలో ఈ రంగంలో ప్రగతికి ఎంతో దొహదం చేసింది.

1840  దరిదాపుల్లో ఇంగ్లండ్లో పెద్దగా చెప్పుకోదగ్గ కర్బన రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఎవరూ లేరు. లీబిగ్ తో పాటు పనిచేసిన ఆగస్ట్ విల్హెల్మ్ ఫాన్ హోఫ్మన్  (1818-1892) ని జర్మనీ నుండి లండన్ కి  పిలిపించుకున్నారు. కొన్నేళ్ళ తరువాత విలియమ్ హెన్రీ పెర్కిన్ (1838-1907) అనే చిన్న కుర్రాణ్ణి అనుచరుడిగా పెట్టుకున్నాడు హోఫ్మన్. ఒకసారి పెర్కిన్ సమక్షంలో హోఫ్మన్ ఏవో శాస్త్రవిషయాలు చర్చిస్తూ క్వైనైన్ (quinine)ని సంయోజించే విషయంలో తన ఊహల గురించి వివరించాడు. క్వైనైన్ మలేరియా వ్యాధికి మందు. తారు నుండి వెలికి తీయగల రసాయనాల గురించి అప్పటికే హోఫ్మన్ ఎన్నో పరిశోధనలు చేశాడు. తారు నుండి వెలికి తీయగల అనిలిన్ (aniline)  నుండి క్వైనైన్ ని సంయోజించడం సాధ్యమవుతుందా అని ఆలోచించాడు. క్వైనైన్ని ఆ విధంగా కృత్రిమంగా సంయోజించ గలిగితే అది చాలా గొప్ప పరిణామం అవుతుందని గుర్తించాడు. అంతవరకు యూరొప్ కి  క్వైనైన్ ఉష్ణమండల ప్రాంతాల (tropics) నుండి సరఫరా అయ్యేది. ఈ రసాయనాన్ని కృత్రిమంగా తయారు చెయ్యగలిగితే ఆ పరాధీనత అంతమవుతుంది.

అది విన్న పెర్కిన్ ఉత్సాహంగా తన సొంతూరికి తిరిగి వెళ్లాడు. అక్కడ తన సొంత ప్రయోగశాలలో క్వైనైన్ ని సంయోజించే ప్రయత్నం మొదలెడదామని బయల్దేరాడు. పెర్కిన్కి గాని, హాఫ్మన్కి గాని క్వైనైన్ అణువిన్యాసం గురించి తెలిసి వుంటే పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మధ్యదశలో లభ్యమై వున్న రసాయనిక విధానాలతో ఆ సంయోజనని సాధించడం అసంభవం అని తెలిసివుండేది. కాని అవేవీ తెలియని పెర్కిన్ ఉత్సాహంగా రంగంలోకి దిగిపోయాడు. అనుకున్నది సాధించ లేకపోయినా అంతకన్నా విలువైన ఓ విషయాన్నికనుక్కున్నాడు.

1856 లోఈస్టర్ సెలవల్లో అతడు అనిలిన్ ని, పొటాషియమ్ డై క్రోమేట్ తో కలిపి చూశాడు. ఆ కలయిక వల్ల ఏర్పడ్డ ఓ అవిశేష మిశ్రమాన్ని చూసి మళ్లీ ప్రయత్నం విఫలమయ్యిందని అనుకుని ఆ మిశ్రమాన్ని పారేయ బోతుంటే అందులో ఒక చోట ఓ చక్కని నేరేడుపండు రంగు (purple) మెరుపు తన కళ్లని ఆకట్టుకుంది. అప్పుడా మిశ్రమానికి ఆల్కహాలు కలిపి చూశాడు. అప్పుడా మిశ్రమం పూర్తిగా నేరేడు రంగుకి మారిపోయింది.

పెర్కిన్కి అదేదో అద్దకంలాగా వుందని అనిపించింది. అక్కడితో చదువు నిలిపేసి ఉన్న ఆస్తి మొత్తం వెచ్చించి ఓ పరిశ్రమ ప్రారంభించాడు. ఆరు నెలలు తిరిగే లోపు ‘అనిలిన్ పర్పుల్’ (aniline purple) అనే ఓ అద్దకాన్ని తయారు చెయ్యడం ప్రారంభించాడు. ఫ్రాన్స్ కి చెందిన అద్దకపు ఉత్పత్తిదారులని ఈ కొత్త అద్దకం ఆకర్షించింది. ఆ కొత్త రంగుకి వాళ్లు ‘మావ్’ (mauve)  అని పేరు పెట్టారు. ఆ కాలంలో ఆ రంగు ఎంత ప్రసిద్ధి పొందింది అంటే ఆ దశాబ్దాన్ని ‘మావ్ దశాబ్దం’ అని పిలవ సాగారు. ఆ విధంగా సుసంపన్నమైన కృత్రిమ అద్దకాల పరిశ్రమని సంస్థాపించిన పెర్కిన్ ముప్పై ఐదేళ్లకే గొప్ప ఆస్తిపరుడిగా ఉద్యోగ విరమణ చేశాడు.
(ఇంకా వుంది)


రామానుజన్ హార్డీల సహాధ్యాయం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, May 5, 2015 0 comments




రామానుజన్ హార్డీల సహాధ్యాయం
గణిత విషయాలలో రామానుజన్ హార్డీల స్వభావాలు పూర్తిగా భిన్న ధృవాలు అని అంతకు ముందు చెప్పుకున్నాం. రామనుజన్ ప్రత్యేకత అద్భుతమైన లోజ్ఞానం అయితే, హార్డీ ప్రత్యేకత లొసుగు లేని నిరూపణా పద్ధతి. అందుకే వీరివురి శక్తులు పరస్పర పరిపూరకాలై ఎన్నో గొప్ప గణిత ఫలితాలకి ప్రాణం పోశాయి. రామనుజన్, హర్డీ లు వ్యక్తిగతంగా ఎన్నో విశేషమైన గణిత విజయాలని సాధించినా ఇద్దరి సహకారం వల్ల కొన్ని విలక్షణమైన గణిత ఫలితాలు గణిత ప్రపంచానికి దక్కాయి. అలాంటి వాటిలో ‘విభాగాలు’ (partitions)  మీద చేసిన పరిశోధన చెప్పుకోదగ్గది.

ఒక సంఖ్యని పలు సంఖ్యల కూడికగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి  5 = 2 + 3. అయితే ఒకే సంఖ్యని అలా పలు రకాల కూడికలుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి  5 = 2 + 3 = 1+ 4. ఒక సంఖ్యని రెండు సంఖ్యల కూడికగా మాత్రమే కాక, పలు సంఖ్యల కూడికగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి,  5 = 1 + 1 + 3 = 1+ 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2=… ఇలా ఒక సంఖ్యని పలు సంఖ్యలుగా వేరు చేసినప్పుడు ఏర్పడ్డ కూటములనే ‘విభాగాలు’ అంటారు.

ఇప్పుడు ఈ విభాగాల గురించి ఓ ముఖ్యమైన ప్రశ్న వెయ్యొచ్చు. ఒక సంఖ్యకి మొత్తం ఎన్ని విభాగాలు ఉంటాయి? ‘n’ అనే ఓ పూర్ణ సంఖ్యని తీసుకుంటే, దాని యొక్క మొత్తం విభాగాల సంఖ్యని ఓ ప్రమేయంగా, p(n),  అని వ్యక్తం చేస్తారు.  చిన్న సంఖ్యల విషయంలో  ఈ p(n) ని చాలా సులభంగా లెక్కించొచ్చు.


1  ని ప్రత్యేకించి విభాగాలుగా చెయ్యడానికి వీల్లేదు. 1=1. అంతే కనుక p(1) = 1
2 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.  2 = 1 + 1 = 2. అంటే రెండు విభాగాలు. కనుక p(2) = 2.
3  ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. 3 = 3= 2+1 = 1+1+1. కనుక p(3) = 3.
4  ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.  4 = 4 = 3+1=2+2 = 1+1+2 = 1+1+1+1.  కనుక, p(4) = 5.
5 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. 5 = 5 = 4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 = 1+1+1+1+1. కనుక, p(5)=7.
చిన్న సంఖ్యల విషయంలో ఇలా p(n)  విలువని సులభంగా లెక్కించొచ్చు గాని,  n  పెరుగుతుంటే p(n) వేగంగా పెరిగిపోతుంది. ఉదాహరణకి p(10) = 42, p(50) = 2,04,226.
అన్ని విభాగాలు ఉన్నప్పుడు పైన చేసినట్టు ఒక్కొక్క విభాగాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడం కష్టం కావచ్చు. n=50  అయితేనే రెండు లక్షల పైగా విభాగాలు ఉన్నాయి.  మరి అంత వేగంగా పెరిగే ప్రమేయాన్ని లెక్కించడానికి పొందిగ్గా ఏదైనా సూత్రం వుందా?
రామనుజన్ కాలంలో p(n)  యొక్క లక్షణాల గురించి పెద్దగా ఎవరికీ తెలీదు. అయితే ఈ రంగంలో కూడా జర్మన్ గణితవేత్త ఆయిలర్ ఓ చిత్రమైన సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించాడు. p(n)  ని లెక్కించడానికి ఓ పొందికైన సూత్రాన్ని ఇవ్వలేకపోయినా, p(n)  ని ఓ అనంత శ్రేణిలో చొప్పించి ఈ ఆశ్చర్యకరమైన ఫలితాన్ని ఇచ్చాడు.



రామానుజన్ పై సూత్రాన్ని తీసుకుని, దాన్ని రకరకాలుగా మార్చి p(n) యొక్క లక్షణాల గురించి కొన్ని ఫలితాలు కనుక్కున్నాడు.
ఉదాహరణకి,  m అనేది ఓ పూర్ణ సంఖ్య అయితే,
p(5m + 4) అనే రాశి  5 చేత భాగింపబడుతుంది.

p(7m + 5) అనే రాశి  7 చేత భాగింపబడుతుంది.
p(11m + 6) అనే రాశి  11 చేత భాగింపబడుతుంది.
ఈ రకంగా ఎన్నో ఫలితాలు కనుక్కున్నాడు.

అయితే  p(n) యొక్క లక్షణాలని పరిశీలించడమే కాకుండా ఏకంగా p(n)  ని అంచనా వెయ్యగలమా?
ఈ ప్రశ్నకి సమాధానం వెతకడానికి రామానుజన్- హార్డీలు చేతులు కలిపారు. థీటా శ్రేణి (theta series)  అనే ఒకరమైన అనంత శ్రేణిని తీసుకున్నారు.  ఈ థీటా శ్రేణిని ఉపయోగించి p(n)  ని సులభంగా లెక్కించొచ్చు నని రామానుజన్ లోగడ హార్డీకి రాసిన తన మొదటి  ఉత్తరంలో పేర్కొన్నాడు. అయితే తరువాత తేలింది ఏంటంటే రామానుజన్ సూచించిన పద్ధతిలో అంత కచ్చితమైన అంచనాలు రావు. కాని రామానుజన్ సూచించిన పద్ధతిలో ఇంకా ముందుకు సాగి హార్డీ, రామానుజన్ లు ‘వృత్త పద్ధతి’ (circle method)  అనే ఓ వినూత్నమైన పద్ధతి కనిపెట్టారు. దాని సహాయంతో p(n)  ని చాలా కచ్చితంగా లెక్కించడానికి వీలయ్యింది.

కాని వీరి సూత్రం ప్రకారం లెక్కించబడ్డ p(n) విలువ నిజమని నమ్మకం ఏంటి? అలా సరిచూసుకోడానికి అసలు విలువలు తెలియాలి. ఇక్కడే మక్ మహోన్ అనే గణిత వేత్త యొక్క “ప్రమేయం” ఎంతో అవసరమయ్యింది. ఈ మక్ మహోన్ మొదట్లో బ్రిటిష్ సేనా విభాగంలో పని చేశాడు. ఒక దశలో సేనా విభాగన్ని వదిలి గణిత వేత్తగా కొత్త అవతారం ఎత్తాడు. వేగంగా లెక్కలు చెయ్యడం ఇతడి ప్రత్యేకత. ‘విభాగాల’ గురించి ఆయిలర్ చేసిన ప్రప్రథమ పరిశోధనల సహాయంతో p(n) విలువని లెక్కించడానికి వీలవుతుంది గాని అది చాలా బండ పద్దతి అవుతుంది. ఆ పద్ధతితో లెక్కిస్తే 11 X 24 అనే గుణకారాన్ని  11 + 11+ … (24  సార్లు) అని కూడి లెక్కించినట్టు ఉంటుంది.  ఎంతో శ్రమించి మక్ మహోన్ p(n)  విలువ  n = 200  వరకు లెక్కించాడు.  మక్ మహోన్ ఇచ్చిన ఫలితాలతో రామానుజన్, హార్డీలు తమ సూత్రం సహాయంతో వచ్చిన ఫలితాన్ని పోల్చి చూసుకున్నారు.

ఉదాహరణకి, మక్ మహోన్ ప్రకారం p(100) = 19,05,69,292
రామనుజన్, హార్డీల పద్ధతి ప్రకారం p(100) = 190569292.996
దశాంశ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలని పక్కన పెడితే రెండూ సరిపోతాయి. ఫలితం ఎలాగూ పూర్ణ సంఖ్య కావాలి కనుక దశాంశ స్థానాలని పక్కన పెట్టడం తప్పు కాదు.

ఆ తరువాత p(200)  ని కూడా అంతే నిర్దుష్టంగా అంచనా వెయ్యడానికి వీలయ్యింది.
1916  లో హార్డీ తాము సాధించిన ఫలితాల సారాంశాన్ని క్లుప్తంగా రాసి Quatrieme Congres des Mathematiciens Scandinaves  అనే గణిత పత్రికలో ప్రచురించాడు. తదుపరి సంవత్సరం ఈ అంశం మీదే మరో వ్యాసాన్ని హార్డీ- రామనుజన్ లు కలిసి Comptes Rendus  అనే పత్రికలో ప్రచురించారు. కాని ఈ రెండు వ్యాసాలు క్లుప్తమైనవే. తదనంతరం 1918  లో ఈ మొత్తం పరిశోధనని విపులంగా వర్ణిస్తూ  40  పేజీల వ్యాసాన్ని ప్రచురించారు.

(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

Silence...Please!!!

ఆఁ...అది...ఇప్పుడు మిమ్మల్ని గ్రంథాలయంలోకి అడుగుపెట్టటానికి అనుమతినిస్తున్నా. ఇక్కడ నొక్కి లోనికి వెళ్ళండి.

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

Sign In

Share It

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email