శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

రామానుజన్ ఉద్యోగ వేట

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, December 20, 2014 0 comments

గట్టి పట్టుదలతో ఉద్యోగ వేట మీద బయల్దేరాడు రామనుజన్. బస్తీలో అవకాశాలు ఎక్కువ కనుక మళ్లీ మద్రాస్ దారి పట్టాడు. రైలు ఖర్చులు పెట్టుకోవడానికే గగనమయ్యింది. ఇక మద్రాస్ లో అడుగుపెట్టిన దగ్గర్నుండి బస, భోజనం అన్నీ సమస్యలే. ఓ పాత మిత్రుడి వద్ద కొంత కాలం తల దాచుకోవాలని అనుకున్నాడు. కాని దగ్గర్లోనే ఏదో ఆశ్రమం వుందని, అక్కడ ఉచితంగా బస చెయ్యొచ్చని ఆ మిత్రుడు ఉదారంగా ఆశ్రమానికి దారి చూపించాడు. ఇలాంటి పరిస్థితుల్లో తన పాత శిష్యుడు విశ్వనాథ శాస్త్రి తారసపడ్డాడు. విశ్వనాథ శాస్త్రి ఆ రోజుల్లో మద్రాసులో  ప్రసిద్ధమైన ప్రెసిడెన్సీ కాలేజిలో చదువుకునే వాడు. గురు శిష్యులు ఇద్దరూ ఒకే గదిలో కలిసి ఉండేవారు.

రోజూ ఉదయానే రామనుజన్ ప్రయివేటు మాస్టరుగా ఉద్యోగాల వేటలో బయల్దేరేవాడు. అయితే రామానుజన్ చెప్పే ప్రయివేటులో గణితం కన్నా వేదాంతం పాలెక్కువ అన్న మాట వేగంగా పొక్కింది. కనుక ఎక్కడా ట్యూషన్లు చెప్పే అవకాశాలు దొరకలేదు. చేతిలో చిల్లి గవ్వ లేకపోవడం, శిష్యుడి మీద ఆధారపడి జీవించాల్సి రావడం – ఇదంతా రామానుజన్ కి నరకయాతనగా ఉండేది. విశ్వనాథుడితో తన బాధంతా వెళ్లగక్కుకునే వాడు. ఆ దశలో రామానుజన్ పడ్డ బాధ గురించి విశ్వనాథ శాస్త్రి ఇలా అంటాడు –
“రోజూ తన దౌర్భాగ్యాన్ని తలచుకుని వాపోయేవాడు. తనకి దేవుడిచ్చిన ఓ గొప్ప వరం వుందని, ఊరికే బాధపడకూడదని, తన గొప్పదనాన్ని లోకం గుర్తించే సుముహూర్తం కోసం ఎదురు చూడాలని ఓదార్చడానికి ప్రయత్నించేవాణ్ణి. అందుకు జవాబుగా ఆయన ‘గెలీలియో వంటి మహామేధావే మతమౌఢ్యానికి బలి అయ్యాడు. ఇలా నిరుపేదగా కష్టాలు పడి రాలిపోవాలని నాకు రాసిపెట్టి వుంది కాబోలు’ అనుకుని బాధపడేవాడు. కాని భగవంతుడు దయామయుడని, ఏదో ఒకనాడు తనని తప్పక గట్టెకిస్తాడని, శోకానికి లొంగిపోవద్దని ఓదార్పు మాటలు చెప్పేవాణ్ణి.”

ట్యూషన్లు చెప్పే అవకాశాలు ఎలాగూ అందిరాలేదు. పోనీ తన గణిత పరిశోధనలని ఎవరైనా గుర్తించి ఉద్యోగం ఇస్తారేమో?  ఈ ఆశలో తను అంతవరకు రాసిన రెండు భారీ నోట్సు పుస్తకాలని మోసుకుని బయల్దేరాడు. గణితం రంగంలో అంతో ఇంతో పలుకుబడి ఉన్న ఎందరో పెద్దమనుషుల దర్శనం చేసుకున్నాడు. ‘అయ్యా! ఏదో తీరిక వేళల్లో నాకు చాతనైన గణిత పరిశోధనలు కొన్ని చేశాను… తమరు కాస్త చిత్తగిస్తే…’ ఇలా నానా విధాలుగా తన పరిస్థితిని విన్నవించుకుని, అవకాశాల కోసం అభ్యర్థించేవాడు.

సామాన్యంగా ముక్కుమొహం తెలీని వాడు ఇంటిగడప తొక్కి ఉద్యోగం కావాలంటే, ‘మళ్లీ కనిపించమనో,’ ‘లేదు పొమ్మనో’ అనేవాళ్ళే ఎక్కువ. కాని రామానుజన్ విషయంలో అలాంటి చేదు అనుభవం కలగలేదు. దానికి కారణం అతడి వ్యక్తిత్వం, మాట తీరు కావచ్చు. ముక్కుసూటిగా పోయే స్వభావం, ఏ అరమరికలు లేకుండా మనసు విప్పి మాట్లాడే తత్వం – రామనుజన్ లోని ఈ లక్షణాలు సులభంగా అవతలి వారిని ఆకట్టుకునేవి. మద్రాసులో  తనని ఎరిగిన ఓ మిత్రుడు అతడి గురించి ఇలా అంటాడు – “ఎప్పుడూ స్నేహంగా, అభిమానం, కలివిడిగా, సరదాగా ఉండేవాడు. తమిళం, ఇంగ్లీష్ పదాలతో మాటల గారడీలు చేస్తూ చమత్కారంగా మాట్లాడేవాడు. సరదాగా ఏవేవో కథలు చెప్పేవాడు. జోకులు చెప్పి ఆ జోకులకి తెరలు తెరలుగా నవ్వేవాడు. అలా నవ్వుతున్నప్పుడు కొన్నిసార్లు తన పిలక ముడి ఊడిపోయి ఆ పిలక కూడా అటూ ఇటూ ఊగుతూ చూసేవారికి ఇంకా నవ్వు తెప్పించేది. … ఎప్పుడూ హుషారుగా ఉండేవాడు. మాటలో చిలిపితనం,  కళ్లో మెరుపు… అతణ్ణి చూసి ఇష్టపడని వాడు ఉండడు.”

కనుక చెయ్యి చాచి అడిగినా సహాయం చెయ్యలేకపోయినందుకు బాధపడ్డవారేగాని కాదని ఛీకొట్టిన వారు లేరు.

ఉద్యోగ వేట నిరంతరాయంగా కొనసాగింది. 1910  లో రామనుజన్ తిరుకోయిలూర్ అనే చిన్న ఊరికి వెళ్లాడు. ఆ ఊళ్లో వి. రామస్వామి అయ్యర్ అనే పెద్దమనిషిని కలుసుకోవాలి. ఈయన ఆ ఊరికి డిప్యూటీ కలెక్టరుగా ఉండేవాడు. ఈయనకి అంతో ఇంతో గణితం తెలుసు. ఆ రోజుల్లోనే ఈయన ‘భారతీయ గణిత సదస్సు’ అనే ఓ సదస్సుని స్థాపించి దానికి అధ్యక్షుడు అయ్యాడు. ప్రెసిడెన్సీ కాలేజిలో చదువుకునే రోజుల్లో ‘ఎడ్యుకేషన్ టైమ్స్’ అనే బ్రిటిష్ పత్రికలో కొన్ని గణితవ్యాసాలు రాశాడు. ఇరుగు పొరుగు వాళ్ళు ఆయన్ని ‘ప్రొఫెసరు గారు’ అని పిలిచేవారు.
రామనుజన్ ‘ప్రొఫెసరుగారి’ దర్శనం చేసుకుని తన నోట్సు పుస్తకాలు ఆయన ముందుంచాడు. రామస్వామి అయ్యర్ అనుభవం జ్యామెట్రీ రంగంలో వుంది. రామానుజన్ రచనలు అధికశాతం సంఖ్యాశాస్త్రానికి చెందినవై ఉన్నాయి.  ఏదో పరాయి భాషలో రాసినట్టు అనిపించాయి. ఉద్యోగం ఇవ్వలేదుగాని మద్రాసులో తనకి తెలిసిన కొందరు గణితవేత్తలని కలుసుకొమ్మని సిఫారసు పత్రం ఇచ్చి పంపించాడు.

ఆ సిఫారసు పత్రం చేతబూని మద్రాస్ లో పి.వి. శేషు అయ్యర్ అనే గణితవేత్తని కలుసుకోడానికి వెళ్లాడు  రామనుజన్. ఈ శేషు అయ్యర్ లోగడ కుంభకోణంలో ప్రభుత్వ కళాశాల రామానుజన్ కి పాఠాలు చెప్పిన ఆచార్యుడే. ఇప్పుడు మద్రాస్లో ప్రెసిడెన్సీ కాలేజిలో గణిత బోధకుడిగా పని చేస్తున్నాడు. శేషు అయ్యర్ రామనుజన్ కి ప్రత్యక్షంగా  సహాయం చెయ్యలేకపోయినా, ఎస్. బాలకృష్ణ అయ్యర్ అనే మరో గణిత వేత్తని కలుసుకోమని పరిచయ పత్రం ఇచ్చి పంపాడు.

రామానుజన్ బాలకృష్ణ అయ్యర్ ని కలుసుకుని తన నోట్సులు చూపించాడు. బాలకృష్ణుడికి ఆ నోట్సులలోని సమాచారం పెద్దగా కొరుకుడు పడలేదు. రామానుజన్ కి సహాయపడలేని తన అశక్తతకి చింతిస్తున్నానని మాత్రం అన్నాడు.

(ఇంకా వుంది)





మెండెలెవ్ పట్టికలో సమస్యా పూరణం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, December 13, 2014 0 comments

1871  లో మెండెలేవ్ అలాంటి మూడు ఖాళీలని సూచించాడు. అవి ఆ ఏడు కొత్తగా ప్రచురితమైన మూలకాల పట్టికలో బోరాన్, అలూమినమ్, సిలికాన్ మూలకాల పక్కన ఉన్నాయి. ఆ ఖాళీలని పూరించాల్సిన కొత్త, అజ్ఞాత మూలకాలకి పేర్లు కూడా పెట్టాడు. చిత్రం ఏంటంటే రష్యన్ అయిన మెండెలేవ్ ఆ పేర్లలో సంస్కృత శబ్దాలు వాడాడు. ఆ కొత్త మూలకాలకి ‘ఏక బోరాన్’, (‘ఏక’ అంటే సంస్కృతంలో ‘ఒకటి’!), ‘ఏక-అలూమినమ్,’ ‘ఏక-సిలికాన్’ అని పేర్లు పెట్టాడు. ఖాళీలకి పైన కింద ఉండే మూలకాల లక్షణాలని బట్టి, ఆ అజ్ఞాత మూలకాల లక్షణాలు ఎలా ఉండాలో కూడా ఊహించి చెప్పాడు. ఆ విధంగా మెండెలేవ్ డోబ్‍రైనర్ ఆరంభించిన బాటకి అంతాన్ని చేరుకున్నాడు.

కుర్రాడైన మెండెలేవ్ సాధించిన ఫలితాలని నమ్మాలో లేదో తెలియక వైజ్ఞానిక ప్రపంచం మొదట్లో కాస్త తటపటాయించింది. కాని మెండెలేవ్ చేసిన విప్లవాత్మకమైన ప్రకటనలు త్వరలోనే ప్రయోగాల చేత నిరూపించబడ్డాయి. ఓ కొత్త రసాయనిక పరికరం సహాయంతో ఆ నిరూపణ సాధ్యమయ్యింది. ఆ పరికరం పేరు వర్ణమానిని (spectroscope).




ఖాళీలని పూరించడం
1814  లో జోసెఫ్ ఫాన్ ఫ్రౌన్‍హోఫర్ (1786-1821) అనే ఓ జర్మన్ కళ్లజోళ్ల నిపుణుడు  తను తయారు చేసే అద్భుతమైన పట్టకాలని (prisms) పరీక్షిస్తున్నాడు. ఓ సన్నని చీలిక (slit) లోంచి ముందు కాంతిని పోనిచ్చాడు. తరువాత ఆ కాంతిని త్రికోణాకారపు గాజు పట్టకాల లోంచి పోనిచ్చాడు. పట్టకం లోంచి బయటికి వచ్చిన కాంతిలో పలు రంగుల చారలు కనిపించాయి. అయితే ఆ రంగు చారల మధ్య కొన్ని నల్లని గీతలు కూడా కనిపించాయి.  సుమారు ఆరు వందలకి పైగా ఆ నల్లని గీతలు ఉన్నట్టు అతడు లెక్కించాడు. ఆ గీతల స్థానాలు కూడా జాగ్రత్తగా కొలిచాడు.


ఫ్రాన్‍హోఫర్ రేఖలు

ఆ గీతల నుండి తదనంతరం అసాధారణమైన సమాచారాన్ని రాబట్టడానికి వీలయ్యింది. ఆ ప్రయత్నం 1850  ల  జరిగింది. జర్మన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త గస్టావ్ రాబర్ట్ కిర్ష్‍హాఫ్ (1824-1887) జర్మన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త రాబర్ట్ విల్హెల్మ్ బున్సెన్ తో (1811-1899) కలిసి కృషి చేస్తూ ఈ ఫలితాలని సాధించాడు.

వాళ్లు వినియోగించిన కాంతి మూలం (light source)  ఒక బున్సెన్ బర్నర్. బున్సెన్ కనిపెట్టిన ఈ దీపం గురించి రసాయన శాస్త్రంలో తొలిప్రయోగాలు చేసే ప్రతీ విద్యార్థికి తెలుసు. ఈ దీపంలో ఒక జ్వలనీయ వాయువుని గాలితో కలపగా పుట్టిన మంటని వాడతారు. ఇందులో పుట్టే మంట బాగా వేడిగా ఎక్కువగా కాంతి లేనిదై ఉంటుంది. కిర్ష్‍హాఫ్ అందులో వివిధ రసాయనాలకి చెందిన స్ఫటికాలు ఉంచాడు. అప్పుడా రసాయనం కొన్ని ప్రత్యేక రంగులు గల కాంతిని వెలువరిస్తూ మండేది. రసాయనాలని మండించగా పుట్టిన కాంతిని పట్టకం లోంచి పోనిచ్చిప్పుడు అది కొన్ని కాంతి చారలుగా విడిపోయేది.
బున్సెన్ బర్నర్

ఒక మూలకాన్ని, అది మండి కాంతిని వెలువరించే స్థాయికి వచ్చిన వరకు వేడి చేస్తే, అందులోంచి పుట్టిన కాంతి చారలు ఆ మూలకానికి మాత్రమే ప్రత్యేకమైనవై ఉంటాయని నిరూపించాడు కిర్ష్‍హాఫ్. అంటే ప్రతీ మూలకం నుండి ఆ మాలకానికే విలక్షణమైన కాంతి చారలు పుడతాయి  అన్నమాట. ఆ విధంగా ప్రతీ మూలకం నుండి వేడి చేయగా పుట్టిన కాంతిని బట్టి ఆ మూలకం యొక్క “వేలి ముద్రలని” కొలవడం మొదలెట్టాడు కిర్ష్‍హాఫ్. ఆ విధంగా ఒక సారి మూలకాల “వేలి ముద్రలని” కనుక్కున్నాక, ఏదైనా కొత్త స్ఫటికని పరీక్షించినప్పుడు దాని కాంతి చారల బట్టి అందులో ఏ మూలకం వుందో గుర్తించడానికి వీలయ్యింది. ఆ విధంగా మూలకాల విశ్లేషణ కోసం రూపొందిన పద్ధతిని, పరికరాన్ని వర్ణమానిని (spectroscope)  అంటారు. అది ప్రదర్శించే కాంతి చారల విన్యాసాన్ని వర్ణపటం (spectrum) అంటారు.

పరమాణువులో జరిగే కొన్ని సంఘటనల వల్ల కాంతి పుడుతుందని మనకి ఇప్పుడు తెలుసు. ఒక్కొక్క పరమాణువులోను ఒక్కొక్క రకమైన సంఘటనలు జరుగుతాయి. కనుక ప్రతీ మూలకం కొన్ని ప్రత్యేక ‘తరంగ దైర్ఘ్యాల’ (wavelengths)  వద్ద మాత్రమే కాంతిని వెలువరిస్తుంది.

కాంతిని వాయువుల ద్వార ప్రసారం చేసినప్పుడు, వాయువు యొక్క పరమాణువులలో పైన చెప్పుకున్న సంఘటనలు వ్యతిరేక దిశలో జరిగేలా చెయ్యవచ్చు. పైన చెప్పుకున్న సందర్భంలో పదార్థం నుండి కాంతి వెలువరించబడితే, ఈ సారి కొన్ని తరంగ దైర్ఘ్యాల వద్ద కాంతి ఆ వాయువు చేత లోనికి గ్రహించబడుతుంది (absorption).  ఇంకా ఆసక్తికరమైన విషయం ఏంటంటే రెండు సందర్భాలలోను జరిగే సంఘటనలు ఒక్కటే కనుక (ఒక దాంట్లో సంఘటనలు ఒక దిశలో జరిగితే, రెండవ దాంట్లో సంఘటనలు వ్యతిరేక దిశలో జరుగుతాయి), ఒక సందర్భంలో వాయువులు లోనికి ఏఏ తరంగ దైర్ఘ్యాల వద్ద కాంతిని లోనికి గ్రహిస్తాయో, మరో సందర్భంలో వాయువులు అవే తరంగ దైర్ఘ్యాల వద్ద కాంతిని వెలువరిస్తాయి.

పై విశ్లేషణని సూర్య కాంతికి వర్తింపజేస్తే కొన్ని ఆసక్తికరమైన విషయాలు బయటపడ్డాయి. సూర్యకాంతి  వర్ణపటంలో కూడా నల్లని చారలు కనిపించాయి. సూర్యుడు ఉపరితలం వద్ద వుండే వాయువులు కొన్ని ప్రత్యేక తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద కాంతిని లోనికి గ్రహిస్తాయి. కనుక సూర్య కాంతిలో ఆ తరంగ దైర్ఘ్యాల వద్ద కాంతి లోపిస్తుంది. ఆ కాంతికి చెందినవే వర్ణపటంలో కనిపించే నల్లని చారలు. వర్ణపటంలో ఆ నల్లని చారల స్థానాల బట్టి సూర్యుడి ఉపరితలం మీద ఉండే వాయువుల గురించి తెలుసుకోడానికి వీలయ్యింది.


(ఇంకా వుంది)

జానకీ శ్రీనివాసుల పరిణయం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, December 10, 2014 1 comments

  1904  నుండి 1909 వరకు ఈ రచన కార్యక్రమం నిరాఘాటంగా ఓ ప్రభంజనంలా సాగింది. విద్యాలయాలకి, పండితులకి, తోటి విద్యార్థులకి దూరంగా ఏకాంతంగా ఓ దీక్షలా సాగింది ఈ గణితసృజన. ఆ దశలో రామానుజన్ ఒంటరిగా పరిశ్రమించకుండా ఏ గణితవేత్త ప్రాపకంలోనైనా పని చేసి వుండి వుంటే, అతడి సృజన మరింత ఘనంగా ఉండేదేమే అని కొందరు అభిప్రాయపడతారు. కాని ఒక విధంగా ఈ ఒంటరితనం తన సృజన మరింత వన్నె తెచ్చిపెట్టిందేమో. అంతర్జాతీయ గణిత సమాజంలో భాగంగా ఉంటూ, ఇతర గణితవేత్తల సృష్టి గురించి బాగా పరిచయం కలిగి వుంటే, ఆ భావాల ప్రభావం మరీ బలంగా ఉండేదేమో. అన్యుల పద్ధతుల ప్రభావం మరీ బలంగా ఉన్నప్పుడు ఆ పద్ధతులని వొదిలించుకుని నూతన పద్ధతులని కనిపెట్టే స్ఫూర్తి బలహీనం అవుతుంది. అన్యుల ఆలోచనల ప్రభావం బలంగా ఉన్నప్పుడు కొత్త ఆలోచనలు పుట్టే అవకాశం తక్కువ. అందరిలో కలిసి మందలో మందలా ముందుకు పోతున్నప్పుడు  సుఖమయంగా ఉన్న ఆ మార్గాన్ని వొదిలిపెట్టి ప్రమాదం (అదృష్టం ఉంటే పెన్నిధి) పొంచి వున్న కొత్త పుంతలు తొక్కాలని అనిపించదు. ఆ ఐదేళ్లూ రామనుజన్ అనుభవించిన ఏకాంతవాసం ఒక విధంగా అతడికి గొప్ప వరంలా సంక్రమించింది. గణిత రంగంలో ఎవరూ చేరని ఎత్తుకి ఎదగడానికి అది తొలి మెట్టు అయ్యింది.

పెళ్ళీడోచ్చిన కొడుకు చదువు, ఉద్యోగం లేకుండా రోజల్లా ఓ మూల కూర్చుని ఏవో నోట్సులు రాసుకుంటూ ఉండడం తల్లిదండ్రులకి నచ్చలేదు. ఒంటరితనం గణితానికి మంచిదేమో కాని జీవితానికి కాదు. ఈ ఒంటరితనానికి ఏదో ఒక చికిత్స చెయ్యాలి.
కొడుక్కి పెళ్ళి సంబంధాలు వెతకడం మొదలెట్టింది కోమలతమ్మ.

*             *                  *
జానకీ శ్రీనివాసుల పరిణయం
కుంభకోణానికి అరవై మైళ్ళ దూరంలో రజేంద్రం అని ఓ కుగ్రామం వుంది. ఆ గ్రామంలో కోమలతమ్మకి పరిచయస్తులు ఉన్నరు. 1909  లో ఓ సారి వారి ఇంటికి వెళ్ళింది కోమలతమ్మ. అక్కడ ఓ పిల్ల కోమలతమ్మ దృష్టిని ఆకర్షించింది. అమ్మాయి కాస్త బక్కపలచగా వున్నా కళ్లలో ఏదో చమక్కు కనిపించింది. వెంటనే ఆ అమ్మాయి జాతక వివరాలు అడిగి తెలుసుకుంది. ఆ అమ్మాయి పేరు జానకి, వయసు తొమ్మిదేళ్ళు. కొడుకు రామనుజన్ జాతకం, ఆ పిల్ల జాతకం అక్కడికక్కడే గోడ మీద స్వయంగా వేసుకుని, రెండూ పోల్చి చూసుకుని, రెండు జాతకాలు సరిపోయాయని నిర్ధారించేసింది. జానకీ రామానుజుల పరిణయం నిశ్చయమయ్యింది. అంత హడావుడిగా తన అభిప్రాయం తెలుసుకోకుండా, అంగీకారం లేకుండా భార్య ఇలా పెళ్లి కుదిర్చేయడం భర్త శ్రీనివాసుడికి బొత్తిగా నచ్చలేదు. కాని నచ్చకపోయినా పెద్దగా చేసేది కూడా ఏమీ లేదు. ఆ ఇంట్లో కోమలతమ్మ చెప్పిందే వేదం.

జూలై 14, 1909  లో జానకికి, రామనుజన్ కి మధ్య వివాహం జరిగింది. ఆ రోజుల్లో బాల్య వివాహలు పరిపాటిగా జరిగేవి. అయితే వివాహం అయిన వెంటనే పిల్ల మెట్టింటికి కాపురానికి వెళ్లేది కాదు. వయసు వచ్చినదాక పుట్టింట్లోనే ఉండి ఆ తరువాత మెట్టెంటి గడప తొక్కేది. మూడు ముళ్ళూ వేయించుకున్నాక, ఏడడుగులూ నడిచిన తరువాత ఇక భర్తని కళ్ళార చూసిందిగాని, మనసు విప్పి మాట్ళాడింది గాని లేదు. ఇంకా పది నిండని జానకికి తన భర్త గురించి పెద్దగా తెలీదు. తన కొడుకు గొప్ప గణిత మేధావి అని కోమలతమ్మ జానకి తల్లితో ఏదో చెప్తుంటే వింది.

పెళ్ళితో కొడుకు జీవితం గొప్ప మలుపు తిరుగుతుందని నమ్మింది కోమలతమ్మ. కాని   పెళ్ళి చేసుకుని కుంభకోణానికి తిరిగొచ్చిన రామనుజన్ కి  పరిస్థితుల్లో పెద్దగా మార్పు కనిపించలేదు. మునుపటి ఒంటరితనం అలాగే వుంది. పైగా ఇప్పుడు కొత్త సమస్య వచ్చి పడింది. అంతవరకు ఉద్యోగం లేకుండా ఇంట్లో  ఊరికే కూర్చున్నా చెల్లిపోయింది. రేపో మాపో భార్య కాపురాని కొస్తుంది. భర్తకి దమ్మిడీ సంపాదించడం చాతకాదని తెలిస్తే బాధపడుతుంది. నలుగురూ  నాలుగు విధాలుగా అనుకుంటారు. కనుక ఇక ఏదో ఒకటి చెయ్యాల్సిందే.

 (ఇంకా వుంది)

మెండెలేవ్ ఆవర్తన పట్టిక

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, December 6, 2014 0 comments

మూలకాల ‘పరమాణు ఘనపరిమాణాల’ని వాటి పరమాణు భారాలకి వ్యతిరేకంగా ఓ గ్రాఫు రూపంలో చిత్రిస్తే లయబద్ధంగా పడి లేచే రేఖ కనిపించింది. ఆల్కలీ లోహాల (సోడియమ్, పొటాషియమ్, రుబీడియమ్, సీషియమ్, ) వద్ద ఆ గ్రాఫులో గరిష్ట స్థానాలు కనిపించాయి. ఆ రేఖలో గరిష్ట స్థానాలు పదే పదే వస్తుంటాయి కనుక రెండు గరిష్ట స్థానాల మధ్య తేడాని మూలకాల పట్టికలో ఒక ‘ఆవృత్తి’ (period) గా పరిగణించడం సహజంగా తోచింది.   ప్రతీ ఆవృత్తిలోను పరమాణు ఘనపరిమాణమే కాకుండా, మరెన్నో ఇతర రసాయన లక్షణాలు కూడా, లయబద్ధంగా మారడం కనిపించింది.

మూలకాలలో మొదటిదైన హైడ్రోజన్ (దాని పరమాణు భారం అన్నిటి కన్నా తక్కువ) ఒక ప్రత్యేక మూలకంలా అనిపించింది. ఒక మొత్తం ఆవృత్తిని ఈ ఒక్క మూలకానికే కేటాయించారు. అంటే మొదటి ఆవృత్తిలో ఒక్క హైడ్రోజన్ మాత్రమే ఉంటుంది అన్నమాట. మెయర్ పట్టికలో న్యూలాండ్ పట్టికలో ఉన్నట్టే రెండవ, మూడవ ఆవృత్తులలో ఏడేసి మూలకాలు ఉన్నాయి. కాని ఆ తరువాత వచ్చిన రెండు ఆవృత్తులలో ఏడు కన్నా ఎక్కువ మూలకాలు ఉండడం కనిపించింది. ఇక్కడే న్యూలాండ్ ఎక్కడ పొరబడ్డాడో స్పష్టంగా కనిపించింది. ‘సప్తపదుల నియమం’ మొత్తం మూలకాల పట్టిక అంతా వర్తిస్తుందని అనుకోవడం పొరపాటు. తరువాత వచ్చే ఆవృత్తులు తొలి ఆవృత్తుల కన్నా దీర్ఘమైనవి.

మెయర్ తన పరిశోధనలని 1870  లో ప్రచురించాడు. కాని అప్పటికే అతడు ఆలస్యం చేశాడు. అంతకు ముందు సంవత్సరమే రష్యన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త డిమిట్రీ ఇవనోవిచ్ మెండెలేవ్ (1834-1907)  కూడా స్వతంత్రంగా పరిశోధనలు జరిపి మూలకాల ఆవృత్తులలో పొడవులో తేడాలు ఉన్నట్టు గుర్తించాడు. అలా తన సొంత పట్టిక ఏర్పాటు చేసి దాని పర్యవసానాలని సంచలనాత్మకంగా ప్రకటించాడు.

విశేషం ఏంటంటే కార్ల్‍స్రూహే సమావేశానికి మెండెలేవ్ కూడా హాజరు అయ్యాడు. అప్పటికి అతడు ఇంకా ఉన్నత చదువులు చదువుకునే విద్యార్థి. పరమాణు భారాల గురించి కానిత్సారో చేసిన ప్రసంగం విన్నాడు. తిరిగి రష్యాకి వెళ్లాక తను కూడా పరమాణు భారాల ఆరోహణా క్రమంలో మూలకాల పట్టికని అధ్యయనం చెయ్యడం మొదలెట్టాడు.

సంయోజకత (valence) దృష్టితో సమస్యని చూడడం మొదలెట్టాడు మెండెలేవ్. మూలకాల తొలి పట్టికలలో సంయోజతకత క్రమబద్ధంగా పెరగడం గుర్తించాడు. హైడ్రోజన్ సంయోజకత 1, లిథియమ్ కి  1, బెరిలియమ్ కి  2, బోరాన్ కి  3, కార్బన్ కి  4, నైట్రోజన్ కి  3, సల్ఫర్ కి  2, ఫ్లోరిన్ కి  1,  సోడియమ్ కి  1, మెగ్నీషియమ్ కి  2, అలూమినమ్ కి  3, సిలికాన్ కి 4,  ఫాస్ఫరస్ కి  3, ఆక్సిజన్ కి  2,  క్లోరిన్ కి  1 – ఇలా వున్నాయి వివిధ మూలకాల సంయోజకతలు.

అణుభారాల ఆరోహణా క్రమంలో మూలకాలని పరిశీలిస్తే వాటి సంయోజకత లయబద్ధంగా పెరుగుతూ తరుగుతూ వస్తోంది. మొదటి ఆవృత్తిలో హైడ్రోజన్ ఒంటరిగా ఉంది. తరువాత ఏడేసి మూలకాలు గల రెండు ఆవృత్తులు. తరువాత ఏడు కన్నా ఎక్కువ పొడవు ఉన్న ఆవృత్తులు. మెండెలేవ్ తన వద్ద ఉన్న సమాచారంతో, తనకి ముందు మెయర్ మరియు బెగుయే  ద చాంకూర్‍త్వా లు చేసినట్టుగా, కేవలం గ్రాఫులు గియ్యకుండా, న్యూలాండ్స్ చేసినట్టుగా పట్టికలు తయారు చేశాడు.

అలా తయారైన ‘మూలకాల ఆవర్తన పట్టిక’ గ్రాఫు కన్నా మరింత స్పష్టంగా, మరింత విజ్ఞాన దాయకంగా కనిపించింది. ఆవృత్తులు అన్నీ ఒకే పొడవు గలవై ఉండాలని న్యూలాండ్ అనుకున్నట్టుగా మెండెలేవ్ పొరబాటు చెయ్యలేదు.

మెండెలేవ్ తన పట్టికని 1869  లో ప్రచురించాడు. అది మెయర్ తన ఫలితాలని ప్రచురించిన దానికి ముందు సంవత్సరం. అయితే ఆవర్తన పట్టికని ఆవిష్కరించిన ఘనతలో అధికశాతం మెండెలేవ్ కే దక్కడానికి కేవలం అతడు తన ఫలితాలని కాస్త ముందు ప్రచురించడం మాత్రమే కాదు. మెండెలేవ్ తన పట్టికని చాలా తెలివిగా వాడుకున్నాడు.



మెండెలేవ్ ప్రచురించిన ఆవర్తన పట్టిక

ప్రతీ నిలువు గడి లోను ఒకే సంయోజకత గల మూలకాలు ఉండాలనే నియమాన్ని తృప్తిపరచడానికి గాను మెండెలేవ్ కొన్ని చోట్ల కాస్త ఎక్కువ పరమాణుభారం గల మూలకాన్ని అంత కన్నా తక్కువ పరమాణుభారం గల మూలకం కన్నా ముందుకు తెచ్చి పెట్టాడు. ఆ విధంగా టెలీరియమ్ (పరమాణు భారం 127.6, సంయోజకత 2) అయొడిన్ (పరమాణు భారం 126.9, సంయోజకత 1) కన్నా ముందుకి వచ్చింది. అలా చెయ్యడం వల్ల టెలీరియమ్ సంయోజత 2 గల నిలువు గడిలో చేరుతుంది. అయొడిన్ సంయోజకత  1  గల నిలువు గడిలో చేరుతుంది.

ఇది చాలనట్టు పట్టికలో కొన్ని చోట్ల ఏకంగా ఖాళీలు వదిలేశాడు మెండెలేవ్. అలాంటి ఖాళీలు పట్టికలో దోషాలకి సంకేతాలుగా ఒప్పుకోకపోగా, ఆ ఖాళీలు అప్పటికి ఇంకా తెలియని మూలకాలకి చిహ్నాలని సూచించాడు.


(ఇంకా వుంది)

న్యూలాండ్స్ నిర్మించిన మూలకాల పట్టిక

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, December 3, 2014 3 comments

మూలకాల అమరిక

1864  లో ఇంగ్లీష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త జాన్ అలెగ్జాండర్ రెయినా న్యూలాండ్స్ (1837-1898)  ఉన్న మూలకాలు అన్నిటీనీ  పరమాణు భారాల ఆరోహణా క్రమంలో  అమర్చాడు. అలా అమర్చాక చూస్తే మూలకాల లక్షణాలు కనీసం పాక్షికంగానైనా ఒక క్రమంలో ఏర్పడడం కనిపించింది. మూలకాలు అన్నిటీనీ ఏడేసి గడులు ఉన్న నిలువు గడులలో అమర్చితే, ఒకే పోలికలో ఉండే మూలకాలు ఒకే అడ్డుగడిలో ఉండడం కనిపించింది. ఆ విధంగా పొటాషియమ్ సోడియమ్ పక్కన చేరింది. సల్ఫర్ ఉండే అడ్డుగడిలోనే సిలీనియమ్ కూడా చేరింది. కాల్షియమ్ మెగ్నీషియమ్ పక్కన చేరింది. లోగడ డోబ్‍రైనర్ గుర్తుపట్టిన మూడు త్రికాలు కూడా ఈ అడ్డుగడులలోనే చేరడం కనిపించింది.
న్యూలాండ్స్ ఈ క్రమానికి ‘సప్తపదుల నియమం’ (Law of Octaves) అని పేరు పెట్టాడు. (సంగీతంలో ఎలాగైతే స, రి, గ, మ, ప, ద, ని తరువాత మళ్లీ ‘స’ వస్తుందో, అంటే  సప్తస్వరాలు మళ్లీ మళ్లీ ఎలా వస్తుంటాయో, అదే విధంగా మూలకాల క్రమంలో ప్రతీ ఎనిమిదవ మూలకం మళ్లీ మొదటి మూలకాన్ని పోలి వుంటుందన్న భావన ఇది.) అయితే దురదృష్టవశాత్తు ఈ పట్టికలో కొన్ని అడ్డు వరుసలలో బాగా పోలికలు ఉన్న మూలకాలు ఉన్నా, కొన్ని వరుసలలో బాగా వైవిధ్యం ఉన్న మూలకాలు కూడా ఉన్నాయి. న్యూలాండ్స్ ఎత్తి చూపుతున్న పోలికలు కేవలం కాకతాళీయాలు అని కొందరు రసాయన శాస్త్రవేత్తలకి అనిపించింది.  అందుచేత న్యూలాండ్స్ కి తన పరిశోధనలని ప్రచురించడానికి సాధ్యం కాలేదు.


న్యూలాండ్స్ నిర్మించిన మూలకాల పట్టిక

రెండేళ్ల తరువాత ఫ్రెంచ్ భౌగోళిక శాస్త్రవేత్త అలెగ్జాంద్ర్ ఎమీల్ బెగుయే ద చాంకూర్‍త్వా (1820-1886)  కూడా మూలకాలని పరమాణు భారాల ఆరోహణా క్రమంలో ఏర్పాటు చేశాడు. అయితే ఇతడు మూలకాలని ఒక రకమైన స్తంభాకారపు గ్రాఫు (cylindrical graph) లో చిత్రించాడు. ఈ పట్టికలో కూడా మూలకాలు కొన్ని నిలువు గడులలో అమరాయి. అతడు తన పరిశోధనలని ప్రచురించగలిగాడు గాని ఆ గ్రాఫుని ప్రచురించలేకపోయాడు. ఇతడి పరిశోధనని కూడా ఎవరూ పెద్దగా పట్టించుకోలేదు.

జర్మన్  రసాయన శాస్త్రవేత్త జూలియస్ లోథార్ మెయర్ (1830-1895) మరి కాస్త ముందుకు వెళ్లాడు.  మెయర్ నియత బరువులు ఉన్న, వివిధ మూలకాలతో చెయ్యబడ్డ వస్తువులని తీసుకున్నాడు. ఆ వస్తువుల ఘనపరిమాణాలని కొలిచాడు. ప్రతీ వస్తువులోను ఆ మూలకం యొక్క పరమాణువుల సంఖ్య ఒకేలా ఉండేలా పరిస్థితులు ఏర్పాటు చేశాడు. వస్తువులన్నిటిలోను పరమాణువుల సంఖ్య ఒక్కటే కనుక, వాటి ఘనపరిమాణాలలో తేడా వాటిలోని పరమాణువుల ఘనపరిమాణం వల్లనే వస్తోంది. అంటే వస్తువుల ఘనపరిమాణాల మధ్య నిష్పత్తి వాటిలోని పరమాణువుల ఘనపరిమాణాల మధ్య నిష్పత్తితో సమానం అని వాదించాడు మెయర్. అలా కొలిచిన రాశికి ‘పరమాణు ఘనపరిమాణం’ (atomic size) అని పేరు పెట్టాడు.


(ఇంకా వుంది)

గణిత ప్రపంచంలో సాహస యాత్ర

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, November 27, 2014 0 comments


ఒక  యోగి ధ్యానముద్రలో మునిగిపోయినట్టు ఒళ్ళో ఓ పెద్ద పలక పెట్టుకుని, బాసీపట్టు వేసుకుని ఇంటి వరండాలో కూర్చుని తన గణితసాధనలో నిమగ్నమైపోయేవాడు. ఏవేవో గణిత సంకేతాలు, చిహ్నాలు, అంకెలు, సమీకరణాలు, అసమీకరణాలు ఆ పలక నిండా కిక్కిరిసిపోయేవి. ఆ పలక నాలుగు మూలల మధ్య సంఖ్యా శాస్త్రపు నలుమూలలని తడిమేవాడు. అందరికీ తెలిసిన సమస్యతో మొదలైనా ఎవరికీ తెలీని ఏవో విచిత్ర మార్గాల వెంట ముందుకు సాగి వాటిని వినూత్న రీతుల్లో పరిష్కరించేవాడు. అలాంటి ప్రయాసలో ఏకంగా కొత్త కొత్త గణిత విభాగాలే సృజించబడేవి. ఈ గణిత ధ్యానంలో గంటలు తెలీకుండా గడిచిపోయేవి. ఇక పరసరాల మీద ధ్యాసే ఉండేది కాదు. ఒక్కొక్క సారి ఇంట్లో తోచకపోతే గుళ్లో మంటపంలో కూర్చుని గణిత సాధన సాగించేవాడు.

పలక మీద ఒలకబోసిన ప్రతిభకి ఆయుర్దాయం తక్కువని గుర్తించాడో ఏమో ఒక దశలో  పలక పక్కన బెట్టి నోట్సు పుస్తకాలలో రాత మొదలెట్టాడు. ఆ నోట్సులే ప్రస్తుతం  ‘రామానుజన్ నోట్ బుక్స్’ గా, ఓ గొప్ప వరప్రసాదంగా మనకి సంక్రమించాయి. ఈ వ్యాసంగం  1907  దరిదాపుల్లో పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిని వొదిలిపెట్టిన కొద్దికాలానికి మొదలయ్యింది. వాటిలో మొట్టమొదటి నోట్సు పుస్తకం లో రెండొందల పేజీలు ఉన్నాయి. పేజీ పేజీ లోను అతి జ్యామితిక శ్రేణులు (hypergeometric series), అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలు (continued fractions),  singular moduli  మొదలైన అధునాతన గణిత శాస్త్ర విశేషాల మీద కొత్త కొత్త ఫలితాలు, సిద్ధాంతాలు నింపబడి వున్నాయి. “ఏదో చిత్రమైన ఆకుపచ్చ సిరా” తో రాయబడింది ఆ నోట్సు అని ఎవరో అన్నారు.

అయితే ఈ మొట్టమొదటి నోట్సు పుస్తకంలో విషయాలు సామాన్యుల విషయం పక్కన పెడితే, పండితులకే మింగుడుపడకుండా ఉన్నాయని అనిపించి ఆ తరువాత ఆ మొదటి నోట్సుని పలు విభాగాలుగా, అధ్యాయాలుగా విభజించి ప్రతీ విభాగం మీద విపులమైన వ్యాఖ్యానం చేస్తూ మరింత సులభంగా అర్థమయ్యేలా రాశాడు రామానుజన్. ప్రతీ అధ్యాయంలోను సరళమైన సిద్ధాంతాలతో మొదలుపెట్టి క్రమంగా మరింత జటిలమైన సిద్ధాంతాలని పేర్కొంటూ, సిద్ధాంతాలని అంకెలతో సూచిస్తూ, ఆ అంకెలని విషయసూచికలో పేర్కొంటూ, తొలి రచనలని సరళీకరించాడు.

తొలి దశలలో పేజీకి కుడి పక్కన మాత్రమే రాస్తూ ఎడమ పక్క ఖాళీగా వొదిలేసేవాడు. అదనపు వ్యాఖ్యానికి సందర్భాన్ని బట్టి ఎడమ పక్కని వాడుకునేవాడు. కాని త్వరలోనే ఆ నియమానికి తిలోదకాలు వొదిలేశాడు. ఇరు పక్కలా గణిత సంకేతాలు నిండిపోసాగాయి. అదీ చాలనట్టు కొన్ని సార్లు పేజీ అంచులలో కూడా గణిత చిహ్నాలని దట్టించసాగాడు. ఎడమ నుండి కుడికి రాసే సాంప్రదాయాన్ని గాలికి వొదిలేశాడు. పైనుండి కిందకి, కింది నుండి పైకి ఇలా ఆ పేజీలలో గణితం కట్టలు తెంచుకుని ప్రవహించింది.  ప్రశాంత గణిత గంగా ప్రవాహం చెలియలికట్టని ఉల్లంఘించి పొలాలని ముంచెత్తింది.

ఊరికే మౌనంగా వరండాలో స్తంభానికి ఆనుకుని కూర్చున్న వేళ మనసులో మెరుపులా ఏదో ఆలోచన వస్తుంది. వెంటనే తన నోట్సు పుస్తకం తెచ్చుకుని లోనుండీ తన్నుకొస్తున్న గణితసంపదని  ఆదరాబాదరాగా అందులో పూరిస్తాడు. అలాంటి పరిస్థితుల్లో సృజన చేస్తున్నప్పుడు పూర్తిగా ప్రణాళికా బద్ధంగా  పుస్తక రచన చెయ్యడానికి వీలుపడదు. ఓ పాఠ్యపుస్తక రచనకి పూనుకున్న లెక్కల పండితుడికి మల్లె ముందే అధ్యాయాల వారీగా తను రాయదలచుకున్న విషయాలని నీటుగా క్రోడీకరించుకుని సిద్ధాంతాలని, ఉదాహరణలని, సమస్యలని వరుసక్రమంలో పేర్చే అవకాశం రామానుజన్ విషయంలో తక్కువ.  అది నాలుగు రోజా మొక్కలతో, రెండు చేమంతి మొక్కలతో, ఓ మల్లె పందిరితో ఇంపుగా తీర్చిదిద్దిన పెరటి తోట కాదు. శాఖోపశాఖలుగా విచ్చలవిడిగా పెరిగిన అపారమైన వృక్ష ఫల పుష్ప సంపత్తితో కిటకిటలాడే గణిత నందనవనమది.


(ఇంకా వుంది)

డోబ్రయినర్ గుర్తించిన త్రికాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, November 25, 2014 0 comments

మూలకాలలో అంతర్లీనంగా ఉన్న క్రమం యొక్క తొలి ఆనవాళ్లు పసిగట్టినవాడు యోహాన్ వొల్ఫ్‍గాంగ్ డోబ్‍రైనర్ (1780-1849).  1829  లో అతడు బ్రోమిన్ ని పరిశీలించసాగాడు. ఈ మూలకం అంతకు మూడేళ్ల క్రితమే ఆంత్వాన్ జెరోమ్ బలార్ (1802-1876) అనే ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త చేత కనుక్కోబడింది. లక్షణాలలో బ్రోమిన్ సరిగ్గా క్లోరిన్ కి, అయొడిన్ కి  మధ్యస్థంగా ఉండడం డోబ్‍రైనర్ గమనించాడు. అయొడిన్ ని బెర్నర్ కూర్త్వా (1777-1833) అనే మరో ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త కనుక్కున్నాడు. క్లోరిన్, బ్రోమిన్, అయొడిన లలో రంగు, చర్యశీలత మొదలైన లక్షణాలలో ఓ చక్కని వరుసక్రమం కనిపించడమే కాకుండా, బ్రోమిన్ పరమాణు భారం సరిగ్గా క్లోరిన్, అయొడిన్ లకి మధ్యస్థంగా ఉండడం గమనార్హం. ఇది కేవలం కాకతాళీయం అనుకోవాలా?

అదే విధంగా మూలకాలని అధ్యయనం చేస్తూ పోయిన డోబ్‍రైనర్ అలాగే లక్షణాలలో చక్కని వరుసక్రమం గల  మూడేసి మూలకాలు గల రెండు గుంపులని కనుక్కున్నాడు.  1)  కాల్షియమ్, స్ట్రాంషియమ్, బేరియమ్, 2)  సల్ఫర్, సిలీనియమ్, టెలూరియమ్. ఈ రెండు గుంపులలోను మధ్యలో వున్న మూలకం యొక్క పరమాణుభారం మిగతా రెండు మూలకాల పరమాణుభారాలకి మధ్యలో వుంది. ఇదీ కాకతాళీయమేనా?

డోబ్‍రైనర్ ఈ గుంపులని “త్రికాలు” (triads)  అంటాడు. ఇలాంటి గుంపుల కోసం మరింత గాలించినా ఫలితం లేకపోయింది. అప్పటికి తెలిసిన మూలకాలలో 5/6  వంతు మూలకాలని ఏ రకమైన త్రికాలుగాను ఏర్పాటు చెయ్యలేకపోవడం చూసి డోబ్‍రైనర్ కనుక్కున్న త్రికాలు కేవలం కాకతాళీయాలు అని రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలు భావించసాగారు. పైగా డోబ్‍రైనర్ త్రికాలలో పరమాణుభారాలు ఇతర లక్షణాలతో పాటు చక్కగా ఒక క్రమంలో ఇమిడే తీరు ఇతర రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలకి అంత నమ్మశక్యంగా అనిపించలేదు. పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మొదటి భాగంలో పరమాణు భారాలని తక్కువ అంచనా వేసేవారు. రసాయనిక లెక్కలలో పరమాణు భారాలని ఉపయోగించేవారు కాని, మూలకాలని ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చడానికి ఆ విలువలని వాడాలని అంతవరకు ఎవరికీ అనిపించలేదు.

అంతేకాక రసాయనిక లెక్కలు చెయ్యడానికి అసలు పరమాణు భారాలు నిజంగా ఉపయోగపడుతున్నాయా లేదో కూడా కాస్త సందేహమే. కొందరు రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలు పరమాణు భారానికి (atomic weight)  అణుభారానికి (molecualar weight) మధ్య తేడా గమనించేవారు కారు.  అలాగే మరి కొందరు పరమాణు భారానికి తుల్యభారానికి (equivalent weight) మధ్య తేడా గుర్తించేవారు కారు. ఉదాహరణకి ఆక్సిజన్ యొక్క తుల్యభారం  8  అయితే, పరమాణు భారం 16, అణుభారం 32. రసాయనిక లెక్కలలో తుల్యభారం చాలా వీలుగా తోచేది. అందుకు దాన్నే విరివిగా వాడేవారు. కనుక మూలకాల క్రమంలో ఆక్సిజన్ స్థానాన్ని నిర్ణయించేందుకు గాను దాని పరమాణు భారాన్ని (16)  ఎందుకు వాడాలో ఎవరికీ అర్థమయ్యేది కాదు.

తుల్యభారం, పరమాణు భారం, అణుభారం – ఈ విలువల అవగాహనలో ఏర్పడ్డ అయోమయ పరిస్థితి మూలకాల వరుసక్రమాన్ని అర్థం చేసుకునే ప్రయత్నం మీదే కాక, అసలు మొత్తం రసాయన శాస్త్రం మీదే దాని కల్లోలపు  ప్రభావాన్ని విస్తరింపజేసింది. మూలకాల తుల్యభారాల విషయంలో తలెత్తిన విభేదాలు, ఒక అణువులో ఎన్ని పరమాణువులు ఉంటాయి అన్న విషయంలో వివాదాలకి దారితీశాయి.

నిర్మాణ సూత్రాలకి దారి తీసిన తన పరిశోధనలని ప్రచురించిన తరువాత కేకులే ఓ ముఖ్యమైన హెచ్చరిక చేశాడు. రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ముందు ప్రయోగవేద్య (empirical formulas) సూత్రాల విషయంలో ఒక ఏకాభిప్రాయానికి రాకపోతే ఈ నిర్మాణ సూత్రాలు ఎందుకూ పనికిరావు అన్నాడు. ఈ ముఖ్యమైన అంశాన్ని చర్చించడానికి యూరప్ లోని రసాయన శాస్త్రవేత్తలు అంతా సమావేశం కావాలి అన్నాడు. అందుకు స్పందనగా చరిత్రలోనే మొట్టమొదటి అంతర్జాతీయ వైజ్ఞానిక సమావేశం జరిగింది. దాని పేరు ప్రథమ అంతర్జాతీయ రసాయనిక సమావేశం (First International Chemical Congress). 1860  లో జర్మనీలోని కార్ల్‍స్‍రూహే నగరంలో ఆ సమావేశం జరిగింది.

ఆ సమావేశంలో నూట నలభై మంది సభ్యులు హాజరు అయ్యారు. వారిలో ఇటాలియన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త స్టానిస్లావ్ కానిత్సారో (1826-1910) కూడా వున్నాడు.  రెండేళ్ల క్రితమే ఈ కానిత్సారో తన స్వదేశీయుడైన అవొగాడ్రో పరిశోధనల గురించి తెలుసుకున్నాడు. అవొగాడ్రో ప్రతిపాదన ఉపయోగించి ముఖ్యమైన వాయు మూలకాల విషయంలో అణుభారానికి, పరమాణు భారానికి మధ్య తేడా ఎలా గుర్తించవచ్చో అర్థం చేసుకున్నాడు. అలాంటి విచక్షణ సహాయంతో మూలకాల అణుభారాల సమస్యని ఎలా పరిష్కరించవచ్చో తెలుసుకున్నాడు. అలాగే అణుభారానికి, తుల్యభారానికి మధ్య తేడా గుర్తించడం కూడా ఎంత ముఖ్యమో అతడు తెలుసుకున్నాడు.

ఈ విషయం మీద కానిత్సారో ఆ సమావేశంలో గట్టిగా బల్లగుద్ది ప్రసంగించాడు. ప్రసంగం తరువాత తన పరిశోధనలని మరింత వివరంగా వర్ణించే పరిశోధనా పత్రం యొక్క ప్రతులని సమావేశంలో నలుగురికీ పంచాడు. తన ప్రయాసకి ఫలితంగా నెమ్మదిగా రసాయనిక ప్రపంచం అతడి భావాల దిశగా మొగ్గు చూపింది. అప్పటి నుండి అణుభారాల విషయంలో స్పష్టత  ఏర్పడింది. బెర్జీలియస్ ప్రచురించిన అణుభారాల పట్టిక యొక్క ప్రాముఖ్యత అందరికీ అర్థమయ్యింది.

కర్బన రసాయన చరిత్రలో ఈ సమావేశం ఒక మైలు రాయి అనుకోవాలి. ఈ పరిణామంతో ప్రయోగవేద్య సూత్రాలని అందరూ  ఒప్పుకునే పరిస్థితి ఏర్పడింది. ప్రయోగవేద్య సూత్రాలు కుదురుకున్నాక వాటిని ఉపయోగించి నిర్మాణ సుత్రాలని రూపొందించడానికి వీలయ్యింది. ఆ నిర్మాణ సూత్రాలని కూడా ముందు రెండు మితులు గల సమతలం లోను, తరువాత త్రిమితీయ ఆకాశం లోను రూపొందించడానికి వీలయ్యింది. ఈ రకమైన రూపకల్పనకి కొన్ని ఉదాహరణలు కిందటి అధ్యాయంలో ఇవ్వబడ్డాయి.

అకర్బన రసాయన శాస్త్రంలో కూడా ఈ పరిణామాలకి ఎన్నో సత్ఫలితాలు కనిపించాయి. ఇప్పుడు మూలకాలని ఒక హేతుబద్ధమైన క్రమంలో, పెరుగుతున్న పరమాణు భారపు క్రమంలో, ఏర్పాటు చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. అది జరిగాక రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఆ పట్టికని ఓ నవీన దృక్పథంతో చూడడం మొదలెట్టారు.


(ఇంకా వుంది)

కప్పలో దాగిన పాము ఏదీ?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, November 21, 2014 0 comments

పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిలోనే సింగారవేలు ముదలియార్ అనే ఓ సీనియర్ లెక్కల ప్రొఫెసరు ఉండేవారు. ఈయన ప్రఖ్యాత గణిత పత్రికలలో అచ్చయ్యే సమస్యలు తెచ్చి రామానుజన్ కి చూపించి, వాటి పరిష్కారాలు కనుక్కోమని ప్రోత్సహించేవారు. కొన్ని సార్లు లెక్క తెగకపోతే ఆ లెక్కని తెచ్చి శిష్యుడు గురువుకి చూపించేవాడు. శిష్యుడికి రాని లెక్క గురువుకి కూడా మింగుడు పడేది కాదు.
క్రమంగా పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిలో కూడా రామానుజన్ యొక్క గణిత మేధస్సుకి గుర్తింపు పెరిగింది. అయితే కుంభకోణంలో అనుభవానికి ఇక్కడ అనుభవానికి ఒక విధంగా పెద్దగా తేడా లేకపోయింది. ప్రభుత్వకాలేజిలో కూడా గణితంలో ఓ వెలుగు వెలిగినా ఇంగ్లీష్ లో వెనుకబడడం వల్ల సమస్యలు తలెత్తాయి. ఈ కొత్త కాలేజిలో ఇంగ్లీష్ సమస్య కాలేదు గాని ఇంగ్లీష్ కి బదులు ‘జీవక్రియా శాస్త్రం’ (physiology)  రామానుజన్ పాలిటి గుదిబండ అయి కూర్చుంది. 

శుద్ధ శాకాహారి అయిన రామానుజన్ కి జంతు శరీరాల అంగాంగ నిర్మాణం గురించి తెలుసుకోవడం రోత పుట్టించేది. పోనీ ఊరికే సైద్ధాంతికంగా ముక్కునబట్టి ఆ సమాచారం అంతా పరీక్షల్లో ఒలకబోసి, అయింది అనిపించడానికి లేదు. జంతు కళేబరాల మీద ప్రయోగాలు చేసి, పరిచ్ఛేదాలు చేసి తెలిసిన పరిజ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించాలి. ఆ పరిచ్ఛేదాలు ఎలా చెయ్యోలో పాఠ్యపుస్తకం సవివరంగా వర్ణించేది.
“అప్పుడే ప్రాణము పోయి, ఇంకా చర్మము వొలవని ఓ కుందేటి కళేబరాన్ని ముందుగా సమకూర్చుకోవలెను.  శవమును బోర్డు మీద వెల్లకిలా పడుకోబెట్టవలెను.  నాలుగు కాళ్లను మేకులతో బోర్డుకి కొట్టి శవమును కదలకుండా స్థిరపరచవలెను. ఇప్పుడు ఓ చిన్న పదునైన కత్తిని, ఓ కత్తెరను తీసుకుని అతి  సున్నితముగా…”
ఇలాంటి వర్ణనలు చదువుతున్న రామానుజన్ కి ఒంటి మీద తేళ్లు జెర్రులు పాకుతున్నట్టు ఉండేది.
గణితంలో అంత లోతైన పరిజ్ఞానం వున్నా తక్కిన వైజ్ఞానిక విభాగాలతో పెద్దగా పరిచయంగాని, వాటి మీద ఆసక్తి గాని లేకపోవడం ఒక సమస్య అయితే, మాంసాహారాన్ని నిషేధించే సాంప్రదాయం మరో  సమస్య. పైగా శరీరం యొక్క అంతరంగ నిర్మాణం గురించి గతంలో యోగ సాహిత్యంలో కొన్ని విషయాలు చదివి వున్నాడు. మానవ శరీరంలో కొన్ని ‘నాడు’లు ఉంటాయని, ఆ నాడులు చైతన్య కేంద్రాలైన కొన్ని ‘చక్రాల’ని కలుపుతాయని విన్నాడు. అన్నిటికన్నా అడుగున ఉన్న చక్రంలో కుండలిని అన్న పేరు గల ఓ శక్తి నిద్రాణ స్థితిలో ఉంటుందని, యోగ సిద్ధి కలిగినప్పుడు ఆ శక్తి సర్పంలా జరజర పాకుతూ నాడుల ద్వారా పైకి పోతుందని – ఇలా గతంలో యోగ సాహిత్యంలో తను చదివిన ఏవేవో విషయాలు తన మనసు మెదులుతున్నాయి. ఇక్కడ గురువులు చెప్పే శరీర నిర్మాణానికి గతంలో తను చదువుకున్న యోగ సాహిత్యానికి ఎక్కడా పొంతన కుదరడం లేదు. ఆధునిక నాడీ విజ్ఞానానికి (neuroscience), యోగ సాహిత్యంలో చెప్పే నాడీవిజ్ఞానాన్కి ఎక్కడా సంబంధం లేదని అతడికి తెలీదు. ఓ సారి జీవశాస్త్రానికి చెందిన ప్రయోగశాలలో ఓ ప్రొఫెసరు కప్ప కళేబరాన్ని పరిచ్ఛేదించి అందులోని అవయవాలని ప్రదర్శిస్తున్నాడు. ‘మరి అందులో ఓ పాము ఉండాలే, ఏదీ?’ అని అమాయకంగా అడిగాడట రామానుజన్.

మొత్తం మీద ఈ అనుభవాల వల్ల రామానుజన్ కి జీవక్రియా శాస్త్రం మీద ముందే ఉన్న ఏవగింపు భావం కాస్తా గాఢమైన  జుగుప్సగా మారిపోయింది. అందుకేనేమో, ఒక సారి జీర్ణమండలం మీద పరీక్ష రాయాల్సి వచ్చినప్పుడు, పరీక్షా పత్రంలో కేవలం నాలుగు మాటలు మాత్రం రాసి బయటిక్కొచ్చాడట – “జీర్ణమండలం మీద అధ్యయనం నాకు జీర్ణం కాలేదనడానికి ఇది నిదర్శనం.”
ఆ విధంగా లెక్కల్లో నూటికి నూరు కన్నా ఎక్కువ వచ్చినా జీవక్రియా శాస్త్రంలో పట్టుమని పది శాతం కూడా రాలేదు. మిగతా సబ్జెక్ట్ లలో కూడా మార్కులు ఆకాశాన్నంటకపోయినా గౌరవప్రదంగానే ఉన్నాయి. జీవక్రియా శాస్త్రంలో తప్పడం వల్ల 1906  లో ఎఫ్. ఏ. పరీక్ష లో తప్పాడు. మరుసటేడు కూడా పరీక్ష రాశాడు. మళ్లీ తప్పాడు.

కుంభకోణంలో జరిగిన పరాభవమే మళ్లీ జరిగింది. లెక్కల్లో రామానుజన్ ప్రతిభని కాలేజి నిస్సందేహంగా గుర్తించింది. పట్టం మాత్రం ఇవ్వనని మొరాయించింది. 

పారితోషకం రద్దు కావడం, పరీక్షల్లో తప్పడం, పట్టా చేజారిపోవడం – వీటి వల్ల రామనుజన్ జీవితం దుర్భరం అయిపోయింది. కొడుకు చదువు తండ్రికి తలకి మించిన భారం అయిపోయింది. చీరల అంగడిలో గుమాస్తాగా పని చేసే తండ్రికి నెలకి ఇరవై  రూపాయలకి మించి వచ్చేవి కావు. ఉన్న ఇంట్లో ఒక వాటా అద్దెకి ఇచ్చేవారు. దాంతో మరో పదో పరకో వచ్చేవి. తల్లి గుళ్ళో పాటలు పాడి మరో నాలుగు డబ్బులు తెచ్చేది. ఈ ఆదాయంతో ఇల్లు గడవడం కష్టమయ్యేది. దారిద్ర్య రేఖకి అతి దగ్గరగా జీవితం భారంగా సాగేది.

రామానుజన్ ఆర్థిక పరిస్థితిని కాలేజిలో తన మిత్రులు గమనించి అడపాదపా సహాయం చేసేవారు. ఒకసారి కాలేజికి వెళ్ళడానికి ‘ట్రామ్’ ఎక్కబోతుంటే గాలికి టోపీ ఎగిరిపోయింది. రామానుజన్ కి సంస్కృతం చెప్పే లెక్చరరుకి తన క్లాసులో పిల్లలు తమ పిలకలు కనిపించకుండా టోపీ పెట్టుకు రావాలని ఓ నియమం పెట్టాడు. టోపీ లేకుండా క్లాసుకు వచ్చిన రామానుజన్ ని పిలిచి వెంటనే బజారుకి వెళ్లి టోపీ కొనుక్కు రమ్మన్నాడు. టోపీ కొనుక్కోవడానికి నాలుగు అణాలు కూడా లేవని క్షమాపణ కోరాడు రామానుజన్. తన దుస్థితిని గుర్తించిన తోటి విద్యార్థులు సహాయం చేసి గండం గట్టెక్కించారు.

కాలీజి చదువు అచ్చి రాక  కుంభకోణానికి తిరిగొచ్చిన రామానుజన్ కి గడ్డు కాలం తీరలేదు. ఆకలిబాధ శ్రుతి మించితే కొన్ని సార్లు పొరుగుననే ఉన్న ఓ అవ్వ పిలిచి ఇంత బువ్వ పెట్టేది. అప్పూడప్పుడు  ఎస్. ఎమ్. సుబ్రమణియన్ అనే స్నేహితుడు ఇంటికి ఆహ్వానించి ప్రేమగా రెండు దోసెలో, ఇడ్లీలో తినిపించేవాడు. ఎదిగిన కొడుకు ఇంట్లో కూర్చుని తినడం భావ్యం కాదని రామానుజన్ నాలుగు డబ్బులు సంపాదించాలని సంకల్పించాడు. విశ్వనాథ శాస్త్రి అనే పిల్లవాడికి నెలకి ఏడు రూపాయల వేతనానికి ట్యూషన్ చెప్పడానికి ఒప్పుకున్నాడు. ఊరికి అవతలి చివర ఉన్న విశ్వనాథుడి ఇంటికి వెళ్లి ఆల్జీబ్రా, జ్యామెట్రీ, త్రికోణమితి మొదలైన అంశాల మీద పాఠం చెప్పేవాడు.

ఈ బోధన కాస్త విడ్డూరంగా ఉండేది. ఆ పాఠంలో పుస్తకం నుండి తీసుకున్నది తక్కువ, పుస్తకంలో లేనిది ఎక్కువగా ఉండేది. ఏదైనా సమస్య ఎలా చెయ్యాలో విశ్వనాథుడికి అర్థం కాకపోతే, మర్నాడు మరో కొత్త పద్ధతి చెప్పేవాడు గురువు. అది మర్చి పోతే ఆ మర్నాడు మరో పద్ధతి. ఇలా నానాటికి కొత్త కొత్త పధ్ధతులతో నిత్య నూతనంగా సాగేది బోధన. కొన్ని సార్లు లెక్కల పాఠం కాస్తా తత్వ చింతనలోకి దిగేది. “చూడడానికి, అర్థం చేసుకోడానికి అసలు ఎవరూ లేని తొలి దశలలో విశ్వం ఎలా ఉండేది?” అని అడిగేవాడు. పాఠంతో సంబంధం లేకుండా సాగే ఈ వ్యవహారం విశ్వనాథ శాస్త్రికి స్ఫూర్తి దాయకంగానే ఉండేది కాని మరి కొందరు శిష్యులకి నచ్చేది కాదు. “ఏంటో ఎప్పుడు చూసినా, అనంతరాశుల గురించి అత్యల్ప రాశుల గురించి మాట్లాడేవాడు. ఈ పాఠానికి నా పరీక్షకి మధ్య లంకె కనిపించలేదు. అందుకే మానేశాను,” అన్నాడు మరో ట్యూషన్ శిష్యుడు.

దాంతో కథ మళ్ళీ మొదటికొచ్చింది. పారితోషకం పోయింది. పట్టం పోయింది.  పట్టు మని నాలుగు రూపాయలు సంపాదించే అవకాశాన్నిచ్చిన ట్యూషన్లు కూడా అందిరాకుండా పోయాయి.
ఇక రోజంతా ఏ పనీ ఉండదు. మిగతావన్నీ చేజారిపోయినా ఇప్పుడు చేతుల నిండా తీరిక వుంది. ఆ తీరికని సద్వినియోగం చేసుకోవాలనుకున్నాడు.


గణిత ప్రపంచంలోకి ఏకాంత సాహస యాత్ర మీద బయల్దేరాడు.

(ఇంకా వుంది)

ఆవర్తన పట్టిక

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, November 20, 2014 0 comments

 అధ్యాయం 8

ఆస్తవ్యస్తంగా మూలకాలు

పందొమ్మిదవ శాతాబ్దానికి చెందిన కర్బన రసాయన చరిత్రకి, అకర్బన రసాయన చరిత్రకి మధ్య లోతైన పోలికలు ఉన్నాయి. ఆ శతాబ్దపు తొలి దశలలో కర్బన రసాయనాల సంఖ్య పెరుగుతూ వచ్చింది. అలాగే మూలకాల సంఖ్య కూడా పెరుగుతూ వచ్చింది. ఆ శతబ్దంలో ఐదవ, ఏడవ దశకాల మధ్య కాలంలో కేకులే అందించిన సూత్రాల పుణ్యమా అని కర్బన రసాయనాలని ఒక క్రమంలో ఏర్పాటు చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. అలాగే మూలకాలని కూడా ఒక క్రమంలో ఇమడ్చడానికి వీలయ్యింది. ఈ పరిణామాలకి కారణభూతమైన సంఘటనలలో ఓ అతిముఖ్య సంఘటన రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఏర్పటు చేసుకున్న ఓ ప్రముఖ అంతర్జాతీయ సమావేశం.

ఆ కథ గురించి చెప్పుకోబోయే ముందు శతాబ్దపు ఆరంభంలో ఉండే అల్లకల్లోల పరిస్థితితో మొదలుపెడదాం.
ప్రాచీనులకి తెలిసిన తొమ్మిది మూలకాల గురించి, మధ్యయుగపు పరుసవేదులకి తెలిసిన నాలుగు మూలకాల గురించి ఈ పుస్తకం ఒకటవ భాగంలో నాలుగవ అధ్యాయంలో చెప్పుకున్నాం. వాయురూపంలో ఉండే మూలకాలైన నైట్రోజన్, హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్, క్లోరిన్ లు పద్దెనిమిదవ శతాబ్దంలోనే కనుగొనబడ్డాయి. అలాగే లోహాలైన కోబాల్ట్, ప్లాటినమ్, నికెల్, మాంగనీస్, టంగ్‍స్టన్, మాలిబ్డినమ్, యురేనియమ్, టైటేనియమ్, క్రోమియమ్ లని కూడా ఆ శతాబ్దంలోనే కనుక్కున్నారు.

పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు తొలి దశకంలోనే పద్నాలుగు కొత్త మూలకాలు అంతవరకు తెలిసిన  మూలకాల పట్టికకు తోడయ్యాయి. ఈ పుస్తకంలో (మొదటి భాగంతో కలుపుకుని) పేర్కొన్న రసాయన శాస్త్రవేత్తలనే తీసుకుంటే  విద్యుత్ విశ్లేషణా పద్ధతితో డేవీ ఆరు మూలకాలని శుద్ధి చేశాడు. గే-లుసాక్ మరియు థెనార్ లు బోరాన్ ని (boron) శుద్ధి చేశారు. వొలాస్టన్ పలాడియమ్  ని (palladium), రోడియమ్ ని (rhodium) శుద్ధి చేశాడు. బెర్జీలియస్ సీరియమ్ (cerium) ని కనుక్కున్నాడు. 

అలాగే బ్రిటిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త  స్మిత్సన్ టెనంట్ (1761-1815) (వొలాస్టన్ ఇతడి వద్దనే అనుచరుడిగా పని చేశాడు) ఆస్మియమ్ (osmium) ని, ఇరిడియమ్ (iridium) ని కనుక్కున్నాడు. చార్లెస్ హాచెట్ (1765-1847) అనే మరో బ్రిటిష్ శాస్త్రవేత్త కొలంబియమ్ (columbium)  ని శుద్ధి చేశాడు. దీన్నే ఇప్పుడు సాధికారికంగా నియోబియమ్ (niobium) అంటున్నారు. ఆండర్స్ గస్టాఫ్ ఎక్బర్గ్ (1767-1813) అనే స్వీడిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త టాంటలమ్ ని  కనుక్కున్నాడు.

తదుపరి దశకాలలో వచ్చిన ఫలితాలు అంత ఘనంగా లేకపోయినా మూలకాల సంఖ్య మాత్రం పెరుగుతూనే వుంది. బెర్జీలియస్ మరి నాలుగు మూలకాలు కనుక్కున్నాడు. అవి – సిలీనియమ్ (selenium), సిలికాన్ (silicon), జిర్కోనియమ్ (zirconium), థోరియమ్ (thorium).  1797 లో లూయీ నికొలాస్ వాక్వెలిన్ బెరీలియమ్ (beryllium) ని కనుక్కున్నాడు.

1830  కల్లా యాభై ఐదు విభిన్న మూలకాలు కనుక్కోబడ్డాయి. ఇన్ని మూలకాలని అధ్యయనం చేసి వాటి లక్షణాలని ఏకరువు పెట్టడం రసాయన శాస్త్రవేత్తలకి తలకి మించిన భారం అయ్యింది. మూలకాల లక్షణాలలో గొప్ప వైవిధ్యం కనిపించింది. వాటి లక్షణాలలో ఒక అమరిక, క్రమం లోపించసాగింది. అసలు అన్ని మూలకాలు ఎందుకు ఉన్నాయి? కనుక్కోవలసినవి ఇంకెన్ని వున్నాయి? పదా? వందా? వెయ్యా? అనంతమా?

తెలిసిన మూలకాలలో ఒక క్రమాన్ని వెతకడం సహజమే. ఆ క్రమం ఏమిటో తెలిస్తే అప్పుడు అన్ని మూలకాలు ఎందుకు ఉన్నాయో అర్థమవుతుందేమో? అప్పుడు వాటి లక్షణాలలో అంత వైవిధ్యం ఎందుకు వుందో అర్థం అవుతుందేమో?

(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

Silence...Please!!!

ఆఁ...అది...ఇప్పుడు మిమ్మల్ని గ్రంథాలయంలోకి అడుగుపెట్టటానికి అనుమతినిస్తున్నా. ఇక్కడ నొక్కి లోనికి వెళ్ళండి.

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

Sign In

Share It

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email