ఊహా సంఖ్యల విషయం
ఇప్పటికీ అగమ్య గోచరంగా ఉంటే విషయాన్ని తేటతెల్లం చెయ్యడానికి ఓ చిన్న వాస్తవ సన్నివేశాన్ని
తీసుకుందాం.
గొప్ప సాహసం,
తెలివితేటలు గల ఓ కుర్రాడు ఉండేవాడు. అతడికి ఓ రోజు వాళ్ల ముత్తాతగారి కాగితాల మధ్య
ఓ తాళపత్రం దొరికింది. ఆ పత్రంలో ఓ రహస్య నిధి యొక్క ఆచూకీకి సంబంధించిన సమాచారం దొరికింది.
అందులోని ఆదేశాలు ఇలా వున్నాయి –
“___ ఉత్తర అక్షాంశం
(latitude) మరియు ____ పశ్చిమ రేఖాంశం (longitude) వరకు సముద్రం మీద ప్రయాణించు. అక్కడ
ఓ నిర్జన దీవి కనిపిస్తుంది. దీవి యొక్క ఉత్తర తీరం వద్ద ఓ విశాలమైన పచ్చిక బైలు కనిపిస్తుంది.
ఆ బైలులో ఓ ఒంటరి ఓక్ చెట్టు, ఓ ఒంటరి పైన్ చెట్టు ఉంటాయి. ఆ చెట్లకి అల్లంత దూరంలో
ఓ ఉరికంబం కూడా ఉంటుంది. వెనకటి రోజుల్లో దేశద్రోహులని అక్కడ ఉరితీసేవారు. ఉరికంబం
నుండీ బయల్దేరి అడుగులు లెక్కపెట్టుకుంటూ ఓక్ చెట్టు దిశగా నడవాలి. ఓక్ చెట్టు వద్ద
90 డిగ్రీలు కుడిపక్కకి తిరిగి మళ్లీ అన్నే
అడుగులు వెయ్యాలి. అక్కడ నేల మీద ఓ కమ్మీ పాతాలి. ఇప్పుడు ఉరికంబం వద్దకి తిరిగొచ్చి
అక్కణ్ణుంచి ఈ సారి మళ్ళీ అడుగులు లెక్కపెట్టుకుంటూ
పైన్ చెట్టు దిశగా నడవాలి. పైన్ చెట్టు వద్ద 90
డిగ్రీలు ఎడమ పక్కకి తిరిగి, ఉరికంబం నుండి పైన్ చెట్టు వరకు ఎన్ని అడుగులు
వేశామో అన్నే అడుగులు నడవాలి. అక్కడ మరో కమ్మీ పాతాలి. ఈ రెండు కమ్మీలకి సరిగ్గా మధ్య
బిందువు వద్ద నిధి వుంది.”
ఆదేశాలు చాలా
స్పష్టంగా, ప్రస్ఫుటంగా వున్నాయి. కనుక మన సాహసబాలుడు పడవెక్కి దక్షిణ సముద్రాలకి పయనమయ్యాడు.
అక్కడ దీవి కనిపించింది. దాని మీద పచ్చిక బైలు కనిపించింది. ఓక్, పైన్ చెట్లు కూడా
కనిపించాయి. కాని విధివైపరీత్యం వల్ల ఉరికంబం మాయమైపోయింది! ఆ తాళ పత్రం రాసి చాలా
కాలం అయ్యింది. ఆ తరువాత ఎన్నో వసంతాలు మారాయి. ఎండకి ఎండి, వానకి తడిసి ఉరికంబం లోని
చెక్క కుళ్ళి, శిధిలమై నేలమట్టం అయిపోయింది. అది ఒకప్పుడు ఉన్న స్థానంలో దాని ఆనవాళ్లు
కూడా మిగలలేదు.
మన సాహసబాలుడికి
ఒళ్లు మండిపోయింది. వీరావేశంతో ద్వీపం అంతా ఎక్కడ పడితే అక్కడ, ఎలా పడితే అలాగ తవ్విపారేయడం
మొదలెట్టాడు! కాని ద్వీపం చూడబోతే చాలా పెద్దది. పాపం కుర్రాడు ఎంతకని తవ్వుతాడు, ఎక్కడని
తవ్వుతాడు? అలా తవ్వగా తవ్వగా, నరాలు జివ్వున లాగగా లాగా, అలిగి, పలుగు అవతల పారేసి,
పడవెక్కి ఇంటికెళ్లిపోయాడు పాపం పసివాడు!
దీవి మీద రహస్య
నిధి మాత్రం ఎక్కడో చెక్కుచెదరకుండా వుంది.
ఇక్కడ విషయం
ఏంటంటే కుర్రాడు ఊరికే ఆవేశపడకుండా కాస్త ఊహాశక్తిని వినియోగించి ఊహాసంఖ్యల వినియోగాన్ని
అర్థం చేసుకుని వుంటే, నిధి చక్కగా చేతికి చిక్కేది. పిల్లాడు పోతే పోయాడు. పోనీ మనవైనా
ఆ నిధి సంగతేంటో చూద్దామా?
ద్వీపం మొత్తం
ఓ పెద్ద ‘సంకీర్ణ తలం’ (complex plane) అనుకుందాం.
రెండు చెట్లూ వాస్తవ సంఖ్య మీదుగా ఉన్నాయని అనుకుందాం. రెండు చెట్లకి మధ్య బిందువు
వద్ద మూలం (origin) వుందనుకుందాం. చెట్ల మధ్య
దూరం రెండు యూనిట్ల దూరం అనుకుంటే, ఓక్ చెట్టు యొక్క స్థానం -1 అవుతుంది. అలాగే పైన్
చెట్టు యొక్క స్థానం +1 అవుతుంది. ఉరికంబం
ఎక్కడుందో తెలీదు కనుక దాని స్థానాన్ని G
అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచిద్దాం. తమాషా ఏంటంటే ఆ అక్షరం చూడడానికి కూడా ఉరికంబం లాగానే
వుంటుంది. G సంకీర్ణ సంఖ్య కనుక దాన్ని ఇలా వ్యక్తం
చేద్దాం: G = a+ ib.
ఇప్పుడు ఇందాక
మనం చెప్పుకున్న ఊహాసంఖ్య మధ్య క్రియలని వాడుకుంటూ నిధి యొక్క స్థానాన్ని ఇలా లెక్కిద్దాం.
ఉరికంబం G వద్ద ఉంది కనుక, ఓక్ చెట్టు యొక్క స్థానం
-1 కనుక, రెండిటికి మధ్య ఎడాన్ని సూచించే సంకీర్ణ
సంఖ్య విలువ,
=-1 - G= -(1+ G )
అవుతుంది. అదే
విధంగా ఉరికంబానికి, పైన్ చెట్టుకి మధ్య ఎడాన్ని సూచించే ఊహాసంఖ్య విలువ,
=1 - G
అవుతుంది. ఈ
రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలని, మొదటి దాన్ని సవ్య దిశలోను, రెండవ దాన్ని అపసవ్య దిశలోను తిప్పాలంటే
వాటిని వరుసగా –i మరియు +i లతో గుణించాలి.
అప్పుడు మొదటి
కమ్మీ యొక్క స్థానం ఇలా వస్తుంది
= -(1- G)(-i) -1=(1- G)i -1
అలాగే రెండవ
కమ్మీ యొక్క స్థానాన్ని ఇలా లెక్కించొచ్చు,
= (1+ G)(i) + 1
ఇప్పుడు రెండు
కమ్మీలకి మధ్య బిందువుని ఇలా కనుక్కోవచ్చు,
=1/2 ((1- G)i -1 + (1+ G)i + 1) = ½ ((1- G)i + (1+ G)i) = ½ (2i) = i
ఈ చివర వచ్చిన
ఫలితమే నిధి యొక్క స్థానాన్ని తెలుపుతోంది అన్నమాట. ఇక్కడ ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏంటంటే
నిధి యొక్క స్థానం ఉరికంబం యొక్క స్థానం (G)
మీద ఆధారపడి లేదు. ఉరికంబం ఎక్కడున్నా నిధి యొక్క స్థానం మాత్రం అదే అవుతుంది.
నిధి యొక్క స్థానం
+i వద్ద వుంది. అంటే రెండు చెట్లకి మధ్య బిందువు నుండి “పైకి” ఒక యూనిట్
దూరం నడిస్తే నిధి ఉన్న స్థానాన్ని చేరుకుంటాం అన్నమాట. ఊహాసంఖ్యల గణితం సహాయంతో తేల్చుకున్న
ఈ ఫలితం నిజమని రూఢి చేసుకోవాలంటే ఓ కాగితం మీద పైన చెప్పుకున్న ఆదేశాలని అనుసరిస్తూ
జ్యామితిబద్ధంగా బొమ్మ గీసి చూడండి. నిధి స్థానానికి ఉరికంబం యొక్క స్థానానికి సంబంధం
లేదని తెలుస్తుంది.
Sqrt(-1) అనే ఊహాసంఖ్య సహాయంతో కనుక్కోబడ్డ మరో రహస్య నిధి
కూడా వుంది. మన సామాన్య అనుభవంలో భాగంగా పొడవు,
వెడల్పు, ఎత్తు అనే మూడు కొలతలు గల త్రిమితీయ ఆకాశాన్ని (three-dimensional space) కాలం అనే మరో కొలతతో సంధించి, పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు,
కాలం అనే నాలుగు మితులు గల చతుర్మితీయ ఆకాశాన్ని (four-dimensional space), దాన్ని
శాసించే చతుర్మితీయ జ్యామితికి చెందిన సూత్రాలని ఊహాసంఖ్యల గణితం సహాయంతో కనుక్కోవడం
సాధ్యపడింది. ఈ ఆవిష్కరణలే ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టయిన్ ప్రతిపాదించిన సాపేక్ష సిద్ధాంతంలో
చోటు చేసుకున్నాయి.
(అధ్యాయం సమాప్తం)
పైతాగొరాస్ కప్పు
ఇదో తమాషా కప్పు.
ఇందులో పోసుకుని తాగితే తప్పనిసరిగా మోతాదులో తాగాల్సి ఉంటుంది.
ప్రలోభం కొద్ది
కాస్త ఎక్కువ పోసుకుంటే అంతా రసాభాస అవుతుంది!
ఇది ఎలా పని
చేస్తుంది?
కప్పు మధ్యలో
చిన్న స్తంభం లాంటి నిర్మాణం కనిపిస్తోంది (fig 1). ఆ స్తంభం లోపల రహస్యంగా ఓ సైఫన్ (syphon) లాంటి ఏర్పాటు వుంది (fig 2). కప్పులో రసం నింపుకుంటున్నప్పుడు
లోపల సైఫన్ లో కుడా పానీయం నిండుతూ వుంటుంది. కప్పులో పానీయం యొక్క మట్టం ఒక స్థాయి
కన్నా మించితే సైఫన్ లో రెండవ వైపుకి పానీయం ప్రవహిస్తుంది. ఇక అక్కణ్ణుంచి సైఫన్ ద్వారా
కప్పులో ఉన్న పానీయంలో కొంత భాగం (నిర్ణీత మట్టం కన్నా అధికంగా వున్న భాగం) కప్పు కింద
వున్న రంధ్రం ద్వారా కిందికి కారిపోతుంది.
అతిగా
తాగబోయిన వాడి పరిస్థితి “తడిసి” మోపెడు అవుతుంది!!!
అప్పుడు మావయ్య
కళ్ళద్దాలు పెట్టుకుని దాన్ని కాసేపు శ్రద్ధగా చూశాడు. కాని ఆ ‘కాసేపు’ నాకో యుగంలా
తోచింది.
“అవునవును!”
ఉత్సహంగా అరిచాడు మావయ్య. “ఓ పెద్ద తిరగేసిన శంకువు కనిపిస్తోంది. సముద్రపు ఉపరితలం
నుండి పైకొస్తోంది.”
“అది కూడా మరో
సముద్రపు మృగమా?”
“కావచ్చు.”
“అయితే మనం ఇంకా
పశ్చిమంగా ప్రయాణిద్దాం. ఎందుకంటే ఇలాంటి రాకాసులతో ఎలాంటి ప్రమాదాలు వస్తాయో మనకి
బాగా తెలుసు.”
“వద్దు. సూటిగా
ముందుకే పోదాం,” అన్నాడు మావయ్య.
నేను హన్స్ తో
నా బాధ విన్నవించుకోబోయాను. తను మాత్రం నిబ్బరంగా పడవను ముందుకే పోనిస్తున్నాడు.
ఆ మృగం నుండి
ప్రస్తుతం మేం ఉన్న దూరం నుండి… అంటే సుమారు పన్నెండు కోసుల దూరం నుండి… చూస్తున్నా
కూడా దాని తల మీద రంధ్రాల లోంచి పైకి ఎగజిమ్మబడుతున్న నీటి ధారలు స్పష్టంగా కనిపిస్తున్నాయంటే
ఆ జంతువు నిజంగా చాలా పెద్దదై వుండాలి. బుద్ధి వున్న వాడైతే పలాయనం చిత్తగిస్తాడు.
కాని ఇంతవరకు మేమైతే అలాంటి బుద్ధిని ప్రదర్శించలేదు.
అలా బుద్ధి లేకుండా
నెమ్మదిగా ముందుకు సాగిపోయాం! ముందుకు సాగుతున్న కొద్ది ఆ నీటి ధారలు మరింత పెద్దవి
అవుతున్నాయి. అంత ఎత్తుకి, అంత మొత్తంలో నీటిని
ఎగజిమ్ముతోందంటే ఆ రాకాసి ఎంత పెద్దది అయ్యుండాలో?
రాత్రి ఎనిమిది
అయ్యేసరికి ఆ నీటి ధారలకి రెండు కోసుల దురానికి వచ్చేశాం. గుట్టలతో, మిట్టలతో మసక చీకటిలో
సముద్రం మీద చిన్న పాటి దీవిలా విస్తరించిందా మృగం. అది మా భ్రమా,భయమా? దాని వెడల్పు
రెండు వేల గజాలు ఉంటుందేమో. కూవియే, బ్లూమెన్ బాక్ లాంటి పండితులకి కూడా తెలీని ఇలాంటి
సిటేసియన్ జాతి జీవం ఏమై ఉంటుంది? నిశిరాతిర్లో నిద్దరోతున్నట్టు నిశ్చేష్టంగా వుందది.
కెరటాలు దాని అంచులని లయబద్ధంగా తాకుతున్నాయి. సుమారు ఐదొందల అడుగుల ఎత్తుకి లేస్తున్న
ఆ నీటిధార హోరుమని వర్షంలా కిందకి పడుతోంది. తుఫాను బాటలో తారట్లాడే వెర్రి వాళ్లలా,
రోజుకి నూరు తిమింగలాలని హాం ఫట్ చేసినా తృప్తి లేని ఆ సముద్ర రాక్షసి సమక్షంలో నించున్నాం.
నాకైతే వొంట్లో
వొణుకు పుడుతోంది. ఇక లాభంలేదు. ప్రొఫెసరు మీద యుద్ధం ప్రకటించి ఈ ఉన్మాదాన్ని ఆపాల్సిందే.
అంతలో హన్స్
ఉన్నట్లుండి లేచి నించుని ఆ మృగం కేసి వేలితో చూపిస్తూ,
“హోమ్” అని అరిచాడు.
“ద్వీపం!” అని
అరిచాడు మావయ్య.
“ఇది ద్వీపం
ఏంటి నా మొహం” బిత్తరపోతూ అన్నాను.
“అవును అది నిజంగా
ద్వీపమే,” అన్నాడు మావయ్య పగలబడి నవ్వుతూ.
“మరి ఆ నీటి
ధారలేంటి?”
“అదో గీసరు, వేణ్ణీటి బుగ్గ. ఐస్లాండ్ లో వున్న గీసర్ల
లాంటిదే ఇదీను.”
ద్వీపాన్ని చూసి
సముద్రపు రాకాసి అని భ్రమపడ్డ నా మూర్ఖత్వానికి నన్ను నేనే తిట్టుకున్నాను. ఇప్పుడు
వాస్తవం స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది.
(ఇంకా వుంది)
గమనిక - ఈ సీరియల్ మొదటి నుండీ అనుసరిస్తున్న వారికి తెలిసి వుంటుంది. కాని కొత్తవారికి తెలియజేస్తున్న విషయం ఏంటంటే ఇది జూల్స్ వెర్న్ రాసిన 'జర్నీ టు ద సెంటర్ ఆఫ్ ద ఎర్త్' అనే నవలకి అనువాదం.
