శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.


fluxions  కి చెందిన విధానాలు ఎక్కడ పనికొస్తాయో తెలిపేందుకు చిన్న ఉదాహరణ తీసుకుందాం. ఒక వాహనం 10 కిమీ/గం వేగంతో కదులుతోంది అనుకుందాం. అది గంటకి  10  కిమీల దూరం కదులుతుంది. రెండు గంటలకి 20  కిమీలు కదులుతుంది. విషయాన్ని రేఖాత్మకంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. కింది చిత్ర పటంలో x-అక్షం మీద కాలాన్ని (గంటల్లో) వ్యక్తం చేస్తున్నాం. అలాగే y-అక్షం  మీద వేగాన్ని కిమీ/గం లో వ్యక్తం చేస్తున్నాం. వాహనం యొక్క వేగం కాలానుగతంగా వ్యక్తం చెయ్యాలంటే x-అక్షానికి సమాంతరంగా 10 కిమీ/గం వద్ద  గీత గీయాలి.  వాహనం కదిలిన దూరం రేఖకి అడుగున వున్న విస్తీర్ణత విలువ అవుతుంది అని సులభంగా గుర్తించొచ్చు (చిత్రంవేగం a’).
 
చిత్రంవేగం a’:  వాహనం 10 కిమి/గం వేగంతో కదులుతోంది. ఒక గంటలో అది కదిలిన దూరం పై చిత్రంలో బూడిద రంగు ప్రాంతం యొక్క విస్తీర్ణత అవుతుంది.

ఇప్పుడు వాహనం సమ వేగంతో కాక క్రమంగా పెరిగే వేగంతో కదులుతోంది అనుకుందాం. (ఇలాంటి చలనానికి సామాన్యమైన ఉదాహరణ కింద పడుతున్న రాయి. కింద పడుతున్న రాయి స్థిరమైన గురుత్వ త్వరణం వద్ద పడుతుంటుంది. దాని వేగం క్రమంగా పెరుగుతుంటుంది.) వాహనం యొక్క ఆరంభ వేగం 0  అనుకుంటే దాని వేగం మారే తీరుని సరళ రేఖ చేత వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు (చిత్రంవేగం b’). వాహనం కదిలిన దూరం సరళ రేఖ కింద విస్తీర్ణతతో సమానం. సరళ రేఖ కి అడుగున వున్న విస్తీర్ణం లంబకోణ త్రిభుజాకారంలో వుంది కనుక దాని విస్తీర్ణం విలువ,
= ½  ఆధారం  X  ఎత్తు = ½   కాలం X  గరిష్ట వేగం
 

చిత్రంవేగం b’:  వాహనం సమ త్వరణంతో అంటే సమంగా పెరిగే వేగంతో కదులుతోంది. ఒక గంటలో అది కదిలిన దూరం పై చిత్రంలో బూడిద రంగు ప్రాంతం యొక్క విస్తీర్ణత అవుతుంది.

ఇప్పుడు మరో ఉదాహరణని తీసుకుందాం. సారి వాహనం సమ త్వరణంతో కదలడం లేదు. దాని వేగం ఏదో సంక్లిష్టమైన నియమాన్ని అనుసరించి కదులుతోంది. దాని వేగం మారే తీరుని చిత్రంవేగం c’  లోని రేఖాపటం లో చూడవచ్చు. సారి రేఖ కి అడుగున వున్న ఆకారం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం ఎలా?

 
చిత్రంవేగం c’:  వాహనం యొక్క వేగం సంక్లిష్టమైన విధంగా మారుతోంది. సారి కూడా ఒక గంటలో అది కదిలిన దూరం పై చిత్రంలో బూడిద రంగు ప్రాంతం యొక్క విస్తీర్ణత అవుతుంది.

ఇక్కడే న్యూటన్ అద్భుతమైన విధానాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. చిత్రం విస్తీర్ణత a’  లో కనిపించే రేఖ కింది వైశాల్యాన్ని చిన్న చిన్న దీర్ఘవృత్తాలతో ఉజ్జాయింపుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చని గమనించవచ్చు. అప్పుడు దీర్ఘవృత్తాల వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలో తెలుసు కనుక వాటి మొత్తం వైశాల్యం ఉజ్జాయింపుగా రేఖ కి అడుగున వున్న వైశాల్యం విలువకి ఇంచుమించుగా సమానం అవుతుంది. కాని అది ఇంచుమించుగా మాత్రమే. ఎందుకంటే దీర్ఘచతురస్రాల కొసల వద్ద రేఖాకారానికి, దీర్ఘచతురస్రాలకి మధ్య కాస్త సందు వుంటోంది

 
చిత్రంవిస్తీర్ణత  a’: చిత్రంవేగం c’ లో వక్రం కింద విస్తీర్ణతని నాలుగు దీర్ఘచతురస్రాలతో కప్పొచ్చు. దీర్ఘ చతురస్రాల మొత్తం విస్తీర్ణత వక్రం కింది విస్తీర్ణతకి ఉజ్జాయింపు అవుతుంది.

అయితే దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య పెంచితే దోషం తగ్గుతుంది. సంగతిని చిత్రంవిస్తీర్ణత b’ లో చూడొచ్చు. అయితే సారి దోషం తగ్గింది అన్నమాటే గాని అసలు దోషం లేదని కాదు

 

చిత్రంవిస్తీర్ణత  b’: చిత్రంవేగం c’ లో వక్రం కింద విస్తీర్ణతని స్దారి ఎనిమిది దీర్ఘచతురస్రాలతో కప్పుతున్నాం. దీర్ఘ చతురస్రాల మొత్తం విస్తీర్ణత వక్రం కింది విస్తీర్ణతకి ఉజ్జాయింపు అవుతుంది.

కనుక దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్యని పెంచుతున్న కొద్ది చిత్రం వేగం c’  లో కనిపిస్తున్న వక్రరేఖకి అడుగున వున్న విస్తీర్ణతని మరింత నిర్దుష్టంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు (‘విస్తీర్ణత a’, ‘విస్తీర్ణత b’). కాని అసలు దోషమే లేకుండా వ్యక్తం చెయ్యాలంటే అనంత సంఖ్యలో దీర్ఘచతురస్రాలు అవసరమవుతాయి

మరి చిత్రం వేగం c’  లో కనిపిస్తున్న వక్రరేఖకి అడుగున వున్న వైశాల్యాన్ని దోషం లేకుండా దీర్ఘచతురస్రాల సమూహం లాగా  వ్యక్తం చెయ్యడం ఎలా?

ఇక్కడే న్యూటన్ అధ్బుతమైన ఊహని ప్రవేశపెట్టాడు. మితమైన సంఖ్యలో దీర్ఘచతురస్రాలని తీసుకుంటే సంఖ్య ఎంత పెద్దదైనా ఎంతో కొంత దోషం వుంటుంది. అయితే వాటి సంఖ్య పెద్దది అవుతున్న కొద్ది దోషం తగ్గుతూ వస్తుంది. ఇక్కడ మనం గమనించవలసిన మరో విషయం ఏంటంటే దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య పెరుగుతున్న కొద్ది వాటి వెడల్పు తగ్గుతూ వస్తుంది. ఉదాహరణకి దీర్ఘచతురస్రాల  వెడల్పు 0.1 గం అనుకుంటే, మొత్తం కాలం విలువ  1 గం కనుక, మనకి 1/0.1 = 10 దీర్ఘచతురస్రాల కావాలి. అదే విధంగా దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పు 0.01 గం అయితే 100  దీర్ఘచతురస్రాల పడతాయి

కనుక ప్రతీ సారి
దీర్ఘచతురస్రాల  వెడల్పు   X  దీర్ఘచతురస్రాల  సంఖ్య = 1 ( స్థిర రాశి) అవుతుంది.

ఇప్పుడు దీర్ఘచతురస్రాల  వెడల్పు సున్నాని సమీపిస్తోంది అనుకుంటే, దీర్ఘచతురస్రాల  సంఖ్య అందుకు విలోమంగా మారుతోంది కనుక సంఖ్య అనంతంగా పెరుగుతుంటుంది. అలా అనంతమైన అత్యంత సూక్ష్మమైన దీర్ఘచతురస్రాల తో చిత్రంవేగం c’  లో కనిపించే వక్రరేఖకి అడుగున వున్న విస్తీర్ణతని  వ్యక్తం చెయ్యొచ్చని నిరూపించాడు న్యూటన్. అలాంటి విచిత్రమైన నిర్మాణంతో రేఖాకారానికి అడుగున వున్న విస్తీర్ణతని  ఎల లెక్కించాలో చూపించాడు

భావనలే ఆధునిక calculus  కి పునాదులు అయ్యాయి.

(ఇంకా వుంది)

0 comments

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email