శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

ఊహాసంఖ్యలకి దృశ్యరూపం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, August 31, 2013



ఊహా సంఖ్యల గురించి ఈ విధమైన సద్విమర్శలు, సంజాయిషీలు జరుగుతూనే వున్నా ఆ సంఖ్యలు గణితంలో ఓ సముచితమైన, అనివార్యమైన స్థానాన్ని ఆక్రమించుకున్నాయి. భిన్నాలు, కరణీయ సంఖ్యలు మొదలైన సంఖ్యల లాగానే ఊహా సంఖ్యలు లేకుండా గణితజీవనం గడవదన్న పరిస్థితి వచ్చేసింది.

ఒక విధంగా చెప్పాలంటే  ఊహాసంఖ్యల కుటుంబం మనకి తెలిసిన వాస్తవ సంఖ్యలకి ప్రతిబింబం లాంటిది. ఎలాగైతే  1  అన్న సంఖ్య నుండి వాస్తవ సంఖ్యలన్నిటినీ  నిర్మించవచ్చో, అదే విధంగా sqrt(-1)  అనే మూల సంఖ్య నుండి మొత్తం ఊహాసంఖ్యలు అన్నిటినీ నిర్మించవచ్చు. ఈ sqrt(-1)  అన్న రాశినే సామాన్యంగా  i  అన్న అక్షరంతో సూచిస్తారు.

కనుక ఉదాహరణకి sqrt(-9)  అన్న సంఖ్యని sqrt(9) X sqrt(-1) = 3i  అని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. అదే విధంగా sqrt(-7) =   i2.646…  అవుతుంది. అలాగే కార్డాన్ చేసినట్టుగా వాస్తవ సంఖ్యలని, ఊహాసంఖ్యలని కలిపి  వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు ఇలా: 5+sqrt(-15) = 5 + i sqrt(15). ఇలాంటి సంకీర్ణ రాశులని  ‘సంకీర్ణ సంఖ్యలు’ (complex numbers)  అంటారు.
గణితరంగంలోకి ఊహాసంఖ్యలు రంగప్రవేశం చేసిన రెండు శతాబ్దాల వరకు కూడా వాటిని ఓ విడ్డూరమైన సృష్టిలాగా, లోతైన గణిత పునాదులు లేని ఓ వైపరీత్యం లాగా పరిగణిస్తూ వచ్చారు. అలాంటి పరిస్థితిలో ఇద్దరు కుర్ర గణితవేత్తలు ఊహాసంఖ్యలకి ఓ చక్కని జ్యామితి పరమైన అన్వయాన్ని (geometric interpretation) అందించి పరిస్థితిని పూర్తిగా మార్చేశారు. ఆ గణితవేత్తలలో ఒకరు నార్వేకి చెందిన ‘వెసెల్’ అనే సర్వేయరు, మరొకరు పారిస్ కి చెందిన రాబర్ట్ ఆర్గాన్ అనే దివాను.

వీరి అన్వయం ప్రకారం ఉదాహరణకి  3 + i4  అనే సంఖ్యని కింది చిత్రంలో లాగ 3 ని అడ్డుదూరం లాగాను,  4  ని నిలువు దూరం లాగానూ ప్రదర్శించొచ్చు.

అసలు వాస్తవ సంఖ్యలు అన్నిటినీ (అవి ఋణమైనా ధనమైనా)  అడ్డు అక్షం మీదుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. అలాగే ఊహాసంఖ్యలు అన్నిటినీ  నిలువు అక్షం మీదుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి అడ్డు అక్షం మీద ఉండే   3  అనే సంఖ్యని, నిలువు అక్షం మీద వుండే  i అనే సంఖ్యతో గుణిస్తే ఫలితంగా 3i  అనే ఓ శుద్ధ ఊహా సంఖ్య వస్తుంది. దీన్ని  నిలువు అక్షం మీద వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. అంటే ఒక సంఖ్యని  i  తో    గుణకారం చెయ్యడం అంటే  చిత్రంలో ఆ సంఖ్యకి చెందిన బిందువుని 90  డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిప్పడం అన్నమాట!



ఇప్పుడు 3i  అని మళ్లీ i తో గుణిస్తే ఫలితంగా 3i X i = -3 వస్తుంది. ఈ మార్పుని చిత్రంలో సూచించాలంటే ఇందాకటి బిందువుని మరో సారి 90  డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిప్పాలి. అంటే  iXi = i^2  తో గుణకారం అంటే 180  డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిప్పడం అన్నమాట. అంటే   3  వద్ద ఉన్న బిందువు -3  వద్దకి వస్తుంది. ఈ విధంగా గణిత ప్రక్రియకి, జ్యామితి పరమైన ప్రక్రియకి మధ్య పొంతన ఏర్పడుతోంది.
పై సూత్రం సంకీర్ణ సంఖ్యలకి కూడా వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకి  3+4i  ని  i తో గుణిస్తే
(3+4i)i = 3i + 4(iXi) = 3i – 4= -4+3i
వస్తుంది. కింది చిత్రంలో (3+4i)  కి సంబంధించిన బిందువుని 90  డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిప్పితే (-4+3i) కి సంబంధించిన బిందువు వస్తుంది. 


కనుక i తో గుణకారం అంటే మూలబిందువు (origin) మీదుగా 90  డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిప్పడం అన్న సత్యం మళ్లీ ఇక్కడ కనిపిస్తుంది.

(ఇంకా వుంది)


5 comments

  1. Anonymous Says:
  2. I assume you are talking about Complex Numbers.

    1. sqrt(-1) is not the generator* "i" in the field of Complex Numbers.
    2. sqrt(-1) doesn't exist in field of Real Number, more over it is not a single value, it has infinite values over a Complex Field.

    * If i = sqrt(-1) then i^2 = -1, and, sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(-1 * -1) = sqrt(1) = 1. So, -1 = 1. A contradiction.

    i is defined as the root of the equation x^2+1 = 0. And i^2 belongs to R, but i doesn't belongs to R. Hence you can't associate some value for i. It's common human logical error one tends to do by saying i = sqrt(-1). But there are uncountably many such things exist whose square is -1.

    Taara

     
  3. Thank you very much for the clarification.
    Just a doubt: how can there be uncountably many quantities whose square is -1?
    I can understand how it can be countably infinite.
    Just interested to know...

     
  4. Anonymous Says:
  5. Yes, there are infinite fields which are isomorphic to C as fields(rings). Just to give an example, take complex conjugation where 1 -> 1 and i -> -i, again (-i)^2 = -1. Each field isomorphic to C is itself unique and quite different from C.

    And if you talk about non fields, like for example take set of 2x2 matrices, with zeros on non diagonal entries, and you map a + ib to a , 0 and 0, b (rows). Then you can get a 2 x 2 matrix such that its square is 1. It still satisfies the equation x^2 + 1 and hence its root is i here in this space i is 2 x 2 matrix. Like 1, -2 and 1, -1. If you take a variable matrix A = (a b) (c d) then A^2 = -1. You can get infinite solutions here. (ofcourse they are countable). But when you consider all vector spaces you can embed, they are uncountable. Similarly the fields which are isomorphic to C, they are also uncountable. So, it goes on :-).

     
  6. Anonymous Says:
  7. Yes, there are infinite fields which are isomorphic to C as fields(rings). Just to give an example, take complex conjugation where 1 -> 1 and i -> -i, again (-i)^2 = -1. Each field isomorphic to C is itself unique and quite different from C.

    And if you talk about non fields, like for example take set of 2x2 matrices, which are Linear transformations from C to itself. Then you can get a 2 x 2 matrix such that its square is -1. It still satisfies the equation x^2 + 1 and hence its root is i here in this space i is 2 x 2 matrix. Like 1, -2 and 1, -1. If you take a variable matrix A = (a b) (c d) then A^2 = -1. You can get infinite solutions here. (ofcourse they are countable). But when you consider all vector spaces you can embed, they are uncountable. Similarly the fields which are isomorphic to C, they are also uncountable. So, it goes on :-).

    (pls ignore my above comment)

     
  8. SANdeep88 Says:
  9. Aadunika samajam lo athi mukyamyna 'Economics' mida kuda Articls chupandi baguntai..

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email