శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

కడు విచిత్రమైన ఊహా సంఖ్య - sqrt(-1)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Sunday, August 11, 2013

 
ఇప్పుడు మరి కాస్త ఉన్నత గణితం వైపు దృష్టి సారిద్దాం. రెండు రెళ్ళ నాలుగు, మూడు మూళ్ల తొమ్మిది, నాలుగు నాలుగుల పదహారు, ఐదు ఐదుల ఇరవై ఐదు. కనుక నాలుగుకి వర్గమూలం (square root) రెండు, తొమ్మిదికి వర్గమూలం మూడు, పదహారుకి వర్గమూలం నాలుగు, ఇరవై ఐదుకి వర్గమూలం ఐదు.
కాని ఋణసంఖ్యకి వర్గమూలం ఉంటుందా? Sqrt(-5), sqrt(-1) లాంటి సమాసాలకి ఏవైనా అర్థం వుంటుందా?
తార్కికంగా ఆలోచిస్తే మరి ఋణ సంఖ్యలకి వర్గమూలం ఉండదనే అనిపిస్తుంది. పన్నెండవ శతాబ్దానికి చెందిన భారతీయ గణితవేత్త భాస్కరాచార్యుడు ఈ విషయం మీద ఇలా వ్యాఖ్యానించాడు – “ధన సంఖ్యకైనా, ఋణసంఖ్యకైనా వర్గం (square) ఎప్పుడూ ధన సంఖ్యే అవుతుంది. కనుక ధనసంఖ్య యొక్క వర్గమూలం ధనమైనా కావచ్చు, ఋణమైనా కావచ్చు. ఋణసంఖ్యకి మాత్రం వర్గమూలం ఉండదు, ఎందుకంటే ఋణసంఖ్య వర్గం కాదు.”

కాని గణితవేత్తలు మొండివాళ్లు. విషయం ఎంత అర్థరహితంగా అనిపించినా అది పదే పదే వాళ్ల గణిత విశ్లేషణలలో తలెత్తుతూ ఉంటే దాన్ని ఏదో విధంగా అర్థవంతం చెయ్యాలని చూస్తారు. ఋణ సంఖ్యల యొక్క వర్గమూలాలు ఎన్నో సందర్భాలలో ప్రత్యక్షం అవుతూ ఉంటాయి. అవి గత గణితవేత్తలని ఇబ్బంది పెట్టిన అంకగణిత సమస్యలే కావచ్చు, ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు శాస్త్రవేత్తలు తలమునకలయ్యేలా చేసిన దేశ-కాలాలకి సంబంధించిన సాపేక్ష సిద్ధాంతం కావచ్చు.

‘ఋణసంఖ్య యొక్క వర్గమూలం’ అనే అర్థం పర్థం లేని భావనని మొట్టమొదట కాగితం మీద పెట్టిన వాడు ఇటాలియన్ గణితవేత్త కార్డాన్.  అతి సామాన్యంగా కనిపించే ఓ సమస్యతో బయల్దేరాడు కార్డాన్.  రెండు సంఖ్యల మొత్తం  10, వాటి లబ్దం 40.  ఆ సంఖ్యలు ఏంటి? దీని పరిష్కారాలు అకరణీయ సంఖ్యలు (rational numbers)  కాలేవని గుర్తించిన కార్డాన్ ఆ పరిష్కారాలని ఈ కింది అసాధ్యమైన రూపంలో వ్యక్తం చేశాడు.
5 + sqrt(-5), 5 – sqrt(-5)
అయితే కార్డాన్ పైన ఇవ్వబడ్డ గణిత రాశి అసాధ్యమని, వట్టి బూటకమని, ఊహాజనకమని సంశయిస్తూనే రాశాడు.

కాని ఋణ సంఖ్యల వర్గమూలాలని రాయడానికి ధైర్యం చేస్తే 10  ని పైన లెక్కలో కావలసినట్టుగా రెండుగా విభజించే సమస్యని పరిష్కరించవచ్చు. ఆ విధంగా ఒక సారి అలా మొదటి మొట్టు వేసి ఋణసంఖ్యల వర్గమూలాలతో వ్యవహరించడం మొదలెట్టాక గణితవేత్తలు వాటిని పలు సందర్భాలలో వాడడం మొదలెట్టారు. అయితే అంతో ఇంతో సంశయిస్తూనే, క్షమాపణలు చెప్తూనే వాటి వినియోగాన్ని కొనసాగించారు.

ప్రఖ్యాత జర్మన్ గణితవేత్త లియొనార్డ్ ఆయులర్ (Leonhard Euler) 1770  లో రాసిన బీజగణితం మీద పుస్తకంలో ఈ “ఊహా సంఖ్యల” ని ఎన్నో ప్రయోజనాల కోసం వాడడం కనిపిస్తుంది. కాని వాటిని అంత విరివిగా వాడిన ఆయిలర్ కూడా వాటి గురించి హెచ్చరికగా ఇలా అంటున్నాడు – “sqrt(-1), sqrt(-2) మొదలైన రాశులన్నీ అసంభవ రాశులు, అవి ఊహా సంఖ్యలు. ఎందుకంటే అవి ఋణసంఖ్యలకి వర్గమూలాలు. అవి సున్నా అని చెప్పలేం, సున్నా కన్నా పెద్దవని గాని, చిన్నవని గాని చెప్పలేం. కనుక అవి ఊహాసంఖ్యలని, లేదా అసంభవ సంఖ్యలని మాత్రమే అనవలసి వస్తుంది.”

(ఇంకా వుంది)


2 comments

  1. Anonymous Says:
  2. Sir, Nice to see your explanation on Complex nos, playing a vital role in engineering and Science.Very interesting. Ramakrishna Tirupathi.

     
  3. తార Says:
  4. You have to edit all these posts. As I previously commented that i is not sqrt -1. When every you write i = sqrt -1, you should specify the principal branch or else sqrt function is no longer a function on Complex plane.

    More over, here you are using i as root o x^2 +1.

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email