శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

రామానుజన్ పరిష్కరించిన పెల్ సమీకరణం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, April 2, 2015
సామాన్య దృష్టికి అందవిహీనంగా కనిపించే వస్తువులో కూడా భావుకుడికి సౌందర్యం సాక్షాత్కరించినట్టు అలాంటి ఉద్విగ్న భరిత పరిస్థితుల్లో కూడా గణితవేత్తల మనసు లెక్కల మీదకి పోతుంది కాబోలు. స్ట్రాండ్ అన్న పత్రిక గణిత సమస్యల మీద  ఓ సరదా శీర్షిక నడిపేది. లోవేన్ ఉదంతం నేపథ్యంలో ఓ సారి ఆ శీర్షికలో ఓ చిత్రమైన సమస్య ప్రచురించబడింది. ఆ సమస్య ఇలా ఉంది -
“లోవేన్ నగరంలో ఒక వీధిలో వరుసగా 1, 2, 3, … n, అని అంకెల గుర్తులు ఉన్న ఇళ్లు ఉన్నాయి. ఈ వరుసలో ఒక ప్రత్యేకమైన ఇల్లు వుంది. దాని స్థానం  x. ఆ ఇంటికి కుడి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం ఎంతో, ఎడమ పక్క ఉండే ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం కూడా అంతే. ఇప్పుడు  n  విలువ  50కి, 500  కి మధ్య ఉందని అనుకుంటే , n, x,  ల విలువలు ఎంత? (జర్మను సేనలు నగరాన్ని ధ్వంసం చేశాయి కనుక, నగరానికి వెళ్లి, స్వయంగా చూసి విషయం తేల్చుకునే అవకాశాం లేదు.)”

ఈ సమస్యని ఒక వ్యక్తి రామానుజన్ కి తెచ్చి చూపించాడు. ఆ వ్యక్తి ఎవరో కాదు – కలకత్తా కి చెందిన ప్రఖ్యాత భారతీయ గణితవేత్త పి. సి. మహలనోబిస్ (P.C. Mahalanobis). ఆ రోజుల్లో మహలనోబిస్ కింగ్స్ కాలేజిలో చదువుకునేవాడు. ట్రైపోస్ ప్రవేశ పరీక్ష కోసం చదువుకునేవాడు. ‘వెవెల్ కోర్ట్’ అనే భవనంలో రామానుజన్ ఉండే గదికి పక్క గదిలోనే ఉండేవాడు. ఆ సమయంలో రామానుజన్ ఎంతో అపురూపంగా గ్యాస్ స్టవ్ మీద దోరగా కూరలు వేయిస్తున్నాడు. మహలనోబిస్ వచ్చి పై సమస్య చదివి వినిపించాడు.

ఆ సమస్యకి రామానుజన్  ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు. ఆ పరిష్కారంలో ఒక విశేషం వుంది. ‘అవిచ్ఛిన్న భిన్నాల’ని (continued fractions) ఉపయోగించి ఈ సమస్యని పరిష్కరించాడు. అంతే కాక, ఈ ఒక్క సమస్యనే కాక, ఈ వర్గానికి చెందిన మరెన్నో సమస్యలని కూడా అదే దెబ్బతో పరిష్కరించాడు. “అలా ఎలా చెయ్యగలిగావ?”ని అడిగాడు ఆ దెబ్బకి ఇంకా తేరుకోని మహలనోబిస్. “ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది,” అని బదులు చెప్పాడు రామానుజన్.
పైన చెప్పుకున్న సమస్యకి పరిష్కారాన్ని ఇలా ప్రారంభించొచ్చు. x  వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి ఒక పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
1 + 2 + 3 … (x-1) = x(x-1)/2
(ఇక్కడ, 1 + 2 + …+m = m(m+1)/2  అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాం.)
అలాగే x  వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి అవతలి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
(x+1) + (x+2) + (x+3)+ … +n = n(n+1)/2 –  (x)(x+1)/2
కనుక,
x(x-1)/2 = n(n+1)/2 –  (x)(x+1)/2
పైన సమీకరణంలోని పదాలకి కాస్త అటు ఇటు చేస్తే,
(2n + 1)2 – 2 (2x) 2 = 1
దీన్ని మరింత సామాన్య రూపంలో ఇలా రాసుకోవచ్చు,
u2 – 2v2 = 1
దీన్నే ‘పెల్’ (Pell)  సమీకరణం అని అంటారు. ప్రాచీన భారత గణితవేత్తలైన బ్రహ్మగుప్తుడికి, భాస్కరుడికి కూడా ఈ సమీకరణం తెలుసు కనుక దీన్ని బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఈ సమీకరణానికి ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. దీని పరిష్కారం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని ఇలా రాసుకోవచ్చు.
(u2 –1)/v2 = 2,

లేదా

(ఉజ్జాయింపుగా)

కనుక  u, v  విలువలు తెలిస్తే విలువని ఉజ్జాయింపుగా, ఒక భిన్నం రూపంలో, వ్యక్తం చెయ్యడానికి  వీలుంటుంది. 

(ఇంకా వుంది)

0 comments

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Popular Posts

Follow by Email