శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

న్యూటన్ పరిష్కరించిన బెర్నూలీ సమస్య

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, December 17, 2016


బుడుగు, సీగానాపెసూనాంబల సమస్య:

సీగానాపెసూనాంబని బెద్ద రాచ్చసుడు సముద్రంలో A అనే ద్వీపంలో దాచేశాడు. నేల మీద  B  అనే చోట ఉన్న బుడుగు వెళ్ళి ఆమెని రష్చించాలి.  బుడుగు ఎక్కిన నిఝం జెటకా నేల మీద Vl  వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఎక్కాల్సిన పడవ  సముద్రం మీద Vb వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. B  నుండి బయల్దేరిన బుడుగు మార్గం వెంట ప్రయాణిస్తే అతి తక్కువ సమయంలో A  ని చేరుకుంటాడు?
 

నేల మీద, సముద్రం మీద వేగాలు తెలుసు కనుక పైన చిత్రంలో  కనిపించే రాశులని ఉపయోగించి, B  నుండి A  కి పట్టే కాలాన్ని (T) ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:
 

   రాశి యొక్క కనిష్ఠ విలువని తెలుసుకోవాలంటే దాని అవకలానాన్ని (derivative)  సున్నా తో సమానం చెయ్యాలి. అలా చేసినప్పుడు కింది సమీకరణం వస్తుంది:

 

కొంచెం త్రికోణమితిని ఉపయోగించి పై సమీకరణాన్ని విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు,
 
పై సమీకరణం చిన్నప్పుడు కాంతి శాస్త్రంలో (ప్రత్యేకించి జ్యామితీయ కాంతి శాస్త్రంలో (geometric optics)) చదువుకున్న కాంతి వక్రీభవనాన్ని శాసించే స్నెల్ నియమాన్ని పోలి ఉన్నట్టు గుర్తించి ఉంటారు. సమీకరణతో స్నెల్ నియమం ఎలా వచ్చిందో ఊహించొచ్చు. కాంతి రేఖ ఒక యానకం లోంచి మరో యానకం లోకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు అతి తక్కువ కాలం పట్టే మార్గాన్ని ఎన్నుకుంటుంది. అందుకే అది స్నెల్ నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది. ఒక యానకంలో కాంతి వేగం యానకం యొక్క వక్రీభవన గుణకం (refractive index) మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. కనుకనే పైన చెప్పుకున్న బుడుగు-సీగానాపెసూనాంబ సమస్యకి పరిష్కారం స్నెల్ నియమమే అవుతుంది.

ఇప్పుడు సమస్య 1 కి వస్తే, బుడుగు-సీగానాపెసూనాంబ సమస్య అసలు సమస్యలో భాగం మాత్రమే అని గమనించొచ్చు.

A  నుండి బయల్దేరిన బంతి P  అనే మార్గం వెంట దొర్లుతూ వస్తున్నప్పుడు, దాని ఎత్తు తగ్గుతున్న కొలది దాని గతి శక్తి పెరిగి  వేగం పెరుగుతూ ఉంటుంది. బంతి పడ్డ ఎత్తుకి (h) , బంతి వేగానికి (v) మధ్య సంబంధం ఇది: 
 

ఇప్పుడు A  నుండి  B  కి మధ్య  నిడివి ని N పొరలుగా విభజిద్దాం. వీటిలో n అవ పొరలో బంతి వేగం Vn  అయితే, n+1  అవ పొరలో వేగం Vn+1 అవుతుంది. కనుక సందర్భంలో కూడా ఇందాకటి లాగే స్నెల్ నియమం ఉపయోగించి n, మరియు n+1  అవ పొరలలో బంతి యొక్క వేగాలకి, గమన దిశలకి మధ్య సంబంధాన్ని విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:


 

ఇప్పుడు పొరల సంఖ్యని (N)  అనంతంగా పెంచుతూ పోతే పై సమీకరణం ఒక అవకలన సమీకరణం (differential equation)  గా మారుతుంది. దాన్ని పరిష్కరిస్తే బంతి అతి తక్కువ కాలంలో A  నుండి  B  ని చేరే మార్గం ఏమిటో తెలుస్తుంది.
 
మార్గంసైక్లాయిడ్అనబడే ప్రత్యేకమైన వక్రం. చక్రం సమమైన నేల మీద దొర్లుతున్నప్పుడు చక్రం అంచు మీది బిందువు కదిలే మార్గమే సైక్లాయిడ్.
 
సైక్లాయిడ్ కి బెర్నూలీ సమస్యకి మధ్య సంబంధం ఏంటి అంటారా? ఏం చేస్తాం? గణితవేత్తలు పెళ్లిళ్ల పేరయ్యలాంటి వాళ్లు. బొత్తిగా సంబంధం లేనట్టుగా కనిపించే విషయాల మధ్య సంబంధాలు ఎత్తి చూపడంలో వాళ్లు ఘటికులు.

విధంగా కాంతి శాస్త్రంలోని స్నెల్ నియమాన్ని సమస్యకి వర్తింపజేసి బెర్నూలీ చాలా యుక్తిగా సమస్యని పరిష్కరించాడు. అయితే బెర్నూలీ పద్ధతి ఒక్క సమస్యకే పని చేస్తుంది. కాని న్యూటన్ పద్ధతి సార్వత్రికం. న్యూటన్ పరిష్కారం Calculus of Variations అనే కొత్త గణిత విభాగానికి పునాదులు వేసింది.

రాత్రికి రాత్రి అలవోకగా మొత్తం గణిత విభాగానికి పునాదులు వేసి, ప్రాణం పోసిన ఘనత మరి న్యూటన్ కే చెల్లింది.
 (ఇంకా వుంది)

1 Responses to న్యూటన్ పరిష్కరించిన బెర్నూలీ సమస్య

  1. శాస్త్రసాంకేతికవిషయాలను ఇలా ఆహ్లాదకరమైన శైలిలో వ్యక్తీకరించి చెప్పటం చాలా గొప్పవిషయం. ఇలా చేయటం వలన సాధారణపాఠకులకు విషయం పట్ల ఆసక్తి కలిగేందుకు మంచి అవకాశం లభిస్తుంది. అలాగే విషయం సులభంగా బోధపడుతుంది. బాగా చెప్పినందుకు అనేక అభినందనలు.

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Popular Posts

Follow by Email