ఈ ప్రశ్నని పరిశీలించడానికి మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య మితమైనదేనని అనుకుందాం. ఈ ప్రధాన సంఖ్యల లోకెల్లా అతి పెద్ద సంఖ్యని N అనే సంఖ్యతో సూచిద్దాం. ఇప్పుడు ఆ మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాన్ని తీసుకుని దానికి ఒకటి కలుపుదాం. అప్పుడు వచ్చిన ఫలితం ఇలా ఉంటుంది –
(1 X 2 X 3 X 5 X 7 X 11…X N) + 1
ఇలా పుట్టిన సంఖ్య కచ్చితంగా అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయిన N కన్నా పెద్దదే స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు. ఎందుకంటే పై సంఖ్యని 2 నుండి N మధ్య ఏ ప్రధాన సంఖ్యతో విభజించినా శేషం 1 అవుతుంది.
దీన్ని బట్టి మనకి తెలిసేదేమిటంటే పై సంఖ్యే ఓ పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయ్యుండాలి, లేదా దానికి ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన కారణాంకాలు ఉన్నా అవి N కన్నా పెద్దవి అయ్యుండాలి. ఎలా చూసినా మనం మొదట అనుకున్న నమ్మకం (N ని మించిన ప్రధాన సంఖ్య లేదు) వమ్మయ్యింది. ఈ విధంగా ఒక నమ్మకంతో బయల్దేరి అందులోని అంతర్ వైరుధ్యాన్ని ఎత్తి చూపడం గణిత రంగంలో ఓ సర్వసామాన్యమైన శోధనా పద్ధతి.
ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతంగా ఉన్నాయని తెలిశాక, ఒక్కటి కూడా వదలకుండా వాటన్నిటినీ వరుసగా లెక్కించగలమా? అలా చేసే పద్ధతిని మొట్టమొదట కనుక్కునవారిలో ఒకడు గ్రీకు తాత్వికుడు, గణిత వేత్త అయిన ఎరొటోస్తినీస్. ఈ పద్ధతిని “జల్లెడ” పద్ధతి అంటారు. ఈ పద్ధతిలో ముందుగా 1,2,3,4,… ఇలా వరుసగా అంకెలు రాయాలి. ఇప్పుడు ఆ అంకెల్లోంచి 2 యొక్క గుణకాలన్నీ (4,6,8,10,…) కొట్టివేయాలి. తరువాత 3 యొక్క గుణకాలన్నీ కొట్టేయాలి. తరువాత 5…. ఇలా ఒక్కొక్క ప్రధాన సంఖ్యనే తీసుకుని దాని గుణకాలన్నిటినీ మొదట తీసుకున్న పూర్ణ సంఖ్యల పట్టిక నుండి కొట్టేయాలి. ఎరొటోస్తినీస్ జల్లెడ లో మొదటి 100 అంకెలని కింది చిత్రంలో చూడొచ్చు. వీటిలో మొత్తం 26 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. పైన చెప్పిన జల్లెడ పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి బిలియన్ అంకెల వరకు ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి వీలయ్యింది.
అయితే ఇలా జల్లెళ్లతో అవస్థ పడకుండా ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి సులభంగా ఏదైనా సూత్రం ఉంటే బావుంటుంది కదూ? కాని అలాంటీ సూత్రం కోసం శతాబ్దాలుగా ఎంతో మంది ప్రయత్నించినా అది ఎవరికీ దొరకలేదు. 1640 లో ఫర్మా (Fermat) అనే ఫ్రెంచ్ గణిత వేత్త ఓ గొప్ప సూత్రం కనుక్కున్నానని నమ్మాడు. ఆ సూత్రం నుండి కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే వస్తాయని అనుకున్నాడు. ఆ సూత్రం ఇది-
2^2^n + 1
ఈ సూత్రంలో n వరుసగా 1,2,3,4… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. వివిధ n విలువలని సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే వచ్చే ఫలితాలు ఇలా ఉంటాయి.
2^2 + 1 = 5
2^2^2 + 1 = 17
2^2^3 + 1 = 257
2^2^4 + 1 = 65537
నిజానికి పై నాలుగు సంఖ్యలూ ప్రధాన సంఖ్యలే. ఫర్మా పై సూత్రాన్ని చాటిన శతబ్ద కాలం తరువాత ఆయిలర్ (Euler) ఆ సూత్రాన్ని గురించిన ఓ ముఖ్యమైన సత్యన్ని కనుక్కున్నాడు. ఫర్మా కనుక్కున్న సూత్రంలో n విలువ 5 అని తీసుకుంటే వచ్చే ఫలితం 4,294,967,297. ఈ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య కాదని, 6,700, 417 మరియు 641 ల లబ్దం అని ఆయిలర్ నిరూపించాడు. ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు లెక్కించగలదన్న ఫెర్మా సూత్రం తప్పని తేలింది.
ఎన్నో ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించగల మరో అద్భుత సూత్రం వుంది. అది –
n^2 – n + 41
ఈ సూత్రం లో n వరుసగా 1,2,3,… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. పై సూత్రం n = 1,2,… 40 అయితే వచ్చే ఫలితాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావడం ఆశ్చర్యం. కాని n=41 అయినప్పుడు మాత్రం ఫలితం,
41 X 41 – 41 + 41 = 41 x 41
ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించడానికి ఇంతకన్నా సంక్లిష్టమైన సూత్రం ఒకటుంది. అది –
n^2 – 79n + 1601
n = 1,2,…79 వరకు పై సూత్రం ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టిస్తుంది. కాని n=80 అయినప్పుడు ఫలితం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
ఆ విధంగా వరుసగా ప్రధాన సంఖ్యలు అన్నిటినీ పుట్టించే, ప్రధాన సంఖ్యలని మాత్రమే పుట్టించే సూత్రం కోసం అన్వేషణలన్నీ విఫలం అయ్యాయి.
(ఇంకా వుంది)
అధ్యాయం 33
రాకాసుల పోరు
శనివారం, ఆగస్టు 15.
ఎటు చూసినా ఎడతెగని సముద్రం. తీరం జాడ ఎక్కడా కనిపించలేదు. దిక్చక్రం అతి దూరంగా ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది.
ఎంతో సజీవంగా తోచిన కల ప్రభావం వల్ల తలంతా దిమ్మెక్కినట్టు అయ్యింది. ఆ మత్తు ఇంకా వదల్లేదు.
మామయ్య కలలు కనలేదు. కాని కోపంగా ఉన్నట్టు ఉన్నాడు. దూరదర్శినితో దిక్చక్రం అంతా తనిఖీ చేసి విసుగ్గా ఓ సారి చేతులు విదిలించాడు.
ప్రొఫెసర్ లీడెన్ బ్రాక్ కి అప్పుడప్పుడు ఇలా అసహనంగా చిందులు వేసే అలవాటు ఉందని అంతకు ముందు ఓ సారి పేర్కొన్నాను. ఆ విషయాన్నే ఈ యాత్రా పత్రికలో కూడా ప్రస్తావించాను. ఈ ప్రమాదాలు, నా యాతన ఇవన్నీ ఆయనలోని మనిషిని, మానవీయతని మేల్కొలిపాయి కాబోలు. ఇప్పుడు నేను మళ్లీ బాగానే వున్నా కనుక ఆయనలోని మునుపటి గుణం మళ్లీ పుంజుకుంది. అయినా ఈ సమయంలో కోపం ఎందుకు రావాలో నాకు అర్థం కాలేదు. ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో మా యాత్ర సజావుగానే సాగుతోందని చెప్పాలి. పాపం మా బుల్లి తెప్ప ఎంత గొప్పగా దూసుకుపోతోందో?
“ఏం మావయ్యా, ఆదుర్దాగా కనిపిస్తున్నావు?”
“ఆదుర్దానా? లేదే.”
“పోనీ అసహనం?”
“ఇంతవరకు అయితే లేదు,” అన్నాడు కాస్త విసుగ్గా.
“మనం వేగంగానే ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?”
“అయితే ఏంటి? నా గోల దాని గురించి కాదు. ఈ సముద్రం మరీ ఇంత విశాలంగా ఉందే అని నా బాధ.”
ఇప్పుడు గుర్తొచ్చింది. మేం బయల్దేరినప్పుడు ప్రొఫెసరు ఈ భూగర్భ సముద్రం యొక్క వెడల్పు ముప్పై కోసులు అని అంచనా వేశాడు. కాని ఇప్పటికే అంతకు మూడు రెట్లు దూరం వచ్చేశాము. కాని ఇంకా కనుచూపు మేరలో దక్షిణ తీరం కనిపించడం లేదు.
“మన అసలు లక్ష్యం భూమి లోపలికి దిగి వెళ్ళడం. అది వదిలేసి మనం ఈ సముద్రం మీద ప్రయాణిస్తున్నాం. అనవసరంగా కాలయాపన అవుతోంది. మనం ఇంత దూరం వచ్చింది ఈ చిట్టేట్లో ఈ బుల్లి పడవలో షికార్లు కొట్టడానికి కాదు.”
ఈ విశాల సముద్రం ఆయనకి చిట్టేరులా తోచిందా? ఈ సుదీర్ఘ సముద్ర యాత్ర ఆయనకి షికార్లు కొట్టడంలా వుందా?
“కాని సాక్నుస్సేం చూపించిన దారి వెంటనే మనం ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?” ఆయన మాటలతో విభేదిస్తూ అన్నాను.
“నేను అడిగేదీ అదే. మనం వస్తున్నది ఆ దారి వెంబడేనా అని. సాక్నుస్సేం కి కూడా ఈ జలరాశి తారసపడిందా? ఆయన కూడా దీన్ని దాటాడా? లేక మనం అనుసరించిన పిల్ల కాలువ మనని తప్పుదోవ పట్టించిందా?”
“ఏదేమైనా మనం ఇక్కడి దాకా వచ్చినందుకు చింతించాల్సిన పన్లేదు. మన అవకాశాలు అద్భుతంగా ఉన్నాయి…”
“అవకాశాలు ఎలా ఉంటే ఎవడిక్కావాలి? నేనో ప్రత్యేక లక్ష్యం కోసం వచ్చాను. దాన్ని ఎలాగైనా సాధిస్తాను. కనుక అభిప్రాయాల గురించి, అవకాశాల గురించి నాకు చెప్పకు…”
ఆ సమాధానం విన్నాక ఇక నేనేమీ మాట్లాడలేకపోయాను. ప్రొఫెసర్ అసహనంగా కింది పెదవి కొరికేసుకుంటున్నాడు. సాయంకాలం ఆరు గంటలకి హన్స్ ఠంచనుగా తన వేతనం అడిగి పుచ్చుకున్నాడు.
(ఇంకా వుంది)
రాకాసుల పోరు
శనివారం, ఆగస్టు 15.
ఎటు చూసినా ఎడతెగని సముద్రం. తీరం జాడ ఎక్కడా కనిపించలేదు. దిక్చక్రం అతి దూరంగా ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది.
ఎంతో సజీవంగా తోచిన కల ప్రభావం వల్ల తలంతా దిమ్మెక్కినట్టు అయ్యింది. ఆ మత్తు ఇంకా వదల్లేదు.
మామయ్య కలలు కనలేదు. కాని కోపంగా ఉన్నట్టు ఉన్నాడు. దూరదర్శినితో దిక్చక్రం అంతా తనిఖీ చేసి విసుగ్గా ఓ సారి చేతులు విదిలించాడు.
ప్రొఫెసర్ లీడెన్ బ్రాక్ కి అప్పుడప్పుడు ఇలా అసహనంగా చిందులు వేసే అలవాటు ఉందని అంతకు ముందు ఓ సారి పేర్కొన్నాను. ఆ విషయాన్నే ఈ యాత్రా పత్రికలో కూడా ప్రస్తావించాను. ఈ ప్రమాదాలు, నా యాతన ఇవన్నీ ఆయనలోని మనిషిని, మానవీయతని మేల్కొలిపాయి కాబోలు. ఇప్పుడు నేను మళ్లీ బాగానే వున్నా కనుక ఆయనలోని మునుపటి గుణం మళ్లీ పుంజుకుంది. అయినా ఈ సమయంలో కోపం ఎందుకు రావాలో నాకు అర్థం కాలేదు. ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో మా యాత్ర సజావుగానే సాగుతోందని చెప్పాలి. పాపం మా బుల్లి తెప్ప ఎంత గొప్పగా దూసుకుపోతోందో?
“ఏం మావయ్యా, ఆదుర్దాగా కనిపిస్తున్నావు?”
“ఆదుర్దానా? లేదే.”
“పోనీ అసహనం?”
“ఇంతవరకు అయితే లేదు,” అన్నాడు కాస్త విసుగ్గా.
“మనం వేగంగానే ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?”
“అయితే ఏంటి? నా గోల దాని గురించి కాదు. ఈ సముద్రం మరీ ఇంత విశాలంగా ఉందే అని నా బాధ.”
ఇప్పుడు గుర్తొచ్చింది. మేం బయల్దేరినప్పుడు ప్రొఫెసరు ఈ భూగర్భ సముద్రం యొక్క వెడల్పు ముప్పై కోసులు అని అంచనా వేశాడు. కాని ఇప్పటికే అంతకు మూడు రెట్లు దూరం వచ్చేశాము. కాని ఇంకా కనుచూపు మేరలో దక్షిణ తీరం కనిపించడం లేదు.
“మన అసలు లక్ష్యం భూమి లోపలికి దిగి వెళ్ళడం. అది వదిలేసి మనం ఈ సముద్రం మీద ప్రయాణిస్తున్నాం. అనవసరంగా కాలయాపన అవుతోంది. మనం ఇంత దూరం వచ్చింది ఈ చిట్టేట్లో ఈ బుల్లి పడవలో షికార్లు కొట్టడానికి కాదు.”
ఈ విశాల సముద్రం ఆయనకి చిట్టేరులా తోచిందా? ఈ సుదీర్ఘ సముద్ర యాత్ర ఆయనకి షికార్లు కొట్టడంలా వుందా?
“కాని సాక్నుస్సేం చూపించిన దారి వెంటనే మనం ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?” ఆయన మాటలతో విభేదిస్తూ అన్నాను.
“నేను అడిగేదీ అదే. మనం వస్తున్నది ఆ దారి వెంబడేనా అని. సాక్నుస్సేం కి కూడా ఈ జలరాశి తారసపడిందా? ఆయన కూడా దీన్ని దాటాడా? లేక మనం అనుసరించిన పిల్ల కాలువ మనని తప్పుదోవ పట్టించిందా?”
“ఏదేమైనా మనం ఇక్కడి దాకా వచ్చినందుకు చింతించాల్సిన పన్లేదు. మన అవకాశాలు అద్భుతంగా ఉన్నాయి…”
“అవకాశాలు ఎలా ఉంటే ఎవడిక్కావాలి? నేనో ప్రత్యేక లక్ష్యం కోసం వచ్చాను. దాన్ని ఎలాగైనా సాధిస్తాను. కనుక అభిప్రాయాల గురించి, అవకాశాల గురించి నాకు చెప్పకు…”
ఆ సమాధానం విన్నాక ఇక నేనేమీ మాట్లాడలేకపోయాను. ప్రొఫెసర్ అసహనంగా కింది పెదవి కొరికేసుకుంటున్నాడు. సాయంకాలం ఆరు గంటలకి హన్స్ ఠంచనుగా తన వేతనం అడిగి పుచ్చుకున్నాడు.
(ఇంకా వుంది)
అధ్యాయం 2
సహజ సంఖ్యలు – కృత్రిమ సంఖ్యలు
వైజ్ఞానిక రంగాలు అన్నిట్లోకి గణితం మహారాణి అని అంటుంటారు. మరి మహారాణి కనుక ఈ రంగం మిగతా వైజ్ఞానిక రంగాలని కాస్త చిన్న చూపు చూస్తుంటుంది. ప్రఖ్యాత గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ని ఓ సారి “శుద్ధ (pure), అనువర్తక (applied) గణిత రంగాల సమిష్టి సమావేశం” లో మాట్లాడమన్నారు. శుద్ధ, అనువర్తక గణితవిభాగాల మధ్య ఉండే స్పర్థ ని తొలగించి, రెండింటి మధ్య ఉండే విభేదాన్ని పూడ్చే విధంగా ఉపన్యసించమన్నారు. ఆ ఉపన్యాసం ఇలా మొదలయ్యింది –
“శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పరం ప్రతికూలంగా ఉంటాయని తరచు జనం అనడం వింటుంటాం. కాని అది నిజం కాదు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పర ప్రతికూలాలు కావు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలంగా లేవు, ఉండలేవు కూడా. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలం కాలేవు ఎందుకంటే రెండిటికీ సామాన్యమైన అంశాలే లేవు.”
గణితం స్వతహాగా మిగతా రంగాలతో సంబంధం లేకుండా ప్రత్యేకంగా, నిస్సంగంగా ఉండాలని చూస్తుంది. కాని ఇతర రంగాలు ముఖ్యంగా భౌతిక శాస్త్రం లాంటివి గణితం తో పొత్తు కుదుర్చుకోవాలని చూస్తుంటాయి. నిజానికి ప్రస్తుత కాలంలో గణితంలో ప్రతీ విభాగాన్ని భౌతిక ప్రపంచంలో ఏదో ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి, వర్ణించడానికి వినియోగిస్తున్నారు. థియరీ ఆఫ్ అబ్స్ ట్రాక్ట్ గ్రూప్స్, నాన్ కమ్యూటబుల్ ఆల్జీబ్రా, నాన్ యూక్లిడియన్ జ్యామెట్రీ మొదలైన గణిత విభాగాలు అందుకు తార్కాణాలు. ఎందుకంటే ఈ గణిత విభాగాలు అతి శుద్ధమైనవని, వీటికి భౌతిక ప్రపంచంతో అసలు సంబంధం ఉండే ప్రసక్తే ఉండదని ఒకప్పుడు తలపోసేవారు.
గణితంలో ఒక ప్రత్యేక విభాగం, ఓ విశాలమైన విభాగానికి మాత్రం ఇంతవరకు ఏ ప్రయోజనమూ లేని రంగంగా, కేవలం మానసిక కసరత్తులు చేసుకోడానికి మాత్రమే పనికి వస్తుందన్నట్టుగా ముద్రపడింది. శుద్ధ గణిత విభాగాలలో కెల్లా “పరమ పవిత్రం” అనే బిరుదు తెచ్చుకుంది ఈ రంగం. దీనినే సంఖ్యా శాస్త్రం అంటారు. (అంటే పూర్ణ సంఖ్యల శాస్త్రం అన్నమాట). శుద్ధ గణిత చింతనలో కెల్లా అత్యుత్కృష్టమైన, ప్రాచీనమైన రంగం ఇది.
సంఖ్యా శాస్త్రం ఒక పక్క శుద్ధ గణితం అని అంటూనే, మరో కోణం నుండీ చూస్తూ దాన్ని అత్యంత అనువర్తనీయమైన రంగం అని, ఒక విధంగా ప్రయోగాత్మక రంగం అని అనొచ్చు. ఎలాగైతే భౌతిక శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలని భౌతిక వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారో, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు అంకెలతో రకరకాల ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారు. అలాగే భౌతిక శాస్త్రంలో లాగానే, సంఖ్యా శాస్త్రంలో కూడా కొన్ని సిద్ధాంతాలని “గణితపరంగా” నిరూపించొచ్చు. కాని కొన్నిటిని మాత్రం అనుభవైకంగా (empirical) మాత్రమే స్థాపించగలం. అలాంటి ఎన్నో సిద్ధాంతాలని గణితపరంగా నిరూపించడానికి గణితవేత్తలు తలమునకలు అవుతుంటారు.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యల (prime numbers) సమస్యనే తీసుకోండి. ప్రధాన సంఖ్య అంటే దాంతోను, ఒకటి తోను తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యతోను విభజింపబడని సంఖ్య. 2,3,5,7,11, 13 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి 12 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే దాన్ని 2 X 2 X 3 గా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
మరి ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా, లేక అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏదైనా వుందా? అలాంటి సంఖ్య అంటూ ఉంటే అంత కన్నా పెద్దదైన ప్రతీ సంఖ్యని రెండు, లేక అనేక సంఖ్యల లబ్దంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు అన్నమాట. ఈ సమస్యని మొట్టమొదట అటకాయించిన వాడు యూక్లిడ్. ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుందని, అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏమీ లేదని అద్భుతంగా నిరూపించాడు.
(ఇంకా వుంది)
సహజ సంఖ్యలు – కృత్రిమ సంఖ్యలు
వైజ్ఞానిక రంగాలు అన్నిట్లోకి గణితం మహారాణి అని అంటుంటారు. మరి మహారాణి కనుక ఈ రంగం మిగతా వైజ్ఞానిక రంగాలని కాస్త చిన్న చూపు చూస్తుంటుంది. ప్రఖ్యాత గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ని ఓ సారి “శుద్ధ (pure), అనువర్తక (applied) గణిత రంగాల సమిష్టి సమావేశం” లో మాట్లాడమన్నారు. శుద్ధ, అనువర్తక గణితవిభాగాల మధ్య ఉండే స్పర్థ ని తొలగించి, రెండింటి మధ్య ఉండే విభేదాన్ని పూడ్చే విధంగా ఉపన్యసించమన్నారు. ఆ ఉపన్యాసం ఇలా మొదలయ్యింది –
“శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పరం ప్రతికూలంగా ఉంటాయని తరచు జనం అనడం వింటుంటాం. కాని అది నిజం కాదు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పర ప్రతికూలాలు కావు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలంగా లేవు, ఉండలేవు కూడా. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలం కాలేవు ఎందుకంటే రెండిటికీ సామాన్యమైన అంశాలే లేవు.”
గణితం స్వతహాగా మిగతా రంగాలతో సంబంధం లేకుండా ప్రత్యేకంగా, నిస్సంగంగా ఉండాలని చూస్తుంది. కాని ఇతర రంగాలు ముఖ్యంగా భౌతిక శాస్త్రం లాంటివి గణితం తో పొత్తు కుదుర్చుకోవాలని చూస్తుంటాయి. నిజానికి ప్రస్తుత కాలంలో గణితంలో ప్రతీ విభాగాన్ని భౌతిక ప్రపంచంలో ఏదో ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి, వర్ణించడానికి వినియోగిస్తున్నారు. థియరీ ఆఫ్ అబ్స్ ట్రాక్ట్ గ్రూప్స్, నాన్ కమ్యూటబుల్ ఆల్జీబ్రా, నాన్ యూక్లిడియన్ జ్యామెట్రీ మొదలైన గణిత విభాగాలు అందుకు తార్కాణాలు. ఎందుకంటే ఈ గణిత విభాగాలు అతి శుద్ధమైనవని, వీటికి భౌతిక ప్రపంచంతో అసలు సంబంధం ఉండే ప్రసక్తే ఉండదని ఒకప్పుడు తలపోసేవారు.
గణితంలో ఒక ప్రత్యేక విభాగం, ఓ విశాలమైన విభాగానికి మాత్రం ఇంతవరకు ఏ ప్రయోజనమూ లేని రంగంగా, కేవలం మానసిక కసరత్తులు చేసుకోడానికి మాత్రమే పనికి వస్తుందన్నట్టుగా ముద్రపడింది. శుద్ధ గణిత విభాగాలలో కెల్లా “పరమ పవిత్రం” అనే బిరుదు తెచ్చుకుంది ఈ రంగం. దీనినే సంఖ్యా శాస్త్రం అంటారు. (అంటే పూర్ణ సంఖ్యల శాస్త్రం అన్నమాట). శుద్ధ గణిత చింతనలో కెల్లా అత్యుత్కృష్టమైన, ప్రాచీనమైన రంగం ఇది.
సంఖ్యా శాస్త్రం ఒక పక్క శుద్ధ గణితం అని అంటూనే, మరో కోణం నుండీ చూస్తూ దాన్ని అత్యంత అనువర్తనీయమైన రంగం అని, ఒక విధంగా ప్రయోగాత్మక రంగం అని అనొచ్చు. ఎలాగైతే భౌతిక శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలని భౌతిక వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారో, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు అంకెలతో రకరకాల ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారు. అలాగే భౌతిక శాస్త్రంలో లాగానే, సంఖ్యా శాస్త్రంలో కూడా కొన్ని సిద్ధాంతాలని “గణితపరంగా” నిరూపించొచ్చు. కాని కొన్నిటిని మాత్రం అనుభవైకంగా (empirical) మాత్రమే స్థాపించగలం. అలాంటి ఎన్నో సిద్ధాంతాలని గణితపరంగా నిరూపించడానికి గణితవేత్తలు తలమునకలు అవుతుంటారు.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యల (prime numbers) సమస్యనే తీసుకోండి. ప్రధాన సంఖ్య అంటే దాంతోను, ఒకటి తోను తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యతోను విభజింపబడని సంఖ్య. 2,3,5,7,11, 13 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి 12 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే దాన్ని 2 X 2 X 3 గా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
మరి ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా, లేక అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏదైనా వుందా? అలాంటి సంఖ్య అంటూ ఉంటే అంత కన్నా పెద్దదైన ప్రతీ సంఖ్యని రెండు, లేక అనేక సంఖ్యల లబ్దంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు అన్నమాట. ఈ సమస్యని మొట్టమొదట అటకాయించిన వాడు యూక్లిడ్. ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుందని, అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏమీ లేదని అద్భుతంగా నిరూపించాడు.
(ఇంకా వుంది)
వృక్ష సంపద వేగంగా వృద్ధి చెందుతోంది. విశాలంగా విస్తరించిన ఫెర్న్ మొక్కల మధ్య నేనో ప్రేతంలా సంచరిస్తున్నాను. రంగుల నేల మీద తడబడే అడుగులతో నెమ్మదిగా ముందుకి సాగుతున్నాను. ఉవ్వెత్తున లేచిన కోనిఫర్ చెట్ల కాండాల మీద ఆసరాగా ఆనుకున్నాను. నూరు అడుగుల ఎత్తున స్పీనో ఫైలా, ఆస్టెరో ఫైలా, లైకోపాడ్ చెట్ల నీడలో సేదతీరాను.
యుగాలు రోజుల్లా గబగబా మారిపోతున్నాయి. సుదీర్ఘమైన ధరాగత మార్పులని సందర్శింపజేస్తూ ఏదో శక్తి నన్ను వరుసగా గతంలోకి తీసుకుపోతున్నట్టుంది. మొక్కలు మాయమయ్యాయి. గ్రానైట్ శిలలు కరిగి మెత్తనయ్యాయి. పెరుగుతున్న తాపానికి ఘనాలు చిక్కని ద్రవాలుగా మారిపోతున్నాయి. పృథ్వీ ముఖం మరలా జలమయం అయ్యింది. నీరు సలసల మరిగి, సుడులు తిరిగే ఆవిర్లు ఆకాశంలోకి లేస్తున్నాయి. తెల్లని, వికారమైన పొగమంచు మారే పుడమి రూపురేఖల చుట్టూ అలముకుంటోంది. అసలు భూమి సమస్తం సూక్ష్మమైన దశలవారీగా ముందొక వాయురాశిగా మారి, ఆ రాశి ప్రచండమైన అగ్నిగోళంగా మారి, సూర్య తేజాన్ని తలదన్నేలా ప్రజ్వలించసాగింది.
ప్రస్తుతం ఘనరూపంలో ఉన్న భూమి ఘనపరిమాణానికి పద్నాలుగు లక్షల రెట్లు ఘన పరిమాణం వున్న ఈ వేడెక్కిన వాయురాశి మధ్యలో నేను దిక్కు తెన్ను తెలియకుండా సంచరిస్తున్నాను. నాకు ఇప్పుడు ఒక స్థిరమైన పార్థివ రూపం లేదు. నా శారీరం ఆవిరై, సూక్ష్మమై, అసంఖ్యాకమైన పరమాణువులుగా విడిపోయి చుట్టూ ఉన్న వాతావరణంలో విలీనం అయిపోయింది. ఈ రాకాశి వాయుగోళాల మధ్య, ఈ తెల్లని ధూళి దెయ్యాల మధ్య, ఈ అల్లారే అగ్ని కీలల మధ్య నేనూ ఓ విస్ఫులింగాన్నై అనంతాకాశంలో కొట్టుకుపోసాగాను.
ఇదంతా అసలు ఓ కల కాదా? ఎక్కడికి తీసుకుపోతోంది నన్ను? వణుకుతున్న చేతులతో నా ఊహాపథం మీద మెదులుతున్న విషయాలని కాగితం మీద సవివరంగా ఎక్కించాలని ప్రయత్నించాను. ఇక నా పరిసరాల మీద స్పృహ తెలియలేదు. ప్రొఫెసర్ మామయ్య, గైడు, తెప్ప – అన్నీ మనో వేదిక మీది నుండి తొలగిపోయాయి.
“ఏవయ్యింది ఏక్సెల్?” నా భ్రాంతికి భంగం కలిగిస్తూ అడిగాడు మామయ్య.
ఓ సారి ఆయన వైపు నిర్లిప్తంగా చుశాను.
“జాగ్రత్త ఏక్సెల్! పరాకుగా ఉంటే పడిపోతావు.”
ఆ క్షణం ఎవరో నా జబ్బ పట్టుకుని బలంగా పక్కకి లాగినట్టు అనిపించింది. హన్స్ అలా నన్ను పక్కకి లాగకపోయుంటే నా కలలలో కొట్టుకుపోతూ, నడి సముద్రంలో మునిగిపోయేవాణ్ణి.
“పిచ్చి పట్టిందా?” అరిచాడు ప్రొఫెసరు.
“ఏం జరుగుతోంది? నాకేమీ అర్థం కాలేదు.”
“ఒంట్లో బాలేదా?” మామయ్య అడిగాడు.
“అదేం లేదు. కాని ఏంటో ఒక్కసారి ఏదో భ్రాంతి కమ్ముకున్నట్టు అయ్యింది. ఇప్పుడు సర్దుకుంది. మన ప్రయాణం సరిగ్గానే సాగుతోందా?”
“నిస్సందేహంగా. గాలి అనుకూలంగా వుంది, సముద్రం శాంతంగా వుంది. వేగంగా దూసుకుపోతున్నాం. నా అంచనాలు సరైనవే అయితే త్వరలోనే తీరం దగ్గర పడాలి.”
ఆ మాటలకి కాస్త ఉత్సాహం వచ్చి లేచి నించుని దిక్చక్రం కేసి చూశాను. దట్టంగా అలముకున్న మబ్బుల వల్ల దిక్చక్రం యొక్క ఆనవాళ్లు కూడా ఎక్కడా కనిపించలేదు.
(ముప్పై రెండవ అధ్యాయం సమాప్తం)
యుగాలు రోజుల్లా గబగబా మారిపోతున్నాయి. సుదీర్ఘమైన ధరాగత మార్పులని సందర్శింపజేస్తూ ఏదో శక్తి నన్ను వరుసగా గతంలోకి తీసుకుపోతున్నట్టుంది. మొక్కలు మాయమయ్యాయి. గ్రానైట్ శిలలు కరిగి మెత్తనయ్యాయి. పెరుగుతున్న తాపానికి ఘనాలు చిక్కని ద్రవాలుగా మారిపోతున్నాయి. పృథ్వీ ముఖం మరలా జలమయం అయ్యింది. నీరు సలసల మరిగి, సుడులు తిరిగే ఆవిర్లు ఆకాశంలోకి లేస్తున్నాయి. తెల్లని, వికారమైన పొగమంచు మారే పుడమి రూపురేఖల చుట్టూ అలముకుంటోంది. అసలు భూమి సమస్తం సూక్ష్మమైన దశలవారీగా ముందొక వాయురాశిగా మారి, ఆ రాశి ప్రచండమైన అగ్నిగోళంగా మారి, సూర్య తేజాన్ని తలదన్నేలా ప్రజ్వలించసాగింది.
ప్రస్తుతం ఘనరూపంలో ఉన్న భూమి ఘనపరిమాణానికి పద్నాలుగు లక్షల రెట్లు ఘన పరిమాణం వున్న ఈ వేడెక్కిన వాయురాశి మధ్యలో నేను దిక్కు తెన్ను తెలియకుండా సంచరిస్తున్నాను. నాకు ఇప్పుడు ఒక స్థిరమైన పార్థివ రూపం లేదు. నా శారీరం ఆవిరై, సూక్ష్మమై, అసంఖ్యాకమైన పరమాణువులుగా విడిపోయి చుట్టూ ఉన్న వాతావరణంలో విలీనం అయిపోయింది. ఈ రాకాశి వాయుగోళాల మధ్య, ఈ తెల్లని ధూళి దెయ్యాల మధ్య, ఈ అల్లారే అగ్ని కీలల మధ్య నేనూ ఓ విస్ఫులింగాన్నై అనంతాకాశంలో కొట్టుకుపోసాగాను.
ఇదంతా అసలు ఓ కల కాదా? ఎక్కడికి తీసుకుపోతోంది నన్ను? వణుకుతున్న చేతులతో నా ఊహాపథం మీద మెదులుతున్న విషయాలని కాగితం మీద సవివరంగా ఎక్కించాలని ప్రయత్నించాను. ఇక నా పరిసరాల మీద స్పృహ తెలియలేదు. ప్రొఫెసర్ మామయ్య, గైడు, తెప్ప – అన్నీ మనో వేదిక మీది నుండి తొలగిపోయాయి.
“ఏవయ్యింది ఏక్సెల్?” నా భ్రాంతికి భంగం కలిగిస్తూ అడిగాడు మామయ్య.
ఓ సారి ఆయన వైపు నిర్లిప్తంగా చుశాను.
“జాగ్రత్త ఏక్సెల్! పరాకుగా ఉంటే పడిపోతావు.”
ఆ క్షణం ఎవరో నా జబ్బ పట్టుకుని బలంగా పక్కకి లాగినట్టు అనిపించింది. హన్స్ అలా నన్ను పక్కకి లాగకపోయుంటే నా కలలలో కొట్టుకుపోతూ, నడి సముద్రంలో మునిగిపోయేవాణ్ణి.
“పిచ్చి పట్టిందా?” అరిచాడు ప్రొఫెసరు.
“ఏం జరుగుతోంది? నాకేమీ అర్థం కాలేదు.”
“ఒంట్లో బాలేదా?” మామయ్య అడిగాడు.
“అదేం లేదు. కాని ఏంటో ఒక్కసారి ఏదో భ్రాంతి కమ్ముకున్నట్టు అయ్యింది. ఇప్పుడు సర్దుకుంది. మన ప్రయాణం సరిగ్గానే సాగుతోందా?”
“నిస్సందేహంగా. గాలి అనుకూలంగా వుంది, సముద్రం శాంతంగా వుంది. వేగంగా దూసుకుపోతున్నాం. నా అంచనాలు సరైనవే అయితే త్వరలోనే తీరం దగ్గర పడాలి.”
ఆ మాటలకి కాస్త ఉత్సాహం వచ్చి లేచి నించుని దిక్చక్రం కేసి చూశాను. దట్టంగా అలముకున్న మబ్బుల వల్ల దిక్చక్రం యొక్క ఆనవాళ్లు కూడా ఎక్కడా కనిపించలేదు.
(ముప్పై రెండవ అధ్యాయం సమాప్తం)
అదే విధంగా ఓ ఘనం (cube) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, ఒక చదరంలో ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను, లేదా ఒక గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను సమానం అని నిరూపించొచ్చు. ఇది చెయ్యడానికి ఇందాక మనం తీసుకున్న దశాంశ భిన్నాన్ని మూడు భాగాలు చెయ్యాలి. ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక్కొక్క నిరూపకం (axis) మీద గుర్తించాలి. అప్పుడు ఆ దశాంశ భిన్నానికి ఘనంలో ఒక ప్రత్యేక బిందువుతో సంబంధాన్ని స్థాపించొచ్చు. ఈ విధంగా ఘనంలోని బిందువుల సంఖ్య గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం అని నిరూపించొచ్చు.
ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.
అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,
A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)
A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య
(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)
దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?
ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.
అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,
A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)
A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య
(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)
దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?
