శాస్త్ర విజ్ఞానము

అదే విధంగా ఓ ఘనం (cube) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, ఒక చదరంలో ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను, లేదా ఒక గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను సమానం అని నిరూపించొచ్చు. ఇది చెయ్యడానికి ఇందాక మనం తీసుకున్న దశాంశ భిన్నాన్ని మూడు భాగాలు చెయ్యాలి. ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక్కొక్క నిరూపకం (axis) మీద గుర్తించాలి. అప్పుడు ఆ దశాంశ భిన్నానికి ఘనంలో ఒక ప్రత్యేక బిందువుతో సంబంధాన్ని స్థాపించొచ్చు. ఈ విధంగా ఘనంలోని బిందువుల సంఖ్య గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం అని నిరూపించొచ్చు.




ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.



అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,


A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)

A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య

(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)



దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?