శాస్త్ర విజ్ఞానము

సంఖ్యల గురించిన ఏ చర్చలో అయినా, అందులో ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త ఫర్మా ప్రతిపాదించిన మహత్తర సిద్ధాంతం యొక్క ప్రస్తావన రాకుంటే, ఆ చర్చ ఒక విధంగా అసంపూర్ణమే. అయితే ఈ సిద్ధాంతానికి ప్రధాన సంఖ్యలకి మధ్య సంబంధం లేదు. ఈ సమస్యకి వేళ్లు ప్రాచీన ఈజిప్ట్ లో వున్నాయి. ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు 3:4:5 నిష్పత్తిలో ఉన్నట్లయితే ఆ త్రిభుజంలో ఒక లంబ కోణం తప్పనిసరిగా ఉండాలని ప్రాచీన ఈజిప్ట్ కి చెందిన ప్రతీ వడ్రంగికీ తెలిసి వుంటుంది. ఆ రోజుల్లో వడ్రంగులు వాడే పరికరాలలో ఈ రకమైన త్రిభుజాలు ఉన్నాయని మనకిప్పుడు తెలుసు.



మూడవ శతాబ్దంలో అలెగ్జాండ్రియాకి చెందిన డయాఫాంటెస్ కి ఒక ఆలోచన వచ్చింది. 3 యొక్క వర్గానికి 4 యొక్క వర్గం కలిపితే 5 యొక్క వర్గం వస్తుందని మనకి తెలుసు. అయితే (3,4,5) అనే అంకెల త్రయానికి మాత్రమే ఆ లక్షణం వుందా, లేక అలాంటి లక్షణం గల అంకెలు త్రయాలు మరెన్నో వున్నాయా? ఈ లక్షణం గల అంకెల త్రయాలు అనంతం వున్నాయని డయాఫాంటెస్ నిరూపించగలిగాడు. అంతే కాక అలాంటి త్రయాలని నిర్మించేందుకుగాను ఒక సార్వత్రిక సూత్రాన్ని కూడా అందించాడు. ఆ సూత్రం ఇలా వుంటుంది.



2ab సంపూర్ణ వర్గం (perfect square) అయ్యేట్టుగా a,b అనే పూర్ణ సంఖ్యలని తీసుకోవాలి. అప్పుడు x,y,z లని ఈ విధంగా నిర్వచిస్తే,

x = a + sqrt(2ab); y = b + sqrt(2ab); z = a+b+sqrt(2ab)

x^2 + y^2 = z^2

అవుతుందని సులభంగా నిర్ధారించుకోవచ్చు.





భుజాలు మూడూ పూర్ణ సంఖ్యలు గా గల లంబ కోణ త్రిభుజాలని మనం పైతాగోరియన్ త్రిభుజాలు అంటాం. ఈ త్రిభుజాలలో మొట్టమొదటిదే ఇందాక చెప్పుకున్న ఈజిప్షియన్ త్రిభుజం. పైతాగోరియన్ త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ చిన్ని సమీకరణంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు –

x^2 + y^2 = z^2



1621 లో పారిస్ లో పియర్ ఫర్మా అనే గణితవేత్త డయాంఫాంటెస్ రాసిన ‘అరిత్మెటికా’ అనే పుస్తకం యొక్క ఫ్రెంచ్ అనువాదాన్ని కొనుక్కుని ఇంటికి తెచ్చుకున్నాడు. ఈ పుస్తకంలో పైతాగోరియన్ త్రిభుజాల గురించి చర్చ వస్తుంది. ఆ పుస్తకం చదివాక ఫర్మా ఒక చోట క్లుప్తంగా ఇలా రాసుకున్నాడు. x^2 + y^2 = z^2 అనే సమీకరణానికి అనంతంగా పరిష్కారాలు ఉండొచ్చునేమో గాని, ఈ కింది సమీకరణానికి మాత్రం,

x^n + y^n = z^n

n విలువ 2 కన్నా పెద్దదైన పక్షంలో, పరిష్కారాలు ఉండవు.

“దీనికి నిజంగా ఓ అద్భుతమైన నిరూపణని కనుక్కున్నాను,” అని రాసుకున్నాడు ఫర్మా. “అయితే ఆ నిరూపణని ఇక్కడ ఇవ్వడానికి పుస్తకం అంచు సరిపోదు.”

ఫర్మా మరణానంతరం డయాఫాంటెస్ పుస్తకం యొక్క ప్రతి దొరికింది. అందులో ఫర్మా నమోదు చేసిన విషయాలు ప్రపంచానికి తెలిశాయి. అది మూడు శాతబ్దాల క్రితం నాటి కథ. అప్పట్నుంచి ప్రపంచంలో ఎంతో మంది గణితవేత్తలు ఫర్మా తన పుస్తకంలో సూచించిన ఆ మహత్తర నిరూపణని కనుక్కోవడానికి విశ్వప్రయత్నం చేశారు. ఆ లక్ష్యం దిశగా గణనీయమైన పురోగతి సాధించారు. ఫర్మా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నంలో “theory of ideals” అనే ఓ కొత్త గణిత విభాగమే పుట్టింది. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సామాన్య రూపాన్ని నిరూపించలేకపోయినా కొంత మంది దాని ప్రత్యేక రూపాలని నిరూపించగలిగారు. ఉదాహరణకి ఆయిలర్ (Euler)

x^3 + y^3 = z^3 మరియు x^4 + y^4 = z^4

సమీకరణాలకి పూర్ణసంఖ్యా రూపంలో ఉండే పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించాడు. అలాగే డిరిక్లే (Dirichlet) అనే గణితవేత్త,

x^5 + y^5 = z^5

అనే ప్రత్యేక సమీకరణానికి పూర్ణ సంఖ్యా రూపంలో పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించాడు.

ఈ దిశలో ఎంతో మంది గణితవేత్తలు చేసిన కృషిని కలుపుకుంటే ప్రస్తుతం మనకి ఓ చక్కని ఫలితం వచ్చింది. పై సమీకరణంలో n విలువ 2 కన్నా పెద్దది, 269 కన్నా చిన్నది అయిన పక్షంలో సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు అని నిరూపించడం సాధ్యమయ్యింది.అయితే n యొక్క ఏ విలువ కైనా వర్తించే సామాన్యమైన నిరూపణ ఇంతవరకు సాధ్యం కాలేదు *. ఫర్మా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నంలోని కాఠిన్యాన్ని గుర్తించిన నిపుణులు అసలు ఫర్మా నిజంగానే ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడా, లేక నిరూపించానని అపోహ పడ్డాడా అని సందేహించడం మొదలెట్టారు. ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించిన వారికి లక్ష జర్మన్ ఫ్రాంకులు బహుమతి దక్కే అవకాశం వున్నా చేసిన ప్రతీ ప్రయత్నంలోను పదే పదే దోషాలు దొర్లడంతో, అందుతుంది అనుకున్న బహుమతి అంది రాక ఎంతో మంది గణిత ప్రపంచపు ఔత్సాహికులు నిరాశ చెందారు.

(* ఇది ప్రస్తుతం నిజం కాదు. 1995 లో ప్రఖ్యాత గణితవేత్త ఆండ్రూ వైల్స్ ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించి ప్రచురించాడు. అంతకు ముందు 1994 లో ప్రచురించిన ఓ నిరూపణలో ఒక దోషం వున్నట్టు ఆ నిరూపణని సమీక్షించిన నిపుణులు కనుక్కున్నారు. ఆండ్రూ వైల్స్ తన ఒకప్పటి శిష్యుడు రిచర్డ్ టెయిలర్ తో చేతులు కలిపి ఆ దోషాన్ని సవరించి, 1995 లో నిర్దుష్టమైన నిరూపణని ప్రచురించాడు. – అనువాదకుడు)