శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

అనంతాలని ఎలా లెక్కించాలి?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, April 27, 2013
2. అనంతాలని ఎలా లెక్కించాలి?




కిందటి విభాగంలో సంఖ్యల గురించి చెప్పుకున్నాం. కొన్ని పెద్ద పెద్ద సంఖ్యల గురించి చెప్పుకున్నాం. సిస్సా బెన్ కోరుకున్న గోధుమ గింజల సంఖ్య లాంటివి అయితే నిజంగా పెద్ద సంఖ్యలే. కాని ఎంత పెద్దవైనా అవి మితమైనవి. తగినంత సమయం ఇస్తే వాటిని చివరి దశాంస స్థానం వరకు రాసి ఇవ్వొచ్చు.



కాని కొన్ని నిజంగా అనంతమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మనం ఎంత కష్టపడి రాసినా, మనం రాయగలిగే ఏ సంఖ్య కన్నా పెద్దవైన సంఖ్యలు. “మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య” అనేది స్పష్టంగా అనంతమైన రాశి. అలాగే ఒక రేఖ మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య కూడా అనంతమే. మరి అలాంటి సంఖ్యల గురించి, అవి అనంతమైనవి అని ఊరుకోకుండా, ఇంకా ఏవైనా చెప్పగలమా? ఉదాహరణకి రెండు అనంతాలని పోల్చి రెండిట్లో ఏది పెద్దదో చెప్పగలమా?



ఉదాహరణకి ఇలాంటి ప్రశ్నకి అసలు ఏవైనా అర్థం వుందా? “మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య పెద్దదా, లేక ఒక రేఖ మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య పెద్దదా?” మొదటి చూపులో ఇలాంటి ప్రశ్నలు కాస్త చిత్రంగా అనిపించొచ్చు. కాని అలాంటి ప్రశ్నని మొదట వేసినవాడు జార్జ్ కంటర్ అనే ప్రముఖ గణితవేత్త. “అనంతాల అంకగణితా”నికి పునాదులు వేసిన మూలకర్త ఇతడు.




అనంతాలలో ఏది పెద్దది, ఏది చిన్నది అన్న మీమాంస వచ్చినప్పుడు, మనం పేరు పెట్టలేని, రాసి ఇవ్వలేని సంఖ్యలతో వ్యవహరించాల్సిన ఇబ్బందికరమైన పరిస్థితి ఏర్పడుతుంది. ఓ హాటెన్ టాట్ తెగ వాడు తన ఇనప్పెట్టెలోని గాజుపూసల సంఖ్య పెద్దదో, లేక రాగి నాణేల సంఖ్య పెద్దదో తేల్చుకోలేని సంధిగ్ధ పరిస్థితి. ఈ తెగ వాళ్లు మూడు కి మించి లెక్కించలేరని గుర్తుంచుకోవాలి. మరి లెక్కించలేడు కనుక పూసల సంఖ్యని, నాణేల సంఖ్యని పోల్చడం అసంభవం అని ఊరుకోవాలా? ససేమిరా కాదు. ఆ మనిషికి కాస్త సమయస్ఫూర్తి ఉంటే పూసలని, నాణేలని పక్కపక్కన పేర్చి ఒక్కొటొక్కటిగా రెండిటినీ పోల్చుతూ పోతే సరిపోతుంది. ఒక పూస, దాని పక్కనే ఓ నాణెం, రెండో పూస, దాని పక్కనే మరో నాణెం,… ఇలా వరుసగా పేర్చుతూ పోవాలి. ముందు పూసలు అయిపోయి నాణేలు మిగిలిపోతే, నాణేల సంఖ్య ఎక్కువన్నమాట. అలా కాకుండా ముందు నాణేలు అయిపోయి, పూసలు మిగిలిపోతే పూసల సంఖ్య ఎక్కువ అన్నమాట. రెండూ ఒక్కసారే అయిపోతే రెండూ సరిసమానం.



సరిగ్గా ఈ పద్ధతినే వాడి కాంటర్ అనంతాలని కొలవడానికి బయల్దేరాడు. రెండు అనంత సమితులలోని వస్తువులని ఒక దాంతో ఒకటి జతకూర్చినప్పుడు, ఒక సమితిలోని ప్రతీ వస్తువుని రెండో సమితిలోని ఒక వస్తువుతో జతకట్టినప్పుడు, జతకూడకుండా ఒక్క వస్తువు కూడా మిగలకపోతే , రెండు సమితులలోని వస్తువుల సంఖ్య సమానం అన్నమాట. అలా కాకుండా అలాంటి ఏర్పాటు అసంభవమైతే, ఒక సమితిలో కొన్ని వస్తువులు మిగిలిపోతే, ఆ సమితి లోని వస్తువుల అనంతత, రెండవ సమితిలోని వస్తువుల అనంతత కన్నా పెద్దదని, లేదా మరింత బలవత్తరమైనదని చెప్పుకోవచ్చు.



ఆలోచించి చూస్తే అనంత రాశులని పోల్చడానికి ఇంతకన్నా సహేతుకమైన విధానం ఉందని అనిపించడం లేదు. కాని తీరా ఈ పద్ధతిని అవలంబిస్తే కొన్ని చిక్కులు తలెత్తుతాయి. ఉదాహరణకి మొత్తం సరిసంఖ్యల సమితిని తీసుకుందాం. ఇవి అనంతం. అలాగే బేసి సంఖ్యల సమితిని కూడా తీసుకుందాం. ఇది కూడా అనంతమే. రెండు అనంతతలలో ఏది పెద్దదో చూద్దాం. ఎన్ని బేసి సంఖ్యలు ఉన్నాయో అన్ని సరి సంఖ్యలు ఉన్నాయని సులభంగా నిరూపించొచ్చు. రెండు సమితులలోని సంఖ్యలని ‘ఒకదానికొకటి’ అన్నట్టుగా ఇలా పేర్చవచ్చు –





పైన పట్టికలో ప్రతీ బేసి సంఖ్యకి అందుకు సంబంధించిన సరి సంఖ్య ఒకటి ఉంది. ఆ సంబంధం వ్యతిరేక దిశలో (సరి సంఖ్యల నుండి బేసి సంఖ్యలకి) కూడా వర్తిస్తుంది. కనుక సరి సంఖ్యల అనంతత, బేసి సంఖ్యల అనంతతతో సమానం. అలా విషయాన్ని సునాయాసంగా తేల్చాశాం అనిపిస్తోంది కదా? ఆగండాగండి…

ఇప్పుడు మరో సమస్యని గమనిద్దాం. ఈ రెండు సమితులలో ఏది పెద్దది? మొత్తం పూర్ణసంఖ్యల సమితా, లేక బేసి (లేదా సరి) సంఖ్యల సమితా? పూర్ణ సంఖ్యల సమితే పెద్దదని అనిపిస్తుంది, ఎందుకంటే ఆ సమితిలో బేసి, మరియు సరి సంఖ్యల సమితులు ఇమిడిపోతాయి. కాని అది కేవలం ఓ అపోహ. కావాలంటే పైన చెప్పుకున్న విధానాన్ని మళ్ళీ ప్రయోగించి చూడండి.



(ఇంకా వుంది)





0 comments

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email