శాస్త్ర విజ్ఞానము

కావాలంటే ఆ విధానాన్ని ప్రయోగించి చూస్తే మీ అభిప్రాయం తప్పని తెలుస్తుంది. ఈ కింది పట్టికలో మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యలకి, సరి సంఖ్యలకి మధ్య ‘ఒకదానికొకటి’ అనే తీరులో సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడం జరిగింది.



ఆ విధంగా అనంతాలని పోల్చడానికి మనం వాడిన పద్ధతి బట్టి మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం, మొత్తం సరి సంఖ్యల అనంతం రెండూ ఒక్కటేనని నిరూపించగలిగాం. ఇక్కడ ఏదో తిరకాసు ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది. ఎందుకంటే మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సమితిలో సరి సంఖ్యలు ఒక భాగం మాత్రమే. మరి మొత్తం, భాగం రెండూ ఒక్కటి ఎలా అవుతాయి? అయితే ఇక్కడ మనం అనంతాలతో వ్యవహరిస్తున్నామని మర్చిపోకూడదు. మిత రాశుల విషయంలో వర్తించే సూత్రాలు అనంత రాశులకి వర్తించవని గుర్తించుకోవాలి.



నిజానికి అనంతాల ప్రపంచంలో పూర్ణం భాగంతో సమానం కావచ్చు! ఈ సత్యం ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ చెప్పిన ఓ కథలో చక్కగా వ్యక్తమవుతుంది. అనంతం గురించి ఆయన ఇచ్చిన ఓ ఉపన్యాసంలో అనంత సంఖ్యల యొక్క విచిత్ర లక్షణాల గురించి ఇలా వర్ణించాడట –

“ఓ పెద్ద హోటల్ లో మిత సంఖ్యలో గదులు ఉన్నాయని అనుకుందాం. గదులు అన్నిట్లోను అతిథులు ఉన్నారు. ఇంతలో ఓ కొత్త అతిథి వస్తాడు. ‘క్షమించాలి. గదులు ఖాళీ లేవు,’ అంటాడు ప్రొప్రయిటర్. ఇప్పుడు అనంతమైన గదులు ఉన్న హోటల్ ని ఊహించుకోండి. ఇందులో కూడా గదులన్నీ నిండిపోయాయి. ఈ సారి కూడా ఓ కొత్త అతిథి వచి గది కోసం అడుగుతాడు.”

“ ‘దాందేం భాగ్యం? క్షణంలో ఏర్పాటు చేస్తాను,’ అంటాడు ప్రొప్రయిటర్. అప్పుడు N1 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N2 గదికి మార్చుతాడు. N2 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N3 గదికి మార్చుతాడు. ఇలా మార్చుతూ పోయాక N1 గది ఖాళీ అవుతుంది… ఆ గదిని కొత్త అతిథికి ఇస్తాడు.”

“ఇప్పుడు అనంతమైన గదులు ఉన్న హోటల్ ని మళ్లీ ఊహించుకుందాం. ఇందులో కూడా గదులన్నీ నిండిపోతాయి. అయితే ఈ సారి అనంత సంఖ్యలో అతిథులు వచ్చి గదుల కోసం అడుగుతారు.”

“తప్పకుండా. ఒక్క నిముషం ఆగండి,” అంటాడు ప్రొప్రయిటర్.

“ఈ సారి N1 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N2 కి మార్చుతాడు. N2 లో ఉన్న వ్యక్తిని N4 కి మార్చుతాడు. N4 లో ఉన్న వ్యక్తిని N6 కి మార్చుతాడు. ఇలా చేసినప్పుడు బేసి సంఖ్య గల గదులన్నీ ఖాళీ అవుతాయి. ఆ గదులలో అనంత సంఖ్యలో ఉన్న కొత్త అతిథులు దిగిపోతారు.”

హిల్బర్ట్ వర్ణించిన విషయాలని ఊహించడం అంత సులభం కాదు. కాని తార్కికంగా చూస్తే ఒక్క విషయం మాత్రం అర్థమవుతుంది. మిత రాశుల విషయంలో మనం గమనించే నియమాలు అనంత రాశుల విషయంలో వర్తించవని గుర్తుంచుకోవాలి.

ఇందాక కాంటర్ అవలంబించిన పద్ధతి ఉపయోగించి మొత్తం భిన్నాల (fractions) సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య ఒక్కటే నని నిరూపించొచ్చు. ఈ కింది పద్ధతిని ఉపయోగించి సామాన్య భిన్నాలు అన్నిటినీ ఓ వరుసక్రమంలో ఇలా అమర్చుదాం.

ముందుగా లవం, హారం యొక్క మొత్తం 2 అయిన భిన్నాలని తీసుకుందాం. అలాంటిది నిజానికి ఒక్కటే వుంది. అది – 1/1.

తరువాత లవం, హారం యొక్క మొత్తం 3 అయిన భిన్నాలని తీసుకోవాలి. అలాంటి భిన్నాలు రెండే వున్నాయి – 2/1, ½.

తరువాత లవ హారాల మొత్తం 4 అయిన భిన్నాలు తీసుకోవాలి. అలాంటివి మూడు వున్నాయి. అవి – 3/1, 2/2, 1/3.

ఇలా వరుసగా రాసుకుంటూ పోతుంటే భిన్నాల అనంత శ్రేణి ఏర్పడుతుంది. దాని కిందనే పూర్ణాంకాల అనంత శ్రేణిని రాయాలి. ఆ విధంగా ఈ రెండు అనంత శ్రేణులలో రాశుల మధ్య ‘ఒకదానికొకటి’ అన్నట్టుగా సంబంధాన్ని ఏర్పాటు చెయ్యొచ్చు. అంటే పూర్ణాంకాల అనంతం, భిన్నాల అనంతం ఒక్కటేనన్నమాట!




అప్పుడు మీరు అనొచ్చు. “అంతా బానే వుంది గాని మాస్టారూ! అనంతాలన్నీ మరి ఒక్కటే అయితే వాటిని శ్రమ పడి పోల్చడం ఎందుకు?”

కాదు, అనంతాలన్నీ ఒక్కటి కాదు. కావాలంటే భిన్నాల శ్రేణి కన్నా, పూర్ణ సంఖ్యల శ్రేణి కన్నా పెద్దదైన అనంతాన్ని ముందు ముందు పరిచయం చేసుకుంటాం.

నిజానికి ఓ గీత మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించొచ్చు. పూర్ణ సంఖ్యల కన్నా, భిన్నాల కన్నా ఓ గీతలోని బిందువుల సంఖ్య పెద్దది.

కావాలంటే అంగుళం పొడవున్న గీత మీద బిందువులకి, పూర్ణ సంఖ్యల శ్రేణికి మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఓ గీత మీద ప్రతీ బిందువుని, ఆ గీత యొక్క ఒక కొస నుండి ఆ బిందువు యొక్క దూరం పరంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఆ దూరాన్ని సాధారణంగా ఓ అనవధికమైన దశాంశ భిన్నంగా ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి –

0.7350624780056….

లేదా,

0.38250375632…

ఇప్పుడు అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలని, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్య శ్రేణితో పోల్చి చూడాలి.

అసలు ఈ అనంత దశాంశ భిన్నాలకి, మామూలుగా లవ, హారాలతో వ్యక్తం చేసే (2/3 మరియు 7/9 లాంటి) భిన్నాలకి మధ్య తేడా ఏంటి?

(ఇంకా వుంది)




చిత్రం ఇక్కడి నుండి -
http://sites.psu.edu/musingsofamathnerd/2012/10/04/40/