శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

గణిత శిక్షణలో తొలి పాఠాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, November 7, 2014
గణిత శిక్షణలో తొలి పాఠాలు

టౌన్ హై బడిలో చదువు పూర్తయిన కొన్ని నెలలకి ఓ చక్కని లెక్కల పుస్తకం రామానుజన్  చేతిలో పడింది. కాస్త అవిశేషమైన పుస్తకమే అయినా కొన్ని కారణాల వల్ల ఆ పుస్తకం రామానుజన్ కి అసలైన గణిత ప్రపంచానికి పరిచయ గ్రంథం అయ్యింది. ఆ పుస్తకం పేరు – A synopsis of Elementary results in Pure and Applied Mathematics. దాని రచయిత పేరు జార్జ్ షూ బ్రిడ్జ్ కార్ (George Shoebridge Carr). “ఆ పుస్తకం అంత గొప్ప పుస్తకమేమీ కాదు. రామానుజన్ వల్ల దాని ప్రసిద్ధి పెరిగింది,” అంటాడు ఆ పుస్తకం గురించి ఓ గణిత వేత్త.

పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు చివరి భాగంలో ఇంగ్లండ్ లో ట్రైపోస్ (Tripos) అనే కఠినమైన ప్రవేశ పరీక్ష ఉండేది. ఆ పరీక్ష పాసయితే ఎన్నో అవకాశాలు ఏర్పడతాయి కనుక ఆ పరీక్షలో పాసు కావడానికి విపరీతమైన పోటీ ఉండేది. ప్రవేశ పరీక్షలు ఉన్నచోట ‘కోచింగ్ సెంటర్లు’ పుట్టకొక్కుల్లా ఎలా పుట్టుకొస్తాయో  మనకి తెలుసు. అలాగే ట్రై పోస్ పరీక్ష పాసయ్యేందుకు గాను తగిన శిక్షణ ఇవ్వడానికి ఎంతో మంది టీచర్లు ముందుకొచ్చారు. అలాంటి వారిలో ఈ కార్ ఒకడు.

ప్రవేశ పరీక్ష చదువులకి అనువుగా ఉంటుందని పరీక్షకి సంబంధించిన లెక్కల ‘సిలబస్’ అంతటినీ రెండు పుస్తకాలకి కుదించి రాశాడు. సుమారు ఐదువేల సిద్ధాంతాలు, సూత్రాలు, సమీకరణాలు వరుసగా ఓ పట్టికలా ఈ పుస్తకాలలో ఇవ్వబడ్డాయి.  బీజగణితం (algebra), త్రికోణమితి (trigonometry), జ్యామితి (geometry) మొదలుకుని ఎన్నో గణిత విభాగాలకి చెందిన సిద్ధాంతాలని ఆ విధంగా తన ‘సైనాప్సిస్’ లో  వర్గీకరించాడు.

గణిత పుస్తకాలలో పరిజ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించే తీరులో ఓ ప్రత్యేకత ఉంటుంది. గణిత ఫలితాలని సిద్ధాంతాల రూపంలో వ్యక్తం చేస్తారు. ఆ సిద్ధాంతాలని కూడా ముందు సులభమైనవి ఇస్తూ, క్రమంగా మరింత జటిలమైనవి  పేర్కొనడం జరుగుతుంది. ప్రతీ సిద్ధాంతం వెనుక ఆ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి కావలసిన మెట్లని వివరంగా వర్ణించడం జరుగుతుంది. కాని కార్ రాసిన పుస్తకంలో ఇవేవీ లేవు. వరుస క్రమంలో రచయిత వేలకి వేల సిద్ధాంతాలని ప్రకటిస్తూ పోయాడే గాని ఒక్కచోట కూడా సిద్ధాంతాల నిరూపణ ఇవ్వలేదు. పాఠకులు స్వయంకృషితో ఆ సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోవాలని ఉద్దేశం. అయితే సిద్ధాంతాల కూర్పులో ఓ వరుస క్రమం ఉంది కనుక, ముందు సులభమైన సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోగలిగితే ఆ అనుభవాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని తరువాత వచ్చే మరింత జటిలమైన సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోవచ్చు.

ఉదాహరణకి, ఆల్జీబ్రాలో ఓ ప్రాథమిక ఫలితానికి చెందిన ఓ సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది.
a2-b2 = (a-b)(a+b)
హై స్కూల్ స్థాయిలో కూడా ఈ సమీకరణాన్ని సులభంగా ఈ విధంగా నిరూపించవచ్చు.
(a-b)(a+b) = a(a+b) – b(a+b) = a2 + ab –ab + b2 = a2-b2
ఈ ప్రాథమిక ఫలితాన్ని పాఠకుడు సొంతంగా నిరూపించుకున్న తరువాత ఈ  సిద్ధాంతం ఎదురవుతుంది.
a3-b3 = (a-b)( a2+ab+b2)
ఈ సారి కూడా కుడి పక్కన ఉండే పదాలని విస్తర్పింపజేసి సమీకరణాన్ని సులభంగ నిరూపించవచ్చు.
(a-b)( a2+ab+b2) = a( a2+ab+b2) - b( a2+ab+b2) = a3 + a2b + ab2 –ba2 - ab2  - b3= a3  - b3
పై రెండు ఫలితాలు ఇచ్చిన తరువాత, వెంటనే వాటి సాధారణ రూపం ఈ విధంగా ఇవ్వబడింది.
an-bn = (a-b)(an-1+ an-2b+ … + bn-1)
అంతకు ముందు ఎదురైన రెండు ఫలితాలని అర్థం చేసుకున్న అనుభవంతో ఈ మరింత సాధారణ ఫలితాన్ని కూడా నిరూపించుకోవాలి.

ఆ విధంగా ఏ వివరణా లేకుండా రామానుజన్ ‘సైనాప్సిస్’ లోని సిద్ధాంతాలని వరుస క్రమంలో నిరూపిస్తూ పోయాడు. ఒక విధంగా వివరణ లేకపోవడం  వల్ల రామనుజన్ కి మేలే జరిగింది. పట్టున పదహారేళ్ళు కూడా నిండని రామానుజన్ ఆ సిద్ధాంతాలని నిరూపించే ప్రయత్నంలో కొత్త పుంతలు తొక్కాడు. సిద్ధాంతాలు పాతవే అయినా వాటిని నిరూపణలో రామానుజన్ గొప్ప నవీనతని, సృజనాత్మకతని ప్రదర్శించాడు.

టౌన్ హై లో చదువు పూర్తయ్యాక రామనుజన్ ప్రభుత్వ కళాశాలలో ఎఫ్. ఏ. కోర్సులో చేరాడు. కళాశాల చిన్నదే. పట్టున ఓ డజను మంది లెక్చరర్లు ఉండేవారు. కాని కుంభకోణంలో  ప్రభుత్వ కళాశాలని ఆ రోజుల్లో దక్షిణ భారత కేంబ్రిడ్జ్ అని పిలిచేవారు. కళాశాలలో చేరిన దగ్గర్నుండీ రామానుజన్ చదువులో ఓ కీలకమైన మార్పు వచ్చింది. అంతవరకు లెక్కల్లో ప్రత్యేక ప్రతిభ చూపించినా లెక్కలతో పాటు తక్కిన సబ్జెక్ట్ లలో కూడా తగినంత శ్రధ్ధ చూపించేవాడు. కాని కళాశాలలో చేరేసరిగి లెక్కల మీద సహజంగా ఉండే అభిమానం ఒక పిచ్చిగా మారింది. లెక్కల క్లాసులకి తప్ప మిగతా క్లాసులకి వెళ్ళేవాడు కాడు. ఎప్పుడు చూసినా ఏవో గణిత సూత్రాలు రాసుకుంటూ ఉండేవాడు. “అసలు తన చుట్టూ ఏం జరుగుతోందో కూడా పట్టేది కాదు,” అంటాడు తన స్నేహితుడు ఎన్. హరి రావు. ఈ హరి రావుకి రామానుజన్ ‘మాయా చదరాలు’ (magic squares)   ఎలా నిర్మించాలో నేర్పించాడు. ఈ చదరాలలో గడి రూపంలో అంకెలు పూరించాలి. ప్రతీ వరుసలోను నిలువుగాను, అడ్డుగాను అంకెల కూడిక విలువ ఒక్కటే కావాలి. ఇవి కాక ఆల్జీబ్రా, కాల్కులస్, త్రికోణమితి మొదలైన గణితవిభాగాలలో ఎక్కడెక్కడి నుండో లెక్కలు తెచ్చి వాటిని పరిష్కరిస్తూ కూర్చునేవాడు.

ఈ ప్రయత్నంలో పి.వి. శేషు అయ్యర్ అనే లెక్కల లెక్చరరు ఎంతో ప్రోత్సహించేవాడు. లండన్ నుండి ప్రచురితం అయ్యే ‘Mathematical Gazette’  అనే గణిత పత్రికలో అచ్చయ్యే సమస్యలు తెచ్చి ఇచ్చి వాటి పరిష్కారం కోసం ప్రయత్నించమని రామానుజన్ ని ప్రోత్సహించేవాడు. ఈ దశలో అనంత శ్రేణులు (infinite series)  అనే అంశంలో రామానుజన్ గొప్ప ‘నవీనతని, మేధస్సును’ ప్రదర్శించాడని శేషు అయ్యరే ఒప్పుకున్నాడు.

గణితంలో ఎంత దుమారం లేపుతున్నా తక్కిన సబ్జెక్ట్ లని అశ్రద్ధ చెయ్యడం వల్ల సమస్యలు తలెత్తాయి. 1897  లో ఇంగ్లీష్ వ్యాసరచనలో తప్పడం వల్ల అతడి పారితోషకం రద్దయ్యింది. తల్లి ఆ పరిణామాన్ని సహించలేకపోయింది. గణితంలో అసమాన మేధావి అయిన తన కొడుక్కి పారితోషకం రద్దు చెయ్యడవేంటి? అని వెళ్ళి ప్రిన్సిపాల్ తో పోట్లాట వేసుకుంది. కాని ప్రిన్సిపాలు ‘రూల్సు, రూల్సే’ నని పట్టు బట్టాడు.

 (ఇంకా వుంది)

0 comments

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email