శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

ద్విపద సిద్ధాంతం - గౌస్

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, March 25, 2010

ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:

(1+x)^n = 1 + n x + n(n-1) x^2 /(1*2) + n(n-1)(n-3) x^3 /(1*2*3) + …

పై గణిత సూత్రంలో n (>౦) పూర్ణసంఖ్య అయితే సమీకరణంలో కుడి పక్కన ఉన్న కూడిక కొన్ని పదాల తరువాత అంతం అవుతుంది. అయితే పై సూత్రం n ధన పూర్ణసంఖ్య కాకపోయినా వర్తిస్తుంది. అలాంటప్పుడు కుడి పక్కన ఉన్న శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుంది. ఉదాహరణకి n = -1, అయినప్పుడు పై సూత్రాన్ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:

(1+x)^(-1) = 1 - x + x^2 - x^3 + …
కాని చిక్కేంటంటే పై సూత్రంలో x కి ఏ విలువ పడితే ఆ విలువని ఇస్తే విడ్డూరమైన ఫలితాలు వస్తాయి. ఉదాహరణకి x= -2 అనుకుంటే ఎడమపక్క విలువ:
1/(1-2) = -1
అవుతుంది. కాని కుడి పక్క విలువ,
1 +2+4+8 + 16+…

అంటే ఎడమపక్క విలువ (-1) మితమైనది అయితే, కుడి పక్క విలువ అమితమైనది అవుతుంది అన్నమాట.
కనుక ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని n ధన పూర్ణసంఖ్య (positive integer) కాని సందర్భాలలో వాడేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండకపోతే కష్టాలొస్తాయని తాత్పర్యం. గౌస్ కి పూర్వులైన గణితవేత్తలు ఈ కష్టాల గురించి పెద్దగా పట్టించుకోలేదు. కచ్చితంగా ఏఏ సందర్భాలలో పై సూత్రం వర్తిస్తుందో తేల్చుకోవాలి. ఎలాంటి పరిస్థితుల్లో పై సూత్రంలోని కూడిక అభిసరణ (converge) చెందుతుందో అర్థం చేసుకోవాలి. అందుకు నిరూపణ (proof) కూడా సాధించాలి. ఆ నిరూపణ కచ్చితంగా, నిర్ద్వంద్వంగా ఉండాలి. ఊరికే కొన్ని ఉదాహరణలు చూపించి, సూత్రం పని చేస్తోందని ప్రదర్శిస్తే సరిపోదు.

తమ టెక్స్ట్ బుక్ లో ఉన్న నిరూపణ గౌస్ కి గాని, తన నేస్తం బార్టెల్స్ కి గాని నచ్చలేదు. లాభం లేదని గౌస్ తానే ఓ నిరూపణ తయారుచేశాడు. ఆ విధంగా గణితవిశ్లేషణ (mathematical analysis) అనే ఓ లోతైన, కఠినమైన గణిత విభాగంలోకి గౌస్ తెలీకుండానే అడుగుపెట్టాడు.
గణితవిశ్లేషణలో గౌస్ తొక్కిన కొత్త పుంతలు తన తదనంతరం ఆ విభాగాన్ని సమూలంగా ప్రభావితం చేసింది. గౌస్ తరువాత ఏబెల్ (Abel), కోషీ (Cauchy) మొదలైన వారు, వారి తరువాత కోషీ శిష్యులైన వయర్ స్ట్రాస్ (Weierstrass), డెడికైండ్ (Dedekind) మొదలైన వారు ఆ సాంప్రదాయాన్ని బాగా బలోపేతం చేశారు.

ఆ విధంగా నిరూపణలలో అత్యంత నిశితమైన నిర్దుష్టతని (rigor) కోరుకుంటూ గౌస్ గణితంలో ఓ విప్లవాన్నే సాధించాడు. అలాంటి నిశిత దృష్టితో చూసినప్పుడు అంతవరకు సుపరిచితంగా, సమంజసంగా కనిపించిన ప్రాథమిక జ్యామితి (elementary geometry) నిండా ఎన్నో లొసుగులు కొట్టొచ్చినట్టు కనిపించాయి. పన్నెండేళ్లకే యూక్లిడియన్ జ్యామితి పునాదులు తడిమి చూశాడు. పదహారేళ్లకే యూక్లిడియన్ జ్యామితికి భిన్నమైన ఇతర జ్యామితులు (non-Euclidean geometries) ఉంటాయని ఊహించి, వాటి స్వరూపాన్ని కచ్చితంగా అర్థంచేసుకున్నాడు. పదిహేడేళ్లకే తన పూర్వీకులు బాగా అర్థమై పోయిందని తలపోసిన “సంఖ్యా సిద్ధాంతం” (number theory) కి చెందిన నిరూపణలలో ఎన్నో చోట్ల లొసుగులు ఎత్తి చూపుతూ వాటన్నిటీ సరిదిద్దే బృహత్కార్యాన్ని చేపట్టాడు.

(సశేషం...)

5 comments

  1. gaddeswarup Says:
  2. I think that it was Newton who used binomial series first (at least in the West) and the convergence was discussed by Abel later. Gauss developed a test later. Newton also used the binomial seires to obtain series for sin(x). He knew the the integral formula for inverse sin (x), expanded the integrand by binomial series and integrated term by term. He then inverted the series to obtain the series expansion for sin (x)! Many of the series expansions were obtained by Madhava nearly three hundred years before. Madhava also had his version of the error term in Taylor series.

     
  3. Dear Gaddeswarup garu

    Thank you for the insightful comments. My sourcebook for this article is "Men of mathematics" by ET Bell.

    It may be true that Newton used binomial series to get series expansions. But this book says earlier work (before that of Gauss) was more of applied maths kind and lacked rigor that an analyst demands.
    To quote from the book:

    "The rigor which Gauss imposed on analysis gradually overshadowed the whole of mathematics, both in his own habits and in those of his contemporaries - Abel, Cauchy - and his successors - Weierstrass, Dedekind, and mathematics after Gauss became a totally different thing from the mathematics of Newton, Euler and Lagrange."

    It is true that ancient Indians knew about binomial theorem. I think I wrote about it in an article on Pascal's triangle/Meru Prastaram. But dont know much about our work on infinite series. Will try to look for some info. If you have some references please let me know.

     
  4. gaddeswarup Says:
  5. Chakravarti garu,
    I think what you say about Gauss is true. I think Abel supplied proofs and extended it to comlex exponents,but died too young. Gauss was a bigger influence. My information about Newton is from (read long ago) Edwards's book on the development of Calculus. I do not know whether Indians had binomial series but many of Indian contributions are now in a possibly definitive book by Kim Plofker
    http://www.thesouthasian.org/archives/2006/situation_in_dantewara_distric.html
    I have not read the book but read her earlier article in "The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook".
    I too was inspired by Bell's book to get in to mathematics but many say for history of mathematics, it is not too reliable. But what you said seems to correct in broad oultline. Thanks for very interesting and readable posts.

     
  6. Salahuddin Says:
  7. A proof of fermat's little theorem (my own proof) using binomial expansion is here: http://salahuddin-knowledgehobbyist.blogspot.com/2010/08/i-could-also-prove-fermats-theorem.html. This is my blog, contains many recreational mathematics stuff. I talked about perfect numbers as well, and some math problems for school kids, please visit the maths section there.

     
  8. Salahuddin@
    The math part of your blog is awesome. Do you plan to translate it into Telugu?

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email