శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

మాడ్యులర్ సమీకరణాలు - పై విలువ

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, March 23, 2015
p విలువ ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతకి, వ్యాసానికి మధ్య నిష్పత్తితో సమానం అని చిన్నతరగతులలోనే పిల్లలు నేర్చుకుంటారు. అయితే p  విలువ 22/7  ని పిల్లలకి నేర్పుతారు. ఇది కేవలం ఉజ్జాయింపు మాత్రమే. నిజానికి అదో ‘అకరణీయ సంఖ్య’ (irrational number).  ఇంకా కచ్చితంగా చెప్పాలంటే అది అకరణీయ సంఖ్యలలో ఉపజాతి అయిన అతీత సంఖ్య (transcendental number).   దాన్ని రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలుపడదు. కాని అనంత శ్రేణుల రూపంలో p  విలువని ఎన్నో రకాలుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
ఉదాహరణకి జేమ్స్ గ్రెగరీ అనే స్కాటిష్ గణితవేత్త p విలువని ఈ ఇంపైన అనంత శ్రేణి రూపంలో వ్యక్తం చేశాడు.
 

ఈ రూపాన్ని మరి కొందరు గణితవేత్తలు కూడా కనుక్కున్నారు. p విలువని జాన్ వాలిస్ అనే గణిత వేత్త ఈ అనంత లబ్ధంగా (infinite product) వ్యక్తం చేశాడు.

p విలువని ఇలా అనంత శ్రేణిగానో, అనంత లబ్ధం గానో వ్యక్తం చేసినప్పుడు, కుడి పక్క ఇవ్వబడ్డ దాని విస్తృత రూపంలో ఎన్ని పదాలు తీసుకుంటే, దాని విలువ అంత కచ్చితంగా అంచనా వెయ్యడానికి వీలవుతుంది. ఉదాహరణకి పైన జేమ్స్ గ్రెగరీ ఇచ్చిన అనంత శ్రేణిలో మొదటి  పదం (1)  మాత్రమే తీసుకుంటే, p విలువ 4  అని వస్తుంది. మొదటి రెండు పదాలు (1,  -1/3)  తీసుకుంటే p విలువ = 4(1-1/3) = 8/3=2.666… అవుతుంది. మూడు పదాలు తీసుకుంటే, p విలువ = 4(1 – 1/3 + 1/5) = 3.4667  అవుతుంది. p యొక్క అసలు విలువ 3.141592… కనుక పదాల సంఖ్య పెంచుతుంటే p విలువ యొక్క అంచనా ఇంకా ఇంకా నిర్దుష్టం అవుతుంటుంది.

p విలువ ని కచ్చితంగా అంచనా వెయ్యాల్సిన అవసరం ఎంతో వుంది. ఎన్నో వైజ్ఞానిక విభాగాలలో, సాంకేతిక విభాగాలలో ఎదురయ్యే గణనాలలో p విలువ ముఖ్య పాత్ర ధరిస్తుంది. కనుక p విలువని ఎంతో కచ్చితంగా అంచనా వెసే ప్రయత్నాన్ని ఓ ఆటలాగా తీసుకుని కొన్ని శతాబ్దాలుగా ఎంతో మంది గణితవేత్తలు ఎన్నో దశాంశ స్థానాల వరకు p విలువని అంచనా వెయ్యగలిగారు. పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు నడిమి కాలానికే p విలువ ఐదొందల దశాంశ స్థానాల వరకు అంచనా వేసేశారు. ప్రాచీన భారత గణిత వేత్తలలు కూడా ఈ p విలువని వెలకట్టే ఆటలో పాల్గొన్నారు. పదవ శతాబ్దానికి చెందిన ఆర్యభట్టు p విలువని  31  దశాంశ స్థానల వరకు వెలకట్టడమే కాక ఆ విలువని ఓ సంస్కృత శ్లోక రూపంలో అద్భుతంగా వ్యక్తం చేశాడు. పదకొండవ శతాబ్దానికి చెందిన బ్రహ్మగుప్తుడు p విలువ  విలువకి సన్నిహితంగా ఉందని గుర్తించాడు.

పదిహేడవ శతాబ్దంలో కాల్కులస్ ఆవిష్కరణ తరువాత, అనంత శ్రేణుల గురించి అవగాహన మరింత పెంపొందిన తరువాత, p విలువని అంచనా వేసే పద్ధతులు గణనీయంగా అభివృద్ధి చెందాయి. ఐసాక్ న్యూటన్ కూడా ఏమీ తోచని సమయాలలో ఉబుసుపోక కోసం p విలువ అంచనా వేస్తూ కాలయాపన చేస్తున్నట్టు ఒక చోట రాసుకుంటాడు. p విలువని అనంత శ్రేణిగా వ్యక్తం చేసినప్పుడు ఆ వ్యక్తరూపం శ్రేష్టమైనదా కాదా అన్న ప్రశ్న వస్తుంది. అతి తక్కువ పదాలతో p విలువని ఎంతో కచ్చితంగా వ్యక్తం చేసే వీలునిచ్చే శ్రేణి శ్రేష్టమైనదని లెక్క. ఆ దృష్టితో చూస్తే పైన జేమ్స్ గ్రెగరీ ఇచ్చిన రూపం వల్ల పెద్దగా ప్రయోజనం లేదు. దాంతో మూడు దశాంస స్థానాల వరకు p విలువని లెక్కించడానికి ఐదొందలు పైగా పదాలు తీసుకోవాలి. అందుకు భిన్నంగా రామనుజన్ కనిపెట్టిన పద్ధతి ప్రకారం మాడ్యులర్ సమీకరణాలని ఉపయోగించి అత్యంత వేగంగా, అతి తక్కువ పదాలతో p విలువని లెక్కించొచ్చు. కంప్యూటర్ యుగం మొదలయ్యాక p విలువని కంప్యూటర్ల సహాయంతో లెక్కించే ప్రయాస మొదలయ్యింది. అలాంటి ప్రయత్నాలలో p విలువని అత్యంత వేగంగా లెక్కించే కొన్ని పద్ధతులు చాలా కాలం క్రితం రామానుజన్  కనిపెట్టిన పద్ధతుల మీద ఆధారపడడం విశేషం.

ఇంగ్లండ్ లో రామానుజన్  జీవితం అలా గణితలోకంలో విహార యాత్ర లాగా సాఫీగా సాగిపోతున్న తరుణంలో యూరప్ లో రాజకీయ పరిస్థితుల్లో కొన్ని అవాంఛనీయ పరిణామాలు తలెత్తాయి. ఒక పక్క జర్మనీ కి, మరో పక్క ఫ్రాన్స్, బ్రిటన్ లకి మధ్య ఏ నాటినుండో రాజుకుంటున్న అగ్గి ఒక్కసారిగా భగ్గుమంది. ఒకటి రెండు నెలలలో ముగిసిపోతుంది అనుకున్న పోరు, ఓ మహాసంగ్రామంగా వికటించి సమస్త యూరప్ ని ఆక్రమించుకుంది. లక్షల సంఖ్యలో సైనికుల, సామాన్యుల ప్రాణాలని పొట్టన పెట్టుకుంది.

ఇక్కడ కుంభకోణంలో రామానుజన్ భద్రత గురించి అతడి కుటుంబీకులు ఆందోళన చెందసాగారు. తను ఉన్న దేశంలో  యుద్ధం జరగడం లేదని, అది పొరుగుదేశానికి మాత్రమే పరిమితం అని వారికి ధైర్యం చెప్తూ మొదట్లో రామానుజన్ ఉత్తరం రాశాడు. కాని త్వరలోనే పరిస్థితులు మారిపోయాయి. బ్రిటిష్ సేనలో ఒక విభాగం కేంబ్రిడ్జ్ పరిసర ప్రాంతంలో మొహరించింది. కాలేజి భవనాలు  సైనిక శిక్షణా శిబిరాలుగా మారిపోయాయి. ఒక గ్రంథాలయాన్ని తాత్కాలిక ఆసుపత్రిగా మార్చేశారు.

జర్మన్ సేనల అరాచకాలకి హద్దు లేకుండా పోయింది. సైనికుడు సైనికుడితో తలపడకుండా సామాన్యులని ఊచకోత కోసే అమానుషానికి ఒడిగట్టాయి జర్మన్ సేనలు. బెల్జియమ్ లోని లోవేన్ (Louvain) నగరాన్ని జర్మన్ సేనలు ముట్టడి చేసి నగరాన్ని తగులబెట్టాయి. ఎంతో మంది సామాన్య పౌరులు అగ్నికి బలి అయ్యారు. లొవేన్ ఉదంతంతో ప్రపంచ దేశాల దృక్పథం జర్మనీకి ప్రతికూలంగా మారిపోయింది. లోవేన్ వినాశం విషయమై దేశదేశాల పత్రికలు జర్మనీ పై దుమ్మెత్తి పోశాయి.

(ఇంకా వుంది)

7 comments

  1. పదకొండవ శతాబ్దానికి చెందిన బ్రహ్మగుప్తుడు p విలువ విలువకి సన్నిహితంగా ఉందని గుర్తించాడు.

    ఇక్కడ మీరు పై అన్న మాట బదులు p అని వాడారు. మీరు π అని వ్రాస్తే సరిగా ఉండేది. ఈ π అన్న గుర్తు విద్యార్ధులందరికీ కూడా చిరపరిచితమైనదే కదా. ఇబ్బంది లేదు. p అంటేనే తికమకగా ఉంటుంది వారికీ‌ అందరికీనూ.
    అలాగే "p విలువ విలువకి" అన్నచోట విలువ విలువ అని రెండు చోట్ల వ్రాసారు - మధ్యలో ఏదో వదిలేసారు పొరపాటున.
    ఇవి సరే, టపా బాగుంది, యథాప్రకారంగానే. అభినందనలు.

     
  2. Anonymous Says:
  3. Superb information. Please continue. All the blogs should steer to such new frontiers. Currently very few blogs are informative and worth reading. Yours is one of them. Thanks for your time.

     
  4. π విలువకు 22/7 చాలా చండాలమైన ఉజ్జాయింపు. తమషా ఏమిటంటే కొన్ని కంప్యూటరు ప్రోగ్రాముల్లో కూడా ఇది వాడటం గమనించాను!

    మంచి ఉజ్జాయింపు భిన్నంగా 355/113 పనికి వస్తుంది. 335/113=3.1415929. ఇక్కడ 7వ దశాంశస్థానం వరకూ సరిపోతోంది సరైన విలువ 3.141592653589793238462643... తో పోలిస్తే.

     
  5. బ్రహ్మగుప్తుడు p విలువ ??? విలువకి సన్నిహితంగా ఉందని గుర్తించాడు.
    మీరు ఇంకా ఈ వాక్యం సరిజేయలేదు. మీ కోసం, ప్రశ్నార్థకాలను ఉంచాను గమనించగలరు.

     
  6. శ్యామలీయం గారు, మీరు అడిగిన సవరణ -
    "పదకొండవ శతాబ్దానికి చెందిన బ్రహ్మగుప్తుడు  విలువ √10 విలువకి సన్నిహితంగా ఉందని గుర్తించాడు."
    అనానిమస్ గారు, ధన్యవాదాలు.

     
  7. చక్రవర్తిగారు, సవరణను నాకు చెప్పారు సరే, టపాలోకూడా సరిచేయ వలసిందిగా విజ్ఞప్తి.

     
  8. Anonymous Says:
  9. నిజానికి అదో ‘కరణీయ సంఖ్య’ (irrational number).

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email