రామానుజన్
హార్డీల సహాధ్యాయం
గణిత విషయాలలో రామానుజన్
హార్డీల స్వభావాలు పూర్తిగా భిన్న ధృవాలు అని అంతకు ముందు చెప్పుకున్నాం. రామనుజన్
ప్రత్యేకత అద్భుతమైన లోజ్ఞానం అయితే, హార్డీ ప్రత్యేకత లొసుగు లేని నిరూపణా పద్ధతి.
అందుకే వీరివురి శక్తులు పరస్పర పరిపూరకాలై ఎన్నో గొప్ప గణిత ఫలితాలకి ప్రాణం పోశాయి.
రామనుజన్, హర్డీ లు వ్యక్తిగతంగా ఎన్నో విశేషమైన గణిత విజయాలని సాధించినా ఇద్దరి సహకారం
వల్ల కొన్ని విలక్షణమైన గణిత ఫలితాలు గణిత ప్రపంచానికి దక్కాయి. అలాంటి వాటిలో ‘విభాగాలు’
(partitions) మీద చేసిన పరిశోధన చెప్పుకోదగ్గది.
ఒక సంఖ్యని పలు సంఖ్యల కూడికగా
వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి 5 = 2 + 3. అయితే
ఒకే సంఖ్యని అలా పలు రకాల కూడికలుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి 5 = 2 + 3 = 1+ 4. ఒక సంఖ్యని రెండు సంఖ్యల కూడికగా
మాత్రమే కాక, పలు సంఖ్యల కూడికగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి, 5 = 1 + 1 + 3 = 1+ 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2=… ఇలా
ఒక సంఖ్యని పలు సంఖ్యలుగా వేరు చేసినప్పుడు ఏర్పడ్డ కూటములనే ‘విభాగాలు’ అంటారు.
ఇప్పుడు ఈ విభాగాల గురించి
ఓ ముఖ్యమైన ప్రశ్న వెయ్యొచ్చు. ఒక సంఖ్యకి మొత్తం ఎన్ని విభాగాలు ఉంటాయి? ‘n’ అనే ఓ
పూర్ణ సంఖ్యని తీసుకుంటే, దాని యొక్క మొత్తం విభాగాల సంఖ్యని ఓ ప్రమేయంగా,
p(n), అని వ్యక్తం చేస్తారు. చిన్న సంఖ్యల విషయంలో ఈ p(n) ని చాలా సులభంగా లెక్కించొచ్చు.
1 ని ప్రత్యేకించి విభాగాలుగా చెయ్యడానికి వీల్లేదు.
1=1. అంతే కనుక p(1) = 1
2 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. 2 = 1 + 1 = 2. అంటే రెండు విభాగాలు. కనుక p(2)
= 2.
3 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. 3 = 3= 2+1 =
1+1+1. కనుక p(3) = 3.
4 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. 4 = 4 = 3+1=2+2 = 1+1+2 = 1+1+1+1. కనుక, p(4) = 5.
5 ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
5 = 5 = 4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 = 1+1+1+1+1. కనుక, p(5)=7.
చిన్న సంఖ్యల విషయంలో ఇలా
p(n) విలువని సులభంగా లెక్కించొచ్చు గాని, n పెరుగుతుంటే
p(n) వేగంగా పెరిగిపోతుంది. ఉదాహరణకి p(10) = 42, p(50) = 2,04,226.
అన్ని విభాగాలు ఉన్నప్పుడు
పైన చేసినట్టు ఒక్కొక్క విభాగాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడం కష్టం కావచ్చు. n=50 అయితేనే రెండు లక్షల పైగా విభాగాలు ఉన్నాయి. మరి అంత వేగంగా పెరిగే ప్రమేయాన్ని లెక్కించడానికి
పొందిగ్గా ఏదైనా సూత్రం వుందా?
రామనుజన్ కాలంలో
p(n) యొక్క లక్షణాల గురించి పెద్దగా ఎవరికీ
తెలీదు. అయితే ఈ రంగంలో కూడా జర్మన్ గణితవేత్త ఆయిలర్ ఓ చిత్రమైన సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించాడు.
p(n) ని లెక్కించడానికి ఓ పొందికైన సూత్రాన్ని
ఇవ్వలేకపోయినా, p(n) ని ఓ అనంత శ్రేణిలో చొప్పించి
ఈ ఆశ్చర్యకరమైన ఫలితాన్ని ఇచ్చాడు.
రామానుజన్ పై సూత్రాన్ని
తీసుకుని, దాన్ని రకరకాలుగా మార్చి p(n) యొక్క లక్షణాల గురించి కొన్ని ఫలితాలు కనుక్కున్నాడు.
ఉదాహరణకి, m అనేది ఓ పూర్ణ సంఖ్య అయితే,
p(5m + 4) అనే రాశి 5 చేత భాగింపబడుతుంది.
p(7m + 5) అనే రాశి 7 చేత భాగింపబడుతుంది.
p(11m + 6) అనే రాశి 11 చేత భాగింపబడుతుంది.
ఈ రకంగా ఎన్నో ఫలితాలు కనుక్కున్నాడు.
అయితే p(n) యొక్క లక్షణాలని పరిశీలించడమే కాకుండా ఏకంగా
p(n) ని అంచనా వెయ్యగలమా?
ఈ ప్రశ్నకి సమాధానం వెతకడానికి
రామానుజన్- హార్డీలు చేతులు కలిపారు. థీటా శ్రేణి (theta series) అనే ఒకరమైన అనంత శ్రేణిని తీసుకున్నారు. ఈ థీటా శ్రేణిని ఉపయోగించి p(n) ని సులభంగా లెక్కించొచ్చు నని రామానుజన్ లోగడ హార్డీకి
రాసిన తన మొదటి ఉత్తరంలో పేర్కొన్నాడు. అయితే
తరువాత తేలింది ఏంటంటే రామానుజన్ సూచించిన పద్ధతిలో అంత కచ్చితమైన అంచనాలు రావు. కాని
రామానుజన్ సూచించిన పద్ధతిలో ఇంకా ముందుకు సాగి హార్డీ, రామానుజన్ లు ‘వృత్త పద్ధతి’
(circle method) అనే ఓ వినూత్నమైన పద్ధతి కనిపెట్టారు.
దాని సహాయంతో p(n) ని చాలా కచ్చితంగా లెక్కించడానికి
వీలయ్యింది.
కాని వీరి సూత్రం ప్రకారం
లెక్కించబడ్డ p(n) విలువ నిజమని నమ్మకం ఏంటి? అలా సరిచూసుకోడానికి అసలు విలువలు తెలియాలి.
ఇక్కడే మక్ మహోన్ అనే గణిత వేత్త యొక్క “ప్రమేయం” ఎంతో అవసరమయ్యింది. ఈ మక్ మహోన్ మొదట్లో
బ్రిటిష్ సేనా విభాగంలో పని చేశాడు. ఒక దశలో సేనా విభాగన్ని వదిలి గణిత వేత్తగా కొత్త
అవతారం ఎత్తాడు. వేగంగా లెక్కలు చెయ్యడం ఇతడి ప్రత్యేకత. ‘విభాగాల’ గురించి ఆయిలర్
చేసిన ప్రప్రథమ పరిశోధనల సహాయంతో p(n) విలువని లెక్కించడానికి వీలవుతుంది గాని అది
చాలా బండ పద్దతి అవుతుంది. ఆ పద్ధతితో లెక్కిస్తే 11 X 24 అనే గుణకారాన్ని 11 + 11+ … (24
సార్లు) అని కూడి లెక్కించినట్టు ఉంటుంది.
ఎంతో శ్రమించి మక్ మహోన్ p(n) విలువ n = 200
వరకు లెక్కించాడు. మక్ మహోన్ ఇచ్చిన
ఫలితాలతో రామానుజన్, హార్డీలు తమ సూత్రం సహాయంతో వచ్చిన ఫలితాన్ని పోల్చి చూసుకున్నారు.
ఉదాహరణకి, మక్ మహోన్ ప్రకారం
p(100) = 19,05,69,292
రామనుజన్, హార్డీల పద్ధతి
ప్రకారం p(100) = 190569292.996
దశాంశ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలని
పక్కన పెడితే రెండూ సరిపోతాయి. ఫలితం ఎలాగూ పూర్ణ సంఖ్య కావాలి కనుక దశాంశ స్థానాలని
పక్కన పెట్టడం తప్పు కాదు.
ఆ తరువాత p(200) ని కూడా అంతే నిర్దుష్టంగా అంచనా వెయ్యడానికి వీలయ్యింది.
1916 లో హార్డీ తాము సాధించిన ఫలితాల సారాంశాన్ని క్లుప్తంగా
రాసి Quatrieme Congres des Mathematiciens Scandinaves అనే గణిత పత్రికలో ప్రచురించాడు. తదుపరి సంవత్సరం
ఈ అంశం మీదే మరో వ్యాసాన్ని హార్డీ- రామనుజన్ లు కలిసి Comptes Rendus అనే పత్రికలో ప్రచురించారు. కాని ఈ రెండు వ్యాసాలు
క్లుప్తమైనవే. తదనంతరం 1918 లో ఈ మొత్తం పరిశోధనని
విపులంగా వర్ణిస్తూ 40 పేజీల వ్యాసాన్ని ప్రచురించారు.
(ఇంకా వుంది)
0 comments