శాస్త్ర విజ్ఞానము

 

 

సంఖ్యల గురించిన ఏ చర్చలో అయినా, అందులో ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త ఫర్మా ప్రతిపాదించిన మహత్తర సిద్ధాంతం యొక్క ప్రస్తావన రాకుంటే, ఆ చర్చ ఒక విధంగా అసంపూర్ణమే. అయితే ఈ సిద్ధాంతానికి ప్రధాన సంఖ్యలకి మధ్య సంబంధం లేదు. ఈ సమస్యకి వేళ్లు ప్రాచీన ఈజిప్ట్ లో వున్నాయి. ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు 3:4:5 నిష్పత్తిలో ఉన్నట్లయితే ఆ త్రిభుజంలో ఒక లంబ కోణం తప్పనిసరిగా ఉండాలని ప్రాచీన ఈజిప్ట్ కి చెందిన ప్రతీ వడ్రంగికీ తెలిసి వుంటుంది. ఆ రోజుల్లో వడ్రంగులు వాడే పరికరాలలో ఈ రకమైన త్రిభుజాలు ఉన్నాయని మనకిప్పుడు తెలుసు.



మూడవ శతాబ్దంలో అలెగ్జాండ్రియాకి చెందిన డయాఫాంటెస్ కి ఒక ఆలోచన వచ్చింది. 3 యొక్క వర్గానికి 4 యొక్క వర్గం కలిపితే 5 యొక్క వర్గం వస్తుందని మనకి తెలుసు. అయితే (3,4,5) అనే అంకెల త్రయానికి మాత్రమే ఆ లక్షణం వుందా, లేక అలాంటి లక్షణం గల అంకెలు త్రయాలు మరెన్నో వున్నాయా? ఈ లక్షణం గల అంకెల త్రయాలు అనంతం వున్నాయని డయాఫాంటెస్ నిరూపించగలిగాడు. అంతే కాక అలాంటి త్రయాలని నిర్మించేందుకుగాను ఒక సార్వత్రిక సూత్రాన్ని కూడా అందించాడు. ఆ సూత్రం ఇలా వుంటుంది.



2ab సంపూర్ణ వర్గం (perfect square) అయ్యేట్టుగా a,b అనే పూర్ణ సంఖ్యలని తీసుకోవాలి. అప్పుడు x,y,z లని ఈ విధంగా నిర్వచిస్తే,

x = a + sqrt(2ab); y = b + sqrt(2ab); z = a+b+sqrt(2ab)

x^2 + y^2 = z^2

అవుతుందని సులభంగా నిర్ధారించుకోవచ్చు.





భుజాలు మూడూ పూర్ణ సంఖ్యలు గా గల లంబ కోణ త్రిభుజాలని మనం పైతాగోరియన్ త్రిభుజాలు అంటాం. ఈ త్రిభుజాలలో మొట్టమొదటిదే ఇందాక చెప్పుకున్న ఈజిప్షియన్ త్రిభుజం. పైతాగోరియన్ త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ చిన్ని సమీకరణంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు –

x^2 + y^2 = z^2



1621 లో పారిస్ లో పియర్ ఫర్మా అనే గణితవేత్త డయాంఫాంటెస్ రాసిన ‘అరిత్మెటికా’ అనే పుస్తకం యొక్క ఫ్రెంచ్ అనువాదాన్ని కొనుక్కుని ఇంటికి తెచ్చుకున్నాడు. ఈ పుస్తకంలో పైతాగోరియన్ త్రిభుజాల గురించి చర్చ వస్తుంది. ఆ పుస్తకం చదివాక ఫర్మా ఒక చోట క్లుప్తంగా ఇలా రాసుకున్నాడు. x^2 + y^2 = z^2 అనే సమీకరణానికి అనంతంగా పరిష్కారాలు ఉండొచ్చునేమో గాని, ఈ కింది సమీకరణానికి మాత్రం,

x^n + y^n = z^n

n విలువ 2 కన్నా పెద్దదైన పక్షంలో, పరిష్కారాలు ఉండవు.

“దీనికి నిజంగా ఓ అద్భుతమైన నిరూపణని కనుక్కున్నాను,” అని రాసుకున్నాడు ఫర్మా. “అయితే ఆ నిరూపణని ఇక్కడ ఇవ్వడానికి పుస్తకం అంచు సరిపోదు.”

ఫర్మా మరణానంతరం డయాఫాంటెస్ పుస్తకం యొక్క ప్రతి దొరికింది. అందులో ఫర్మా నమోదు చేసిన విషయాలు ప్రపంచానికి తెలిశాయి. అది మూడు శాతబ్దాల క్రితం నాటి కథ. అప్పట్నుంచి ప్రపంచంలో ఎంతో మంది గణితవేత్తలు ఫర్మా తన పుస్తకంలో సూచించిన ఆ మహత్తర నిరూపణని కనుక్కోవడానికి విశ్వప్రయత్నం చేశారు. ఆ లక్ష్యం దిశగా గణనీయమైన పురోగతి సాధించారు. ఫర్మా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నంలో “theory of ideals” అనే ఓ కొత్త గణిత విభాగమే పుట్టింది. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సామాన్య రూపాన్ని నిరూపించలేకపోయినా కొంత మంది దాని ప్రత్యేక రూపాలని నిరూపించగలిగారు. ఉదాహరణకి ఆయిలర్ (Euler)

x^3 + y^3 = z^3 మరియు x^4 + y^4 = z^4

సమీకరణాలకి పూర్ణసంఖ్యా రూపంలో ఉండే పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించాడు. అలాగే డిరిక్లే (Dirichlet) అనే గణితవేత్త,

x^5 + y^5 = z^5

అనే ప్రత్యేక సమీకరణానికి పూర్ణ సంఖ్యా రూపంలో పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించాడు.

ఈ దిశలో ఎంతో మంది గణితవేత్తలు చేసిన కృషిని కలుపుకుంటే ప్రస్తుతం మనకి ఓ చక్కని ఫలితం వచ్చింది. పై సమీకరణంలో n విలువ 2 కన్నా పెద్దది, 269 కన్నా చిన్నది అయిన పక్షంలో సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు అని నిరూపించడం సాధ్యమయ్యింది.అయితే n యొక్క ఏ విలువ కైనా వర్తించే సామాన్యమైన నిరూపణ ఇంతవరకు సాధ్యం కాలేదు *. ఫర్మా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నంలోని కాఠిన్యాన్ని గుర్తించిన నిపుణులు అసలు ఫర్మా నిజంగానే ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడా, లేక నిరూపించానని అపోహ పడ్డాడా అని సందేహించడం మొదలెట్టారు. ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించిన వారికి లక్ష జర్మన్ ఫ్రాంకులు బహుమతి దక్కే అవకాశం వున్నా చేసిన ప్రతీ ప్రయత్నంలోను పదే పదే దోషాలు దొర్లడంతో, అందుతుంది అనుకున్న బహుమతి అంది రాక ఎంతో మంది గణిత ప్రపంచపు ఔత్సాహికులు నిరాశ చెందారు.

(* ఇది ప్రస్తుతం నిజం కాదు. 1995 లో ప్రఖ్యాత గణితవేత్త ఆండ్రూ వైల్స్ ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించి ప్రచురించాడు. అంతకు ముందు 1994 లో ప్రచురించిన ఓ నిరూపణలో ఒక దోషం వున్నట్టు ఆ నిరూపణని సమీక్షించిన నిపుణులు కనుక్కున్నారు. ఆండ్రూ వైల్స్ తన ఒకప్పటి శిష్యుడు రిచర్డ్ టెయిలర్ తో చేతులు కలిపి ఆ దోషాన్ని సవరించి, 1995 లో నిర్దుష్టమైన నిరూపణని ప్రచురించాడు. – అనువాదకుడు)

1931 లో ష్నిరెల్ మాన్ అనే రష్యన్ గణితవేత్త ఈ సూత్రాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నంలో మొదటి మెట్టు వేశాడు. “ప్రతీ సరి సంఖ్యని 300,000 కన్నా తక్కువ ప్రధాన సంఖ్యల కూడికగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చని” ఇతడు నిరూపించగలిగాడు. అయితే గోల్డ్ బాక్ సూత్రంలోని “రెండు ప్రధాన సంఖ్యల కూడిక” కి, ఈ ష్నిరెల్ మాన్ సూత్రంలోని “300,000 ప్రధాన సంఖ్యల కూడిక”కి మధ్య అగాధమైన వ్యత్యాసం వుంది. ఆ అగాధాన్ని మరి కాస్త కుంచింపజేసినవాడు వినొగ్రాడోవ్ అనే రష్యన్ గణితవేత్త. ఆ సూత్రాన్ని ఇతడు “నాలుగు ప్రధాన సంఖ్యల కూడిక” స్థాయికి తెచ్చాడు. కాని వినొగ్రాడోవ్ నిరూపణలోని నాలుగు ప్రధాన సంఖ్యలకి గోల్డ్ బాక్ సూత్రంలోని రెండు ప్రధాన సంఖ్యలకి మధ్య దూరాన్ని పూరించడం మాత్రం అత్యంత కఠినమైన సవాలుగా పరిణమించింది. ఇంత కఠినమైన ప్రతిపాదనను నిరూపించడానికి కొన్ని ఏళ్లు పడుతుందా, లేక శతాబ్దాలు పడుతుందా అని ఎవరూ చెప్పలేకున్నారు.

ఆ విధంగా అమితమైన ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించగల సూత్రాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ కనుక్కోలేకపోయారు. అసలు అలాంటి సూత్రాన్ని అసలు ఎప్పటికైనా కనుక్కోవడానికి వీలవుతుందో లేదో కూడా ఎవరికీ తెలీదు.

ఇప్పుడు మరి కాస్త సరళమైన ప్రశ్న వేసుకుందాం. ఒక సంఖ్యా విస్తృతిలో ఎంత శాతం ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి? మనం ఇంకా ఇంకా పెద్ద సంఖ్యలని పరిగణిస్తున్న కొద్ది ఆ శాతం స్థిరంగా ఉంటుందా, లేక మారుతుందా? మారితే పెరుగుతుందా, తరుగుతుందా? ఈ ప్రశ్నని అర్థం చేసుకోడానికి కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం. ఉదాహరణకి 100 కన్నా చిన్న ప్రధాన సంఖ్యలు 26 ఉన్నాయి. 1000 కన్నా చిన్నవి 168 ఉన్నాయి. పది లక్షల కన్నా చిన్నవి 79,498 ఉన్నాయి. 1,00,00,00,000 కన్నా చిన్నవి 5,08,47,478 ఉన్నాయి. ఈ సమాచారం శాతాల (నిష్పత్తి) రూపంలో ఈ కింది పట్టికలో వ్యక్తం చెయ్యబడింది.

సంఖ్యా విస్తృతి పెరుగుతున్న కొద్ది అందులోని ప్రధాన సంఖ్యల శాతం లేదా నిష్పత్తి తగ్గిపోతూ ఉండడం పై పట్టికలో గమనించొచ్చు. అయితే ఎంత పెద్ద సంఖ్యల వరకు పోయినా అసలు ప్రధాన సంఖ్యలే లేని పరిస్థితి మాత్రం లేదని గమనించొచ్చు. పెద్ద సంఖ్యలలో తరిగిపోతున్న ప్రధాన సంఖ్యల శాతాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడానికి మరింత క్రమబద్ధమైన పద్ధతి ఏదైనా వుందా? వుంది. ప్రధాన సంఖ్యల విస్తరణ గురించిన ధర్మం అసలు మొత్తం గణితంలోనే ఓ అపురూపమైన సత్యం అని చెప్పుకోవాలి. ఈ ధర్మం ప్రకారం – “1 కి N అనే పెద్ద సంఖ్యకి మధ్య ఉండే ప్రధాన సంఖ్యల శాతాన్ని ఉజ్జాయింపుగా 1/log(N) అని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.” అయితే ఇక్కడ మనం వాడే లాగరిథమ్ (సంవర్గమానం) కి ఆధారం 10 కాదని, ఇది సహజ సంవర్గమానం (natural logarithm) అని గుర్తుంచుకోవాలి. N విలువ పెద్దది అవుతున్న కొద్ది ఈ ఉజ్జాయింపు మరింతగా నిర్దుష్టం అవుతుంటుంది.

[N కన్నా చిన్న ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్యని pi(N) అనే ప్రమేయంతో సూచిస్తారు. ఈ pi(N) ని ఉజ్జాయింపుగా Pi(N) = N/ln(N) అని సూచించొచ్చు. కనుక N కన్నా చిన్న ప్రధాన సంఖ్యల నిష్పత్తిని Pi(N)/N = 1/ln(N) అని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. - అనువాదకుడు]

గణిత శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాల లాగానే పైన చెప్పుకున్న ‘ప్రధాన సంఖ్యల సిద్ధాంతం’ కూడా మొదట కేవలం ప్రయోగాత్మక పద్ధతితో కనుక్కున్నారు. శాస్త్రీయ, సైద్ధాంతిక పద్ధతిలో దాన్ని నిరూపించడానికి చాలా కాలం పట్టింది. చివరికి పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు అంతంలో ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త హదమార్, మరియు బెల్జియన్ గణిత వేత్త ద ల వాలే పూసాన్ లు పై సిద్ధాంతాన్ని శాస్త్రీయంగా నిరూపించారు. అత్యంత జటిలమైన గణితవిధానాలని వినియోగించి చేసిన ఆ నిరూపణని ఇక్కడ వివరించడానికి వీలుపడదు.

(ఇంకా వుంది)

ఈ ప్రశ్నని పరిశీలించడానికి మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య మితమైనదేనని అనుకుందాం. ఈ ప్రధాన సంఖ్యల లోకెల్లా అతి పెద్ద సంఖ్యని N అనే సంఖ్యతో సూచిద్దాం. ఇప్పుడు ఆ మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాన్ని తీసుకుని దానికి ఒకటి కలుపుదాం. అప్పుడు వచ్చిన ఫలితం ఇలా ఉంటుంది –

(1 X 2 X 3 X 5 X 7 X 11…X N) + 1



ఇలా పుట్టిన సంఖ్య కచ్చితంగా అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయిన N కన్నా పెద్దదే స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు. ఎందుకంటే పై సంఖ్యని 2 నుండి N మధ్య ఏ ప్రధాన సంఖ్యతో విభజించినా శేషం 1 అవుతుంది.

దీన్ని బట్టి మనకి తెలిసేదేమిటంటే పై సంఖ్యే ఓ పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయ్యుండాలి, లేదా దానికి ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన కారణాంకాలు ఉన్నా అవి N కన్నా పెద్దవి అయ్యుండాలి. ఎలా చూసినా మనం మొదట అనుకున్న నమ్మకం (N ని మించిన ప్రధాన సంఖ్య లేదు) వమ్మయ్యింది. ఈ విధంగా ఒక నమ్మకంతో బయల్దేరి అందులోని అంతర్ వైరుధ్యాన్ని ఎత్తి చూపడం గణిత రంగంలో ఓ సర్వసామాన్యమైన శోధనా పద్ధతి.



ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతంగా ఉన్నాయని తెలిశాక, ఒక్కటి కూడా వదలకుండా వాటన్నిటినీ వరుసగా లెక్కించగలమా? అలా చేసే పద్ధతిని మొట్టమొదట కనుక్కునవారిలో ఒకడు గ్రీకు తాత్వికుడు, గణిత వేత్త అయిన ఎరొటోస్తినీస్. ఈ పద్ధతిని “జల్లెడ” పద్ధతి అంటారు. ఈ పద్ధతిలో ముందుగా 1,2,3,4,… ఇలా వరుసగా అంకెలు రాయాలి. ఇప్పుడు ఆ అంకెల్లోంచి 2 యొక్క గుణకాలన్నీ (4,6,8,10,…) కొట్టివేయాలి. తరువాత 3 యొక్క గుణకాలన్నీ కొట్టేయాలి. తరువాత 5…. ఇలా ఒక్కొక్క ప్రధాన సంఖ్యనే తీసుకుని దాని గుణకాలన్నిటినీ మొదట తీసుకున్న పూర్ణ సంఖ్యల పట్టిక నుండి కొట్టేయాలి. ఎరొటోస్తినీస్ జల్లెడ లో మొదటి 100 అంకెలని కింది చిత్రంలో చూడొచ్చు. వీటిలో మొత్తం 26 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. పైన చెప్పిన జల్లెడ పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి బిలియన్ అంకెల వరకు ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి వీలయ్యింది.



అయితే ఇలా జల్లెళ్లతో అవస్థ పడకుండా ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి సులభంగా ఏదైనా సూత్రం ఉంటే బావుంటుంది కదూ? కాని అలాంటీ సూత్రం కోసం శతాబ్దాలుగా ఎంతో మంది ప్రయత్నించినా అది ఎవరికీ దొరకలేదు. 1640 లో ఫర్మా (Fermat) అనే ఫ్రెంచ్ గణిత వేత్త ఓ గొప్ప సూత్రం కనుక్కున్నానని నమ్మాడు. ఆ సూత్రం నుండి కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే వస్తాయని అనుకున్నాడు. ఆ సూత్రం ఇది-

2^2^n + 1

ఈ సూత్రంలో n వరుసగా 1,2,3,4… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. వివిధ n విలువలని సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే వచ్చే ఫలితాలు ఇలా ఉంటాయి.

2^2 + 1 = 5

2^2^2 + 1 = 17

2^2^3 + 1 = 257

2^2^4 + 1 = 65537

నిజానికి పై నాలుగు సంఖ్యలూ ప్రధాన సంఖ్యలే. ఫర్మా పై సూత్రాన్ని చాటిన శతబ్ద కాలం తరువాత ఆయిలర్ (Euler) ఆ సూత్రాన్ని గురించిన ఓ ముఖ్యమైన సత్యన్ని కనుక్కున్నాడు. ఫర్మా కనుక్కున్న సూత్రంలో n విలువ 5 అని తీసుకుంటే వచ్చే ఫలితం 4,294,967,297. ఈ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య కాదని, 6,700, 417 మరియు 641 ల లబ్దం అని ఆయిలర్ నిరూపించాడు. ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు లెక్కించగలదన్న ఫెర్మా సూత్రం తప్పని తేలింది.



ఎన్నో ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించగల మరో అద్భుత సూత్రం వుంది. అది –

n^2 – n + 41



ఈ సూత్రం లో n వరుసగా 1,2,3,… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. పై సూత్రం n = 1,2,… 40 అయితే వచ్చే ఫలితాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావడం ఆశ్చర్యం. కాని n=41 అయినప్పుడు మాత్రం ఫలితం,

41 X 41 – 41 + 41 = 41 x 41

ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించడానికి ఇంతకన్నా సంక్లిష్టమైన సూత్రం ఒకటుంది. అది –

n^2 – 79n + 1601

n = 1,2,…79 వరకు పై సూత్రం ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టిస్తుంది. కాని n=80 అయినప్పుడు ఫలితం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ఆ విధంగా వరుసగా ప్రధాన సంఖ్యలు అన్నిటినీ పుట్టించే, ప్రధాన సంఖ్యలని మాత్రమే పుట్టించే సూత్రం కోసం అన్వేషణలన్నీ విఫలం అయ్యాయి.

(ఇంకా వుంది)

అధ్యాయం 2


సహజ సంఖ్యలు – కృత్రిమ సంఖ్యలు



వైజ్ఞానిక రంగాలు అన్నిట్లోకి గణితం మహారాణి అని అంటుంటారు. మరి మహారాణి కనుక ఈ రంగం మిగతా వైజ్ఞానిక రంగాలని కాస్త చిన్న చూపు చూస్తుంటుంది. ప్రఖ్యాత గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ని ఓ సారి “శుద్ధ (pure), అనువర్తక (applied) గణిత రంగాల సమిష్టి సమావేశం” లో మాట్లాడమన్నారు. శుద్ధ, అనువర్తక గణితవిభాగాల మధ్య ఉండే స్పర్థ ని తొలగించి, రెండింటి మధ్య ఉండే విభేదాన్ని పూడ్చే విధంగా ఉపన్యసించమన్నారు. ఆ ఉపన్యాసం ఇలా మొదలయ్యింది –



“శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పరం ప్రతికూలంగా ఉంటాయని తరచు జనం అనడం వింటుంటాం. కాని అది నిజం కాదు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పర ప్రతికూలాలు కావు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలంగా లేవు, ఉండలేవు కూడా. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలం కాలేవు ఎందుకంటే రెండిటికీ సామాన్యమైన అంశాలే లేవు.”



గణితం స్వతహాగా మిగతా రంగాలతో సంబంధం లేకుండా ప్రత్యేకంగా, నిస్సంగంగా ఉండాలని చూస్తుంది. కాని ఇతర రంగాలు ముఖ్యంగా భౌతిక శాస్త్రం లాంటివి గణితం తో పొత్తు కుదుర్చుకోవాలని చూస్తుంటాయి. నిజానికి ప్రస్తుత కాలంలో గణితంలో ప్రతీ విభాగాన్ని భౌతిక ప్రపంచంలో ఏదో ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి, వర్ణించడానికి వినియోగిస్తున్నారు. థియరీ ఆఫ్ అబ్స్ ట్రాక్ట్ గ్రూప్స్, నాన్ కమ్యూటబుల్ ఆల్జీబ్రా, నాన్ యూక్లిడియన్ జ్యామెట్రీ మొదలైన గణిత విభాగాలు అందుకు తార్కాణాలు. ఎందుకంటే ఈ గణిత విభాగాలు అతి శుద్ధమైనవని, వీటికి భౌతిక ప్రపంచంతో అసలు సంబంధం ఉండే ప్రసక్తే ఉండదని ఒకప్పుడు తలపోసేవారు.



గణితంలో ఒక ప్రత్యేక విభాగం, ఓ విశాలమైన విభాగానికి మాత్రం ఇంతవరకు ఏ ప్రయోజనమూ లేని రంగంగా, కేవలం మానసిక కసరత్తులు చేసుకోడానికి మాత్రమే పనికి వస్తుందన్నట్టుగా ముద్రపడింది. శుద్ధ గణిత విభాగాలలో కెల్లా “పరమ పవిత్రం” అనే బిరుదు తెచ్చుకుంది ఈ రంగం. దీనినే సంఖ్యా శాస్త్రం అంటారు. (అంటే పూర్ణ సంఖ్యల శాస్త్రం అన్నమాట). శుద్ధ గణిత చింతనలో కెల్లా అత్యుత్కృష్టమైన, ప్రాచీనమైన రంగం ఇది.



సంఖ్యా శాస్త్రం ఒక పక్క శుద్ధ గణితం అని అంటూనే, మరో కోణం నుండీ చూస్తూ దాన్ని అత్యంత అనువర్తనీయమైన రంగం అని, ఒక విధంగా ప్రయోగాత్మక రంగం అని అనొచ్చు. ఎలాగైతే భౌతిక శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలని భౌతిక వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారో, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు అంకెలతో రకరకాల ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారు. అలాగే భౌతిక శాస్త్రంలో లాగానే, సంఖ్యా శాస్త్రంలో కూడా కొన్ని సిద్ధాంతాలని “గణితపరంగా” నిరూపించొచ్చు. కాని కొన్నిటిని మాత్రం అనుభవైకంగా (empirical) మాత్రమే స్థాపించగలం. అలాంటి ఎన్నో సిద్ధాంతాలని గణితపరంగా నిరూపించడానికి గణితవేత్తలు తలమునకలు అవుతుంటారు.



ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యల (prime numbers) సమస్యనే తీసుకోండి. ప్రధాన సంఖ్య అంటే దాంతోను, ఒకటి తోను తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యతోను విభజింపబడని సంఖ్య. 2,3,5,7,11, 13 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి 12 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే దాన్ని 2 X 2 X 3 గా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.



మరి ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా, లేక అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏదైనా వుందా? అలాంటి సంఖ్య అంటూ ఉంటే అంత కన్నా పెద్దదైన ప్రతీ సంఖ్యని రెండు, లేక అనేక సంఖ్యల లబ్దంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు అన్నమాట. ఈ సమస్యని మొట్టమొదట అటకాయించిన వాడు యూక్లిడ్. ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుందని, అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏమీ లేదని అద్భుతంగా నిరూపించాడు.



(ఇంకా వుంది)

అదే విధంగా ఓ ఘనం (cube) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, ఒక చదరంలో ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను, లేదా ఒక గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను సమానం అని నిరూపించొచ్చు. ఇది చెయ్యడానికి ఇందాక మనం తీసుకున్న దశాంశ భిన్నాన్ని మూడు భాగాలు చెయ్యాలి. ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక్కొక్క నిరూపకం (axis) మీద గుర్తించాలి. అప్పుడు ఆ దశాంశ భిన్నానికి ఘనంలో ఒక ప్రత్యేక బిందువుతో సంబంధాన్ని స్థాపించొచ్చు. ఈ విధంగా ఘనంలోని బిందువుల సంఖ్య గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం అని నిరూపించొచ్చు.




ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.



అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,


A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)

A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య

(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)



దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?

చిన్నప్పుడు చదువుకున్న అంకగణితం బట్టి ప్రతీ భిన్నాన్ని అనంత, ఆవర్తక దశాంశ సంఖ్య రూపంలో రాయొచ్చునని మనకి తెలుసు.


ఉదాహరణకి,

2/3 = 0.666666… = 0.(6)

(బ్రాకెట్లలో ఉన్న సంఖ్య పదే పదే ఆవృత్తమవుతుందని ఉద్దేశం)

అలాగే,

3/7 = 0.428571
428571
… = 0.(428571)…

మొత్తం భిన్నాల సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని పైన నిరూపించాం. అంటే మొత్తం ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల (periodic decimal fractions) సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని అర్థమవుతోంది. కాని ఓ గీత మీద ఉండే బిండువులు అన్నిటినీ ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల రూపంలో వ్యక్తం చెయ్యలేం. నిజానికి అధిక శాతం దశాంశ సంఖ్యలలో ఆవర్తకత ఉండనే ఉండదు. అలాంటి పక్షంలో సంఖ్యలని వరుసక్రమంలో అమర్చడం సాధ్యం కాధని సులభంగా నిరూపించొచ్చు.

ఐతే అందుకు విరుద్ధంగా గీత మీద ఉండే బిందులకి సంబంచిన దశాంశ సంఖ్యలని వరుస క్రమంలో పూర్ణ సంఖ్యలకి జతగా అమర్చవచ్చనే అనుకుందాం. అలాంటి పట్టిక ఈ కింది చిత్రంలో లాగా ఉంటుందని అనుకుందాం.









అయితే అనంతమైన సంఖ్యలని, వాటిలో ఒక్కొక్క సంఖ్యకి అనంతమైన దశాంశ స్థానాలు ఉండేలా రాసివ్వడం వాస్తవంలో సాధ్యం కాదు. పోనీ అలాంటి పట్టిక లాంటిది ఉన్నా, దాన్ని నిర్మించిన రచయిత ఏదో సామాన్యమైన సూత్రాన్ని వాడి ఆ సంఖ్యలకి చెందిన దశాంశ రూపాన్ని లెక్కించి ఉంటాడని అనుకోవాలి. అలాంటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే మనం ఊహించదగ్గ ప్రతీ దశాంశ సంఖ్య ఆ పట్టికలో ఎక్కడో ఒక చోట కనిపించాలి.

అయితే అలాంటి నిర్మాణం అసంభవం అని నిరూపించడం పెద్ద కష్టం కాదు. ఎందుకంటే పైన అనుకున్న పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు. అంతే కాదు, అలాంటి వాటిని అనంతమైన సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు.

పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలలో ఒక సంఖ్యని ఎలా రాయొచ్చో ముందు చూద్దాం.



ఉదాహరణకి ఈ కింది దశాంశ సంఖ్యని గమనిద్దాం. ఈ సంఖ్యలోని మొదటి దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకె, పట్టికలోని మొదటి సంఖ్య (N1) లో మొదటి దశాంశ సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి.







అలాగే ఈ సంఖ్యలోని రెండవ దశాంశ స్థానంలోని అంకె, పట్టిక లోని రెండవ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలో ని దశాంస స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి. ఇలా ఒక్కొక్క దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకెలని నిర్దేశించవచ్చు. అలా నిర్మించబడ్డ దశాంశ సంఖ్య పైన పట్టికలోని దశాంశ సంఖ్యలు వేటితోనూ సమానం కాదని సులభంగా నిరూపించవచ్చు. మనకి వ్యతిరేకించడానికి ఎవరైనా మనం అనుకున్నసంఖ్య నిజానికి పైన పట్టికలో 137 వ స్థానంలో ఉంటుందని అన్నారంటే, అది తప్పని ఇట్టే నిరూపించొచ్చు. ఎందుకంటే 137 వ దశాంశ స్థానంలో ఆ రెండు సంఖ్యలూ వేరని సులభంగా చెప్పొచ్చు.


కనుక ఒక గీత మీద ఉండే బిందువులని వ్యక్తం చేసే సంఖ్యలకి, పూర్ణ సంఖ్యలకి మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ పద్ధతిలో సంబంధాన్ని కూర్చడం అసంభవం అని నిరూపించొచ్చు. అంటే గీత మీద బిందువుల అనంతత, పూర్ణ సంఖ్యల అనంతత కన్నా పెద్దది అన్నమాట.



ఇంతవరకు మనం గీత మీద బిందువులు అన్నప్పుడు, 1 అంగుళం పొడవున్న గీత మీద బిందువులని ఉద్దేశించి మాట్లాడాం. అందుకు బదులుగా ఎంత పొడవు ఉన్న గీతనైనా తీసుకోవచ్చు. గీత పొడవు ఎంతైనా పై ఫలితం వర్తిస్తుంది. ఎందుకంటే గీత పొడవు అంగుళం అయినా, అడుగు అయినా, మైలు అయినా అందులోని బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే.

అది నిరూపించడానికి ఈ కింది చిత్రం చూడండి.







ఈ చిత్రంలో AB మరియు AC అనే రెండు గీతలలోని బిందువుల మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపిస్తున్నాం. అది చెయ్యడానికి AB మీద ఉన్న ప్రతీ బిందువు లోంచి BC కి సమాంతరంగా ఉండేలా గీతలు గీస్తూ పోవాలి. అలా గీసిన ప్రతీ గీత AC ని ఒక చోట కలుసుకుంటుంది. ఇలాంటి నిర్మాణం సహాయంతో AB మీద బిందువులకి, AC మీద బిందువులకి మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. కనుక AB, AC లలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే నని నిరూపించగలిగాం.



ఇంత కన్నా విపరీతమైన ఓ ఫలితాన్ని నిరూపిద్దాం. ఒక సమతలం (plane) మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, ఓ సరళ రేఖ మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.

ఈ విషయాన్ని నిరూపించడానికి అంగుళం పొడవున్న AB అనే ఓ గీతని, అంగుళం భుజం గల CDEF అనే ఓ చదరాన్ని తీసుకుందాం. ఈ రెండు వస్తువుల మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటేనని నిరూపిద్దాం.







ఉదాహరణకి గీత మీద ఉండే ఓ బిందువుకి సంబంధించిన సంఖ్య విలువ 0.75120386 అనుకుందాం. ఈ దశాంశ సంఖ్యలో బేసి, సరి స్థానాలలో ఉన్న అంకెలని తీసుకుని రెండు వేరు వేరు దశాంశ సంఖ్యలని ఇలా తయారు చెయ్యవచ్చు.

బేసి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.7108…

సరి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.5236…

ఈ రెండు విలువలకి సంబంధించిన దూరాలని తీసుకుని, చదరంలో అడ్డుగాను, నిలువుగాను కొలిచి, ఓ బిందువుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.

ఇదే ప్రక్రియని వ్యతిరేక దిశలో కూడా చెయ్యొచ్చు. చదరంలో ఉదాహరణకి ఓ బిందువుని తీసుకుని, అడ్డు, నిలువు దిశలలో దాని దూరాలని రెండు దశాంశ సంఖ్యలుగా వ్యక్తం చేస్తే,

0.4835…

0.9907…

ఈ రెండిటినీ మేళవించి, ఓ కొత్త దశాంశ సంఖ్యని ఈ విధంగా తయారు చెయ్యొచ్చు.

0.49893057…

ఈ ప్రక్రియ చేత రెండు బిందు సమూహాల మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ అనే తీరులో సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. గీత మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి, దాని జంట బిందువుని చదరం మీద కనిపెట్టొచ్చు. అలాగే చదరం మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి దాని జంట బిందువుని గీత మీద కనుక్కోవచ్చు. కనుక కాంటర్ నియమం ప్రకారం, గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య, సమతలం మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.

(ఇంకా వుంది)