శాస్త్ర విజ్ఞానము

సరదా గణితం మీద ఓ ఈ రోజే ఓ అద్భుతమైన వెబ్ సైట్ దొరికింది. ఇందులో ఆశ్చర్యం ఏంటంటే ప్రాచీన భారత గణిత విశేషాల గురించి కూడా ఎన్నో సంగతులు ఉన్నాయి.

https://twitter.com/pickover


ఆ సైట్ నుండి మచ్చుకి...



1) 'పై' విలువని రెండు దశాంస స్థానాల వరకు రాసి అద్దం ముందు పెడితో అద్దంలో ఓ మహత్యం  జరుగుతుంది...:-)













'




2)  అలాగే ఆర్యభటుడు రాసిన ఓ శ్లోకంలో పై విలువని ఎలా లెక్కించాలో తెలుస్తుంది.





ఇంకా మరెన్నో ఆసక్తి కరమైన సంగతులు ఆ సైట్ లో కోకొల్లలు ఉన్నాయి. కొన్ని గంటలు సరదాగా అవన్నీ చుస్తూ గడిపేయొచ్చు.

“By Studying the Masters”


రచన – “తార”



When asked how he developed his mathematical abilities so rapidly, Abel replied "by studying the masters, not their pupils."





గతవారం ఒక ప్రఖ్యాత తెలుగు సైన్సు రచయిత, మూఢనమ్మకాలని తరిమెయ్యడానికి ఒక "విజ్ఞాన వేదిక" ఉన్న ఒకరి "వైజ్ఞానిక విధానం" అంటే ఏమిటి అని రాసిన ఒక వ్యాసం దురదృష్టవశాత్తూ చదవటం జరిగింది, మూఢనమ్మకాలని పారద్రోలుతాను అనే వ్యక్తే ఇంత మూఢంగా సైన్సు గురించి ప్రచారం చేస్తుంటే సామాన్య ప్రజలకి సైన్సు అంటే ఏమిటి అన్న దానిపై ఎంత అవగాహన ఉన్నదో అనిపించింది, విజ్ఞానశాస్త్ర పురోగతిలో చిన్నపిల్లల సైన్సు పుస్తకాల పాత్ర అద్వితీయం, చాలా మంది ప్రఖ్యాత శాస్త్రవేత్తలు చిన్నప్పుడు చదువుకున్న విజ్ఞానశాస్త్ర పుస్తకాల నుంచే స్పూర్తి పొందారు, కానీ దురదృష్టవశాత్తూ తెలుగులో అంతటి గొప్ప రచనలు ఐతే నాకు కనపడలేదు, 2008లో ఈ-మాటలో కొడవళ్ళ హనుమంతరావుగారి కంప్యూటీంగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు నేను చదివిన సైన్సు రచనల్లో అత్యుత్తమంగా అనిపించింది, సైన్సు పేరుతో చాలా మంది "మేధావుల" రచనలు వచ్చినా చాలా వరకు నవ్వుకునే విధంగా ఉంటున్నాయి, నా వంతుగా నాకు తెలిసినవి రాద్దామనుకున్నా, సరైన వేదిక కోసం ఇన్నాళ్ళు వేచి చూశాను, "శాస్త్ర విజ్ఞానం" అందుకు తగిన వేదిక అని భావిస్తూ నావంతుగా కొద్దిగా నాకు తెలిసిన విజ్ఞాన శాస్త్రం అంటే ఏమిటో వివరణ ఇచ్చే ప్రయత్నమే ఇది, పైన చెప్పినట్టు, కొందరు మాష్టర్స్ని పరిచయం చేస్తూ వారి సలహాలని మీతో చదివించే ప్రయత్నమే..



" మానవుడికి క్రమత్వం అంటే ఇష్టం ఉంది. భిన్నత్వంలో ఏకత్వాన్ని అన్వేషిస్తుంటాడు. ఇటువంటి అన్వేషణ వల్ల విజ్ఞానరంగంలో కూడా ఒకే క్రమాన్ని నిర్మించాలని ప్రయత్నిస్తాడు. "



ఇది చదవగానే నాకొచ్చిన కొన్ని అనుమానాలు, అసలు క్రమత్వం, భిన్నత్వం, ఏకత్వం అంటే ఏమిటి? అసలు దాన్ని ఎవరు "డిఫైన్" చేశారు? నాకు ఒకటి క్రమపద్దతిలో ఉన్నది అనిపించినంత మాత్రాన, అందరికీ అదే క్రమత్వం అవుతుందా? వేరెవరో ఒకతి ఇదే "క్రమం, ఇదే భిన్నం," అని చెప్పినంత మాత్రాన నేను ఎందుకు వారితో ఏకీభవించాలి? అంటే శాస్త్రవేత్తలు చేసేది కేవలం Intellectual Gymnastics మాత్రమేనా? కేవలం రమణీయత కోసం ఇన్ని కోటాను కోట్ల ధనం వృధా చేస్తున్నారా? అసలు నిజంగా విజ్ఞాన శాస్త్రం చేసేది భిన్నత్వంలో ఏకత్వాన్ని అన్వేషించడమేనా?



ఇది చాలా పెద్ద ప్రశ్న, దీనికి సమాధానం ఒక ప్రఖ్యాత శాస్త్రవేత్త మాటల్లో చూద్దాం, దానికంటే ముందుగా, వ్యాసంలోని ఇంకో పేరా చూద్దాం.



"ప్రారంభ ప్రాతిపదికలన్నీ రుజువు అవసరం లేనివిగా భావించబడు తున్నాయి. అవి రుజువు పరచనక్కరలేదంటే, వాటిని ఇంకో సూత్రం నుంచి రాబట్టే అవసరం లేదన్నమాట. మరో సూత్రం నుంచి గనక రాబట్టగలిగితే, అదే ఆరంభదశ అవుతుందన్న మాట. ఇలా అనంతంగా వెనక్కు పోకుండా ఉండాలంటే, ఎక్కడోచోట ఆరంభించడం తప్పనిసరి అవుతుంది. ఈ ఆరంభదశనే విజ్ఞానంలో ప్రతిపాదన అంటాం."



ఇది బహుశా ఒక ఐదారు వందల ఏళ్ళనాటి భావన అనుకుంటా, విజ్ఞాన శాస్త్రం "తార్కిక పరిధి" ఎప్పుడో దాటిపోయింది కానీ మన సైన్సు రచయితలకి ఇది ఊహకి అందని విషయం. ఆరంభం ఎక్కడో తెలిస్తే అన్వేషణ అంతం ఐపోయినట్టే, విజ్ఞాన శాస్త్రానికి అంతం, ఆరంభం రెండూ ఇప్పటివరకూ కనుగొనలేదు, ఆరంభాన్ని నిర్దేశించాలి అని చేసిన ప్రయత్నం, ఒక్క దాని అంతు ఐనా చూడాలి అన్న ఏకైక ప్రయత్నం రెండూ బెడిసికొట్టాయి.



ఎవరో తత్వవేత్త అభిప్రాయం తీసుకువచ్చి సైన్సు ఇలా ఉన్నది, శాస్త్రవేత్తలు ఇది ఇందుకు చేస్తున్నారు అని చెప్పడం చాలా అసహజంగా ఉన్నది, హెగెల్ ఎవరో నాకు తెలియదు, తెలుసుకొవాల్సిన అవసరం ఎప్పుడూ రాలేదు, ఎబెల్ చెప్పినట్టు, నేను నా మాష్టర్స్ ఆలోచనలకే విలువ ఇస్తాను తత్వవేత్తలకి సైన్సులో ప్రాముఖ్యం లేదు.



మొదటి ప్రశ్నకి సమాధానం



"We should like to stress that these algebraic systems and the axioms which define them must have a certain naturalism about them. They must come from the experience of looking at many examples; they should be rich in meaningful results. One does not just sit down, list a few axioms, and then proceed to study the system so described. This, admittedly, is done by some, but most mathematicians would dismiss these attempts as poor mathematics. The systems chosen for study are chosen because particular cases of these structures have appeared time and time again, because someone finally noted that these special cases were indeed special instances of a general phenomenon, because one notices analogies between two disparate mathematical objects and so is led to a search for the root of these analogies." - I.N.Herstein.



పైదానికి వివరణ,రెండో ప్రశ్నకి సమాధానం సులువైనది కాదు, కనీసం నాలుగైదు టపాలైనా పడుతుంది, అది మెల్లగా చూద్దాం, దానికి ముందు, మనకి ఉన్న ఇంకొన్ని నమ్మకాలపై నా మాష్టర్స్ అభిప్రాయాలు చూద్దాం.



" టీచర్స్ కన్నా మా అబ్బాయికే ఎక్కువ తెలుసండి", ఇదీ చాలా మంది తల్లిదండ్రులు వాడేదే, టీచర్స్ కన్నా ఎక్కువ ఎలా తెలుసు? ఎలా తెలుసుకున్నాడు? ఏ పుస్తకాలు చదివాడు అన్న ప్రశ్నలు సాధరణంగా వారిని తిరిగి ఎవరూ అడగరేమో? ఇది అన్ని దేశాల్లోను ఉన్నదే, దీని గురించి Terrance Tao మాటల్లో



The popular image of the lone (and possibly slightly mad) genius – who ignores the literature and other conventional wisdom and manages by some inexplicable inspiration (enhanced, perhaps, with a liberal dash of suffering) to come up with a breathtakingly original solution to a problem that confounded all the experts – is a charming and romantic image, but also a wildly inaccurate one, at least in the world of modern mathematics. We do have spectacular, deep and remarkable results and insights in this subject, of course, but they are the hard-won and cumulative achievement of years, decades, or even centuries of steady work and progress of many good and great mathematicians; the advance from one stage of understanding to the next can be highly non-trivial, and sometimes rather unexpected, but still builds upon the foundation of earlier work rather than starting totally anew.





ఎవరో పాకిస్తాన్లో నీళ్ళతోనడిచే కారు తయారు చేశారు అనగానే నమ్మేస్తూ మన విధ్యా వ్యవస్థలో లోపాలు వెతకడం మొదలెడతాం, ఎవరో 14 ఏళ్ళ పిల్ల ఎదో సర్టిఫికేట్ తెచ్చి చూపించి "ఐన్స్టీన్ ని తప్పు అని నిరూపిస్తాను/ నిరూపించాను " అనగానే పేపర్ల నిండా అదే వార్త, అసలు ఐన్స్టీన్ అంటే అంత లోకువా, ఐన్స్టీన్, కొన్ని వందల ఇతర శాస్త్రవేత్తలు కొన్ని శతాబ్ధాల కృషి ఒక చిన్న పిల్ల (ఐన్స్టీన్ రిలెటివిటీ థీరీని చదవడానికి అవసరం ఐన ప్రీరిక్విసైట్స్ చదవడానికే ఆ అమ్మాయికి ఇంకో 15 ఏళ్ళు పడుతుంది అన్నది ఎంతమందికి తెలుసు?"





Actually, I find the reality of mathematical research today – in which progress is obtained naturally and cumulatively as a consequence of hard work, directed by intuition, literature, and a bit of luck – to be far more satisfying than the romantic image that I had as a student of mathematics being advanced primarily by the mystic inspirations of some rare breed of “geniuses”. This “cult of genius” in fact causes a number of problems, since nobody is able to produce these (very rare) inspirations on anything approaching a regular basis, and with reliably consistent correctness. (If someone affects to do so, I advise you to be very sceptical of their claims.) The pressure to try to behave in this impossible manner can cause some to become overly obsessed with “big problems” or “big theories”, others to lose any healthy scepticism in their own work or in their tools, and yet others still to become too discouraged to continue working in mathematics. Also, attributing success to innate talent (which is beyond one’s control) rather than effort, planning, and education (which are within one’s control) can lead to some other problems as well.

ఇదీ టెర్రి ఉవాచ, స్వయంగా బాల మేధవి ఐన టెర్రి "బాల మేధావులగురించి" చెప్పింది.

http://terrytao.wordpress.com/career-advice/does-one-have-to-be-a-genius-to-do-maths/



"థియరీ వేరు, ప్రాక్టికల్స్ వేరు" ఇది తరచూ మనకి వినిపించేదే, థియరీ వేరు, ప్రాక్టికల్స్ వేరు ఐనప్పుడు అసలు థియరీ చదవడం ఎందుకు? అసలు ఈ బడులు, మోతలు ఎందుకు?

"థియరీ వేరు, ప్రాక్టికల్స్ వేరు" - అసలు మోడల్ ఎందుకు అన్నదానికి Macroeconomics by DFS ఇచ్చిన సమాధానం ఇక్కడా అన్వయించుకోవచ్చు "Models are simplified representations of the real world. A good model accurately explains the behaviors that are most important to us and omits details that are relatively unimportant. The notion that the earth revolves around the sun on an elliptical path and that the moon similarly revolves around the earth is an example of a model. The exact behavior of sun, earth and moon is much more complicated, but this model enables us to understand the phases of the moon. For this purpose, it is a good model. Even though the real orbits are not simple ellipses, the model "works". A particular model is a tool based on a set of assumptions that are reasonable in some real world problems."



ఇంకో విధంగా చెప్పాలి అంటే, స్కూల్ ఫిజిక్స్లో ఫ్రిక్షన్ అన్నది లేదు అన్న Assumption మీద అన్ని మోడల్స్, ప్రశ్నలు ఉంటాయి, కాని అది నిజజీవితంలో సాధ్యమా? కానీ అంత కాంప్లికేటెడ్ సినారియో డీల్ చెయ్యాలి అంటే అవసరమైన మెషినరీ ( మేథమేటికల్ నాలెడ్గ్) పదో తరగతిలో ఉండదు, అందుకే సులువైనవి, చిన్న చిన్న మోడల్స్ని పరిచయం చేస్తారు, మెల్లాగా అవసరమైన మెషినరీ, కాంప్లికేటెడ్ మోడల్స్ నేర్చుకునే అవకాశం అవసరం పై తరగతుల్లో వస్తుంది.



నేను పరిచయం చెయ్యాలనుకొన్ని మరో వ్యక్తి Alexander Grothendieck, ఇతని గురించి చెప్పాలి అంటే, Einstein's Theory of relativity is a simple corollary to Grothendieck's Spectral Sequence. {http://www41.homepage.villanova.edu/klaus.volpert/Research/paper1.pdf} మేథమేటిక్స్లోనే గనుక నోబెల్ ప్రైజ్ ఉంటే ఇతనికి ఒక అధమం పాతిక నోబెల్ ప్రైజులు వచ్చి ఉండేవి.



అతనెందుకు అంత గొప్పవాడు అంటే,

He was not interested in the solving of difficult or famous problems, especially if it had to be done "by force", but his goal was to achieve such a deep and complete understanding of the underlying structures that the solutions of such problems would fall out "on their own". By doing so he rewrote Mathematics.



విజ్ఞాన శాస్త్రం ఎప్పుడూ మానవుని ఇష్టానుసారం అమర్చుకుంటూ వచ్చింది కాదు, తనకి ప్రతిరోజూ ఎదురయ్యే సమస్యలకి పరిష్కారం కనుగొనే ప్రయత్నంలో ఎదురైన ఇబ్బందులను అధిగమిస్తూ, అధిగమించడానికి, లేదా సమస్యకి మూలం కనుగొనే చేసిన, చేస్తున్న ప్రయత్నం తప్ప Intellectual Gymnastics మాత్రం కాదు, అలా ఇష్టానుసారం ఇష్టం వచ్చినట్టు (అదే సో కాల్డ్ క్రమ పద్దతి) చేసిన కృషి నిలబడిన ధాఖలాలు లేవు.



చివరగా Schwartzని Grothendieck గురించి అడిగినప్పుడు చెప్పింది "Young and Hardworking", అంతే తప్ప ఇతను ఒక మేధావి (జీనియస్) అని మాత్రం పరిచయం చెయ్యలేదు, దాదాపుగా సైంటిఫిక్ కమ్యూనిటిలో ఎక్కువగా వినిపించే పదాలు Hardworking, Extremely motivated తప్ప Born Genius కాదు, టెర్రి మాటల్లో చెప్పాలి అంటే, తనని తాను మల్చుకోవడానికి చాలా కష్టపడ్డాడు, ఒలింపియాడ్లో ప్రైజులు వచ్చాక ముందుగా తెలుసుకున్నది, తన మొరటు పద్దతులు రీసెర్చ్కి ఎందుకూ పనికిరావు, "Attacking the Problem", అన్నది ఒలింపియాడ్స్ వరకే పరిమితం, రీసెర్చ్కు అది చాలా అసహజం, రీసెర్చ్, లేదా పెద్ద సమస్యని సాల్వ్ చెయ్యాలి అంటే ముందు కావలసింది తగినంత "మెషినరీ", తన ఏరియా మిగతా ఏరియాలతో ఎలా Interact అవుతున్నది అన్నది చాలా ముఖ్యం, తన ఆవిష్కరణల వెనుక దాదాపు ఒక దశాబ్ధం కృషి ఉన్నది, అలానే నిర్మొహమాటంగా తప్పులను అంగీకరించడం, ఇతరుల విమర్శను ఎల్లప్పుడూ స్వీకరించడం అన్నవి చాలా ముఖ్యం. మేధ, తెలివి వగైర వగైర అన్నవి కేవలం మన భ్రమ, సరైన జ్ఞానం లేనప్పుడూ ఎంత మేధస్సు ఉన్నా సాధింగలిగింది సూన్యం.



http://terrytao.wordpress.com/career-advice/work-hard/



Relying on intelligence alone to pull things off at the last minute may work for a while, but, generally speaking, at the graduate level or higher it doesn’t.

One needs to do a serious amount of reading and writing, and not just thinking, in order to get anywhere serious in mathematics; contrary to public opinion, mathematical breakthroughs are not powered solely (or even primarily) by “Eureka” moments of genius, but are in fact largely a product of hard work, directed of course by experience and intuition.



It would be very pleasant if one could just dream up the grand ideas and let some “lesser mortals” fill in the details, but, trust me, it doesn’t work like that at all in mathematics; past experience has shown that it is only worth paying one’s time and attention to papers in which a substantial amount of detail and other supporting evidence (or at least a “proof-of-concept”) has already been carefully gathered to support one’s “grand idea”. If the originator of the idea is unwilling to do this, chances are that no-one else will do so either.

In short, there is no royal road to mathematics; to get to the “post-rigorous” stage in which your intuition matches well with what one can establish rigorously, one has to first invest real effort in learning and relearning the field, learning the strengths and weaknesses of tools, learning what else is going on in mathematics, learning how to solve problems rigorously, and answering lots of dumb questions, and so forth. This all requires hard work.

(All the quotes of Terry are from his blog http://terrytao.wordpress.com)



ఒక్క మాటలో చెప్పాలి అంటే, సరైన చదువు, శాస్త్రబద్ధమైన ఆధారాలు, అవసరాలు లేనప్పుడు ఐడియా అన్నదానికి విలువ లేదు. ఎక్కువగా మనకి తప్పుగా కనిపించేవి మన అజ్ఞానాకి సూచికలు మాత్రమేనేమో.



వచ్చే భాగంలో తర్కం, తార్కిక పద్దతి, విజ్ఞాన శాస్త్రం మొత్తం తర్కం మీదనే ఆధారపడి ఉన్నది అన్న మన సైన్సు రచయితల (పురాతనమైన) అభిప్రాయం ఎంత తప్పో చూద్దాం.



(ఇంకా వుంది)

‘కటపయ’ పద్ధతి ఉపయోగించి 31 దశాంశ స్థానల వరకు పై విలువని పద్య రూపంలో ప్రాచీన భారత గణితవేత్త ఆర్యభట్టు వ్యక్తం చెయ్యడం గురించి లోగడ ఓ పోస్ట్ లో చెప్పుకున్నాం.
http://scienceintelugu.blogspot.in/2009/09/31.html




  అలాంటి పద్ధతినే ఉపయోగించి ఆ గణితవేత్త sin(x) యొక్క విలువలని పద్య రూపంలో ఓ పట్టికగా ఇచ్చాడు. ఆ విశేషాలు ఈ వ్యాసంలో…



అక్షరాలతో పెద్ద పెద్ద సంఖ్యలని వ్యక్తం చేసే పద్ధతి-

ఆర్యభట్టు కనిపెట్టిన పద్ధతిలో ‘క’ నుండి ‘మ’ వరకు గల అక్షరాలు 1 నుండి 25 వరకు అంకెలకి సంకేతాలు. ఆ తరువాత వచ్చే ‘య, ర, ల, వ, శ, ష, స, హ’ అనే హల్లులు 30,40,50,60,70,80,90,100 అంకెలకి సంకేతాలు.

ఇక ‘అ’ నుండి ‘ఔ’ వరకు గల అచ్చులు దశాంశ స్థానాన్ని నిర్దేశిస్తాయి. అది ఈ విధంగా ఉంటుంది –

అ లేదా ఆ = 100^0 = 1

ఇ లేదా ఈ = 100^1 = 100

ఉ లేదా ఊ = 100^2 =10,000

ఋ లేదా ౠ = 100^3

ఌ లేదా ౡ = 100^4

ఎ, లేదా ఏ = 100^5

ఐ = 100^6

ఒ, లేదా ఓ = 100^7

ఔ = 100^8



ఇలాంటి ప్రతీకాత్మక పద్ధతితో చాల పెద్ద పెద్ద సంఖ్యలని కూడా ఎంతో క్లుప్తంగ వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.

కొన్ని ఉదాహరణలు –

హల్లు ‘క’ = 1, అచ్చు ‘ఇ’ = X 100. కనుక ‘క, ఇ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడ్డ ‘కి’ = 1 X 100 = 100.

హల్లు ‘గ’ = ౩, అచ్చు ‘ఉ’ = X 10^4 = 10,000. కనుక ‘గ, ఉ’ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడ్డ ‘గు’ = 3X 10,000 = 30,000.

అంటే ‘హల్లు’, ‘అచ్చు’ కలిసినప్పుడు రెండిటి విలువలని గుణించాలన్నమాట.

కాని రెండు హల్లులు వరుసగా వచ్చినప్పుడు రెండిటి విలువలని కలపాలి. రెండు హల్లుల తరువాత అచ్చు వచ్చినప్పుడు హల్లుల విలువలని కలిపి అచ్చు విలువతో గుణించాలి.

కొన్ని ఉదాహరణలు –

గ = 3, న = 20, ఉ = 10,000. కనుక

గ్ను = (3 + 20) X 10,000 = 23,000

ఆ విధంగా ఒక్క అక్షరంతో అంత పెద్ద సంఖ్యని వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలయ్యింది.

మరో ఉదాహరణ,

ఖ్యుఘృ = (ఖ + య + ఉ + ఘ్ + ఋ) = (2 + 30)X10,000 + 4 X 100X100X100 = 4,320,000

రెండక్షరాల పదంతో ఏడు అంకెల సంఖ్యని వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. ప్రాచీన భారత కాలమానం ప్రకారం ఈ సంఖ్య ఒక మహాయుగంలో మొత్తం సంవత్సరాల సంఖ్య.

ఈ రకమైన సంఖ్యా పద్ధతిని ఉపయోగించి ఆర్యభట్టు sin(x) ప్రమేయానికి పట్టికలు ఇచ్చాడు.



పదాలతో సైన్ పట్టిక -

Sin(x) ప్రమేయాన్ని జ్యామితి బద్ధంగా ఈ కింద చూపించిన లంబకోణం త్రిభుజంలో సూచించొచ్చు. త్రిభుజంలో లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం (కర్ణం) విలువ 1 అనుకుంటే, x అనే కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం యొక్క పొడవే sin(x) విలువ.

లంబ కోణ త్రిబుజం పరంగా కాకుండా వృత్తం పరంగా కూడా sin(x) ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.

కింద కనిపిస్తున్న చిత్రంలో వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత లోని ఒక భాగాన్ని ‘చాపం’ (arc) అంటారు. చాపం యొక్క రెండు కొసలని కలిపే సరళ రేఖని ‘జ్యా’ (chord) అంటారు. ఈ జ్యాలో సగభాగానికి (half-chord) కి sin(x) ప్రమేయానికి సంబంధం వుంది. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (radius) 1 అనుకుంటే ‘అర్థ జ్యా’ విలువే sin(x) అవుతుంది. X పెరుగుతుంటే ఈ ‘అర్థ జ్యా’ విలువ క్రమంగ ఎలా పెరుగుతుందో ఆర్యభట్టు ఓ పట్టిక రూపంలో వ్యక్తం చేశాడు.



పొడవుని కొలవడానికి units (ఏకాంకాలు) కావాలు. మీటర్లో, సెంటీమీటర్లో వాడడానికి బదులుగా ఆర్యభట్టు కోణాలనే వాడాడు. అది ఇలా చేశాడు.

వృత్త కేంద్రం చుట్టూ మొత్తం కోణం 360 డిగ్రీలు అని మనకి తెలుసు.

1 degree = 60 minutes కనుక

360 degrees = 360 X 60 = 21600 minutes.

ఒక విధంగా ఇది వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత అనుకోవచ్చు. చుట్టుకొలతకి వ్యాసార్థానికి మధ్య సంబంధం ఇది,

R = circumference/2pi

కనుక

R = 21600/(2pi) = 3438 minutes (సుమారు)

అంటే x అనే కోణానికి సంబంధించిన ‘అర్థ-జ్యా’ విలువ = R sin(x)

0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు కోణాన్ని 24 భాగాలు చేస్తాడు ఆర్యభట్టు.

90/24 =3.75 degrees కనుక, ఆ కోణాలు వరుసగా 0, 3.75, 7.5, 11.25 … ఇలా ఉంటాయి.

వీటి sin() విలువలు వరుసగా sin(0), sin(3.75), ఇలా ఇవ్వకుండా, పక్కపక్కనే వచ్చే sin(x) విలువల మధ భేదాలని మాత్రమే ఇస్తాడు. ఉదాహరణకి

R*(Sin(3.75) – sin(0))

R*(Sin(7.5) – sin(3.75))

R*(sin(11.25) – sin(7.5))

ఆధునిక కాల్కులేటర్ ఉపయోగించి పై రాశులని గణిస్తే,

R*(Sin(3.75) – sin(0))=224.85

R*(Sin(7.5) – sin(3.75))=223.89

R*(sin(11.25) – sin(7.5))= 221.97

ఆర్యభట్టు ఇచ్చిన విలువలు పై ఆధునిక విలువలతో బాగా సరిపోతున్నాయి. అయితే ఈ విలువలని ఆర్యభట్టు పైన చెప్పుకున్నట్టుగా అక్షరాలతో వ్యక్తం చేసి ఓ పద్య రూపంలో ప్రదర్శించడం విశేషం.



కన్నడ లిపిలో రాయబడ్డ ఈ వ్రాతపత్రిలో పదాలు –

మఖి (=225), భఖి (=224), ఫఖి (222), ధఖి (219)– ణఖి –ఞఖి – ఙఖి – హస్ఝ – స్కకి – కిష్గ – శ్ఘకి – కిఘ్వ – ఘ్లకి - కిగ్ర – హక్య – ధకి – కిచ – స్గ – ఝశ – ణ్వ – క్ల – ప్ట – ఫ – ఫ - చ



పైన ‘మఖి’ విలువ 225, ఇందాక గణించిన R*(Sin(3.75) – sin(0))=224.85 తో చక్కగా సరిపోతోంది.

అలాగే ‘భఖి’ విలువ 224, R*(Sin(7.5) – sin(3.75))=223.89 తో సరిపోతోంది.



ఈ విధంగా ఆర్యభట్టు sin(x) ప్రమేయాన్ని ఓ పట్టిక రూపంలో ఇచ్చాడు. ఆ రోజుల్లో జ్ఞానాన్ని ముఖతః నేర్చుకుని కంఠస్థం చేసేవారు కనుక, అంకెలని ఇలా పదాలుగాను పద్యాలుగాను వ్యక్తం చేసుకునేవారు.

ఆర్యభట్టు కనిపెట్టిన క్రీ.శ. 499 నాటి ఈ సైన్ పట్టిక గణిత చరిత్రలోనే మొట్టమొదటి సైన్ పట్టిక అని గణిత శాస్త్ర చారిత్రకులు అభిప్రాయపడుతున్నారు.



References:

1. R Narasimha, Sines in terse verse, Nature 414:851, 2001.

2. http://en.wikipedia.org/wiki/%C4%80ryabha%E1%B9%ADa's_sine_table

శ్రీనివాస రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ లో ఉండే రోజుల్లో పి.సి. మహలనోబిస్ అనే మరో ప్రఖ్యాత భారతీయ గణితవేత్తతో పాటు కలిసి ఒకే ఇంట్లో ఉండేవాడు. మహలనోబిస్ కి ఒక రోజు స్ట్రాండ్ అనే ఇంగ్లీష్ పత్రికలో ఒక గణిత సమస్య కనిపించింది. వెంటనే తెచ్చి రామానుజన్ కి చదివి వినిపించాడు. ఆ సమయంలో రామానుజన్ వంటగదిలో కూరలు వేయిస్తున్నాడు. మహలనోబిస్ వర్ణించిన సమస్యని జాగ్రత్తగా విన్నాడు. రామానుజన్ కి అత్యంత జటిలమైన లెక్కలు కూడా మనసులోనే చెయ్యగలిగే అలవాటు ఉండేది. ఆ సమస్య ఇలా ఉంటుంది.

సమస్య – ఒక వీధిలో వరుసగా 1, 2, 3, … n, అని అంకెల గుర్తులు ఉన్న ఇళ్లు ఉన్నాయి. ఈ వరుసలో ఒక ప్రత్యేకమైన ఇల్లు వుంది. దాని స్థానం x. ఆ ఇంటికి కుడి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం ఎంతో, ఎడమ పక్క ఉండే ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం కూడా అంతే. ఇప్పుడు n విలువ 50కి, 500 కి మధ్య ఉందని అనుకుంటే , n, x, ల విలువలు ఎంత?

ఆ సమస్యకి రామానుజన్ ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు. ఆ పరిష్కారంలో ఒక విశేషం వుంది. ‘అవిచ్ఛిన్న భిన్నాల’ని (continued fractions) ఉపయోగించి ఈ సమస్యని పరిష్కరించాడు. అంతే కాక, ఈ ఒక్క సమస్యనే కాక, ఈ వర్గానికి చెందిన మరెన్నో సమస్యలని కూడా అదే దెబ్బతో పరిష్కరించాడు. “అలా ఎలా చెయ్యగలిగావ?”ని అడిగాడు ఆ దెబ్బకి ఇంకా తేరుకోని మహలనోబిస్. “ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది,” అని బదులు చెప్పాడు రామానుజన్.
పైన చెప్పుకున్న సమస్యకి పరిష్కారాన్ని ఇలా ప్రారంభించొచ్చు. x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి ఒక పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
1 + 2 + 3 … (x-1) = x(x-1)/2
(ఇక్కడ, 1 + 2 + …+m = m(m+1)/2 అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాం.)
అలాగే x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి అవతలి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
(x+1) + (x+2) + (x+3)+ … +n = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
కనుక,
x(x-1)/2 = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
పైన సమీకరణంలోని పదాలకి కాస్త అటు ఇటు చేస్తే,
(2n + 1)2 – 2 (2x) 2 = 1
దీన్ని మరింత సామాన్య రూపంలో ఇలా రాసుకోవచ్చు,
u^2 – 2v^2 = 1
దీన్ని బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర సమీకరణం అంటారు. దీన్నే ‘పెల్’ (Pell) సమీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఈ సమీకరణానికి ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. దీని పరిష్కారం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని ఇలా రాసుకోవచ్చు.
(u^2 –1)/v^2 = 2,
లేదా
కనుక u, v విలువలు తెలిస్తే విలువని ఉజ్జాయింపుగా, ఒక భిన్నం రూపంలో, వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలుంటుంది. ఈ సమీకరణానికి మరింత సార్వత్రిక రూపం వుంది. అది,
u^2 – N v^2 = 1
దీనికి పరిష్కారం తెలిస్తే,
ని కూడా భిన్నంగా, ఉజ్జాయింపుగా వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలవుతుంది.
ఈ సమీకరణం గురించి ప్రాచీన భారత గణితవేత్తలకి బాగా తెలుసు.
ఉదాహరణకి ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు u = 17, v = 12, మరియు u = 577, v = 408 అని బౌధాయనుడికి తెలుసు. ఈ బౌధాయనుడు క్రీ.పూ. 800 ప్రాంతాల్లో జీవించాడు. ఇతడు ‘బౌధాయన సుల్బసూత్రాలు’ అనే గణిత గ్రంథానికి రచయిత.
ఇదే సమస్యని బ్రహ్మగుప్తుడు అసంఖ్యాకమైన సాధనలు వచ్చేట్టుగా పరిష్కరించాడు.
అందుకోసం ముందుగా ఒక ‘అభిన్నం’ ని (identity) నిరూపించాడు. బ్రహ్మగుప్తుడి అభిన్నంగా పిలవబడే ఈ అభిన్నం ఇలా ఉంటుంది.
(a^2 + n b^2) (c^2 + n d^2) = (ac – nbd)^2 + n (ad + bc)^2
పై అభిన్నాన్ని నిరూపించడం అంత కష్టం కాదు. కాని ఈ అభిన్నానికి మరో రూపాంతరాన్ని కుడా ఇస్తాడు బ్రహ్మగుప్తుడు.
(x1^2 – N y1^2)( x2^2 – N y2^2) = (x1* x2 – N* y1* y2)^2 – N (x1*y2 + x2*y1)^2

దీన్ని వాడుకుని ఇందాక చెప్పుకున్న బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అద్భుతంగా ఉంటుంది.
దీన్ని బట్టి (x1,y1), (x2,y2) అనేవి u2 – Nv2 = 1 కి సాధనలు అయితే, ((x1* x2 – N* y1* y2), (x1*y2 + x2*y1)) లు కూడా సాధనలు అవుతాయని తేలుతుంది. ఈ సూత్రాన్ని మళ్లీ మళ్లీ వాడుకుంటే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.

మొదట చెప్పుకున్న సమస్య గురించి విన్నాడో లేదో రామానుజన్ కి దాని పరిష్కారం మనసులో స్ఫురించింది. బ్రహ్మగుప్తుడు సాధించిన పద్ధతిలో కాక, వేరే విధంగా, అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలని (continued fractions) ఉపయోగించి సమస్యని గొప్ప చాతుర్యంతో పరిష్కరించాడు. అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అంటే అనంతంగా సాగే భిన్నం. ఉదాహరణకి,

sqrt(2) కి అవిచ్ఛిన్న భిన్నం ఇలా ఉంటుందని ఊహించాడు రామానుజన్,

sqrt(2) = 1 + 1/(2+1/(2+1/(2+1/...

ఇలాంటి భిన్నాన్ని అనంతం వరకు లెక్కించడం అసంభవం కనుక దాన్ని ఏదో ఒక స్థాయిలో తెగ్గోస్తారు. అలా తెగ్గోయగా వచ్చిన విలువని convergent అంటారు. స్థాయి పెంచుకుంటూ పోతే వరుసగా ఎన్నో convergent లు వస్తాయి. ఉదాహరణకి,
మొదటి convergent, = 1/1
రెండవ convergent = 1 + 1/2 = 3/2
మూడవ convergent, = 1+ 1/(2 + 1/2) = 7/5

నాలుగవ convergent, = 1+ 1/(2+1/(2+1/2)) = 17/12


పైన ఇవ్వబడ్డ convergent లు అన్నీ భిన్నాల రూపంలో ఉన్నాయి. అవే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అవుతాయని రామానుజన్ గుర్తించాడు!
ఉదాహరణకి (1,1) (3,2), (7,5), (17,12) మొదలైనవి,
u^2 – 2v^2 = 1
u^2 – 2v^2 = -1
అనే రెండు సమీకరణాలని మారి మారి తృప్తిపరుస్తాయి!
బ్రహ్మగుప్తుడి పద్ధతి లాగానే ఈ విధంగా కూడా బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.

R. Ramanujam, The man who was loved by formulas, Jantar Mantar, Nov-Dec, 2011.

ఆంధ్రభూమి దినపత్రికలో ప్రచురించబడిన వ్యాసం http://www.andhrabhoomi.net/intelligent/prayaniche-296