పందొమ్మిదేళ్ల వయసులో గౌస్ జ్యామితికి సంబంధించిన ఓ అత్యంత జటిలమైన సమస్యని పరిష్కరించాడు.
కేవలం ఓ రూళ్లకర్రని (straightedge), కంపాస్ (compass) ని ఉపయోగించి పదిహేడు భుజాలు గల క్రమ సప్తదశభుజిని ఎలా నిర్మించాలో కనుక్కున్నాడు.
కేవలం ఓ రూళ్లకర్రని (straightedge), కంపాస్ (compass) ని ఉపయోగించి పదిహేడు భుజాలు గల క్రమ సప్తదశభుజిని ఎలా నిర్మించాలో కనుక్కున్నాడు.
జ్యామి
తికారులకి అందమైన, మంచి సౌష్టవమైన ఆకారాలు అంటే ఇష్టం. క్రమబహుభుజులు (regular polygons) అలాంటి అందానికి మచ్చుతునకలు. క్రమబహుభుజులలో మనకి బాగా తెలిసిన ఉదాహరణలు సమబాహు త్రిభుజం (మూడు భుజాలు గల క్రమబహుభుజి), చతురస్రం (నాలుగు భుజాలు గల క్రమబహుభుజి), పొడవులు, కోణాలు కొలవకుండా కేవలం ఓ రూళ్లకర్ర (పొడవుని కొలిచే గురుతులు లేనిది) తో, కంపాస్ తోను సమబాహు త్రిభుజాన్ని, చతురస్రాన్ని గీయడం పెద్ద కష్టం కాదు. ఆరో క్లాసు పిల్లలకి కూడా ఈ నిర్మాణాలు తెలుస్తాయి. కాని మళ్లీ పంచభుజి నిర్మాణం కొంచెం కష్టమే. ఆ వివరాలు కావాలంటే ఇక్కడ చూడండి:http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon
తరువాత వచ్చే ఆరు భుజాలు గల షడ్భుజిని నిర్మించడం మళ్లీ కష్టం కాదు. ఎందుకంటే ఆరు సమబాహు త్రిభుజాలని ఒక విధంగా పేర్చితే షడ్భుజి ఏర్పడుతుంది.
కాని మళ్లీ ఏడు భుజాలు గల సప్తభుజిని నిర్మించడం సామాన్యం కాదు. (నిజానికి అది అసంభవం అని తరువాత నిరూపించబడింది.)
అలాంటి పరిస్థితుల్లో 17-భుజాలు గల సప్తదశ భుజిని నిర్మించడం ఎంత కష్టమో ఊహించుకోవచ్చు.
అసలు ఒక బహుభుజిని, దాని భుజాలు ఎన్నయినా కానివ్వండి, నిర్మించలేక పోవడం ఏమిటి? ఈ నిర్మించడం, నిర్మించలేక పోవడం అనేది ఎలా వస్తుంది? n –భుజాలు గల బహుభుజిని తీసుకూంటే, n యొక్క ఏఏ విలువల వద్ద దాన్నినిర్మించడానికి వీలవుతుంది, ఏఏ విలువల వద్ద నిర్మించడానికి వీలు కాదు? ఈ ప్రశ్నని ఎలా తేల్చుకోవాలి?
జ్యామితిలో నిర్మాణశక్యత (constructibility in geometry)
ఒక బహుభుజిని నిర్మించడం అంటే (ఆ బహుభుజి యొక్క కేంద్రానికి, ఒక మూల (corner) కి మధ్య దూరం విలువ 1 అనుకుంటే), దాని భుజం యొక్క పొడవు గల గీతని గీయగలగడమే! ఉదాహరణకి ఒక చతురస్రంలో కేంద్రానికి, మూలకి మధ్య దూరం 1 అనుకుంటే, దాని భుజం యొక్క పొడవు sqrt(2) అవుతుంది. అలాగే n-భుజాలు గల బహుభుజిని తీసుకుంటే దాని భుజం విలువ
= 2 sin(pi/n)
అవుతుంది.
రూళ్లకర్రతో, కంపాస్ తో నిర్మాణం అంటే గీతలతో చేసే ఆల్జీబ్రా లాంటిది అన్నమాట! కనుక ఈ పద్ధతిలో కొన్ని ప్రత్యేక క్రియలని మాత్రమే చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి:
= 2 sin(pi/n)
అవుతుంది.
రూళ్లకర్రతో, కంపాస్ తో నిర్మాణం అంటే గీతలతో చేసే ఆల్జీబ్రా లాంటిది అన్నమాట! కనుక ఈ పద్ధతిలో కొన్ని ప్రత్యేక క్రియలని మాత్రమే చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి:
- 1 విలువ పొడవు ఉన్న గీత ఉంటే దానికి m (పూర్ణసంఖ్య) రెట్లు పొడవు ఉన్న గీత గీయొచ్చు
- a, b పొడవులు గల గీతలు ఉంటే వాటి పొడవుల లబ్దం (a*b) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
- a, b పొడవులు గల గీతలు ఉంటే వాటి పొడవుల నిష్పత్తి (a/b) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
- a అనే గీత ఉంటే పొడవు యొక్క వర్గమూలం (square root) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
పై క్రియలని వివిధ రీతుల్లో కలిపి ఆచరించొచ్చు. ఇవి తప్ప మరింకేమీ చెయ్యడానికి సాధ్యం కాదు.
ఇలాంటి పరిస్థితుల్లో ఎలాంటి n-భుజులని నిర్మించవచ్చు?
గౌస్ పరిష్కారం
- a, b పొడవులు గల గీతలు ఉంటే వాటి పొడవుల లబ్దం (a*b) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
- a, b పొడవులు గల గీతలు ఉంటే వాటి పొడవుల నిష్పత్తి (a/b) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
- a అనే గీత ఉంటే పొడవు యొక్క వర్గమూలం (square root) విలువ పొడవుగా గల గీతని గీయొచ్చు.
పై క్రియలని వివిధ రీతుల్లో కలిపి ఆచరించొచ్చు. ఇవి తప్ప మరింకేమీ చెయ్యడానికి సాధ్యం కాదు.
ఇలాంటి పరిస్థితుల్లో ఎలాంటి n-భుజులని నిర్మించవచ్చు?
గౌస్ పరిష్కారం
n యొక్క విలువ ఈ కింది రూపంలో ఉంటే
n = 2^m * F_x * F_y * F_z… (1)
అలాంటి n-భుజి ని రూళ్లకర్రతోను, కంపాస్ తోను నిర్మించడానికి వీలవుతుందని గౌస్ కనుక్కున్నాడు.
పై సూత్రంలో 2^m అంటే 2 యొక్క ఏదైనా ఘాతం. F_x, F_y మొదలైనవి అనన్య విలువలుగల ప్రధాన సంఖ్యలైన ఫెర్మా సంఖ్యలు (Fermat primes). ఫెర్మా సంఖ్యలు అంటే (2^2^p + 1) అనే రూపం గల సంఖ్యలు. పై సూత్రంలో ఇవి ఎన్నయినా ఉండొచ్చు. మొట్టమొదటి ఐదు ప్రధాన సంఖ్యలైన ఫెర్మా సంఖ్యలు ఇలా ఉన్నాయి:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
పై సూత్రంలో m=0 అనుకుని, ఫెర్మా ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంలో మూడవ ఫెర్మా ప్రధాన సంఖ్య అయిన 17 మాత్రమే తీసుకుంటే,
n=17
అని వస్తుంది.
కనుక n=17 అనేది గౌస్ చెప్పిన సంఖ్యల రూపంలో ఉందని సులభంగా గుర్తించొచ్చు.
గౌస్ తను రూపొందించిన సిద్ధాంతాన్ని ముందు తమ కేలేజిలో ఒక ప్రొఫెసర్ కి చూపించాడట. ప్రొఫెసర్ కి అదేమీ అర్థం గాక అదంతా తప్పు అన్నాట్ట ముందు. నెమ్మది మీద గౌస్ సిద్ధాంతంలోని సత్యం అర్థమై ఆ సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించింది తనేనని ప్రచారం మొదలెట్టాడు. తరువాత నిజం బయటపడి అంతా ఆ ప్రొఫెసర్ ని దులిపేశారని కథనం.
n = 2^m * F_x * F_y * F_z… (1)
అలాంటి n-భుజి ని రూళ్లకర్రతోను, కంపాస్ తోను నిర్మించడానికి వీలవుతుందని గౌస్ కనుక్కున్నాడు.
పై సూత్రంలో 2^m అంటే 2 యొక్క ఏదైనా ఘాతం. F_x, F_y మొదలైనవి అనన్య విలువలుగల ప్రధాన సంఖ్యలైన ఫెర్మా సంఖ్యలు (Fermat primes). ఫెర్మా సంఖ్యలు అంటే (2^2^p + 1) అనే రూపం గల సంఖ్యలు. పై సూత్రంలో ఇవి ఎన్నయినా ఉండొచ్చు. మొట్టమొదటి ఐదు ప్రధాన సంఖ్యలైన ఫెర్మా సంఖ్యలు ఇలా ఉన్నాయి:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
పై సూత్రంలో m=0 అనుకుని, ఫెర్మా ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంలో మూడవ ఫెర్మా ప్రధాన సంఖ్య అయిన 17 మాత్రమే తీసుకుంటే,
n=17
అని వస్తుంది.
కనుక n=17 అనేది గౌస్ చెప్పిన సంఖ్యల రూపంలో ఉందని సులభంగా గుర్తించొచ్చు.
గౌస్ తను రూపొందించిన సిద్ధాంతాన్ని ముందు తమ కేలేజిలో ఒక ప్రొఫెసర్ కి చూపించాడట. ప్రొఫెసర్ కి అదేమీ అర్థం గాక అదంతా తప్పు అన్నాట్ట ముందు. నెమ్మది మీద గౌస్ సిద్ధాంతంలోని సత్యం అర్థమై ఆ సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించింది తనేనని ప్రచారం మొదలెట్టాడు. తరువాత నిజం బయటపడి అంతా ఆ ప్రొఫెసర్ ని దులిపేశారని కథనం.
గౌస్ తన సమాధి మీద సప్తదశభుజి చిత్రాన్ని చెక్కించాలని కోరాడట. కాని దాన్ని చెక్కడం చాలా కష్టమని, చెక్కినా దానికి వృత్తానికి మధ్య పెద్దగా తేడా ఉండదని శిల్పి తన అశక్తతని తెలిపాడట.
గౌస్ సాధించిన మరిన్ని విజయాల గురించి మరో పోస్ట్ లో...
References:
http://www.amt.canberra.edu.au/bioggauss.html
http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html
-
Is this Gauss or Gous(mOddin?) I doubt your Telugu spelling of the name.
Yes, Im talking about the great mathematician Gauss.
It is difficult to transliterate the original German sound in Telugu.
What I have done is a best fit.
For correct pronunciation check here:
http://www.merriam-webster.com/dictionary/gauss
Chakravarti garu,
Another nice write up. Nowadays, this topic is often taught in "Galois Theory". Galois' ideas were described in a letter just before his death and according to Hermann Weyl "This letter, if judged by the novelty and profundity of ideas it contains, is perhaps the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind" (quoted in Nathan Jacobson's 'Basic Algebra', vol. 1). But Gauss never responded to the Galois document. Some suspect ( I do not remember a reference to this)that he may have had some similar ideas.