అధ్యాయం 33
రాకాసుల పోరు
శనివారం, ఆగస్టు 15.
ఎటు చూసినా ఎడతెగని సముద్రం. తీరం జాడ ఎక్కడా కనిపించలేదు. దిక్చక్రం అతి దూరంగా ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది.
ఎంతో సజీవంగా తోచిన కల ప్రభావం వల్ల తలంతా దిమ్మెక్కినట్టు అయ్యింది. ఆ మత్తు ఇంకా వదల్లేదు.
మామయ్య కలలు కనలేదు. కాని కోపంగా ఉన్నట్టు ఉన్నాడు. దూరదర్శినితో దిక్చక్రం అంతా తనిఖీ చేసి విసుగ్గా ఓ సారి చేతులు విదిలించాడు.
ప్రొఫెసర్ లీడెన్ బ్రాక్ కి అప్పుడప్పుడు ఇలా అసహనంగా చిందులు వేసే అలవాటు ఉందని అంతకు ముందు ఓ సారి పేర్కొన్నాను. ఆ విషయాన్నే ఈ యాత్రా పత్రికలో కూడా ప్రస్తావించాను. ఈ ప్రమాదాలు, నా యాతన ఇవన్నీ ఆయనలోని మనిషిని, మానవీయతని మేల్కొలిపాయి కాబోలు. ఇప్పుడు నేను మళ్లీ బాగానే వున్నా కనుక ఆయనలోని మునుపటి గుణం మళ్లీ పుంజుకుంది. అయినా ఈ సమయంలో కోపం ఎందుకు రావాలో నాకు అర్థం కాలేదు. ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో మా యాత్ర సజావుగానే సాగుతోందని చెప్పాలి. పాపం మా బుల్లి తెప్ప ఎంత గొప్పగా దూసుకుపోతోందో?
“ఏం మావయ్యా, ఆదుర్దాగా కనిపిస్తున్నావు?”
“ఆదుర్దానా? లేదే.”
“పోనీ అసహనం?”
“ఇంతవరకు అయితే లేదు,” అన్నాడు కాస్త విసుగ్గా.
“మనం వేగంగానే ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?”
“అయితే ఏంటి? నా గోల దాని గురించి కాదు. ఈ సముద్రం మరీ ఇంత విశాలంగా ఉందే అని నా బాధ.”
ఇప్పుడు గుర్తొచ్చింది. మేం బయల్దేరినప్పుడు ప్రొఫెసరు ఈ భూగర్భ సముద్రం యొక్క వెడల్పు ముప్పై కోసులు అని అంచనా వేశాడు. కాని ఇప్పటికే అంతకు మూడు రెట్లు దూరం వచ్చేశాము. కాని ఇంకా కనుచూపు మేరలో దక్షిణ తీరం కనిపించడం లేదు.
“మన అసలు లక్ష్యం భూమి లోపలికి దిగి వెళ్ళడం. అది వదిలేసి మనం ఈ సముద్రం మీద ప్రయాణిస్తున్నాం. అనవసరంగా కాలయాపన అవుతోంది. మనం ఇంత దూరం వచ్చింది ఈ చిట్టేట్లో ఈ బుల్లి పడవలో షికార్లు కొట్టడానికి కాదు.”
ఈ విశాల సముద్రం ఆయనకి చిట్టేరులా తోచిందా? ఈ సుదీర్ఘ సముద్ర యాత్ర ఆయనకి షికార్లు కొట్టడంలా వుందా?
“కాని సాక్నుస్సేం చూపించిన దారి వెంటనే మనం ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?” ఆయన మాటలతో విభేదిస్తూ అన్నాను.
“నేను అడిగేదీ అదే. మనం వస్తున్నది ఆ దారి వెంబడేనా అని. సాక్నుస్సేం కి కూడా ఈ జలరాశి తారసపడిందా? ఆయన కూడా దీన్ని దాటాడా? లేక మనం అనుసరించిన పిల్ల కాలువ మనని తప్పుదోవ పట్టించిందా?”
“ఏదేమైనా మనం ఇక్కడి దాకా వచ్చినందుకు చింతించాల్సిన పన్లేదు. మన అవకాశాలు అద్భుతంగా ఉన్నాయి…”
“అవకాశాలు ఎలా ఉంటే ఎవడిక్కావాలి? నేనో ప్రత్యేక లక్ష్యం కోసం వచ్చాను. దాన్ని ఎలాగైనా సాధిస్తాను. కనుక అభిప్రాయాల గురించి, అవకాశాల గురించి నాకు చెప్పకు…”
ఆ సమాధానం విన్నాక ఇక నేనేమీ మాట్లాడలేకపోయాను. ప్రొఫెసర్ అసహనంగా కింది పెదవి కొరికేసుకుంటున్నాడు. సాయంకాలం ఆరు గంటలకి హన్స్ ఠంచనుగా తన వేతనం అడిగి పుచ్చుకున్నాడు.
(ఇంకా వుంది)
రాకాసుల పోరు
శనివారం, ఆగస్టు 15.
ఎటు చూసినా ఎడతెగని సముద్రం. తీరం జాడ ఎక్కడా కనిపించలేదు. దిక్చక్రం అతి దూరంగా ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది.
ఎంతో సజీవంగా తోచిన కల ప్రభావం వల్ల తలంతా దిమ్మెక్కినట్టు అయ్యింది. ఆ మత్తు ఇంకా వదల్లేదు.
మామయ్య కలలు కనలేదు. కాని కోపంగా ఉన్నట్టు ఉన్నాడు. దూరదర్శినితో దిక్చక్రం అంతా తనిఖీ చేసి విసుగ్గా ఓ సారి చేతులు విదిలించాడు.
ప్రొఫెసర్ లీడెన్ బ్రాక్ కి అప్పుడప్పుడు ఇలా అసహనంగా చిందులు వేసే అలవాటు ఉందని అంతకు ముందు ఓ సారి పేర్కొన్నాను. ఆ విషయాన్నే ఈ యాత్రా పత్రికలో కూడా ప్రస్తావించాను. ఈ ప్రమాదాలు, నా యాతన ఇవన్నీ ఆయనలోని మనిషిని, మానవీయతని మేల్కొలిపాయి కాబోలు. ఇప్పుడు నేను మళ్లీ బాగానే వున్నా కనుక ఆయనలోని మునుపటి గుణం మళ్లీ పుంజుకుంది. అయినా ఈ సమయంలో కోపం ఎందుకు రావాలో నాకు అర్థం కాలేదు. ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో మా యాత్ర సజావుగానే సాగుతోందని చెప్పాలి. పాపం మా బుల్లి తెప్ప ఎంత గొప్పగా దూసుకుపోతోందో?
“ఏం మావయ్యా, ఆదుర్దాగా కనిపిస్తున్నావు?”
“ఆదుర్దానా? లేదే.”
“పోనీ అసహనం?”
“ఇంతవరకు అయితే లేదు,” అన్నాడు కాస్త విసుగ్గా.
“మనం వేగంగానే ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?”
“అయితే ఏంటి? నా గోల దాని గురించి కాదు. ఈ సముద్రం మరీ ఇంత విశాలంగా ఉందే అని నా బాధ.”
ఇప్పుడు గుర్తొచ్చింది. మేం బయల్దేరినప్పుడు ప్రొఫెసరు ఈ భూగర్భ సముద్రం యొక్క వెడల్పు ముప్పై కోసులు అని అంచనా వేశాడు. కాని ఇప్పటికే అంతకు మూడు రెట్లు దూరం వచ్చేశాము. కాని ఇంకా కనుచూపు మేరలో దక్షిణ తీరం కనిపించడం లేదు.
“మన అసలు లక్ష్యం భూమి లోపలికి దిగి వెళ్ళడం. అది వదిలేసి మనం ఈ సముద్రం మీద ప్రయాణిస్తున్నాం. అనవసరంగా కాలయాపన అవుతోంది. మనం ఇంత దూరం వచ్చింది ఈ చిట్టేట్లో ఈ బుల్లి పడవలో షికార్లు కొట్టడానికి కాదు.”
ఈ విశాల సముద్రం ఆయనకి చిట్టేరులా తోచిందా? ఈ సుదీర్ఘ సముద్ర యాత్ర ఆయనకి షికార్లు కొట్టడంలా వుందా?
“కాని సాక్నుస్సేం చూపించిన దారి వెంటనే మనం ప్రయాణిస్తున్నాం కదా?” ఆయన మాటలతో విభేదిస్తూ అన్నాను.
“నేను అడిగేదీ అదే. మనం వస్తున్నది ఆ దారి వెంబడేనా అని. సాక్నుస్సేం కి కూడా ఈ జలరాశి తారసపడిందా? ఆయన కూడా దీన్ని దాటాడా? లేక మనం అనుసరించిన పిల్ల కాలువ మనని తప్పుదోవ పట్టించిందా?”
“ఏదేమైనా మనం ఇక్కడి దాకా వచ్చినందుకు చింతించాల్సిన పన్లేదు. మన అవకాశాలు అద్భుతంగా ఉన్నాయి…”
“అవకాశాలు ఎలా ఉంటే ఎవడిక్కావాలి? నేనో ప్రత్యేక లక్ష్యం కోసం వచ్చాను. దాన్ని ఎలాగైనా సాధిస్తాను. కనుక అభిప్రాయాల గురించి, అవకాశాల గురించి నాకు చెప్పకు…”
ఆ సమాధానం విన్నాక ఇక నేనేమీ మాట్లాడలేకపోయాను. ప్రొఫెసర్ అసహనంగా కింది పెదవి కొరికేసుకుంటున్నాడు. సాయంకాలం ఆరు గంటలకి హన్స్ ఠంచనుగా తన వేతనం అడిగి పుచ్చుకున్నాడు.
(ఇంకా వుంది)
అధ్యాయం 2
సహజ సంఖ్యలు – కృత్రిమ సంఖ్యలు
వైజ్ఞానిక రంగాలు అన్నిట్లోకి గణితం మహారాణి అని అంటుంటారు. మరి మహారాణి కనుక ఈ రంగం మిగతా వైజ్ఞానిక రంగాలని కాస్త చిన్న చూపు చూస్తుంటుంది. ప్రఖ్యాత గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ని ఓ సారి “శుద్ధ (pure), అనువర్తక (applied) గణిత రంగాల సమిష్టి సమావేశం” లో మాట్లాడమన్నారు. శుద్ధ, అనువర్తక గణితవిభాగాల మధ్య ఉండే స్పర్థ ని తొలగించి, రెండింటి మధ్య ఉండే విభేదాన్ని పూడ్చే విధంగా ఉపన్యసించమన్నారు. ఆ ఉపన్యాసం ఇలా మొదలయ్యింది –
“శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పరం ప్రతికూలంగా ఉంటాయని తరచు జనం అనడం వింటుంటాం. కాని అది నిజం కాదు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పర ప్రతికూలాలు కావు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలంగా లేవు, ఉండలేవు కూడా. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలం కాలేవు ఎందుకంటే రెండిటికీ సామాన్యమైన అంశాలే లేవు.”
గణితం స్వతహాగా మిగతా రంగాలతో సంబంధం లేకుండా ప్రత్యేకంగా, నిస్సంగంగా ఉండాలని చూస్తుంది. కాని ఇతర రంగాలు ముఖ్యంగా భౌతిక శాస్త్రం లాంటివి గణితం తో పొత్తు కుదుర్చుకోవాలని చూస్తుంటాయి. నిజానికి ప్రస్తుత కాలంలో గణితంలో ప్రతీ విభాగాన్ని భౌతిక ప్రపంచంలో ఏదో ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి, వర్ణించడానికి వినియోగిస్తున్నారు. థియరీ ఆఫ్ అబ్స్ ట్రాక్ట్ గ్రూప్స్, నాన్ కమ్యూటబుల్ ఆల్జీబ్రా, నాన్ యూక్లిడియన్ జ్యామెట్రీ మొదలైన గణిత విభాగాలు అందుకు తార్కాణాలు. ఎందుకంటే ఈ గణిత విభాగాలు అతి శుద్ధమైనవని, వీటికి భౌతిక ప్రపంచంతో అసలు సంబంధం ఉండే ప్రసక్తే ఉండదని ఒకప్పుడు తలపోసేవారు.
గణితంలో ఒక ప్రత్యేక విభాగం, ఓ విశాలమైన విభాగానికి మాత్రం ఇంతవరకు ఏ ప్రయోజనమూ లేని రంగంగా, కేవలం మానసిక కసరత్తులు చేసుకోడానికి మాత్రమే పనికి వస్తుందన్నట్టుగా ముద్రపడింది. శుద్ధ గణిత విభాగాలలో కెల్లా “పరమ పవిత్రం” అనే బిరుదు తెచ్చుకుంది ఈ రంగం. దీనినే సంఖ్యా శాస్త్రం అంటారు. (అంటే పూర్ణ సంఖ్యల శాస్త్రం అన్నమాట). శుద్ధ గణిత చింతనలో కెల్లా అత్యుత్కృష్టమైన, ప్రాచీనమైన రంగం ఇది.
సంఖ్యా శాస్త్రం ఒక పక్క శుద్ధ గణితం అని అంటూనే, మరో కోణం నుండీ చూస్తూ దాన్ని అత్యంత అనువర్తనీయమైన రంగం అని, ఒక విధంగా ప్రయోగాత్మక రంగం అని అనొచ్చు. ఎలాగైతే భౌతిక శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలని భౌతిక వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారో, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు అంకెలతో రకరకాల ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారు. అలాగే భౌతిక శాస్త్రంలో లాగానే, సంఖ్యా శాస్త్రంలో కూడా కొన్ని సిద్ధాంతాలని “గణితపరంగా” నిరూపించొచ్చు. కాని కొన్నిటిని మాత్రం అనుభవైకంగా (empirical) మాత్రమే స్థాపించగలం. అలాంటి ఎన్నో సిద్ధాంతాలని గణితపరంగా నిరూపించడానికి గణితవేత్తలు తలమునకలు అవుతుంటారు.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యల (prime numbers) సమస్యనే తీసుకోండి. ప్రధాన సంఖ్య అంటే దాంతోను, ఒకటి తోను తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యతోను విభజింపబడని సంఖ్య. 2,3,5,7,11, 13 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి 12 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే దాన్ని 2 X 2 X 3 గా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
మరి ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా, లేక అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏదైనా వుందా? అలాంటి సంఖ్య అంటూ ఉంటే అంత కన్నా పెద్దదైన ప్రతీ సంఖ్యని రెండు, లేక అనేక సంఖ్యల లబ్దంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు అన్నమాట. ఈ సమస్యని మొట్టమొదట అటకాయించిన వాడు యూక్లిడ్. ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుందని, అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏమీ లేదని అద్భుతంగా నిరూపించాడు.
(ఇంకా వుంది)
సహజ సంఖ్యలు – కృత్రిమ సంఖ్యలు
వైజ్ఞానిక రంగాలు అన్నిట్లోకి గణితం మహారాణి అని అంటుంటారు. మరి మహారాణి కనుక ఈ రంగం మిగతా వైజ్ఞానిక రంగాలని కాస్త చిన్న చూపు చూస్తుంటుంది. ప్రఖ్యాత గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ని ఓ సారి “శుద్ధ (pure), అనువర్తక (applied) గణిత రంగాల సమిష్టి సమావేశం” లో మాట్లాడమన్నారు. శుద్ధ, అనువర్తక గణితవిభాగాల మధ్య ఉండే స్పర్థ ని తొలగించి, రెండింటి మధ్య ఉండే విభేదాన్ని పూడ్చే విధంగా ఉపన్యసించమన్నారు. ఆ ఉపన్యాసం ఇలా మొదలయ్యింది –
“శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పరం ప్రతికూలంగా ఉంటాయని తరచు జనం అనడం వింటుంటాం. కాని అది నిజం కాదు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు పరస్పర ప్రతికూలాలు కావు. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలంగా లేవు, ఉండలేవు కూడా. శుద్ధ, అనువర్తక గణిత రంగాలు ఎన్నడూ పరస్పర ప్రతికూలం కాలేవు ఎందుకంటే రెండిటికీ సామాన్యమైన అంశాలే లేవు.”
గణితం స్వతహాగా మిగతా రంగాలతో సంబంధం లేకుండా ప్రత్యేకంగా, నిస్సంగంగా ఉండాలని చూస్తుంది. కాని ఇతర రంగాలు ముఖ్యంగా భౌతిక శాస్త్రం లాంటివి గణితం తో పొత్తు కుదుర్చుకోవాలని చూస్తుంటాయి. నిజానికి ప్రస్తుత కాలంలో గణితంలో ప్రతీ విభాగాన్ని భౌతిక ప్రపంచంలో ఏదో ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి, వర్ణించడానికి వినియోగిస్తున్నారు. థియరీ ఆఫ్ అబ్స్ ట్రాక్ట్ గ్రూప్స్, నాన్ కమ్యూటబుల్ ఆల్జీబ్రా, నాన్ యూక్లిడియన్ జ్యామెట్రీ మొదలైన గణిత విభాగాలు అందుకు తార్కాణాలు. ఎందుకంటే ఈ గణిత విభాగాలు అతి శుద్ధమైనవని, వీటికి భౌతిక ప్రపంచంతో అసలు సంబంధం ఉండే ప్రసక్తే ఉండదని ఒకప్పుడు తలపోసేవారు.
గణితంలో ఒక ప్రత్యేక విభాగం, ఓ విశాలమైన విభాగానికి మాత్రం ఇంతవరకు ఏ ప్రయోజనమూ లేని రంగంగా, కేవలం మానసిక కసరత్తులు చేసుకోడానికి మాత్రమే పనికి వస్తుందన్నట్టుగా ముద్రపడింది. శుద్ధ గణిత విభాగాలలో కెల్లా “పరమ పవిత్రం” అనే బిరుదు తెచ్చుకుంది ఈ రంగం. దీనినే సంఖ్యా శాస్త్రం అంటారు. (అంటే పూర్ణ సంఖ్యల శాస్త్రం అన్నమాట). శుద్ధ గణిత చింతనలో కెల్లా అత్యుత్కృష్టమైన, ప్రాచీనమైన రంగం ఇది.
సంఖ్యా శాస్త్రం ఒక పక్క శుద్ధ గణితం అని అంటూనే, మరో కోణం నుండీ చూస్తూ దాన్ని అత్యంత అనువర్తనీయమైన రంగం అని, ఒక విధంగా ప్రయోగాత్మక రంగం అని అనొచ్చు. ఎలాగైతే భౌతిక శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలని భౌతిక వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారో, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు అంకెలతో రకరకాల ప్రయోగాలు చేసి కనుక్కున్నారు. అలాగే భౌతిక శాస్త్రంలో లాగానే, సంఖ్యా శాస్త్రంలో కూడా కొన్ని సిద్ధాంతాలని “గణితపరంగా” నిరూపించొచ్చు. కాని కొన్నిటిని మాత్రం అనుభవైకంగా (empirical) మాత్రమే స్థాపించగలం. అలాంటి ఎన్నో సిద్ధాంతాలని గణితపరంగా నిరూపించడానికి గణితవేత్తలు తలమునకలు అవుతుంటారు.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యల (prime numbers) సమస్యనే తీసుకోండి. ప్రధాన సంఖ్య అంటే దాంతోను, ఒకటి తోను తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యతోను విభజింపబడని సంఖ్య. 2,3,5,7,11, 13 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి 12 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఎందుకంటే దాన్ని 2 X 2 X 3 గా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
మరి ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా, లేక అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏదైనా వుందా? అలాంటి సంఖ్య అంటూ ఉంటే అంత కన్నా పెద్దదైన ప్రతీ సంఖ్యని రెండు, లేక అనేక సంఖ్యల లబ్దంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు అన్నమాట. ఈ సమస్యని మొట్టమొదట అటకాయించిన వాడు యూక్లిడ్. ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి అనంతంగా సాగిపోతుందని, అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అంటూ ఏమీ లేదని అద్భుతంగా నిరూపించాడు.
(ఇంకా వుంది)
వృక్ష సంపద వేగంగా వృద్ధి చెందుతోంది. విశాలంగా విస్తరించిన ఫెర్న్ మొక్కల మధ్య నేనో ప్రేతంలా సంచరిస్తున్నాను. రంగుల నేల మీద తడబడే అడుగులతో నెమ్మదిగా ముందుకి సాగుతున్నాను. ఉవ్వెత్తున లేచిన కోనిఫర్ చెట్ల కాండాల మీద ఆసరాగా ఆనుకున్నాను. నూరు అడుగుల ఎత్తున స్పీనో ఫైలా, ఆస్టెరో ఫైలా, లైకోపాడ్ చెట్ల నీడలో సేదతీరాను.
యుగాలు రోజుల్లా గబగబా మారిపోతున్నాయి. సుదీర్ఘమైన ధరాగత మార్పులని సందర్శింపజేస్తూ ఏదో శక్తి నన్ను వరుసగా గతంలోకి తీసుకుపోతున్నట్టుంది. మొక్కలు మాయమయ్యాయి. గ్రానైట్ శిలలు కరిగి మెత్తనయ్యాయి. పెరుగుతున్న తాపానికి ఘనాలు చిక్కని ద్రవాలుగా మారిపోతున్నాయి. పృథ్వీ ముఖం మరలా జలమయం అయ్యింది. నీరు సలసల మరిగి, సుడులు తిరిగే ఆవిర్లు ఆకాశంలోకి లేస్తున్నాయి. తెల్లని, వికారమైన పొగమంచు మారే పుడమి రూపురేఖల చుట్టూ అలముకుంటోంది. అసలు భూమి సమస్తం సూక్ష్మమైన దశలవారీగా ముందొక వాయురాశిగా మారి, ఆ రాశి ప్రచండమైన అగ్నిగోళంగా మారి, సూర్య తేజాన్ని తలదన్నేలా ప్రజ్వలించసాగింది.
ప్రస్తుతం ఘనరూపంలో ఉన్న భూమి ఘనపరిమాణానికి పద్నాలుగు లక్షల రెట్లు ఘన పరిమాణం వున్న ఈ వేడెక్కిన వాయురాశి మధ్యలో నేను దిక్కు తెన్ను తెలియకుండా సంచరిస్తున్నాను. నాకు ఇప్పుడు ఒక స్థిరమైన పార్థివ రూపం లేదు. నా శారీరం ఆవిరై, సూక్ష్మమై, అసంఖ్యాకమైన పరమాణువులుగా విడిపోయి చుట్టూ ఉన్న వాతావరణంలో విలీనం అయిపోయింది. ఈ రాకాశి వాయుగోళాల మధ్య, ఈ తెల్లని ధూళి దెయ్యాల మధ్య, ఈ అల్లారే అగ్ని కీలల మధ్య నేనూ ఓ విస్ఫులింగాన్నై అనంతాకాశంలో కొట్టుకుపోసాగాను.
ఇదంతా అసలు ఓ కల కాదా? ఎక్కడికి తీసుకుపోతోంది నన్ను? వణుకుతున్న చేతులతో నా ఊహాపథం మీద మెదులుతున్న విషయాలని కాగితం మీద సవివరంగా ఎక్కించాలని ప్రయత్నించాను. ఇక నా పరిసరాల మీద స్పృహ తెలియలేదు. ప్రొఫెసర్ మామయ్య, గైడు, తెప్ప – అన్నీ మనో వేదిక మీది నుండి తొలగిపోయాయి.
“ఏవయ్యింది ఏక్సెల్?” నా భ్రాంతికి భంగం కలిగిస్తూ అడిగాడు మామయ్య.
ఓ సారి ఆయన వైపు నిర్లిప్తంగా చుశాను.
“జాగ్రత్త ఏక్సెల్! పరాకుగా ఉంటే పడిపోతావు.”
ఆ క్షణం ఎవరో నా జబ్బ పట్టుకుని బలంగా పక్కకి లాగినట్టు అనిపించింది. హన్స్ అలా నన్ను పక్కకి లాగకపోయుంటే నా కలలలో కొట్టుకుపోతూ, నడి సముద్రంలో మునిగిపోయేవాణ్ణి.
“పిచ్చి పట్టిందా?” అరిచాడు ప్రొఫెసరు.
“ఏం జరుగుతోంది? నాకేమీ అర్థం కాలేదు.”
“ఒంట్లో బాలేదా?” మామయ్య అడిగాడు.
“అదేం లేదు. కాని ఏంటో ఒక్కసారి ఏదో భ్రాంతి కమ్ముకున్నట్టు అయ్యింది. ఇప్పుడు సర్దుకుంది. మన ప్రయాణం సరిగ్గానే సాగుతోందా?”
“నిస్సందేహంగా. గాలి అనుకూలంగా వుంది, సముద్రం శాంతంగా వుంది. వేగంగా దూసుకుపోతున్నాం. నా అంచనాలు సరైనవే అయితే త్వరలోనే తీరం దగ్గర పడాలి.”
ఆ మాటలకి కాస్త ఉత్సాహం వచ్చి లేచి నించుని దిక్చక్రం కేసి చూశాను. దట్టంగా అలముకున్న మబ్బుల వల్ల దిక్చక్రం యొక్క ఆనవాళ్లు కూడా ఎక్కడా కనిపించలేదు.
(ముప్పై రెండవ అధ్యాయం సమాప్తం)
యుగాలు రోజుల్లా గబగబా మారిపోతున్నాయి. సుదీర్ఘమైన ధరాగత మార్పులని సందర్శింపజేస్తూ ఏదో శక్తి నన్ను వరుసగా గతంలోకి తీసుకుపోతున్నట్టుంది. మొక్కలు మాయమయ్యాయి. గ్రానైట్ శిలలు కరిగి మెత్తనయ్యాయి. పెరుగుతున్న తాపానికి ఘనాలు చిక్కని ద్రవాలుగా మారిపోతున్నాయి. పృథ్వీ ముఖం మరలా జలమయం అయ్యింది. నీరు సలసల మరిగి, సుడులు తిరిగే ఆవిర్లు ఆకాశంలోకి లేస్తున్నాయి. తెల్లని, వికారమైన పొగమంచు మారే పుడమి రూపురేఖల చుట్టూ అలముకుంటోంది. అసలు భూమి సమస్తం సూక్ష్మమైన దశలవారీగా ముందొక వాయురాశిగా మారి, ఆ రాశి ప్రచండమైన అగ్నిగోళంగా మారి, సూర్య తేజాన్ని తలదన్నేలా ప్రజ్వలించసాగింది.
ప్రస్తుతం ఘనరూపంలో ఉన్న భూమి ఘనపరిమాణానికి పద్నాలుగు లక్షల రెట్లు ఘన పరిమాణం వున్న ఈ వేడెక్కిన వాయురాశి మధ్యలో నేను దిక్కు తెన్ను తెలియకుండా సంచరిస్తున్నాను. నాకు ఇప్పుడు ఒక స్థిరమైన పార్థివ రూపం లేదు. నా శారీరం ఆవిరై, సూక్ష్మమై, అసంఖ్యాకమైన పరమాణువులుగా విడిపోయి చుట్టూ ఉన్న వాతావరణంలో విలీనం అయిపోయింది. ఈ రాకాశి వాయుగోళాల మధ్య, ఈ తెల్లని ధూళి దెయ్యాల మధ్య, ఈ అల్లారే అగ్ని కీలల మధ్య నేనూ ఓ విస్ఫులింగాన్నై అనంతాకాశంలో కొట్టుకుపోసాగాను.
ఇదంతా అసలు ఓ కల కాదా? ఎక్కడికి తీసుకుపోతోంది నన్ను? వణుకుతున్న చేతులతో నా ఊహాపథం మీద మెదులుతున్న విషయాలని కాగితం మీద సవివరంగా ఎక్కించాలని ప్రయత్నించాను. ఇక నా పరిసరాల మీద స్పృహ తెలియలేదు. ప్రొఫెసర్ మామయ్య, గైడు, తెప్ప – అన్నీ మనో వేదిక మీది నుండి తొలగిపోయాయి.
“ఏవయ్యింది ఏక్సెల్?” నా భ్రాంతికి భంగం కలిగిస్తూ అడిగాడు మామయ్య.
ఓ సారి ఆయన వైపు నిర్లిప్తంగా చుశాను.
“జాగ్రత్త ఏక్సెల్! పరాకుగా ఉంటే పడిపోతావు.”
ఆ క్షణం ఎవరో నా జబ్బ పట్టుకుని బలంగా పక్కకి లాగినట్టు అనిపించింది. హన్స్ అలా నన్ను పక్కకి లాగకపోయుంటే నా కలలలో కొట్టుకుపోతూ, నడి సముద్రంలో మునిగిపోయేవాణ్ణి.
“పిచ్చి పట్టిందా?” అరిచాడు ప్రొఫెసరు.
“ఏం జరుగుతోంది? నాకేమీ అర్థం కాలేదు.”
“ఒంట్లో బాలేదా?” మామయ్య అడిగాడు.
“అదేం లేదు. కాని ఏంటో ఒక్కసారి ఏదో భ్రాంతి కమ్ముకున్నట్టు అయ్యింది. ఇప్పుడు సర్దుకుంది. మన ప్రయాణం సరిగ్గానే సాగుతోందా?”
“నిస్సందేహంగా. గాలి అనుకూలంగా వుంది, సముద్రం శాంతంగా వుంది. వేగంగా దూసుకుపోతున్నాం. నా అంచనాలు సరైనవే అయితే త్వరలోనే తీరం దగ్గర పడాలి.”
ఆ మాటలకి కాస్త ఉత్సాహం వచ్చి లేచి నించుని దిక్చక్రం కేసి చూశాను. దట్టంగా అలముకున్న మబ్బుల వల్ల దిక్చక్రం యొక్క ఆనవాళ్లు కూడా ఎక్కడా కనిపించలేదు.
(ముప్పై రెండవ అధ్యాయం సమాప్తం)
అదే విధంగా ఓ ఘనం (cube) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, ఒక చదరంలో ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను, లేదా ఒక గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతోను సమానం అని నిరూపించొచ్చు. ఇది చెయ్యడానికి ఇందాక మనం తీసుకున్న దశాంశ భిన్నాన్ని మూడు భాగాలు చెయ్యాలి. ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక్కొక్క నిరూపకం (axis) మీద గుర్తించాలి. అప్పుడు ఆ దశాంశ భిన్నానికి ఘనంలో ఒక ప్రత్యేక బిందువుతో సంబంధాన్ని స్థాపించొచ్చు. ఈ విధంగా ఘనంలోని బిందువుల సంఖ్య గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం అని నిరూపించొచ్చు.
ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.
అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,
A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)
A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య
(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)
దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?
ఆ విధంగా జ్యామితీయ అంతరాళాలలో (geometric spaces) లో ఉండే బిందువుల సంఖ్య, పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. కాని గణితవేత్తలకి తెలిసిన అతి పెద్ద రాశి ఇది కాదు. ఇంత కన్నా పెద్ద ‘అనంతం’ మరొకటి ఉంది. అది – “సాధ్యమైన వక్రాల (curves) సమూహం.” అత్యంత విడ్డూరమైన వక్రాలని కూడా ఆ సమూహంలో కలుపుకోవచ్చు. జ్యామితీయ అంతరాళాలలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య కన్నా ఇది పెద్దది. అందుకే దీన్ని మూడవ కోవకి చెందిన అనంతం గా అభివర్ణిస్తారు.
అనంతాల అంకగణితాన్ని కనిపెట్టిన జార్జ్ కాంటర్ అనంతాలని హీబ్రూ అక్షరం A (aleph) తో సూచిస్తాడు. దాని పక్కన కాస్త కిందుగా ఇవ్వబడ్డ సంఖ్య అది ఏ రకం అనంతతో సూచిస్తుంది. కనుక ఇప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలని, వాటితో పాటు అనంతాలని కూడా ఈ విధంగా వరుసగా సూచించొచ్చు,
A_1 – గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య (*)
A_2 – మొత్తం వక్రాల సంఖ్య
(* హీబ్రూ అక్షరం aleph ని ప్రదర్శించడానికి ఫాంట్స్ దొరకలేదు)
దీంతో అనంత సంఖ్యల మీద మన చర్చకి అంతానికి వస్తాం. ఈ మూడు సంఖ్యలు మనం ఊహించగల ఎంత పెద్ద రాశినైనా అధిగమిస్తాయి. A_0 మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం. A_1 జ్యామితీయ బిందువుల అనంతం. A_2 వక్రాల అనంతం. కాని ఇంతకన్నా పెద్ద అనంతంతో అభివర్ణించదగ్గ సమూహాన్ని ఇంతవరకు ఎవరూ నిర్వచించలేదు. అలాంటిది అంటూ ఉంటే దాన్నిA _3 అనే చిహ్నంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చునేమో. ఎంత బ్రహాండమైన రాశినైనా ఈ మూడు అనంతాలతోను కొలిచేయొచ్చు. ఎంత సంతతి ఉన్నా మూడుకి మించి లెక్కపెట్టలేని మన హాటెన్ టాట్ మిత్రుడి దుస్థితికి మన పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా వుంది కదూ?
ఆ జలచరాన్ని ఓ సారి శ్రద్ధగా చూశాను. నిజమే. దానికి కళ్లు లేవు. మళ్లీ గాలానికి ఎర వేసి నీట్లోకి విసిరాం. ఈ సముద్రం చేపలతో కిటకిట లాడుతున్నట్టు వుంది. కొద్ది గంటల్లో టెరిక్ థైడ్ జాతికి చెందిన బోలెడు చేపలు పట్టుకున్నాం. అలాగే వినష్ట జాతి అయిన డిప్టెరీడ్ కుటుంబానికి చెందిన చేపలని కూడా పట్టుకున్నాం. అయితే వాటి జాతి ఏమిటో మామయ్య పోల్చుకోలేక పోయాడు. ఈ చేపలన్నిటికీ కళ్లు లేవు. ఇలా చిక్కిన చేపల పుణ్యమా అని మా ఆహార పదార్థాల సంపత్తి కాస్త పెరిగింది.
ఈ సముద్రం లో చిక్కిన జీవాలని చూస్తుంటే ఒక్కటి అర్థమవుతోంది. శిలాజ స్థితిలో ఉన్న జీవరాశులు మాత్రమే ఈ సముద్రంలో ఉన్నట్టు ఉన్నాయి. ఈ చేపలు గాని, సరీసృపాలు గాని, గతంలో ఎంత దూరానికి పోతే వాటి రూపురేఖలు కూడా అంత అవిస్పష్టంగా ఉన్నాయి.
బహుశ అదృష్టం బావుంటే ప్రస్తుతానికి మనకి అస్తికల రూపంలో మాత్రమే అస్తిత్వం తెలిసిన సౌరియన్ (saurian) జీవాలు కూడా చేతికి చిక్కొచ్చు. దూరదర్శినితో ఓ సారి నలు దిశలా పరికించాను. ఎటు చూసినా హద్దులేని, ఎడారి లాంటి సముద్రం. తీరానికి బాగా దూరంగా వచ్చేశాం.
ఓ సారి తలెత్తి గాల్లోకి చూశాను. కూవియే మహనీయుడు పునర్నిర్మించిన విచిత్రమైన పక్షులు మళ్లీ ఈ సాంద్ర వాతావరణంలో రెక్కలు అల్లారుస్తాయేమో నని ఆశగా చూశాను. వాటి మనుగడకి కావలసినంత జలచర సంపద ఈ సముద్రంలో వుంది. వాతావరణం కూడా పూర్తిగా రిక్తంగా కనిపించింది.
నా మనసు ఎందుకో పురాజీవ శాస్త్రం (paelentology) చేసిన అద్భుత ఊహాగానాల మీదకి మళ్లింది. తెలీకుండానే ఓ పగటి కలలోకి జారుకున్నాను. తేలే దీవుల్లాంటి తాబేళ్లు నా మనో నేత్రం ముందు కదలాడాయి. భూమి తొలి దశల్లో జీవించిన మహాకాయాలైన స్తన్య జీవాలు అల్లంత దూరంలో కదులుతున్నట్టు ఊహించుకున్నాను. బ్రెజిల్ దేశపు కొండ గుహల్లో కనిపించే లెప్టో తీరియమ్ లు, సైబీరియాకి చెందిన హిమ తలాల మీద సంచరించే మెరికో తీరియమ్ లు, కనిపించాయి. మరి కాస్త దూరంలో దళసరి చర్మం గల లోఫియోడాన్ లు కనిపించాయి. పంది ఆకారంలో ఉండే టాపిర్ లు రాళ్ళ వెనుక నక్కి వున్నాయి. గుర్రం, ఒంటె, రైనోసరస్, హిపోపొటమస్ లు కలగలిసి నట్టు ఉండే అనోప్లోతీరియమ్ లు ఈ టాపిర్ లతో వేటలో పోటీ పడడం చూశాను. మదగజాల్లాంటి మాస్టడన్ లు తమ తొండాలని అటు ఇటు ఊపుతూ, భయంకరంగా ఘీంకరిస్తూ, తమ వాడి దంతాలతో రాళ్లని పొడిచి పిండి చేస్తున్నాయి. ఇక బృహత్ కాయం గల మెగాతీరియం తన బలమైన వెనుక కాళ్ల మీద కూర్చుని, ముంగాళ్లతో నేల మీద బలంగా గోకుతుంటే చుట్టూ ఉండే బండల మధ్య ఆ భీకర రొద ప్రతిధ్వనించింది. ఇక కాస్త ఎత్తు మీద చూస్తే ప్రొటో పితికా (ఈ లోకంలో అవతరించిన మొట్టమొదటి కోతి) నిటారైన బండల మీద బిర బిర ఎగబ్రాకుతోంది. ఇంకా ఎత్తులో ఓ టెరోడాక్టిల్ (చిత్రం) గజిబిజి గతిలో ఎగురుతూ దట్టమైన గాలిని ఛేదిస్తోంది. ఇక గాలి యొక్క పైపొరలలో విశాల విహంగాలు తమ సుదీర్ఘమైన రెక్కలని అల్లారుస్తూ అడ్డొస్తున్న కఠిన శిలని కసి తీరా మోదుతున్నాయి.
ఆ విధంగా శీలాజాలకే పరిమితమైన మర్త్యప్రపంచం అంతా ఒక్కసారిగా ఊపిరి పోసుకుని నా ఊహాలోకంలో కదలాడసాగింది. భూమి మీద మానవ అవతరణకి పూర్వం పరిస్థితులు ఎలా ఉండేవి అన్న విషయం గురించి అధ్యాత్మిక గ్రంథాలలో ఇవ్వబడ్డ వివరణల మీదకి ఎందుకో ఓ సారి మనసు పోయింది. జీవ సృష్టికి పూర్వపు భూమిని నా ఊహలు తాకడానికి ప్రయత్నించాయి. ముందుగా స్తన్య జీవాలు మాయం అయ్యాయి. తరువాత పక్షులు. ఆ తరువాత రెండవ కాలానికి చెందిన సరీసృపాలు మాయం. నెమ్మదిగా చేపలు మొదలైన జలచరాలు మాయం. క్రమంగా సంక్రమణ దశకి చెందిన వృక్షసదృశ (zoophytes) జంతువులు కూడా అదృశ్యం అయ్యాయి. ఇక భూమి మీద మిగిలిన ఏకైక జీవి నేనే. లోకంలోని జీవశక్తి అంతా నా గుండె స్పందన లోనే కేంద్రీకృతమై ఉన్నట్టు అనిపించింది.
ఇక ఋతువులు లేవు. వాతావరణ భేదాలు లేవు. భూమి మీద ఉష్ణోగ్రతలు పెరిగి పెరిగి సూర్యతాపంలో పోటీ పడుతున్నాయి.
(ఇంకా వుంది)
చిన్నప్పుడు చదువుకున్న అంకగణితం బట్టి ప్రతీ భిన్నాన్ని అనంత, ఆవర్తక దశాంశ సంఖ్య రూపంలో రాయొచ్చునని మనకి తెలుసు.
ఉదాహరణకి,
2/3 = 0.666666… = 0.(6)
(బ్రాకెట్లలో ఉన్న సంఖ్య పదే పదే ఆవృత్తమవుతుందని ఉద్దేశం)
అలాగే,
3/7 = 0.428571
428571
… = 0.(428571)…
మొత్తం భిన్నాల సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని పైన నిరూపించాం. అంటే మొత్తం ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల (periodic decimal fractions) సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని అర్థమవుతోంది. కాని ఓ గీత మీద ఉండే బిండువులు అన్నిటినీ ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల రూపంలో వ్యక్తం చెయ్యలేం. నిజానికి అధిక శాతం దశాంశ సంఖ్యలలో ఆవర్తకత ఉండనే ఉండదు. అలాంటి పక్షంలో సంఖ్యలని వరుసక్రమంలో అమర్చడం సాధ్యం కాధని సులభంగా నిరూపించొచ్చు.
ఐతే అందుకు విరుద్ధంగా గీత మీద ఉండే బిందులకి సంబంచిన దశాంశ సంఖ్యలని వరుస క్రమంలో పూర్ణ సంఖ్యలకి జతగా అమర్చవచ్చనే అనుకుందాం. అలాంటి పట్టిక ఈ కింది చిత్రంలో లాగా ఉంటుందని అనుకుందాం.
అయితే అనంతమైన సంఖ్యలని, వాటిలో ఒక్కొక్క సంఖ్యకి అనంతమైన దశాంశ స్థానాలు ఉండేలా రాసివ్వడం వాస్తవంలో సాధ్యం కాదు. పోనీ అలాంటి పట్టిక లాంటిది ఉన్నా, దాన్ని నిర్మించిన రచయిత ఏదో సామాన్యమైన సూత్రాన్ని వాడి ఆ సంఖ్యలకి చెందిన దశాంశ రూపాన్ని లెక్కించి ఉంటాడని అనుకోవాలి. అలాంటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే మనం ఊహించదగ్గ ప్రతీ దశాంశ సంఖ్య ఆ పట్టికలో ఎక్కడో ఒక చోట కనిపించాలి.
అయితే అలాంటి నిర్మాణం అసంభవం అని నిరూపించడం పెద్ద కష్టం కాదు. ఎందుకంటే పైన అనుకున్న పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు. అంతే కాదు, అలాంటి వాటిని అనంతమైన సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు.
పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలలో ఒక సంఖ్యని ఎలా రాయొచ్చో ముందు చూద్దాం.
ఉదాహరణకి ఈ కింది దశాంశ సంఖ్యని గమనిద్దాం. ఈ సంఖ్యలోని మొదటి దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకె, పట్టికలోని మొదటి సంఖ్య (N1) లో మొదటి దశాంశ సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి.
అలాగే ఈ సంఖ్యలోని రెండవ దశాంశ స్థానంలోని అంకె, పట్టిక లోని రెండవ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలో ని దశాంస స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి. ఇలా ఒక్కొక్క దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకెలని నిర్దేశించవచ్చు. అలా నిర్మించబడ్డ దశాంశ సంఖ్య పైన పట్టికలోని దశాంశ సంఖ్యలు వేటితోనూ సమానం కాదని సులభంగా నిరూపించవచ్చు. మనకి వ్యతిరేకించడానికి ఎవరైనా మనం అనుకున్నసంఖ్య నిజానికి పైన పట్టికలో 137 వ స్థానంలో ఉంటుందని అన్నారంటే, అది తప్పని ఇట్టే నిరూపించొచ్చు. ఎందుకంటే 137 వ దశాంశ స్థానంలో ఆ రెండు సంఖ్యలూ వేరని సులభంగా చెప్పొచ్చు.
కనుక ఒక గీత మీద ఉండే బిందువులని వ్యక్తం చేసే సంఖ్యలకి, పూర్ణ సంఖ్యలకి మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ పద్ధతిలో సంబంధాన్ని కూర్చడం అసంభవం అని నిరూపించొచ్చు. అంటే గీత మీద బిందువుల అనంతత, పూర్ణ సంఖ్యల అనంతత కన్నా పెద్దది అన్నమాట.
ఇంతవరకు మనం గీత మీద బిందువులు అన్నప్పుడు, 1 అంగుళం పొడవున్న గీత మీద బిందువులని ఉద్దేశించి మాట్లాడాం. అందుకు బదులుగా ఎంత పొడవు ఉన్న గీతనైనా తీసుకోవచ్చు. గీత పొడవు ఎంతైనా పై ఫలితం వర్తిస్తుంది. ఎందుకంటే గీత పొడవు అంగుళం అయినా, అడుగు అయినా, మైలు అయినా అందులోని బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే.
అది నిరూపించడానికి ఈ కింది చిత్రం చూడండి.
ఈ చిత్రంలో AB మరియు AC అనే రెండు గీతలలోని బిందువుల మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపిస్తున్నాం. అది చెయ్యడానికి AB మీద ఉన్న ప్రతీ బిందువు లోంచి BC కి సమాంతరంగా ఉండేలా గీతలు గీస్తూ పోవాలి. అలా గీసిన ప్రతీ గీత AC ని ఒక చోట కలుసుకుంటుంది. ఇలాంటి నిర్మాణం సహాయంతో AB మీద బిందువులకి, AC మీద బిందువులకి మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. కనుక AB, AC లలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే నని నిరూపించగలిగాం.
ఇంత కన్నా విపరీతమైన ఓ ఫలితాన్ని నిరూపిద్దాం. ఒక సమతలం (plane) మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, ఓ సరళ రేఖ మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.
ఈ విషయాన్ని నిరూపించడానికి అంగుళం పొడవున్న AB అనే ఓ గీతని, అంగుళం భుజం గల CDEF అనే ఓ చదరాన్ని తీసుకుందాం. ఈ రెండు వస్తువుల మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటేనని నిరూపిద్దాం.
ఉదాహరణకి గీత మీద ఉండే ఓ బిందువుకి సంబంధించిన సంఖ్య విలువ 0.75120386 అనుకుందాం. ఈ దశాంశ సంఖ్యలో బేసి, సరి స్థానాలలో ఉన్న అంకెలని తీసుకుని రెండు వేరు వేరు దశాంశ సంఖ్యలని ఇలా తయారు చెయ్యవచ్చు.
బేసి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.7108…
సరి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.5236…
ఈ రెండు విలువలకి సంబంధించిన దూరాలని తీసుకుని, చదరంలో అడ్డుగాను, నిలువుగాను కొలిచి, ఓ బిందువుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
ఇదే ప్రక్రియని వ్యతిరేక దిశలో కూడా చెయ్యొచ్చు. చదరంలో ఉదాహరణకి ఓ బిందువుని తీసుకుని, అడ్డు, నిలువు దిశలలో దాని దూరాలని రెండు దశాంశ సంఖ్యలుగా వ్యక్తం చేస్తే,
0.4835…
0.9907…
ఈ రెండిటినీ మేళవించి, ఓ కొత్త దశాంశ సంఖ్యని ఈ విధంగా తయారు చెయ్యొచ్చు.
0.49893057…
ఈ ప్రక్రియ చేత రెండు బిందు సమూహాల మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ అనే తీరులో సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. గీత మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి, దాని జంట బిందువుని చదరం మీద కనిపెట్టొచ్చు. అలాగే చదరం మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి దాని జంట బిందువుని గీత మీద కనుక్కోవచ్చు. కనుక కాంటర్ నియమం ప్రకారం, గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య, సమతలం మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.
(ఇంకా వుంది)
ఉదాహరణకి,
2/3 = 0.666666… = 0.(6)
(బ్రాకెట్లలో ఉన్న సంఖ్య పదే పదే ఆవృత్తమవుతుందని ఉద్దేశం)
అలాగే,
3/7 = 0.428571
428571
… = 0.(428571)…
మొత్తం భిన్నాల సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని పైన నిరూపించాం. అంటే మొత్తం ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల (periodic decimal fractions) సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యతో సమానం అని అర్థమవుతోంది. కాని ఓ గీత మీద ఉండే బిండువులు అన్నిటినీ ఆవర్తక దశాంశ భిన్నాల రూపంలో వ్యక్తం చెయ్యలేం. నిజానికి అధిక శాతం దశాంశ సంఖ్యలలో ఆవర్తకత ఉండనే ఉండదు. అలాంటి పక్షంలో సంఖ్యలని వరుసక్రమంలో అమర్చడం సాధ్యం కాధని సులభంగా నిరూపించొచ్చు.
ఐతే అందుకు విరుద్ధంగా గీత మీద ఉండే బిందులకి సంబంచిన దశాంశ సంఖ్యలని వరుస క్రమంలో పూర్ణ సంఖ్యలకి జతగా అమర్చవచ్చనే అనుకుందాం. అలాంటి పట్టిక ఈ కింది చిత్రంలో లాగా ఉంటుందని అనుకుందాం.
అయితే అనంతమైన సంఖ్యలని, వాటిలో ఒక్కొక్క సంఖ్యకి అనంతమైన దశాంశ స్థానాలు ఉండేలా రాసివ్వడం వాస్తవంలో సాధ్యం కాదు. పోనీ అలాంటి పట్టిక లాంటిది ఉన్నా, దాన్ని నిర్మించిన రచయిత ఏదో సామాన్యమైన సూత్రాన్ని వాడి ఆ సంఖ్యలకి చెందిన దశాంశ రూపాన్ని లెక్కించి ఉంటాడని అనుకోవాలి. అలాంటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే మనం ఊహించదగ్గ ప్రతీ దశాంశ సంఖ్య ఆ పట్టికలో ఎక్కడో ఒక చోట కనిపించాలి.
అయితే అలాంటి నిర్మాణం అసంభవం అని నిరూపించడం పెద్ద కష్టం కాదు. ఎందుకంటే పైన అనుకున్న పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు. అంతే కాదు, అలాంటి వాటిని అనంతమైన సంఖ్యలని సృష్టించొచ్చు.
పట్టికలో లేని దశాంశ సంఖ్యలలో ఒక సంఖ్యని ఎలా రాయొచ్చో ముందు చూద్దాం.
ఉదాహరణకి ఈ కింది దశాంశ సంఖ్యని గమనిద్దాం. ఈ సంఖ్యలోని మొదటి దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకె, పట్టికలోని మొదటి సంఖ్య (N1) లో మొదటి దశాంశ సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి.
అలాగే ఈ సంఖ్యలోని రెండవ దశాంశ స్థానంలోని అంకె, పట్టిక లోని రెండవ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలో ని దశాంస స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యతో సమానం కాకుండా చూసుకోవాలి. ఇలా ఒక్కొక్క దశాంశ స్థానంలో ఉన్న అంకెలని నిర్దేశించవచ్చు. అలా నిర్మించబడ్డ దశాంశ సంఖ్య పైన పట్టికలోని దశాంశ సంఖ్యలు వేటితోనూ సమానం కాదని సులభంగా నిరూపించవచ్చు. మనకి వ్యతిరేకించడానికి ఎవరైనా మనం అనుకున్నసంఖ్య నిజానికి పైన పట్టికలో 137 వ స్థానంలో ఉంటుందని అన్నారంటే, అది తప్పని ఇట్టే నిరూపించొచ్చు. ఎందుకంటే 137 వ దశాంశ స్థానంలో ఆ రెండు సంఖ్యలూ వేరని సులభంగా చెప్పొచ్చు.
కనుక ఒక గీత మీద ఉండే బిందువులని వ్యక్తం చేసే సంఖ్యలకి, పూర్ణ సంఖ్యలకి మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ పద్ధతిలో సంబంధాన్ని కూర్చడం అసంభవం అని నిరూపించొచ్చు. అంటే గీత మీద బిందువుల అనంతత, పూర్ణ సంఖ్యల అనంతత కన్నా పెద్దది అన్నమాట.
ఇంతవరకు మనం గీత మీద బిందువులు అన్నప్పుడు, 1 అంగుళం పొడవున్న గీత మీద బిందువులని ఉద్దేశించి మాట్లాడాం. అందుకు బదులుగా ఎంత పొడవు ఉన్న గీతనైనా తీసుకోవచ్చు. గీత పొడవు ఎంతైనా పై ఫలితం వర్తిస్తుంది. ఎందుకంటే గీత పొడవు అంగుళం అయినా, అడుగు అయినా, మైలు అయినా అందులోని బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే.
అది నిరూపించడానికి ఈ కింది చిత్రం చూడండి.
ఈ చిత్రంలో AB మరియు AC అనే రెండు గీతలలోని బిందువుల మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపిస్తున్నాం. అది చెయ్యడానికి AB మీద ఉన్న ప్రతీ బిందువు లోంచి BC కి సమాంతరంగా ఉండేలా గీతలు గీస్తూ పోవాలి. అలా గీసిన ప్రతీ గీత AC ని ఒక చోట కలుసుకుంటుంది. ఇలాంటి నిర్మాణం సహాయంతో AB మీద బిందువులకి, AC మీద బిందువులకి మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. కనుక AB, AC లలో ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటే నని నిరూపించగలిగాం.
ఇంత కన్నా విపరీతమైన ఓ ఫలితాన్ని నిరూపిద్దాం. ఒక సమతలం (plane) మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, ఓ సరళ రేఖ మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.
ఈ విషయాన్ని నిరూపించడానికి అంగుళం పొడవున్న AB అనే ఓ గీతని, అంగుళం భుజం గల CDEF అనే ఓ చదరాన్ని తీసుకుందాం. ఈ రెండు వస్తువుల మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య ఒక్కటేనని నిరూపిద్దాం.
ఉదాహరణకి గీత మీద ఉండే ఓ బిందువుకి సంబంధించిన సంఖ్య విలువ 0.75120386 అనుకుందాం. ఈ దశాంశ సంఖ్యలో బేసి, సరి స్థానాలలో ఉన్న అంకెలని తీసుకుని రెండు వేరు వేరు దశాంశ సంఖ్యలని ఇలా తయారు చెయ్యవచ్చు.
బేసి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.7108…
సరి స్థానాలలోని అంకెలని తీసుకుంటే వచ్చే సంఖ్య = 0.5236…
ఈ రెండు విలువలకి సంబంధించిన దూరాలని తీసుకుని, చదరంలో అడ్డుగాను, నిలువుగాను కొలిచి, ఓ బిందువుగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
ఇదే ప్రక్రియని వ్యతిరేక దిశలో కూడా చెయ్యొచ్చు. చదరంలో ఉదాహరణకి ఓ బిందువుని తీసుకుని, అడ్డు, నిలువు దిశలలో దాని దూరాలని రెండు దశాంశ సంఖ్యలుగా వ్యక్తం చేస్తే,
0.4835…
0.9907…
ఈ రెండిటినీ మేళవించి, ఓ కొత్త దశాంశ సంఖ్యని ఈ విధంగా తయారు చెయ్యొచ్చు.
0.49893057…
ఈ ప్రక్రియ చేత రెండు బిందు సమూహాల మధ్య ‘ఒకటికి ఒకటి’ అనే తీరులో సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. గీత మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి, దాని జంట బిందువుని చదరం మీద కనిపెట్టొచ్చు. అలాగే చదరం మీద ఉండే ప్రతీ బిందువుకి దాని జంట బిందువుని గీత మీద కనుక్కోవచ్చు. కనుక కాంటర్ నియమం ప్రకారం, గీత మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్య, సమతలం మీద ఉండే బిందువుల సంఖ్యతో సమానం.
(ఇంకా వుంది)
ఏ ప్రకృతి శక్తి ఇంత బృహత్తరమైన వృక్ష సంపదని సృష్టించి వుంటుందో అర్థంకావడం లేదు. భూమి ఇంకా రూపుదిద్దుకుంటున్న తొలి దశలలో, వేడిమి, తేమల సంయుక్త ప్రభావం వల్ల భూమి ఉపరితలం మీద వికాసం చెందుతున్న వృక్షప్రపంచం ఎలా ఉండేదో?
సాయంత్రం అయ్యింది. కాని నిన్నటి లాగానే గాలిలో ఎల్లెడలా ఉండే అవిస్పష్టమైన తేజం అలాగే వుంది. ఆ స్థిరమైన తేజం ఆధారంగా మా యాత్ర కొన సాగుతోంది.
భోజనం తరువాత తెరచాప స్తంభం పక్కనే చేరగిలబడి నెమ్మదిగా ఏవేవో పగటికలలు కంటూ నిద్రలోకి జారుకున్నాను.
గాలి బలంగా వీస్తుంటే మా తెప్ప వేగంగా అలల మీద ముందుకు దూసుకుపోతోంది. ఓడ సరంగు హన్స్ పడవ గమనాన్ని నియంత్రిస్తున్నాడు.
గ్రౌబెన్ రేవు ని విడిచిన దగ్గర్నుండి మా యాత్రకి సంబంధించిన యాత్రాపత్రికని సకాలంలో రాసే పనిని మామయ్య నాకు అప్పగించాడు. కనిపించిన ప్రతీ విశేషాన్ని అందులో నమోదు చెయ్యాలి. గాలి వీచే దిశ, పడవ వేగం, గతి – మొదలైన వన్నీ పొల్లు పోకుండా ఆ పత్రికలో రాయాలి.
ఆగస్టు 14, శుక్రవారం – గాలి స్థిరంగా వీస్తోంది. ఉత్తర-పశ్చిమ దిశలో. మా తెప్ప సరళ రేఖలో ముందుకి సాగిపోతోంది. గాలి వీచే దిశలో తీరం ముప్పై కోసుల దూరంలో వుంది. కనుచూపు మేరలో ఏమీ కనిపించడం లేదు. చుట్టూ కాంతి తీవ్రతలో ఏ మార్పూ లేదు. వాతావరణం అనుకూలంగానే వుంది. ఆకాశంలో మబ్బులు ఉన్నాయి. వాటి చుట్టూ ప్రకాశం అలముకుని వుంది. కరుగుతున్న వెండిలా మేఘావరణం మిలమిల లాడుతోంది. ఉష్ణోగ్రత 89 డిగ్రీల ఫారెన్హీట్.
మధ్యాహ్నం అయ్యింది. హన్స్ ఓ చిన్న గేలం లాంటిది తయారు చేశాడు. దాని చివర కాస్త మాంసం పెట్టి దాన్ని సముద్రం లోకి విసిరాడు. ఓ రెండు గంటల పాటు ఏమీ చిక్కలేదు. ఇంత విశాల జలాశయంలో జలచరాలే లేవా? అలా అనుకుంటుండగానే గేలానికి ఏదో తలిగినట్టయ్యింది. హన్స్ గేలం తగిలించిన తాడుని పైకి లాగాడు. గేలానికి ఓ జీవం చిక్కుకుని గిలగిలలాడుతోంది.
“స్టర్జన్ చేప, ఓ బుల్లి స్టర్జన్ చేప!” ఉత్సాహంగా అరిచాను.
ప్రొఫెసరు ఆ చేపని ఓ సారి పరిశీలనగా చూశాడు. నాతో విబేధిస్తున్నట్టుగా తల అడ్డుగా ఊపాడు.
ఈ చేప తల చదునుగా వుంది గాని ముందులో గుండ్రంగా వుంది. దాని శరీరం ముందు భాగంలో కూసైన కోణాల్లాంటి పొలుసులు ఉన్నాయి. ఇరు పక్కల రెండు పెద్ద వాజాలు (gills) ఉన్నాయి. పెద్దగా తోక లాంటిదేమీ లేదు. చూడబోతే ఇది స్టర్జన్ జాతి చేపే గాని వివరాలలో ఎన్నో తేడాలు కనిపిస్తున్నాయి. ఆ చేపని క్లుప్తంగా పరిశీలించిన మీదట మామయ్య తన అభిప్రాయాన్ని ఇలా చాటాడు.
“ఈ చేప ఓ వినష్ట జీవ జాతికి చెందిన చేప. డెవోనియన్ రూపవిన్యాసాలకి (Devonian formations) చెందిన శిలాజాలలో మాత్రమే దీని ఆనవాళ్లు కనిపిస్తాయి.”
“ఏంటి మామయ్యా నువ్వనేది? ఆదిమ యుగాలకి చెందిన జీవాన్ని ఇప్పుడు సజీవంగా చూస్తున్నామా?”
“ఔను. అంతే కాదు. ఈ చేపకి ప్రస్తుతం సజీవంగా ఉన్న జీవజాతులలో వేటితోనూ సంబంధం లేదు. ఇలాంటి సజీవ నమూనా చేతిలో పడడం ప్రకృతి శాస్త్రవేత్తలు మహా ప్రసాదంలా భావిస్తారు.”
“ఇంతకీ దీని జాతి పేరేంటి?”
“ఇది గానాయిడ్ ల (ganoids) కోవకి (order) చెందింది. సెఫలో స్పైడే (Cephalispidae) కుటుంబానికి (family) చెందింది. టెరిక్తిస్ (pterychthys) జీవజాతికి (species) చెందింది. మరో విశేషం ఏంటంటే భూగర్భజలాలకి చెందిన జీవరాశులకి చెందిన ఓ సామాన్య లక్షణం దీనికి కూడా వుంది. ఇది గుడ్డి చేప. అంతే కాదు. దీనికసలు కళ్లే లేవు.”
(ఇంకా వుంది)
కావాలంటే ఆ విధానాన్ని ప్రయోగించి చూస్తే మీ అభిప్రాయం తప్పని తెలుస్తుంది. ఈ కింది పట్టికలో మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యలకి, సరి సంఖ్యలకి మధ్య ‘ఒకదానికొకటి’ అనే తీరులో సంబంధాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడం జరిగింది.
ఆ విధంగా అనంతాలని పోల్చడానికి మనం వాడిన పద్ధతి బట్టి మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల అనంతం, మొత్తం సరి సంఖ్యల అనంతం రెండూ ఒక్కటేనని నిరూపించగలిగాం. ఇక్కడ ఏదో తిరకాసు ఉన్నట్టు అనిపిస్తోంది. ఎందుకంటే మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సమితిలో సరి సంఖ్యలు ఒక భాగం మాత్రమే. మరి మొత్తం, భాగం రెండూ ఒక్కటి ఎలా అవుతాయి? అయితే ఇక్కడ మనం అనంతాలతో వ్యవహరిస్తున్నామని మర్చిపోకూడదు. మిత రాశుల విషయంలో వర్తించే సూత్రాలు అనంత రాశులకి వర్తించవని గుర్తించుకోవాలి.
నిజానికి అనంతాల ప్రపంచంలో పూర్ణం భాగంతో సమానం కావచ్చు! ఈ సత్యం ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణితవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ చెప్పిన ఓ కథలో చక్కగా వ్యక్తమవుతుంది. అనంతం గురించి ఆయన ఇచ్చిన ఓ ఉపన్యాసంలో అనంత సంఖ్యల యొక్క విచిత్ర లక్షణాల గురించి ఇలా వర్ణించాడట –
“ఓ పెద్ద హోటల్ లో మిత సంఖ్యలో గదులు ఉన్నాయని అనుకుందాం. గదులు అన్నిట్లోను అతిథులు ఉన్నారు. ఇంతలో ఓ కొత్త అతిథి వస్తాడు. ‘క్షమించాలి. గదులు ఖాళీ లేవు,’ అంటాడు ప్రొప్రయిటర్. ఇప్పుడు అనంతమైన గదులు ఉన్న హోటల్ ని ఊహించుకోండి. ఇందులో కూడా గదులన్నీ నిండిపోయాయి. ఈ సారి కూడా ఓ కొత్త అతిథి వచి గది కోసం అడుగుతాడు.”
“ ‘దాందేం భాగ్యం? క్షణంలో ఏర్పాటు చేస్తాను,’ అంటాడు ప్రొప్రయిటర్. అప్పుడు N1 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N2 గదికి మార్చుతాడు. N2 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N3 గదికి మార్చుతాడు. ఇలా మార్చుతూ పోయాక N1 గది ఖాళీ అవుతుంది… ఆ గదిని కొత్త అతిథికి ఇస్తాడు.”
“ఇప్పుడు అనంతమైన గదులు ఉన్న హోటల్ ని మళ్లీ ఊహించుకుందాం. ఇందులో కూడా గదులన్నీ నిండిపోతాయి. అయితే ఈ సారి అనంత సంఖ్యలో అతిథులు వచ్చి గదుల కోసం అడుగుతారు.”
“తప్పకుండా. ఒక్క నిముషం ఆగండి,” అంటాడు ప్రొప్రయిటర్.
“ఈ సారి N1 గదిలో ఉన్న వ్యక్తిని N2 కి మార్చుతాడు. N2 లో ఉన్న వ్యక్తిని N4 కి మార్చుతాడు. N4 లో ఉన్న వ్యక్తిని N6 కి మార్చుతాడు. ఇలా చేసినప్పుడు బేసి సంఖ్య గల గదులన్నీ ఖాళీ అవుతాయి. ఆ గదులలో అనంత సంఖ్యలో ఉన్న కొత్త అతిథులు దిగిపోతారు.”
హిల్బర్ట్ వర్ణించిన విషయాలని ఊహించడం అంత సులభం కాదు. కాని తార్కికంగా చూస్తే ఒక్క విషయం మాత్రం అర్థమవుతుంది. మిత రాశుల విషయంలో మనం గమనించే నియమాలు అనంత రాశుల విషయంలో వర్తించవని గుర్తుంచుకోవాలి.
ఇందాక కాంటర్ అవలంబించిన పద్ధతి ఉపయోగించి మొత్తం భిన్నాల (fractions) సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య ఒక్కటే నని నిరూపించొచ్చు. ఈ కింది పద్ధతిని ఉపయోగించి సామాన్య భిన్నాలు అన్నిటినీ ఓ వరుసక్రమంలో ఇలా అమర్చుదాం.
ముందుగా లవం, హారం యొక్క మొత్తం 2 అయిన భిన్నాలని తీసుకుందాం. అలాంటిది నిజానికి ఒక్కటే వుంది. అది – 1/1.
తరువాత లవం, హారం యొక్క మొత్తం 3 అయిన భిన్నాలని తీసుకోవాలి. అలాంటి భిన్నాలు రెండే వున్నాయి – 2/1, ½.
తరువాత లవ హారాల మొత్తం 4 అయిన భిన్నాలు తీసుకోవాలి. అలాంటివి మూడు వున్నాయి. అవి – 3/1, 2/2, 1/3.
ఇలా వరుసగా రాసుకుంటూ పోతుంటే భిన్నాల అనంత శ్రేణి ఏర్పడుతుంది. దాని కిందనే పూర్ణాంకాల అనంత శ్రేణిని రాయాలి. ఆ విధంగా ఈ రెండు అనంత శ్రేణులలో రాశుల మధ్య ‘ఒకదానికొకటి’ అన్నట్టుగా సంబంధాన్ని ఏర్పాటు చెయ్యొచ్చు. అంటే పూర్ణాంకాల అనంతం, భిన్నాల అనంతం ఒక్కటేనన్నమాట!
అప్పుడు మీరు అనొచ్చు. “అంతా బానే వుంది గాని మాస్టారూ! అనంతాలన్నీ మరి ఒక్కటే అయితే వాటిని శ్రమ పడి పోల్చడం ఎందుకు?”
కాదు, అనంతాలన్నీ ఒక్కటి కాదు. కావాలంటే భిన్నాల శ్రేణి కన్నా, పూర్ణ సంఖ్యల శ్రేణి కన్నా పెద్దదైన అనంతాన్ని ముందు ముందు పరిచయం చేసుకుంటాం.
నిజానికి ఓ గీత మీద ఉండే మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య కన్నా పెద్దదని నిరూపించొచ్చు. పూర్ణ సంఖ్యల కన్నా, భిన్నాల కన్నా ఓ గీతలోని బిందువుల సంఖ్య పెద్దది.
కావాలంటే అంగుళం పొడవున్న గీత మీద బిందువులకి, పూర్ణ సంఖ్యల శ్రేణికి మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
ఓ గీత మీద ప్రతీ బిందువుని, ఆ గీత యొక్క ఒక కొస నుండి ఆ బిందువు యొక్క దూరం పరంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఆ దూరాన్ని సాధారణంగా ఓ అనవధికమైన దశాంశ భిన్నంగా ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి –
0.7350624780056….
లేదా,
0.38250375632…
ఇప్పుడు అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలని, మొత్తం పూర్ణ సంఖ్య శ్రేణితో పోల్చి చూడాలి.
అసలు ఈ అనంత దశాంశ భిన్నాలకి, మామూలుగా లవ, హారాలతో వ్యక్తం చేసే (2/3 మరియు 7/9 లాంటి) భిన్నాలకి మధ్య తేడా ఏంటి?
(ఇంకా వుంది)
చిత్రం ఇక్కడి నుండి -
http://sites.psu.edu/musingsofamathnerd/2012/10/04/40/
32 వ అధ్యాయం
భూమి లోతుల్లో అద్భుతాలు
ఆగస్టు 13 తరీఖున అందరం తెల్లారే లేచిపోయాం. మునుపటి కన్నా వేగంగా, సులభంగా ప్రయాణించే కొత్త పద్ధతి అవలంబించాం.
తెరచాప కట్టిన కట్టె కోసం రెండు పొడవాటి కట్టెలని కలిపి కట్టాం. మేం వాడే దుప్పట్లలో ఒకటి తెరచాపగా వాడాము. బోలెడంత త్రాడు వాడి తెప్పని, తెరచాపని పకడ్బందీగా, ధృఢంగా నిర్మించాం.
వెచ్చాలు, సామాన్లు, పరికరాలు, తుపాకులు, రాళ్ల మధ్య నుండి ఊరే మంచినీటితో నింపిన తిత్తులు – అన్నీ మా చిన్ని పడవ మీదకి ఎక్కించాం. సరిగ్గా ఆరు గంటల కల్లా బయల్దేరాలని ప్రొఫెసర్ సంజ్ఞ చేశాడు. హన్స్ పడవకి ఓ చుక్కాని తగిలించాడు. లంగరు ఎత్తబడింది. పడవ నీట్లోకి ప్రవేశించింది. కాసేపట్లోనే మా పడవ చిట్టి కెరటాల మీద సునాయాసంగా జారుతూ ముందుకు సాగిపోయింది. ఏ కొత్త ప్రదేశానికి వెళ్లినా ఆ ప్రదేశానికి ఏదో పేరు పెట్టడం మామయ్యకి పరిపాటి అయిపోయింది. ఇప్పుడు మేం విడిచి పెడుతున్న రేవుకి నా పేరు పెడతానన్నాడు.
“నాకు అంత కన్నా మంచి ఆలోచన ఉంది,” అన్నాన్నేను. “గ్రౌబెన్ అని పెడదాం. గ్రౌబెన్ రేవు. వింటానికి బావుంది. మ్యాపు మీద కూడా బావుంటుంది.”
“సరే అయితే. గ్రౌబెన్ రేవు అనే పెడదాం,” మామయ్య ఒప్పుకున్నాడు.
ఆ విర్లాండ్* వయ్యారి పేరు ఈ విధంగా చిరస్మరణీయం కావడం నాకెంతో సంతోషం కలిగించింది.
(* విర్లాండ్ అనేది జర్మనీలో ఓ చిన్న ప్రాంతం. ఏక్సెల్ ప్రియురాలు గ్రౌబెన్ ఆ ప్రాంతానికి చెందింది. – అనువాదకుడు)
ఉత్తర-పశ్చిమ దిశ నుండి గాలి హోరుమని వీస్తోంది. మా పడవని జోరుగా ముందుకి తోస్తోంది.
మామయ్య మా చలనం మీద లెక్కలు కడుతున్నాడు. ఈ లెక్కన ఇరవై నాలుగు గంటల్లో ముప్పై కోసులు ప్రయాణించగలం అన్నాడు. త్వరలోనే ఆవలి తీరాన్ని చేరుకోగలం అన్నాడు.
నేను సమాధానం చెప్పలేదు. వెళ్లి పడవ ముందు భాగంలో కూర్చున్నాను. దిక్చక్రం వద్ద ఉత్తర తీరం నెమ్మదిగా కనుమరుగవుతోంది. తూర్పు, పశ్చిమ తీర భాగాలు కూడా మెల్లగా దూరం అవుతూ వీడ్కోలు చెప్తున్నాయి. ఇక ఎదుట హద్దులేని సముద్రమే ఆహ్వానిస్తోంది. పైన నల్లని మహామేఘాల నీడలు నీట్లో పడి నీరు నల్లబారినట్టు అనిపిస్తోంది. ఆగాగి మెరిసే తటిల్లతా కాంతులు పడవ వెనుక ఎగసి పడుతున్న తుంపర మీద పడగా, మా పడవ వెనుక ఓ చిత్రమైన వెలుగుబాట ఏర్పడినట్టు అనిపిస్తోంది. కాసేపట్లో తీరం పూర్తిగా మాయమైపోయింది. కనుచూపు మేరలో ఒక్క వస్తువు కూడా కనిపించడం లేదు. మా పడవ వెనుక వెలిగే నురగ తెరగే లేకపోయుంటే పడవ కదుల్తోందో లేదో కూడా తెలుసుకోలేని పరిస్థితి నెలకొంది.
పన్నెండు గంటల ప్రాంతానికి మా చుట్టూ దట్టమైన సముద్రపు నాచు కనిపించింది. ఈ సముద్రపు నాచు సత్తా నాకు కొత్తేమీ కాదు. పన్నెండు వేల అడుగుల లోతులో పెరుగుతాయి, నాలుగొందల వాతావరణాల పీడనం వద్ద పునరుత్పత్తి చెందుతాయి. పెద్ద పెద్ద ఓడలనే ఆపగలిగేటంత బలంగా, ఏపుగా ఎదుగుతాయి. కాని ఇక్కడ ఈ లిండెన్ బ్రాక్ సముద్రం మీద తేలుతూ కనిపిస్తున్న ఈ నాచు గోడల లాంటి నాచుని నేను ఇంతకు ముందు ఎన్నడూ చూడలేదు.
ఈ నాచుగోడలు ఆకుపచ్చని మహా సర్పాలలా సముద్రపు ఉపరితలం మీద మెలికలు తిరుగుతూ పోతున్నాయి. ఆ గోడల వెంటే మా బుల్లి పడవ వాటి అంతు ఎక్కడుందో తడుముకుంటూ నెమ్మదిగా ముందుకి సాగిపోతోంది.
(ఇంకా వుంది)
భూమి లోతుల్లో అద్భుతాలు
ఆగస్టు 13 తరీఖున అందరం తెల్లారే లేచిపోయాం. మునుపటి కన్నా వేగంగా, సులభంగా ప్రయాణించే కొత్త పద్ధతి అవలంబించాం.
తెరచాప కట్టిన కట్టె కోసం రెండు పొడవాటి కట్టెలని కలిపి కట్టాం. మేం వాడే దుప్పట్లలో ఒకటి తెరచాపగా వాడాము. బోలెడంత త్రాడు వాడి తెప్పని, తెరచాపని పకడ్బందీగా, ధృఢంగా నిర్మించాం.
వెచ్చాలు, సామాన్లు, పరికరాలు, తుపాకులు, రాళ్ల మధ్య నుండి ఊరే మంచినీటితో నింపిన తిత్తులు – అన్నీ మా చిన్ని పడవ మీదకి ఎక్కించాం. సరిగ్గా ఆరు గంటల కల్లా బయల్దేరాలని ప్రొఫెసర్ సంజ్ఞ చేశాడు. హన్స్ పడవకి ఓ చుక్కాని తగిలించాడు. లంగరు ఎత్తబడింది. పడవ నీట్లోకి ప్రవేశించింది. కాసేపట్లోనే మా పడవ చిట్టి కెరటాల మీద సునాయాసంగా జారుతూ ముందుకు సాగిపోయింది. ఏ కొత్త ప్రదేశానికి వెళ్లినా ఆ ప్రదేశానికి ఏదో పేరు పెట్టడం మామయ్యకి పరిపాటి అయిపోయింది. ఇప్పుడు మేం విడిచి పెడుతున్న రేవుకి నా పేరు పెడతానన్నాడు.
“నాకు అంత కన్నా మంచి ఆలోచన ఉంది,” అన్నాన్నేను. “గ్రౌబెన్ అని పెడదాం. గ్రౌబెన్ రేవు. వింటానికి బావుంది. మ్యాపు మీద కూడా బావుంటుంది.”
“సరే అయితే. గ్రౌబెన్ రేవు అనే పెడదాం,” మామయ్య ఒప్పుకున్నాడు.
ఆ విర్లాండ్* వయ్యారి పేరు ఈ విధంగా చిరస్మరణీయం కావడం నాకెంతో సంతోషం కలిగించింది.
(* విర్లాండ్ అనేది జర్మనీలో ఓ చిన్న ప్రాంతం. ఏక్సెల్ ప్రియురాలు గ్రౌబెన్ ఆ ప్రాంతానికి చెందింది. – అనువాదకుడు)
ఉత్తర-పశ్చిమ దిశ నుండి గాలి హోరుమని వీస్తోంది. మా పడవని జోరుగా ముందుకి తోస్తోంది.
మామయ్య మా చలనం మీద లెక్కలు కడుతున్నాడు. ఈ లెక్కన ఇరవై నాలుగు గంటల్లో ముప్పై కోసులు ప్రయాణించగలం అన్నాడు. త్వరలోనే ఆవలి తీరాన్ని చేరుకోగలం అన్నాడు.
నేను సమాధానం చెప్పలేదు. వెళ్లి పడవ ముందు భాగంలో కూర్చున్నాను. దిక్చక్రం వద్ద ఉత్తర తీరం నెమ్మదిగా కనుమరుగవుతోంది. తూర్పు, పశ్చిమ తీర భాగాలు కూడా మెల్లగా దూరం అవుతూ వీడ్కోలు చెప్తున్నాయి. ఇక ఎదుట హద్దులేని సముద్రమే ఆహ్వానిస్తోంది. పైన నల్లని మహామేఘాల నీడలు నీట్లో పడి నీరు నల్లబారినట్టు అనిపిస్తోంది. ఆగాగి మెరిసే తటిల్లతా కాంతులు పడవ వెనుక ఎగసి పడుతున్న తుంపర మీద పడగా, మా పడవ వెనుక ఓ చిత్రమైన వెలుగుబాట ఏర్పడినట్టు అనిపిస్తోంది. కాసేపట్లో తీరం పూర్తిగా మాయమైపోయింది. కనుచూపు మేరలో ఒక్క వస్తువు కూడా కనిపించడం లేదు. మా పడవ వెనుక వెలిగే నురగ తెరగే లేకపోయుంటే పడవ కదుల్తోందో లేదో కూడా తెలుసుకోలేని పరిస్థితి నెలకొంది.
పన్నెండు గంటల ప్రాంతానికి మా చుట్టూ దట్టమైన సముద్రపు నాచు కనిపించింది. ఈ సముద్రపు నాచు సత్తా నాకు కొత్తేమీ కాదు. పన్నెండు వేల అడుగుల లోతులో పెరుగుతాయి, నాలుగొందల వాతావరణాల పీడనం వద్ద పునరుత్పత్తి చెందుతాయి. పెద్ద పెద్ద ఓడలనే ఆపగలిగేటంత బలంగా, ఏపుగా ఎదుగుతాయి. కాని ఇక్కడ ఈ లిండెన్ బ్రాక్ సముద్రం మీద తేలుతూ కనిపిస్తున్న ఈ నాచు గోడల లాంటి నాచుని నేను ఇంతకు ముందు ఎన్నడూ చూడలేదు.
ఈ నాచుగోడలు ఆకుపచ్చని మహా సర్పాలలా సముద్రపు ఉపరితలం మీద మెలికలు తిరుగుతూ పోతున్నాయి. ఆ గోడల వెంటే మా బుల్లి పడవ వాటి అంతు ఎక్కడుందో తడుముకుంటూ నెమ్మదిగా ముందుకి సాగిపోతోంది.
(ఇంకా వుంది)
ఐదు కొత్త పుస్తకాలు. ఐదూ జీవిత కథలే. పిల్లల కోసం అని రాసిన పాకెట్ సైజు పుస్తకాలు.
గెలీలియో గెలీలీ
శ్రీనివాస రామానుజన్
డార్విన్ చెప్పిన పరిణామ సిధాంతం
కొలంబస్ సాహస యాత్రలు
వాస్కో ద గామా సాహస యాత్రలు
ప్రచురణ కర్త –
ఏ. గాంధీ,
పీకాక్ పబ్లిషర్స్, హైదరాబాద్.
టెలీ – 9010204633
గెలీలియో గెలీలీ
శ్రీనివాస రామానుజన్
డార్విన్ చెప్పిన పరిణామ సిధాంతం
కొలంబస్ సాహస యాత్రలు
వాస్కో ద గామా సాహస యాత్రలు
ప్రచురణ కర్త –
ఏ. గాంధీ,
పీకాక్ పబ్లిషర్స్, హైదరాబాద్.
టెలీ – 9010204633
