శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

త్వరణానికి గురుత్వానికి ఏంటి సంబంధం?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, August 30, 2010 0 comments





కనుక వేదిక మీద ఉన్న భౌతిక పరిస్థితులకి, వేదిక బయట ఉన్న పరిస్థితులకి మధ్య తేడా ఏంటని ఆలోచిస్తే, వేదిక మీద కేంద్రం నుండి దూరంగా నెట్టి వేస్తూ, పరిధి వైపుగా ఆకర్షిస్తూ ఏదో బలం పనిచేస్తోందని అర్థమవుతుంది. వేదిక మీద కనిపించే విచిత్రమైన ఫలితాలన్నిటికీ ఆ బలమే కారణం అని అనుకోవడంలో ఆశ్చర్యం లేదు.

కాని ఆలోచిస్తే ఇది నిజంగా ఏదో కొత్త బలం అని అనుకోవాలా? అలాంటి బలం వేదిక బయట, నిశ్చలంగా ఉన్న నేల మీద ఉండదనా? గురుత్వం అనే బలం వల్ల భూమి కేంద్రం దిక్కుగా భూమి మీద ఉన్న వస్తువులన్నీ ఆకర్షింపబడతాయని మనకి తెలిసిందే. అయితే వేదిక విషయంలో వేదిక పరిధి దిక్కుగా ఆ ఆకర్షణ పని చేస్తోంది, భూమి విషయంలో భూమి కేంద్రం దిక్కుగా ఆ ఆకర్షణ పని చేస్తోంది – అంతే తేడా. రెండు సందర్భాల్లోను బల క్షేత్రం యొక్క విస్తరణలో తేడా ఉందంతే. బలం యొక్క లక్షణంలో కాదు. సమవేగంతో సాగని చలనం వల్ల గురుత్వ క్షేత్రాన్ని పోలిన ఓ “కొత్త బలం” పుట్టుకొస్తుందని చెప్పడానికి మరో ఉదాహరణ ఇవ్వొచ్చు.

తారాంతర యాత్రల కోసం రూపొందించిన ఓ అధునాతన వ్యోమనౌక అంతరిక్షంలో ఎక్కడో ఒంటరిగా, దరిదాపుల్లో తారలు లేని శూన్య ప్రాంతంలో ఉందని అనుకుందాం. చుట్టు పక్కల పెద్ద వస్తువులేమీ లేవు కనుక ఆ నౌకలో గురుత్వమే తెలియదు. నౌకలో ఉన్న వస్తువులు, సిబ్బంది, పరిశీలకులు అంతా అలా శూన్యంలో తేలిపోతూ ఉంటారు. అసలు వాళ్ల బరువు వాళ్లకే తెలీదు! ఇలాంటి పరిస్థితినే ప్రఖ్యాత కాల్పనిక విజ్ఞాన రచయిత జూల్స్ వెర్న్ తన ’చంద్రయానం’ పుస్తకంలో వర్ణిస్తాడు.

ఇప్పుడు ఉన్నట్టుండి వ్యోమనౌక ఇంజెన్లని ’ఆన్’ చేశాం అనుకుందాం. రాకెట్ కదలడం మొదలెడుతుంది. క్రమంగా వేగం పుంజుకుంటుంది. అప్పుడు నౌకలోని వస్తువులన్నీ నౌక కదులుతున్న దిశకి వ్యతిరేక దిశలో కదలడం మొదలెడతాయి. మరోలా చెప్పాలంటే నౌకలోని నేల పైకి, అంటే ఆ వస్తువుల దిక్కుగా కదులుతున్నట్టు అనిపిస్తుంది. అలాంటి నౌకలో నేల మీద నించున్న ఒక పరిశీలకుడు, తన చేతిలో ఓ ఆపిల్ పండుని పట్టుకుని, ఉన్నట్టుండి ఆ పండుని వదిలేశాడని అనుకుందాం. నౌక సమవేగంతో కదులుతున్నట్లయితే, పండు కూడా నౌకతో బాటు కదులుతూ ఉంటుంది. కాని నౌక త్వరణం చెందుతోంది కనుక, దాని వేగం పెరుగుతూ ఉంది కనుక, పండు నేల దిక్కుగా కదలడం కనిపిస్తుంది. దీన్నే నౌక పరంగా వర్ణించాలంటే, నౌక యొక్క నేల వేగం పెరిగి పెరిగి ఒక దశలో పండుని చేరుకుని దాన్ని ఢీ కొంటుంది. అలా నేలని ఢీ కొన్న (లేదా నేల చేత ఢీ కొట్టబడని) ఆపిల్ పండు, ఒకటి రెండు సార్లు వెనక్కి తుళ్లినా, కాసేపయ్యాక నేలకి అదమబడి, నేల మీదే “నిశ్చలంగా” ఉండిపోతుంది.

ఈ తంతంతా చూస్తున్న పరిశీలకుడి దృష్టిలో ఆపిల్ కేవలం “కింద పడిపోయింది” అంతే. ఆపిల్ కి బదులుగా వివిధ వస్తువులని చేతిలోంచి వొదిలేసి చూసుకుంటాడు పరిశీలకుడు. అన్ని వస్తువులూ ఒకే త్వరణంతో నౌక యొక్క నేల దిశగా “పడుతున్నాయని” అర్థం చేసుకుంటాడు. వస్తువు బరువు ఎక్కువైనా, తక్కువైనా దాని త్వరణం మాత్రం ఒకలాగే ఉంటుంది. అది చూసిన పరిశీలకుడికి వెనకటికి గెలీలియో గెలీలీ చేసిన ప్రయోగం గుర్తొస్తుంది. (గెలీలియోకి పూర్వం అరిస్టాటిల్ చేసిన బోధల ప్రభావం వల్ల బరువైన వస్తువులు వేగంగాను, తేలికైన వస్తువులు నెమ్మదిగా పడతాయని అనుకునేవారు. కాని అలాంటి తేడాలు కేవలం గాలి ప్రభావం వల్లనే వస్తున్నాయని, గాలి లేకపోతే అన్ని వస్తువులూ ఒకే వేగంతో, లేదా త్వరణంతో పడతాయని గెలీలియో ఓ ప్రయోగం చేసి నిరూపిస్తాడు – అనువాదకుడు).

(సశేషం...)

తిరిగే వేదికపై స్థల, కాలపు మార్పులు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, August 28, 2010 0 comments

అయితే రూళ్ల కర్రకి బదులుగా, A, B లని కలుపుతూ ఓ రబ్బర్ బ్యాండుని సాగదీసి కట్టినా, ఫలితం ఒకేలా ఉంటుంది. ఎందుకంటే రూళ్ల కర్ర లాగానే రబ్బర్ బ్యాండు కూడా సాపేక్షతా పరమైన సంకోచం చెందుతుంది. తరువాత రబ్బర్ బ్యాండుని ఎంత బిగువుగా సాగదీశాం అన్న దాని మీద దాని పొడవు ఆధారపడదు.

రూళ్ల కర్రలతోను, రబ్బరు బ్యాండులతోను కాక ఇప్పుడు ఓ కాంతి రేఖతో సరళ రేఖని నిర్మించాలి అనుకుందాం. కాంతి కూడా ఇందాక నిర్మించిన సరళ రేఖల వెంటే ప్రయాణిస్తోందని తెలుసుకుంటాం. అయితే వేదిక పక్కన, అంటే బయట, నించుని ఈ వ్యవహారాన్ని చూస్తున్న పరిశీలకులకి కాంతిరేఖ వక్రంగా పోతున్నట్టు కనిపించదు. కాంతి యొక్క గమన రేఖ మీద, వేదిక యొక్క గమనాన్ని అధ్యారోపించడం (superimpose చెయ్యడం) వల్ల, వేదికను బట్టి కాంతి రేఖ వంగినట్టుగా కనిపిస్తోందని వాళ్లు గ్రహిస్తారు. ఈ విషయాన్ని అర్థం చేసుకోవాలంటే ఓ చిన్న ప్రయోగం చెయ్యొచ్చు. తిరుగుతున్న గ్రామఫోన్ రికార్డు మీద గోటితో ఓ సరళ రేఖ సన్నగా గీస్తే, అలా ఏర్పడ్డ రేఖ నిజానికి అంటే రికార్డు మీద వక్రంగానే ఉంటుంది.

కాని వేదిక మిద, వేదికతో పాటు తిరుగుతున్న పరిశీలకుడు, కాంతి మార్గం సరళ రేఖ అనుకోవడంలో తప్పు లేదు. ఎందుకంటే అది నిజంగా అత్యంత హ్రస్వమైన (shortest) బాట. అయితే ఇప్పుడు అతడు వేదిక పరిధి మీద ఉన్న మూడు బిందువులని (A,B, C) కలుపుతూ మూడు ’సరళ రేఖలు’ గీశాడు అనుకుందాం. అలా ఏర్పడ్డ త్రిభుజం యొక్క మూడు కోణాలని కలిపి చూస్తే ఆ మొత్తం 180 డిగ్రీల కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కనుక తన చుట్టూ ఉన్న స్థలం వంపు తిరిగి ఉందని అనుకుంటాడు.

కేవలం త్రిభుజంలోని కోణాల లెక్కలోనే కాదు, వేదిక యొక్క చుట్టు కొలత లెక్కలో కూడా తేడా వస్తుంది. ఉదాహరణకి కిందటి పోస్ట్ లో ఇచ్చిన చిత్రంలో పరిశీలకుడు #3 వ్యాసార్థాన్ని కొలుస్తున్నాడు. ఈ ప్రయత్నంలో రూళ్ల కర్ర ఎప్పుడూ అడ్డుగా కదులుతోంది కనుక, దాని పొడవు మారదు. అలా కాకుండా పరిశీలకుడు #4 వేదిక యొక్క చుట్టుకొలతని కొలుస్తున్నాడు. ఈ ప్రయత్నంలో రూళ్ల కర్ర ఎప్పుడూ దాని పొడవు ఉన్న దిశలోనే కదులుతోంది. కనుక అది తగు రీతిలో కుంచించుకుంటుంది. అంటే అలాంటి రూళ్ల కర్రతో కొలిచే పొడవు మరింత ఎక్కువ అవుతుంది. కనుక అలా కొలవబడ్డ చుట్టుకొలతని వ్యాసంతో భాగించగా వచ్చే p విలువ మామూలుగా కన్నా (సమతలం మీద విలువ కన్నా) ఎక్కువగా ఉంటుంది.

కేవలం పొడవుల కొలతలు మాత్రమే కాదు, కాలం కొలతలు కూడా ఈ పరిస్థితుల్లో మారుతాయి. ఉదాహరణకి పరిధి మీద ఉండే గడియారం, అక్కడ వేగం ఎక్కువగా ఉండడం వల్ల, నెమ్మదిగా నడుస్తుంది. అందుకు భిన్నంగా కేంద్రంలో కాలం మరి కాస్త వేగంగా నడుస్తుంది.

ఇప్పుడు ఇద్దరు పరిశీలకులు వేదిక కేంద్రం వద్దకి వచ్చి తమ గడియారాలని ఒకే సమయం చూపించేలా దిద్దుకున్నారు అనుకుందాం. ఇప్పుడు వారిలో ఒకరు వేదిక అంచు వరకు నడిచి, అక్కడ కాసేపు ఉండి, తిరిగి వేదిక కేంద్రం వద్దకు వచ్చి చూస్తే, తన గడియారం మరింత నెమ్మదిగా నడవడం తెలుసుకుంటాడు. ఆ విధంగా వేదిక మీద వివిధ స్థలాలలో, భౌతిక ప్రక్రియలన్నీ వివిధ వేగాలలో నడుస్తున్నట్టు, ఎందుకంటే అసలు కాలమే వివిధ వేగాలతో గడుస్తున్నట్టు తెలుసుకుంటాడు.

ఇప్పుడు ఆ వేదిక మీద ఉన్న ప్రశీలకులు అంతా కలిసి తాము అంత వరకు వేదిక మీద గమనించిన విడ్డూరమైన ఫలితాలకి కారణాలని శోధించాలని అనుకున్నారు. వేదిక చుట్టూ ఎత్తైన గోడలు, వేదిక పైన చూరు ఉండి, వేదిక ఓ పరిభ్రమించే గదిలా ఉందనుకుందాం. లోపల ఉన్న వారికి బయట ఏముందో తెలీదు. వేదిక బయట ఈ ’నిశ్చల’ ప్రపంచం ఉందని తెలీనప్పుడు, తాము అంతవరకు చూసిన విడ్డూరమైన ఫలితాలన్నీ, వేదిక మీద ఉండే కొన్ని ప్రత్యేక భౌతిక పరిస్థితుల వల్ల కలుగుతున్నాయని వాళ్లు ఎలా తెలుసుకుంటారు? వేదిక మీద ఉన్న ఆ ప్రత్యేక భౌతిక పరిస్థితులు ఎలాంటివి?

(సశేషం...)

సరళ రేఖ అంటే ఏమిటి?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, August 25, 2010 0 comments



త్రిమితీయ ఆకాశం యొక్క వక్రత గురించి మనం చెప్పుకుంటున్నప్పుడు జ్యామితికి సంబంధించిన కొన్ని భావనలని, భౌతిక ఆకాశానికి వర్తింపజేస్తున్నాం. అలా చేసే ముందు మనం జ్యామితికి చెందిన కొన్ని మౌలిక భావనలని భౌతిక ప్రపంచం దృష్ట్యా నిర్వచించవలసి ఉంటుంది. ముఖ్యంగా సరళ రేఖ అన్న భావనని భౌతికంగా నిర్వచించాలి. ఎందుకంటే మనం నిర్మించబోయే కొన్ని జ్యామితికి సంబంధించిన వస్తువులని సరళ రేఖలతోనే నిర్మించాలి.

సరళ రేఖ అంటే అందరికీ తెలిసిందేగా? దీనిని ప్రత్యేకించి నిర్వచించవలసిన పనేవుంది? అని మీరు అడగొచ్చు. కాని భౌతిక ప్రపంచంలో సరళ రేఖని నిర్వచించే వ్యవహారంలో కొంత తిరకాసు ఉంది. సరళ రేఖ అంటే రెండు బిందువుల మధ్య కనిష్ఠ దూరం అని మనం చిన్నప్పుడు చదువుకున్నాం. కనుక రెండు బిందువులని ఓ రబ్బరు బ్యాండుతో కలిపితే ఆ వచ్చేదే సరళ రేఖ. అలా కాకుండా మరి కాస్త చాదస్తంగా నిర్వచించాలంటే ఒక రూళ్ల కర్రని తీసుకుని ఒక బిందువు నుండి రెండవ బిందువు దాకా వివిధ మార్గాల వెంట కొలుచుకుంటూ వెళ్లాలి. అతి తక్కువ దూరం వచ్చే మార్గమే సరళరేఖ.

కాని ఈ రెండవ పద్ధతిలో సరళ రేఖని కనుక్కోవడానికి ప్రయత్నించినప్పుడు, భౌతిక పరిస్థితులని బట్టి, కనుక్కున్న సరళరేఖ రకరకాలుగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకి ఓ పెద్ద వృత్తాకార వేదిక మీద రెండు బిందువులని కలిపే సరళ రేఖని కనుక్కోవాలని అనుకుందాం. వేదిక కదలకుండా ఉంటే, రెండు బిందువుల మధ్య సరళ రేఖ, నేరుగా కింద చిత్రంలో సూచించిన చుక్కలబాటలా ఉంటుంది. అలా కాకుండా వేదిక తన కేంద్రం చుట్టూ పరిభ్రమిస్తోందని అనుకుందాం. అలాంటి వేదికలు సర్కస్ లో తరచు చూస్తుంటాం. అలా తిరిగే వేదిక మీద రూళ్ల కర్రతో కొలుచుకుంటూ సరళ రేఖని కనుక్కుంటే, అది ఇందాకటి చుక్కల బాట అవ్వదు.

ఎందుకంటే వేదిక చలనం వల్ల దాని మీద ప్రతీ బిందువు కొంత వేగంతో కదులుతుంది. కనుక వేదిక మీద ఉన్న రూళ్ల కర్రలు కూడా తగు రీతిలో, సాపేక్షసిద్ధాంతానికి అనుగుణంగా, కుంచించుకుంటాయి. వేదిక మీద కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉన్న బిందువులు కాస్త నెమ్మదిగాను, దూరంగా ఉన్నబిందువులు మరింత వేగంగాను కదులుతాయి. కనుక కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు రూళ్ళ కర్రలు అంతగా కుంచించుకోవు. కేంద్రానికి దూరం అయినప్పుడు, మరింతగా కుంచించుకుంటాయి. పైగా రూళ్ల కర్ర యొక్క దిశ వృత్తం మీద ఆ రూళ్ల కర్ర ఉన్న స్థానం యొక్క గమన దిశలో ఉందా లేదా అన్న విషయం మీద కూడా రూళ్ల కర్ర ఎంత మేరకు కుంచించుకుంటుంది అన్నది ఆధారపడుతుంది.


ఇప్పుడు మనం వృత్తం పరిధి మీద ఉన్న AB అనే బిందువులని కలిపే సరళ రేఖని కనుక్కోవాలి. ఇక్కడ ఒక విషయం గుర్తుంచుకోవాలి. రూళ్ల కర్ర పొడవు ఎంత ఎక్కువ ఉంటే, అది కొలిచే దూరం అంత తక్కువ అవుతుంది. (ఉదాహరణకి రూళ్ల కర్ర పిల్లలు వాడే 6 ఇంచిల స్కేలు అనుకుందాం. వేదిక చలనాన్ని బట్టి రూళ్ల కర్ర కుంచించుకున్నా, దాంతో ఒక సారి కొలిస్తే ఆ కొలిచే దూరం 6 ఇంచిలే అవుతుంది. అంటే కేంద్రానికి దగ్గరగా “6 ఇంచిల” అసలు పొడవు, కేంద్రానికి దూరంగా “6 ఇంచిల” అసలు పొడవు కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది.) కనుక సరళ రేఖని కనుక్కునేందుకు గాను అతి తక్కువ దూరం కొలవాలంటే, A B లని కలుపుతూ కేంద్రానికి వీలైనంత దగ్గరగా పోయే మార్గాన్ని ఎన్నుకోవాలి.

ఆ విధంగా A, B, C లని కలిపే సరళ రేఖలని గీసి చూస్తే, అవి నిశ్చలంగా ఉన్న వేదిక మీద గీసిన చుక్కల బాటలా కాక, కాస్త వక్రంగా కింద చిత్రంలో గీసిన వక్రపు అంచుల త్రిభుజంలా ఉంటాయి. అంటే పరిభ్రమించే వేదిక మీద సరళ రేఖ కేంద్రం దిక్కుగా కాస్త వంగిన రేఖ అవుతుంది అన్నమాట.

ఆ విధంగా పరిభ్రమించే వేదిక మీద ఉండే పరిస్థితుల్లో, సాపేక్ష సిద్ధాంతం వల్ల, సరళ రేఖ అన్న మాటకి అర్థం మారిపోతుంది.

(సశషం...)



కాలాయతనం, గురుత్వం, విశ్వం – ప్రొఫెసర్ ఉపన్యాసం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, August 24, 2010 0 comments

వక్రమైన కాలాయతనం, గురుత్వం, విశ్వం – ఈ అంశాల గురించి ప్రొఫెసర్ ఉపన్యాసం


సోదర సోదరీమణులారా,

ఈ రోజు వక్ర కాలాయతనం గురించి, దానికి సంబంధించిన గురుత్వ ప్రభావం గురించి మీతో చర్చించదలచుకున్నాను. ఓ వంపు తిరిగిన గీతనో, మడత పడ్డ తలాన్నో మీరు సులభంగా ఊహించుకోగలరని నాకు తెలుసు. కాని వంపు తిరిగిన త్రిమితీయ ఆకాశం (threedimensional space) గురించి ప్రస్తావించగానే మీ ముఖాలు చిన్నబోతున్నట్టు కనిపిస్తోంది. వంపు తిరిగిన తలం అన్నప్పుడు కలుగని కంగారు, వంపు తిరిగిన త్రిమితీయ ఆకాశం అనగానే ఎందుకు కలుగుతోంది? దానికి కారణం నాకు తెలుసు.

ఓ గోళం యొక్క ఉపరితలాన్నో, ఓ గుర్రపు జీను తలాన్నో మనం చూసి అది వంపు తిరిగి వుందని గుర్తించినప్పుడు మనం ఆ తలానికి బయట ఉంటూ దాన్ని చూస్తున్నాం. కాని మన చుట్టూ ఉన్న, మనని చుట్టు ముట్టి ఉన్న ఈ త్రిమితీయ ఆకాశం వంపు తిరిగి ఉందని ఊహించడం సులభం కాదు. అయితే ఇలాంటి ఇబ్బందికి కారణం వక్రత అంటే ఏంటో గణితపరంగా అర్థం కాకపోవడమే. వక్రత అనే పదానికి గణితపరమైన అర్థానికి, సామాన్య పరిభాషలో ఆ పదం యొక్క అర్థానికి మధ్య చాలా తేడా ఉంది.

ఓ సమతలం మీద గీసిన జ్యామితీయ ఆకారాలకి (geometric figures) కొన్ని లక్షణాలు ఉంటాయి. ఆ లక్షణాలని యూక్లిడియన్ జ్యామితి బట్టి తెలుసుకోవచ్చు. కాని అదే ఆకారాలని వంపు తిరిగిన తలాల మీద గీస్తే ఆ లక్షణాలలో కొన్ని తేడాలు వస్తాయి. ఆ తేడా ఎలాంటిది, ఎంత మేరకు ఉంది అన్న దాని బట్టి ఆ తలం యొక్క వక్రత ఎలాంటిదో, ఎంత ఉందో గణితవేత్తలు తెలుసుకుంటారు. ఉదాహరణకి ఓ చదునైన కాగితం మీద ఓ త్రిభుజాన్ని గీస్తే దాని కోణాల మొత్తం విలువ 180 డిగ్రీలు ఉంటుంది. కావాలంటే అదే కాగితాన్ని ఓ గొట్టం ఆకారంలోనో, ఓ శంకువు (cone) ఆకారంలోనో మడిచి, అలా వంపుతిరిగిన కాగితం మీద త్రిభుజాన్ని గీసినప్పుడు కూడా దాని కోణాల మొత్తం ఎప్పుడూ 180 డిగ్రీలే ఉంటుంది.

కనుక చదునైన కాగితాన్ని మడిచినంత మాత్రాన దాని తలం యొక్క జ్యామితి మారిపోదు. అవన్నీ కూడా నిజానికి సమతలానికి సమానమైన తలాల కిందే లెక్క. కాని గోళం యొక్క ఉపరితలం అలాంటిది కాదు. అందుకే కాగితాన్ని గోళం మీద మడతలు రాకుండా, చించకుండా అంటించలేము. అందుకే గోళం మీద త్రిభుజం గీస్తే యూక్లిడయన్ జ్యామితి సూత్రాలు దానికి వర్తించవు. ఉదాహరణకి భూమధ్య రేఖ మీద రెండు బిందువుల (A, B) నుండి బయలుదేరి లంబంగా, ఉత్తరంగా సాగే రెండు గీతలు గీస్తే అవి ఉత్తర ధృవం (C) వద్ద కలుస్తాయి. ఇప్పుడు ABC అనే త్రిభుజం మీద A, B కోణాలు లంబ కోణాలు (90 డిగ్రీలు), C వద్ద కోణం విలువ సున్నా కన్నా ఎక్కువ. అంటే ABC త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం విలువ 180 డిగ్రీల కన్నా ఎక్కువ అన్నమాట. త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తంలో ఈ వ్యత్యాసం (సమతలంతో పోల్చితే) ధనవక్రత గల తలం యొక్క లక్షణం అన్నమాట.


అదే విధంగా ఓ “గుర్రపు జీను” తలం మీద గీసిన త్రిభుజం విషయంలో కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీల కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. ఇది ఋణవక్రత గల తలం యొక్క లక్షణం.

కనుక ఒక తలం యొక్క వక్రత ఎలాంటిదో కనుక్కోవాలంటే ముందు ఆ తలం యొక్క జ్యామితి గురించి తెలుసుకోవాలి. ఊరికే బయటి నుండి తలాన్ని చూస్తే సరిపోదు. అసలు ఊరికే పైపైన చూసి తలం యొక్క లక్షణాన్ని నిర్ణయించబోతే పొరబాట్లు జరగొచ్చు కూడా. ఉదాహరణకి ఒక స్తంభం (cylinder) యొక్క ఉపరితలం, లేదా ఒక కంకణం (torus, గారె లాంటి ఆకారం గల వస్తువు) యొక్క ఉపరితలం వక్రంగా ఉందని అనుకుంటాం. పైగా రెండు తలాలు ఒక్కలాంటివే నని అపోహ పడే అవకాశం కూడా ఉంది. కాని స్తంభం ఉపరితలం నిజానికి సమతలంతో సమానం. కంకణం యొక్క ఉపరితలం వంపు తిరిగి ఉంటుంది. వక్రత తీరుని తెలుసుకునే ప్రయత్నంలో ఇలాంటి కచ్చితమైన గణిత పద్ధతిని ఎంచుకున్నప్పుడు మనం ఉంటున్న ఈ త్రిమితీయ ఆకాశం యొక్క వక్రత ఎలా ఉంటుందో కూడా శోధించే అవకాశం ఉంటుంది.

(సశేషం...)




ప్రపంచం పట్టాలు తప్పింది

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Sunday, August 22, 2010 0 comments







“సరిగ్గా చెప్పారు,” అన్నాడు ప్రొఫెసర్. “ఇన్నాళ్లకి నన్ను సరిగ్గా అర్థం చేసుకున్నారు. మనం ఉంటున్న ఈ విశాల విశ్వం యొక్క వక్రత ధనమా, ఋణమా తెలుసుకోవాలంటే వివిధ దూరాలలో ఉన్న వస్తువులని లెక్కిస్తే చాలు. మన నుండి కొన్ని వేల మిలియన్ల కాంతి సంవత్సరాల దూరంలో కూడా గెలాక్సీలు, నెబ్యులాలు విస్తరించి ఉన్నాయి. వాటి విస్తరణ (distribution) ని పరిశీలిస్తే మన విశ్వం యొక్క వక్రత ఎలాంటిదో తెలిసిపోతుంది.”



“మరైతే విశ్వానికి ధన వక్రత ఉన్నట్లయితే, అది దానిలోకి అది ఓ బంతిలా ముడుచుకుని, పరిమితమైన వ్యాప్తి గలిగి ఉంటుంది అనుకోవాలా?”




“ఓహ్! అదా? చాలా చక్కని ప్రశ్న,” మెచ్చుకుంటూ అన్నాడు ప్రొఫెసర్. విశ్వవిజ్ఞానం (cosmology) మీద ఐనిస్టయిన్ రాసిన ప్రప్రథమ పత్రాలలో విశ్వం బంతిలా ముడుచుకుని, పరిమితమైన పరిమాణం గలిగి, నిశ్చలంగా ఉంటుందని ప్రతిపాదించాడు. తదనంతరం రష్యన్ గణితవేత్త ఎ.ఎ. ఫ్రీడ్మాన్ నిరవధికంగా సంకోచించే విశ్వం, లేదా నిరవధికంగా వ్యాకోచించే విశ్వం ఉండే అవకాశం ఐనిస్టయిన్ సమీకరణాలలోనే దాగి వుందని గణితపరంగా నిరూపించాడు. ఈ గణిత సిద్ధాంతాన్ని నిర్ధారిస్తూ అమెరికన్ ఖగోళవేత్త ఎడ్వర్డ్ హబుల్, మౌంట్ విల్సన్ వేధశాలలో తన 100-ఇంచిల దూరదర్శినితో పని చేస్తూ, గెలాక్సీలు మన నుండి దూరంగా తరలిపోతున్నాయని, అంటే మన విశ్వం వ్యాకోచిస్తోందని కనుక్కున్నాడు. అయితే ఈ వ్యాకోచం ఇలా ఎల్లప్పటికీ సాగుతుందా, లేక ఒక గరిష్ఠ స్థితిని చేరుకుని, ఏదో సుదూర భవిష్యత్తులో తిరిగి సంకోచించడం మొదలుపెడుతుందా అన్నది ఇంకా తేలని విషయం. మరింత వివరమైన ఖగోళపరిశీలనల ద్వారా ఈ విషయం నిర్ణయించబడుతుందని శాస్త్రవేత్తలు ఆశిస్తున్నారు.”



ప్రొఫెసర్ అలా మాట్లాడుతుండగా తమ చుట్టూ గదిలో ఏవో విచిత్రమైన మార్పులు రావడం కనిపించింది. గదిలో ఒక మూల భాగం బాగా కుంచించుకుపోతోంది. అక్కడ ఉన్న కుర్చీలు కూడా అలాగే కుంచించుకుపోతున్నాయి. ఇక అదే గదిలో మరో మూల భాగం ఎంతగా విస్తరిస్తోంది అంటే అందులో సుబ్బారావుతో పాటు, సమస్త విశ్వమూ పట్టేట్టు అనిపించింది. అంతలో సుబ్బారావుకి ఓ దారుణమైన ఆలోచన వచ్చి వొంట్లో వొణుకు పుట్టింది.



రమ్య ఎలా ఉందో? బీచిలో ఆమె, ఆమె పెయింటింగ్ లు, ఆమె పరిసరాలు అన్నీ కట్టకట్టుకుని అసలు ఈ విశ్వం నుండే వేరుపడి, మహాశూన్యంలో కలిసిపోతేనో? ఇక మళ్లీ జన్మలో తనని చూసే భాగ్యం కలుగదా? ఆ ఆలోచనకే తన కాళ్ల కింద నేల చీలిపోతున్నట్టు అనిపించింది సుబ్బారావుకి. తటాలున లేచి గదిలోంచి బయటికి పరుగెత్తబోయాడు.



“ఏయ్ సుబ్బారావ్! జాగ్రత్త! క్వాంటం స్థిరాంకం కూడా విపరీతంగా మారిపోతోంది చూసుకో,” వెనకనుండి ప్రొఫెసర్ కేక వినిపించింది.


బీచి దాకా వెళ్ళేసరికి అక్కడ బాగా రద్దీగా ఉండడం కనిపించింది. అక్కడ తనకి దర్శనమిచ్చింది ఒక రమ్య కాదు, కొన్ని వేల రమ్యలు! ఆ వేవేల రమ్యలు కోలాహలంగా అటు ఇటు పరుగెడుతున్నారు.

“ఇంత మందిలో మరి అసలు రమ్యని పట్టుకునేదెలా?” సుబ్బారావు ఆలోచనలో పడ్డాడు.
క్వాంటం అనిశ్చయత్వ సూత్రం వెర్రితలలు వేస్తోంది అన్నమాట. ఎందుచేతనో క్వాంటం స్థిరాంకం విపరీతంగా పెరిగిపోయింది.

కాసేపట్లో వాన వెలిసినట్టు క్వాంటం స్థిరాంకం మునుపటి స్థితికి వచ్చింది. అల్లంత దూరంలో, తన వేలాది ప్రతులంతా మాయం కాగా మిగిలిన ఏకైక రమ్య, పెయింటింగ్ మానేసి భయంగా దిక్కులు చూస్తూ కనిపించింది.

“అబ్బ! సుబ్బారావ్ గారూ! మీరా?” సుబ్బారావుని చూడగానే ఆ అమ్మాయి మనసు తేలికపడినట్టయ్యింది. “ఇందాక ఎందుకో ఒక్కసారి బోలెడు జనం ఉప్పెనలా మీదికి వస్తున్నట్టు అనిపించింది. కాసేపు ఊపిరాడలేదు అనుకోండి. అదేదో దృశ్య భ్రాంతి అయ్యుంటుంది. ఎండ ప్రభావం కాబోలు. ఉండండి నా గదికి వెళ్లి నా క్యాప్ తెచ్చుకుంటాను.”

“రమ్య గారూ!” మనలోంచి తన్నుకొస్తున్న బాధని ఎలా వెళ్లగక్కాలో అర్థం కాక ఇబ్బంది పడుతూ అన్నాడు సుబ్బారావు. “చూడబోతే కాంతివేగం కూడా తగ్గిపోతున్నట్టు ఉంది. మీరు హోటల్ నుండి తిరిగి వచ్చే సరికి నేను ముసలాణ్ణి అయిపోతానేమో నండీ!”

“ఛఛ! అదేం మాట. ఊరికే లేనిపోని భయాలు పెట్టుకోకండి. హాయిగా ఇక్కడ కెరటాలు లెక్కెడుతూ కూర్చోండి. క్షణంలో వచ్చేస్తా,” అంటూ హోటల్ దిశగా పరుగెత్తింది.

కాని ఆ అమ్మాయి ఓ నాలుగు అడుగులు వేసిందో లేదో, క్వాంటం స్థిరాంకం మళ్లీ పెరిగిపోయింది. ఈ సారి రమ్య, సుబ్బారావుల సేన సముద్ర తీరం అంతా విస్తరించింది. అంతలో కాలాయతనంలో మరి ఏం మార్పు వచ్చిందో ఏమో అల్లంత దూరంలో కొండలు విచిత్రంగా వంపు తిరగడం మొదలెట్టాయి. దూరాన జాలర్ల పేటలో ఇళ్లు కూడా వింతగా కొంకర్లు పోతున్నాయి. ఏదో బ్రహ్మాండమైన గురుత్వ ప్రభావం చేత కాబోలు సూర్యుడి కిరణాలు నేలని తాకీ తాకకుండానే దారి మళ్లి ఎటో వెళ్లిపోతున్నాయి. లోకం గాఢాంధకారంలో లోతుగా కూరుకుపోయింది.
ఇంతలో తనకి సుపరిచితమైన, ప్రియమైన కంఠం వినిపించింది.

“మీకు రాళ్లతో నీటి మీద కప్పగెంతులు వేయించడం వచ్చా?” ఎప్పుడు వచ్చిందో రమ్య తన చేతిలో ఓ గవ్వ పెడుతూ అంది.

“ఇది కలయా నిజమా...” సుబ్బారావు దీర్ఘాలోచనలో పడ్డాడు.

ఆకాశపు వంపు ఎటు?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, August 20, 2010 0 comments




“అవును. అంటే గుర్రపు జీను ఆకారాన్ని పోలిన ఉపరితలం అన్నమాట. అలాంటి వక్రతలానికి మరో ఉదాహరణ రెండు కొండలని కలిపే వంతెన లాంటి ఎత్తైన భూభాగం. ఉదాహరణకి ఓ వృక్షశాస్త్రవేత్త అలాంటి కొండల మీద, ఆ వంతెన లాంటి భాగానికి నడి మధ్యలో, ఓ చిన్న ఇంట్లో ఉంటున్నాడు అనుకుందాం. ఇతడు తన ఇంటి చుట్టూ చెట్ల సాంద్రత ఎంత ఉందో కొలవాలని అనుకున్నాడు. కనుక తను ఉన్న చోటి నుండి వరుసగా 100, 200, 300 ... అడుగుల దూరంలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్యలని కొలుస్తూ పోయాడు. అలా లెక్క వేసి చూడగా చెట్ల సంఖ్య దూరానికి వర్గం కన్నా వేగంగా పెరుగుతోందని తెలుసుకున్నాడు. దీనికి కారణం ఏంటంటే, “గుర్రపుజీను” తలం మీద ఒక వ్యాసార్థం గల వృత్తం యొక్క వైశాల్యం, సమతలం మీద అదే వ్యాసార్థం గల వృత్తం యొక్క వైశాల్యం కన్నా ఎక్కువ ఉండడమే. అలాంటి తలాలకి ఋణవక్రత ఉందని అంటాము. అలా ఋణవక్రత గల వక్రతలాన్ని ఓ సమతలం మీద పరిచినప్పుడు, వక్ర తలంలో మడతలు తేలుతాయి. ఇందుకు భిన్నంగా, గోళాకారపు వక్రతలాన్ని ఓ సమతలం మీద పరిచినప్పుడు, వక్రతలంలో చిరుగులు వస్తాయి. “

“అలాగా? అంటే గుర్రపుజీను వక్రతలం, వంపు తిరిగినా కూడా అపరిమితంగా విస్తరించి ఉంటుంది అంటారా?” అడిగాడు సుబ్బారావు.

“సరిగ్గా చెప్పారు,” మెచ్చుకుంటూ అన్నాడు ప్రొఫెసర్. “గుర్రపు జీను తలం అపరిమితంగా అన్ని దిశల్లో విస్తరిస్తుంది. గోళాకారపు వక్రతలంలా అది తనలో తాను మూసుకోదు. అయితే ఒకటి. ఇందాక నేను ఇచ్చిన ఉదాహరణలో కొండలు విడిచి దూరంగా నడిస్తే మళ్లీ భూమి యొక్క గోళాకార వక్రతలం మీదకి వస్తాం. అక్కడ మళ్లీ ధన వక్రతే ఉంటుంది. అంటే ఆ ఉదాహరణలో సగటున ధనవక్రత గల ఓ పెద్ద వక్రతలంలో ఓ చిన్న భాగంలో మాత్రం ఋణవక్రత గల వక్రతలం ఉందన్నమాట. అలా కాకుండా ప్రతీ చోట ఋణవక్రత గలిగి, అనంతంగా విస్తరించే వక్రతలాన్ని గణితపరంగా నిర్వచించి ఊహించుకోవచ్చు.


“కాని ఇదంతా త్రిమితీయ ఆకాశానికి (three-dimensional space) ఎలా వర్తిస్తుంది? ఆకాశం వంపు తిరిగినట్టు ఊహించుకోవడం ఎలా?” అర్థంగాక అడిగాడు సుబ్బారావు.


“తలానికి ఎలా చేస్తామో, సరిగ్గా దీనికి కూడా అలాగే చేస్తాం.” ప్రొఫెసర్ చెప్పుకొచ్చాడు. “ఉదాహరణకి ఆకాశంలో వస్తువులని సమంగా విస్తరించేట్టుగా, అంటే పక్కపక్కన ఉండే వస్తువుల మధ్య సమాన దూరాలు ఉండేట్టుగా, ఏర్పాటు చేశాం అనుకుందాం. ఇప్పుడు ఒక బిందువు నుండి బయలుదేరి, వివిధ వ్యాసార్థాలు గల గోళాలలో ఎన్ని వస్తువులు ఉన్నాయో లెక్కించాలి. ఆ సంఖ్య వ్యాసార్నికి వర్గంగా పెరుగుతోందంటే, ఆకాశం “చదును”గా ఉందన్నమాట. అలా కాకుండా వర్గం కన్నా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంటే ఆకాశం ధన వక్రత గలిగి ఉందన్నమాట. అలాగే వర్గం కన్నా వేగంగా పెరుగుతున్నట్లయితే ఆకాశం ఋణవక్రత గలిగి ఉందన్నమాట.”


“అంటే ధన వక్రత ఉన్న ఆకాశంలో ఒక ప్రత్యేక వ్యాసార్థంగల ఆకాశం యొక్క ఆయతనం (volume) కాస్త తక్కువగాను, అదే ఋణ వక్రత గల ఆకాశంలో ఒక ప్రత్యేక వ్యాసార్థం గల ఆకాశం యొక్క ఆయతనం కాస్త ఎక్కువగాను ఉంటుంది అన్నమాట,” అడిగాడు సుబ్బారావు.


(సశేషం...)

ధన వక్రత - ఋణ వక్రత

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, August 18, 2010 0 comments

“సరే నమ్మా అయితే. వెళ్లిరా,” అంటూ కూతుర్ని సాగనంపి, సుబ్బారావు కేసి తిరిగి,

“చూడండి సుబ్బారావు గారూ! మీకు చిన్నప్పుడు చదువుకున్న గణితం బొత్తిగా గుర్తున్నట్టు లేదు. కాని విషయాన్ని సులభంగా వివరించాలంటే ఒక ఉపరితలాన్ని తీసుకుందాం. ఉదాహరణకి గుప్తా అని ఒక పెద్దమనిషి ఉన్నాడని అనుకుందాం. ఇతగాడికి దేశం అంతా బోలెడు పెట్రోల్ బంకులు ఉన్నాయి. ఇతడికి ఉన్నట్లుండి ఒక రోజు ఒక సందేహం వచ్చింది. తన బంకులు అన్నీ దేశం అంతటా సమంగా విస్తరించి ఉన్నాయో లేదో తెలుసుకోవాలని అనుకున్నాడు. అతడి ప్రధాన కార్యాలయం భోపాల్ నగరంలో ఉంది. ఇది దేశానికి ఇంచుమించు కేంద్రంలో ఉన్న నగరం. కనుక ఆ నగరాన్ని కేంద్రంగా తీసుకుని వరుసగా 100, 200, 300 కిమీలు ఇలా ఇంకా ఇంకా ఎక్కువ వ్యాసార్థాలు గల వృత్తాలని పరిగణిస్తూ పోయాడు. ఒక్కొక్క వృత్తంలోను ఎన్ని బంకులు ఉన్నాయో లెక్క వేస్తూ పోయాడు. తను చిన్నప్పుడు చదువుకున్న జ్యామితి బట్టి వృత్తం యొక్క వైశాల్యం, దాని వ్యాసార్థానికి వర్గంగా పెరుగుతుందని గుర్తుంది. అంటే వివిధ వృత్తాలలో బంకుల సంఖ్య 1, 4, 9, 16 ఇలా పెరుగుతుందని ఆశించాడు. కాని తీరా తన సిబ్బంది బంకుల విస్తరణకి సంబంధించిన నివేదిక తెచ్చి చూపించేసరికి ఆశ్చర్యపోయాడు. బంకుల సంఖ్య పెరిగే తీరు ఈ విధంగా ఉంది: 1, 3.8, 8.5, 15. “అంతా గందరగోళంగా ఉందే” అంటూ వాపోయాడు గుప్తా. “మా మేనేజర్లకి అసలు బుద్ధి లేదు. ఇంత కాడికి ప్రధాన కార్యాలయం ప్రత్యేకించి భోపాల్ లో పెట్టడం దేనికి? ఏ ముంబై లోనో పెడితే పోలా?” అంటూ తెగ బాధపడిపోయాడు. తనలా బాధపడడం సమంజసమేనా కాదా?”

“సమంజసమేనా... కాదా?” ప్రొఫెసర్ అన్నమాటలనే కాస్త దీర్ఘంగా ఆలోచిస్తూ అన్నాడు సుబ్బారావు.

“సమంజసం కాదు,” ప్రొఫెసరే సమాధానం చెప్తూ అన్నాడు. “ఎందుకంటే భూమి ఉపరితలం సమతలం కాదని, గోళాకారంలో ఉంటుందని గుప్తా మర్చిపోయాడు. గోళం మీద గీసిన వృత్తాల వైశాల్యం వ్యాసార్థం యొక్క వర్గంగా పెరగదు. అంత కన్నా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంది. అది అర్థం కావాలంటే ఓ భూగోళం నమూనా (globe) తీసుకుని, ఉత్తర ధృవం కేంద్రంగా గల ఓ వృత్తం అయిన భూమధ్యరేఖని గమనించాలి. అలాంటి వృత్తం ఉత్తర గోళార్థం మొత్తాన్ని ఆక్రమిస్తుంది. ఇప్పుడు ఆ వ్యాసార్థానికి రెండింతలు వ్యాసార్థం గల వృత్తాన్ని తీసుకుంటే అది మొత్తం భూమిని ఆక్రమిస్తుంది. అయితే ఈ సారి వైశాల్యం రెండింతలు మాత్రమే అవుతుంది. నాలుగింతలు అవదు. అదే సమతలం మీద గీసిన వృత్తాల విషయంలో అయితే, వ్యాసార్థం రెండింతలు అయితే, వైశాల్యం నాలుగింతలు అవుతుంది. కనుక గోళం మీద గీసిన వృత్తాల వైశాల్యం వ్యాసార్థం యొక్క వర్గం కన్నా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంది. అర్థమయ్యిందా?”

“ఆ! ఆ! ... అవుతోంది,” కాస్త సందేహంగా అన్నాడు సుబ్బారావు. “దాన్ని ధన వక్రత అనో, ఋణ వక్రత అనో ఏదో అంటారు కదూ?” ఉన్నట్టుండి ఎప్పుడో విన్న విషయం జ్ఞాపకం వచ్చి ఉత్సాహంగా అన్నాడు.

“దీన్ని ధన వక్రత (positive curvature) అంటారు. గోళం యొక్క ఉపరితలం అందుకు తార్కాణం. అలాగే ఋణ వక్రత (negative curvature) కి తార్కాణం గుర్రపు జీను(saddle).”

“గుర్రపు జీనా?” అర్థంగాక అడిగాడు సుబ్బారావు.

(సశేషం...)

భూమి తరువాత ఎక్కడ? – కొత్త పుస్తకం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, August 13, 2010 0 comments





లోగడ ఈ బ్లాగ్ లో మార్స్ గురించి రాసిన వ్యాసాల సంకలనమే ఈ పుస్తకం.
మార్స్ కి వలసపోయే ప్రక్రియని ఓ రియల్ ఎస్టేట్ ఏజెంట్ దృష్టితో చూస్తే ఎలా ఉంటుందో ఊహిస్తూ, కాస్త హాస్యాన్ని జోడించి, మార్స్ మీద వివిధ ప్రాంతాలని పుస్తకం మొదటిభాగంలో వర్ణించడం జరుగుతుంది. రెండవ భాగంలో మార్స్ ఉపరితలాన్ని “ధరాసంస్కరించి” అక్కడి భూమిని, వాతావరణాన్ని మానవ నివాస యోగ్యంగా మలచుకునే ప్రయత్నం గురించి, పథకాల గురించి చర్చించడం జరుగతుంది.


ప్రచురణకర్త: మంచిపుస్తకం



మరిన్ని వివరాల కోసం: manchipustakam.in

వంపు తిరిగిన కాలాయతనం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, August 11, 2010 2 comments

“కాని ఇదంతా ఎలా సాధ్యం” ఇంకా అయోమయంగా అడిగాడు సుబ్బారావు.

“చాలా సింపుల్. ఈ విషయాలన్నీ నా ఉపన్యాసాలలో వివరించాను. కదిలే వివిధ వ్యవస్థల నుండి చూస్తున్నప్పుడు గరిష్ఠ వేగం ఎప్పుడూ ఒక్కలాగే కనిపిస్తుంది. ఈ విషయాన్ని మనం ఒప్పుకుంటే...”

ప్రొఫెసర్ ఇంకా ఏదో చెప్పబోతుంటే అప్పుడే రైలు ఏదో స్టేషన్ లోకి ప్రవేశిస్తూ కనిపించింది. ఆ స్టేషన్ లో సుబ్బారావు దిగి వెళ్లిపోయాడు.

స్టేషన్ లో దిగిన సుబ్బారావు ఆ ఊళ్లోనే అద్దాల మేడ లాంటి ఓ అద్భుతమైన హోటల్ లో దిగాడు. ఆ హోటల్ సముద్రతీరం మీద ఉంది. కిటికీ తెరలు తీసి బయటికి చూస్తే అనంతమైన వినీలార్ణవం ఆహ్వానిస్తూ కనిపిస్తుంది. తెల్లారే పిల్లకెరటాలు పాడే భూపాలానికి, ఏదో స్వప్నలోకం నుండి భూతలానికి వచ్చి పడ్డాడు సుబ్బారావు. త్వరగా తయారై టిఫిన్ చెయ్యడానికి కిందనున్న రెస్టారెంట్ కి వెళ్లాడు. ఓ పొడవాటి బల్ల వద్ద కూర్చున్నాడు.

ఇంతలో తలెత్తి చూసిన సుబ్బారావు ఎదురుగా కనిపించిన దృశ్యానికి ఆశ్చర్యపోయాడు. బల్లకి అవతలి కొస వద్ద తన ప్రొఫెసర్ మిత్రుడు కూర్చుని ఉన్నాడు. మరి ఏ దివి నుంచి రాలి పడిందో ఏమో, ఆయన పక్కనే ఓ చక్కని చుక్క కూర్చుని ఉంది. ప్రొఫెసర్ అప్పుడప్పుడు తలెత్తి సుబ్బారావు కుర్చున్న వైపు చూస్తున్నాడు.

వెంటనే లేచి వెళ్లి ప్రొఫెసర్ ని పలకరించాడు.

“ఏం ప్రొఫెసర్ గారూ! గుర్తున్నానా?”

“ఓహ్ మీరా? గుర్తులేకనేం? నా ఉపన్యాసాలకి వచ్చారు కదూ?” అంటూ తన పక్కనున్న వ్యక్తిని పరిచయం చేస్తూ,
“ఇదుగో మా అమ్మాయి రమ్య. తనకి పెయింటింగ్ అంటే ఇష్టం. అందుకే ఇక్కడ సముద్ర తీరం లో స్ఫూర్తిదాయకమైన దృశ్యాలు ఉన్నాయంటే తనని తీసుకుని ఇలా వచ్చాను.”

“హలో మిస్ రమ్యా” వీలైనంత ఆప్యాయంగా పలకరించాడు సుబ్బారావు. సాపేక్షతా సిద్ధాంతం మహిమ వల్ల ఆ క్షణం తన వయసు ఎలాగైనా ఓ పదేళ్లు తగ్గిపోతే ఎంత బావుణ్ణు అన్న ఆలోచన కాంతివేగంతో తన మనో ఫలకం మీద కదిలింది. “నిజమే. ఇక్కడ ఎన్నో అందమైన దృశ్యాలు ఉన్నాయి. ఈ సముద్రం, ఈ ఇసక, ఈ చెట్లు, ఈ హోటలు – ఇవన్నీ చూస్తుంటే మీ చిత్రకళకి బోలెడన్ని అయిడియాలు వస్తాయి,” ఏదో కాస్త తెలివిగా అనాలని అన్నాడు.

“అవునవును. వేసిన బొమ్మలు మీకు కూడా చూపిస్తుంది. అవునూ! ఆ రోజు నా ఉపన్యాసంలో మీకు ఏవైనా అర్థమయ్యిందా? లేక అంతా అయోమయంగా ఉందా?” అడిగాడు ప్రొఫెసర్.

“ఓ! బాగా అర్థమయ్యింది. అర్థం కావడమే కాదు. ఆ మధ్యన ఓ చిత్రమైన ఊరికి వెళ్లాను. అక్కడ కాంతి వేగం కేవలం 10 మైళ్లు/గం. దాంతో కదిలే వస్తువులు సన్నబడడం, గడియారాలు పిచ్చి పటినట్టు నడవడం, మొదలైన వన్నీ కళ్లారా చూశాను.”

“అయ్యో! అంటే మీరు ఉపన్యాసంలో తదుపరి భాగం విన్లేదు అన్నమాట. అందులో వంపుతిరిగిన కాలాయతనాన్ని గురించి, న్యూటన్ బోధించిన గురుత్వానికి ఆ కాలాయతనపు వంపుకి మధ్య సంబంధం గురించి చెప్పుకొచ్చాను. పోనీలేండి. ఇక్కడంతా తీరికేగా. హాయిగా సముద్ర తీరంలో కూర్చుని ఇవన్నీ ముచ్చటించుకుందాం.”

“అబ్బా! నాన్నా! మళ్లీ మొదలెట్టారా? సరే మీరిద్దరూ మాట్లాడుకోండి. నేను నా పని చూసుకుంటాను,” అంటూ రమ్య అక్కణ్ణుంచి బయల్దేరింది.

ఆ అమ్మాయి వెళ్లినవైపే ఒక్క క్షణం కన్నార్పకుండా చూశాడు సుబ్బారావు.

వంపులు అంటే ప్రత్యేకమైన అయిష్టత ఏమీ లేని సుబ్బారావుకి, ఆ క్షణం మాత్రం ఈ కాలాయతనపు వంపుల గురించిన చర్చ అసంగతం గాను, అప్రస్తుతం గాను, అసందర్భంగాను తోచింది.
(సశేషం...)

హంతకుడు పోర్టర్ కాడు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, August 9, 2010 0 comments

ప్రొఫెసర్ గదమాయిస్తూ అన్న మాటలకి పోలీస్ ఒక్క క్షణం తత్తరపడి, జేబులోంచి తన ఆదేశాల పుస్తకం పైకి తీసి ఆదుర్దాగా చదవడం మొదలెట్టాడు.


“ఇదుగో ఇక్కడ స్పష్టంగా రాసి ఉంది.... సెక్షన్ 37, సబ్ సెక్షన్ 12, పేరా e, ప్రకారం: హత్య జరిగిన తరుణంలో గాని, ఆ తరుణానికి + d/c క్షణాలు (ఇక్కడ d అంటే నిందితుడికి, హత్యా స్థలానికి మధ్య దూరం, c అంటే ఈ లోకంలో గరిష్ఠ వేగం) అటు ఇటుగా కాని ఉన్నప్పుడు, ఈ విషయాన్ని ఓ కదిలే ప్రామాణిక వ్యవస్థ నుండి చూసే పరిశీలకుడి చెప్పే సాక్ష్యం, నిర్దోషమైన ఎలిబీ కింద తీసుకోవాల్సి ఉంటుంది. అలాంటి పరిస్థితుల్లో నిందితుడు అసలు హత్యా స్థలంలోనే లేడని తాత్పర్యం.”


హత్యాస్థలానికి నిందితుడు d దూరంలో ఉన్నప్పుడు నిందితుడి నుండి ఏ ప్రభావం అయినా (ఉదాహరణకి తను పేల్చిన తూటా) హత్యా స్థలానికి చేరుకోవడానికి కనీసం d/c సెకనులు పడుతుంది. కనుక నిందితుడి కదలకలు అనే సంఘటనకి, హత్య అనే సంఘటనకి అంత కన్నా తక్కువ వ్యవధి ఉంటే, నిందితుడి వల్ల హత్య జరగలేదని తేలుతుంది. ఈ విషయం అర్థమైన పోలీస్ ఓ వెర్రినవ్వు నవ్వి, పోర్టర్ కేసి చూసి,


“ఇదుగో చుడు, ఇక నిన్ను వొదిలేస్తున్నా. నువ్వు స్వేచ్ఛగా ఇంటికి పోవచ్చు,” అంటూ పోర్టర్ ని విడిచిపెట్టి, వెంటనే ప్రొఫెసర్ కేసి తిరిగి, “మీకు చాలా థాంక్స్ సర్! సమయానికి మీరు వచ్చి నాకు సలహా ఇవ్వకపోయి ఉంటే, ఈ రోజు మా పై అధికారి చేతుల్లో నాకు మూడిందే. ఈ ఉద్యోగం నాకు కొత్త. ఇంకా నియమాలన్నీ పట్టు పడలేదు. అయినా జరిగిన హత్య గురించి ఫిర్యాదు చెయ్యాలి. ఇప్పుడే వస్తాను,” అంటూ పోలీస్ స్టేషన్ కి ఫోన్ చెయ్యడానికి దగ్గర్లోనే ఉన్న ఫోన్ బూత్ వద్దకి వెళ్లాడు. కాసేపట్లో తిరిగొచ్చి, “అసలు హంతకుణ్ణి ఇప్పుడే పట్టుకున్నార్ట. రైల్వేస్టేషన్ నుంచి పారిపోతుంటే దొరికాట్ట. అయినా మీ మేలు ఎన్నడూ మర్చిపోలేను,” అన్నాడు.

సుబ్బారావు, ప్రొఫెసర్ మళ్లీ రైలెక్కారు. రైలు కదిలింది.


“నాకసలు ఏవీ అర్థం కావడం లేదు,” ఇక ఉండబట్టలేక సుబ్బారావు బయటికి అనేశాడు. “ఏంటసలు ఈ ఏకకాలీనత గోలంతా? ఈ దేశంలో ఏకకాలీనతకి అర్థమే లేదా?”


“లేకనేం. తప్పకుండా ఉంది,” చిరునవ్వు నవ్వుతూ ప్రొఫెసర్ చెప్పుకొచ్చాడు. “కాని అది కొంత వరకే. అందుచేతనే పాపం ఆ పోర్టర్ ని కాపాడగలిగాను. ఏ లోకంలోనైనా వేగానికి ఓ గరిష్ఠ పరిమతి అంటూ ఉంటే, ఆ లోకంలో ఏకకాలీనత అన్న పదానికి మనం ఇచ్చే మామూలు అర్థం ఇక ఉండదు. ఇలా చెప్తే మీకు బాగా అర్థం అవుతుందేమో. ఉదాహరణకి దూరంగా, మరో ఊళ్లో మీకో స్నేహితుడు ఉన్నాడని అనుకుందాం. మీ స్నేహితుడికి మీరు ఏదైనా కబురు పెట్టాలంటే అందుకు ఒక్కటే మార్గం. ఉత్తరం రాయడం. అది రైల్లో ఆ ఊరు చేరుకోడానికి మూడు రోజులు పడుతుంది. ఉదాహరణకి ఆదివారం నాడు మీకు ఏదో జరుగుతుంది అనుకుందాం. అదే సంఘటన మీ స్నేహితుడి విషయంలో కూడా జరుగుతుందని కూడా మీకు తెలుసు అనుకుందాం. కాని మీకు జరిగిన సంఘటన గురించి మీ స్నేహితుడికి కబురు పెడితే ఆ వార్త అతడికి బుధవారం వరకు చేరదు. అదే విధంగా ఆదివారం మీకు జరుగబోయే విషయాన్ని అతడు మీకు తెలియజేయాలంటే అతడు అంతకు ముందు గురువారమే ఆ వార్త మీకు పంపాల్సి ఉంటుంది. కనుక ఒక గురువారం నుండి, తదుపరి బుధవారం వరకు, ఆ ఆరు రోజుల వ్యవధిలో మీరు మీ స్నేహితుడి మీద ప్రభావం చూపలేకపోవడమో, మీ స్నేహితుడు మీ మీద ప్రభావం చూపలేకపోవడమో జరుగుతుంది. కార్యకారణ సంబంధాల దృష్ట్యా మీ ఇరువురి మధ్య ఆరు రోజుల ఎడం ఉందన్నమాట.”


“ఉత్తరానికి బదులుగా టెలిగ్రాం ని వాడితేనో?” సుబ్బారావు అడిగాడు.


’కాని ఈ దేశంలో రైలు ప్రయాణించే వేగమే గరిష్ఠ వేగం అన్నమాట. మనం ఉండే దేశంలో కాంతి వేగమే గరిష్ఠ వేగం. కనుక అక్కడిపరిస్థితులు వేరు.”


“కావచ్చు,” సందేహం పూర్తిగా తీరక అడిగాడు సుబ్బారావు. “రైలు కన్నా వేగం ఏదీ ప్రయాణించలేకపోవచ్చు. కాని దానికి ఏకకాలీనతకి ఏంటి సంబంధం? నేను, నా మిత్రుడు దూరంగా ఉన్నా ఆదివారం ఒకే సమయంలో భోజనం చేస్తూ ఉండొచ్చుగా? అంటే సరిగ్గా నేను భోజనం చేస్తున్న సమయంలోనే అతడు కూడా భోజనం చేస్తూ ఉన్నాడని అనుకోడానికి ఏంటి అభ్యంతరం”


“అభ్యంతరం తప్పకుండా ఉంది. అలా ఊహించుకోడానికి వీలవుతుందేమో గాని దాన్ని వాస్తవంలో నిర్ధారించడానికి వీలుకాదు. ఉదాహరణకి రైల్లో ప్రయాణిస్తూ మిమ్మల్ని పరిశీలించే పరిశీలకుల పరిశీలనలు పూర్తిగా వేరుగా ఉంటాయి. వారి దృష్టిలో ఆదివారం రాత్రి మీరు భోజనం చేస్తున్న సంఘటన, శుక్రవారం ఉదయం అతడు టిఫిన్ చేస్తున్న సంఘటన ఏకకాలంలో జరిగినట్టు కనిపింవచ్చు. లేదా ఆదివారం రాత్రి మీరు భోజనం చేస్తున్న సంఘటన, మంగళవారం మధ్యాహ్నం అతడు భోజనం చేస్తున్న సంఘటన ఏకకాలంలో జరిగినట్టు కనిపింవచ్చు. ఎలా చూసినా మూడు రోజుల ఎడం కన్నా తక్కువ కాలం ఇద్దరూ (ఏకకాలంలో) భోజనం చేస్తున్నట్టుగా ఎవరూ చూడలేరు.”
“కాని ఇదంతా ఎలా సాధ్యం” ఇంకా అయోమయంగా అడిగాడు సుబ్బారావు.


(సశేషం...)

సాపేక్ష సిద్ధాంతంతో అపరాధ పరిశోధన

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, August 5, 2010 0 comments

చూడబోతే అదేదో పల్లెటూరి స్టేషన్ లా ఉంది. రైలు స్టేషన్ లోకి ప్రవేశిస్తుంటే ఇంచుమించు ఖాళీగా ఉన్న ప్లాట్ ఫామ్ ఆహ్వానిస్తూ కనిపించింది. అల్లంత దూరంలో ఓ స్టేషన్ మాస్టర్ నించుని ఉన్నాడు. అతడికి కాస్తంత దూరంలో ఓ కుర్ర పోర్టరు, ఓ ట్రాలీ మీద దర్జాగా కూర్చుని, బీడీతాగుతూ దినపత్రిక తిరగేస్తున్నాడు.


అంతలో ఏం జరిగిందో ఏమో స్టేషన్ మాస్టర్ నించున్న వాడల్లా బోర్లా ముందుకి పడ్డాడు. రైలు రొదలో తుపాకీ పేలిన చప్పుడు కూడా సరిగ్గా వినిపించలేదు. స్టేషన్ మాస్టర్ శరీరం చుట్టూ రక్తం మడుగయ్యింది. అది చూసిన ప్రొఫెసర్ ఆదుర్దాగా రైల్లోని ఎమర్జన్సీ చెయిన్ లాగాడు. కీచుమన్న చప్పుడుతో రైలు ఆగింది. ఇద్దరూ రైలు దిగుతుండగా అల్లంత దూరం నుండి పోర్టర్ కింద పడ్డ శరీరం వైపుగా పరుగెత్తుతూ కనిపించాడు. మరో పక్క నుండి ఓ పోలీస్ కూడా ప్లాట్ ఫామ్ మీదకి రావడం కనిపించింది.

“తూటా గుండె లోంచి దూసుకుపోయింది,” శవాన్ని పరీక్షించిన పోలీస్ నిట్టూరుస్తూ అన్నాడు. అంతలో పక్కనే ఉన్న పోర్టర్ జబ్బ బలంగా పట్టుకుంటూ, “ఈ హత్యకి నిన్ను అరెస్ట్ చేస్తున్నాను,” అన్నాడు.

“అయ్యో నాకేం తెలీదు. ఈ హత్య నేను చెయ్యలేదు,” పోర్టర్ అరుస్తున్నట్టుగా అన్నాడు. “తూటా పేలిన చప్పుడు వినిపించిన సమయానికి నేను అక్కడ కూర్చుని పేపరు చదువుకుంటున్నాను. కావాలంటే ఈ పెద్దమనుషులని అడగండి. వాళ్లు రైల్లోంచి అంతా చూసే ఉంటారు.”

“అవును,” అన్నాడు సుబ్బారావు. “నేను కళ్లారా చూశాను. స్టేషన్ మాస్టర్ కి తూటా తగిలిన సమయానికి ఇతడు అల్లంత దూరంలో పేపర్ చదువుకుంటున్నాడు. కచ్చితంగా చెప్తున్నాను.”

“కాని ఆ సమయంలో మీరు కదులుతున్న రైల్లో ఉన్నారు. మీరు చూసింది అసలు సాక్షం కిందకి రానే రాదు,” పోలీసు మాటల్లో అధికార దర్పం ధ్వనిస్తోంది. “ఎందుకంటే అదే దృశ్యాన్ని ప్లాట్ ఫామ్ నుండి చూసినట్టయితే అదే సమయంలో ఇతగాడు తుపాకీ కాల్చి ఉండొచ్చు. ఏకకాలినత అనేది మనం చూస్తున్న వ్యవస్థ మీద ఆధారపడుతుందని మీకు తెలిసే ఉంటుంది,” అని పోర్టర్ కేసి తిరిగి, “గొడవ చెయ్యకుండా నాతో రా” అని వాణ్ణి జబ్బ పట్టుకుని లాక్కెళ్లబోయాడు.

“ఇదుగో చూడండి కానిస్టేబులు గారూ” అంటూ అంతవరకు మౌనంగా ఉన్న ప్రొఫెసర్ జోక్యం చేసుకున్నాడు. “మీరు పూర్తిగా పొరబడ్డారు. ఈ పొరబాటు మీ పై అధికారులకి తెలిస్తే క్షమించరు. మీ దేశంలో ఏకకాలనత అన్నది చూస్తున్న వ్యవస్థ మీద ఆధారపడుతుందన్నది వాస్తవమే. రెండు వేరు వేరు స్థలాలలో జరిగిన రెండు వేరు వేరు సంఘటనలు ఒకే సమయంలో జరిగాయా లేదా అన్న విషయం మనం చూస్తున్న వ్యవస్థ యొక్క గమనం మీద ఆధారపడుతుంది అన్నది కూడా నిజమే. కాని అలాంటి మీ దేశంలో కూడా ఫలితాన్ని చూడక ముందే కారణాన్ని ఎవరూ చూడలేరు. ఉదాహరణకి టెలిగ్రాం పంపక ముందే మీకు అందడం ఎప్పుడైనా జరిగిందా? సీసా మూత తియ్యక ముందే అందులోని పానీయాన్ని తాగేయడం సాధ్యమా? అయితే ఒక్కటి మాత్రం జరిగి ఉండొచ్చు. కదిలే రైల్లోంచి చూడడం వల్ల కారణానికి, ఫలితానికి మధ్య వ్యవధి మరింత ఎక్కువై ఉండొచ్చు. స్టేషన్ మాస్టర్ కింద పడడం కనిపించగానే రైలు దిగేశాం కనుక, తూటా ఎప్పుడు పేలిందో మాకు తెలీదు. పోలీస్ డిపార్ట్ మేంట్ లో సిబ్బందికి వాళ్లకి లిఖితపూర్వకంగా ఇచ్చిన ఆదేశాలనే అనుసరించాలని ఓ నియమం ఉంటుంది. ఒకసారి ఆ ఆదేశాలని మళ్లీ చూడండి. అందులోనే మీకు ఏవైనా క్లూ దొరుకతుందేమో?”

(సశేషం...)

సామాన్య సాపేక్ష సిద్ధాంతం దిశగా...

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, August 2, 2010 2 comments

“సైన్సులో మహత్యాలకి స్థానం లేదు,” కాస్త కటువుగా అన్నాడు ప్రొఫెసర్. “ప్రతీ చలనాన్ని కొన్ని నియత ధర్మాలు పాలిస్తుంటాయి. కాలానికి, ఆయతనానికి (space) సంబంధించి ఐనిస్టయిన్ బోధించిన సరి కొత్త భావాలకి పర్యవసానమే ఈ మార్పు. కదిలే వ్యవస్థలో జరిగే క్రియలన్నీ నెమ్మదిస్తాయి. మనం ఉండే లోకంలో కాంతి వేగం చాలా ఎక్కువ కనుక ఈ ప్రభావాలన్నీ అత్యల్పంగా ఉంటాయి. కాని ఈ లోకంలో గరిష్ఠ వేగం చాలా తక్కువ కనుక ఈ ప్రభావాలు దైనందిన జీవితంలో కుడా సంచలనాత్మకంగా కనిపిస్తున్నాయి. ఉదాహరణకి నిశ్చలంగా ఉన్న గిన్నెలో ఓ గుడ్డుని ఉడికించడానికి ఐదు నిముషాలు పడుతుంది అనుకుందాం. అదే ఆ గిన్నెని అటు ఇటు ఊపుతూ గుడ్డుని ఉడికిస్తే ఐదు నిముషాల్లో జరగాల్సినది, ఆరు నిముషాలు పట్టొచ్చు. అలాగే ముందుకి వెనక్కి ఊగే కుర్చీలో కాలం మరింత నెమ్మదిగా సాగుతుంది. అదే విధంగా రైల్లో ప్రయాణీకుల విషయంలో కూడా కాలం నెమ్మదిస్తుంది. ఆ సందర్భాల్లో వ్యక్తులు మరింత నెమ్మదిగా జీవిస్తుంటారు. కనుకనే ’సమవేగంతో కదలని వ్యవస్థల్లో కూడా కాలం నెమ్మదిస్తుంది’ అని శాస్త్రవేత్తలు అంటారు.”


“కాని మన లోకంలో, దైనందిన జీవితంలో ఇలాంటి పరిణామాలు కనిపిస్తాయి అంటారా?”

“కనిపిస్తాయి. కాని వాటిని కనిపెట్టడానికి చాలా నిశిత దృష్టి కావాలి. కాలంలో మార్పులు కనిపించేటంత స్థాయిలో త్వరణాలు సాధించడానికి అత్యధిక త్వరణాలు సాధించాలి. మరో విషయం ఏంటంటే త్వరణం చెందుతున్న వ్యవస్థకి, అధిక గురుత్వం గల వ్యవస్థకి మధ్య తేడా లేదు. ఉదాహరణకి ఊర్థ దిశలో (upwards) త్వరణం చెందుతున్న లిఫ్ట్ లో నించున్నప్పుడు, మన బరువు పెరిగినట్టు ఉంటుంది. అంటే అధిక గురుత్వ క్షేత్రంలో ఉండడం లాంటిది అన్నమాట. అలాగే లిఫ్ట్ కింది దిశలో త్వరణం చెందుతుంటే మన బరువు తగ్గినట్టు ఉంటుంది. ఇక ’తాడు తెగి’ కింద పడుతున్న లిఫ్ట్ లో అయితే తేలిపోతున్నట్టు ఉంటుంది, అసలు బరువే తెలీదు. అంటే గురుత్వం శూన్యమైనట్టు అన్నమాట. ఒక విధంగా చెప్పాలంటే గురుత్వ క్షేత్రం యొక్క ప్రభావం, త్వరణం యొక్క ప్రభావానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేస్తోందని అనుకోవచ్చు. ఉదాహరణకి సూర్యుడి గురుత్వ క్షేత్రం భూమి మీద గురుత్వం కన్నా చాలా ఎక్కువ కనుక ఈ పరిణామాలు మరింత ప్రస్ఫుటంగా కనిపిస్తాయి. కనుక అక్కడి ప్రక్రియలన్నీ నెమ్మదిస్తాయి. ఈ వాస్తవాన్ని ఖగోళశాస్త్రవేత్తలు గమనిస్తారు.”

“కాని అవన్నీ పరిశీలించడానికి మనం సూర్యుడి వద్దకి ప్రయాణించలేంగా?” కాస్త అనుమానంగా అడిగాడు సుబ్బారావు.

“అందుకు సూర్యుడి వద్దకి ప్రయాణించనక్కర్లేదు. సూర్యుడు నుండి వచ్చే కాంతిని పరిశీలిస్తే చాలు. సౌరవాతావరణంలో ఉండే పరమాణువుల ప్రకంపన వల్ల ఈ కిరణాలు పుడతాయి. అక్కడి ప్రక్రియలన్నీ నెమ్మదిస్తే, ఆ ప్రకంపనలు కూడా నెమ్మదించాలి. భూమి మీద ఉండే కాంతి మూలాల నుండి వచ్చే కాంతిని, సూర్యుడి మీద ఉండే కాంతి మూలాల నుండి వచ్చే కాంతితో పోల్చితే ఈ తేడాని గమనించొచ్చు.” అంటున్నవాడల్లా ప్రొఫెసర్ అర్థోక్తిలో ఆపి, “అవుతూ ఇప్పుడొస్తున్న స్టేషను పేరు నీకు తెలుసా?” అని అడిగాడు.

(సశేషం...)





postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email