శాస్త్ర విజ్ఞానము

గోళం యొక్క ఘనపరిమాణానికి సూత్రం 4/3 pi r^3 అని చిన్నప్పుడు బళ్లో నేర్పుతారు. కాల్క్యులస్ విధానాలని ఉపయోగించి ఈ సూత్రాన్ని ఎలా సాధించొచ్చో ఇంటర్మీడియట్ లో తెలుసుకుంటాం. అయితే కాల్క్యులస్ అవసరం లేకుండా గోళం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని సాధించే ఓ అద్భుతమైన పద్ధతి కనిపెట్టాడు ఆర్కిమిడీస్. ఆ విధానం ఇలా ఉంటుంది.

ఈ పద్ధతిలో ముందు రెండు వస్తువుల యొక్క ఘనపరిమాణాన్కి సూత్రం తెలియాలి – స్తంభం (cylinder), మరియు శంకువు (cone).
r వ్యాసార్థం, h పొడవు ఉన్న స్తంభం యొక్క ఘనపరిమాణం = p r2 h (pi r^2 h)
ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం r, ఎత్తు h అయిన శంకువు యొక్క ఘనపరిమాణం = 1/3 p r2 h (1/3 pi r^2 h)

ఇప్పుడొక చిన్న కసరత్తు చేద్దాం. r వ్యాసార్థం గల ఒక అర్థగోళాన్ని తీసుకుందాం. అలాగే ఆధారం యొక్క వాసార్థం r, ఎత్తు కూడా r గల ఓ శంకువు ని తీసుకుందాం. ఈ అర్థగోళాన్ని, శంకువుని పక్కపక్కన ఇలా ఉంచుదాం.


ఇప్పుడు h ఎత్తులో రెండు వస్తువులని పరిచ్ఛేదిస్తే, ఆ పరిచ్ఛేదం యొక్క వైశాల్యం ఎంతవుతుందో చూద్దాం. రెండు వస్తువులకి నిలువు అక్షం మీదుగా సౌష్ఠవం (symmetry) ఉంది గనుక, పరిచ్ఛేదాలు రెండూ వృత్తాలే అవుతాయి.

అర్థగోళంలో పరిచ్ఛేదం యొక్క వాసార్థం = sqrt (r^2 – h^2)
కనుక దాని వైశాల్యం = pi (r^2 – h^2) (1)
శంకువు ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం, దాని ఎత్తుతో సమానం కనుక, h ఎత్తులో చేసిన పరిచ్ఛేదం యొక్క వ్యాసార్థం కూడా r అవుతుంది. కనుక,
శంకువు లోని పరిచ్ఛేదం వైశాల్యం = pi (h^2) (2)
ఈ రెండు పరిచ్ఛేదాల వైశాల్యాలని కలిపితే వచ్చేది,

pi (r^2 – h^2) + pi ( h^2) = pi r^2
అంటే ఏ ఎత్తులో కోసినా ఆ రెండు పరిచ్చేదాల మొత్తం = pi r^2 కావడం కొంచెం విచిత్రంగా అనిపిస్తుంది.
ప్రతీ ఎత్తులోను పరిచ్ఛేదం pi r^2 అయ్యే ఒక వస్తువు ఉంది. అది r వ్యాసార్థం కలిగి నిలువుగా ఉన్న స్తంభం.

అంటే ప్రతీ ఎత్తులోను,
అర్థగోళం యొక్క పరిచ్చేదం వైశాల్యం + శంకువు యొక్క పరిచ్ఛేదం వైశాల్యం = స్తంభం పరిచ్ఛేదం యొక్క వైశాల్యం
ప్రతీ పరిచ్చేదాన్ని, సన్నని మందం ఉన్న పొరలాగా ఊహించుకుంటే, దీన్ని బట్టి మనకి మరో సత్యం అర్థమవుతుంది,

r వ్యాసార్థం గల అర్థగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం + r వ్యాసార్థం, r ఎత్తు గల శంకువు యొక్క ఘనపరిమాణం = r వ్యాసార్థం, r ఎత్తు గల స్తంభం యొక్క ఘనపరిమాణం

==> r వ్యాసార్థం గల అర్థగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం + 1/3 pi r^3 = pi r^3

==> r వ్యాసార్థం గల అర్థగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం = 2/3 pi r^3
==> r వ్యాసార్థం గల పూర్ణగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం = 2X 2/3 pi r^3 = 4/3 pi r^3

ఈ విధంగా ఆర్కిమిడీస్ గోళం యొక్క ఘనపరిమాణానికి సూత్రం కనుక్కుంటాడు.