సోవియెట్ ప్రచురణ సంస్థ మీర్ పబ్లిషర్స్ మన దేశంలో విజ్ఞాన ప్రచారంలో ఎంతో సేవ చేశాయి. ఆ పుస్తకాలు ప్రస్తుతం మనకి, ముఖ్యంగా ప్రస్తుత యువ తరానికి లభ్యం కాకపోవడం విచారకరం.
మీర్ పబ్లిషర్స్
యొక్క గణిత ప్రచురణల్లో నేను చిన్నప్పుడు చదువువున్న పుస్తకం, బాగా గుర్తుండిపోయిన పుస్తకం ఒకటుంది. దాని పేరు “Lines and curves: A practical Geometry Handbook.” సరళ రేఖల గురించి, రకరకాల వక్రాల గురించి ఆసక్తికరమైన కథలతో, అందమైన బొమ్మలతో ఆ పుస్తకం లెక్కల పుస్తకంలా కాక, ఓ fairy tale లా ఉంటుంది. అది చదివితే ఎవరైన geometry అంటే పీకల్దాకా ప్రేమలో పడతారు.
ఓ పుస్తకంలో ఇవ్వబడ్డ అలాంటి ఓ చిన్న లెక్కల ‘కథ.’
ఓ నిచ్చెన మీద ఓ పిల్లి ప్రశాంతంగా కూర్చుందట పాపం. ఇంతలో మరి – ఆ పిల్లి ఏం చేసిందో ఏమో గాని – గోడకి ఆన్చిన నిచ్చెన నెమ్మదిగా జారడం మొదలెట్టింది. పిల్లి నిచ్చెనకి సరిగ్గా మధ్యన కూర్చుని వుంది. అలా పడుతున్న పిల్లి యొక్క చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది? (పడిపోతున్న పిల్లికూనని ఠక్కున గంతేసి ఆదుకోక దాని మీద లెక్కలు అల్లడం ఏంటండీ? ఈ గణితవేత్తలకి గుండె లేదు!)
నిచ్చెన గోడని తాకిన బిందువు A అని, నేలని తాకిన బిందువు B అని అనుకుందాం. నిచ్చెన పొడవు d అనుకుందాం. పిల్లి ఉన్న బిందువు P అనుకుందాం. ఈ సమస్యని రకరకాలుగా పరిష్కరించొచ్చు.
A వద్ద అడ్డుగాను, B వద్ద నిలువుగాను గీతలు గీసి OACB అనే దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పాటు చెయ్యాలి. దీని కర్ణాలు (diagonals) రెండూ ఒక దాన్నొకటి మధ్యగా ఛేదించుకుంటాయి కనుక OP=PC=AP=PB అవుతుంది. P నిచ్చెనలో మధ్య బిందువు కనుక AP=PB=d/2 =OP అవుతుంది. అంటే పిల్లి ఎక్కడ ఉన్నా OP విలువ ఎప్పుడూ d/2 అవుతుంది అన్నమాట. అంటే పిల్లి వృత్తాకరపు రేఖలో కింద పడుతుంది.
ఇపుడు ఇదే సమస్యని పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తూ (మరి దాని ఫీలింగ్స్ ని కూడా కాస్త పట్టించుకోవాలిగా మరి!) పరిష్కరిద్దాం. పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తే నిచ్చెన కదలకుండా స్థిరంగా ఉంటుంది. గోడ, నేల కదులుతుంటాయి! ఆ కదలికని కింద బొమ్మలో చూడొచ్చు.
గోడ, నేల ఎప్పుడూ ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి. పిల్లి దృష్టిలో గోడ నేల కలిసే బిందువు (O) కదులుతుంటుంది (O1, O2 …). O ఎక్కడ ఉన్నా /AOB = 90 డిగ్రీలే అవుతుంది. కనుక AB రేఖ వ్యాసంగా గల ఓ వృత్తం మీద O ఒక బిందువు అవుతుంది. అంటే OP = AB/2 = d/2, అవుతుంది. మళ్లీ P అనే బిందువు O నుండి d/2 దూరంలో కదులుతోందని తేలింది.
ఇదే సమస్యని త్రికోణమితి (trigonometry) ఉపయోగించి కూడా చాలా సులభంగా చెయ్యొచ్చు. త్రికోణమితి పద్ధతిలో చేస్తే దీనికి సంబంధించిన మరింత జటిలమైన మరో సమస్యని కూడా పరిష్కరించొచ్చు.
ఈ కింది బొమ్మలో చూపించినట్టు, కోణం /ABO విలువ h అనుకుందాం.
అప్పుడు
x= d/2 cos(h); y = d/2 sin(h)
అని సులభంగా తెలుస్తుంది.
రెంటిట్నీ కలిపితే,
x^2 + y^2 = (d/2)^ 2
అని తెలుస్తుంది. ఇది వృత్తాన్ని వర్ణించే సమీకరణం అని మనకి తెలుసు.
ఇప్పుడు మరి కాస్త జటిలమైన ప్రశ్న. పిల్లి నిచ్చెనకి మధ్యలో కాకుండా ఒక పక్కకి ఉంటే దాని చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది. ఈ సారి కూడా వృత్తాకరంలోనే ఉంటుందా?
ఈ సమస్యని త్రికోణమితితో అయితే చాలా సులభంగా పరిష్కరించొచ్చు.
కింది బొమ్మలో AP = a, BP = b, అనుకుందాం. (a,b లు సమానం కావు గాని a+b=d అని తెలుసు).
ఈ సారి P యొక్క నిరూపకాలు,
X = a cos(h), y = b sin(h) అవుతుంది కనుక,
(x/a)^2 + (y/b) ^2 = 1
అని తెలుస్తుంది. ఇది ఓ దీర్ఘ వృత్తాన్ని (ellipse) వర్ణించే సమీకరణం.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లియొనార్డో డా వించీ దీర్ఘవృత్తాలని గీయడా
నికి ఓ చక్కని పరికరాన్నికనిపెట్టాడు. దాన్ని ఈ కొంది బొమ్మలో చూడొచ్చు.
పిల్లి కూన పడిందన్న మాటేగాని పడుతూ పడుతూ ఎన్ని పాఠాలు నేర్పింది!
Reference:
Victor Gutenmacher, NB Vasilyev, Lines and Curves, Mir Publishers.
మీర్ పబ్లిషర్స్
యొక్క గణిత ప్రచురణల్లో నేను చిన్నప్పుడు చదువువున్న పుస్తకం, బాగా గుర్తుండిపోయిన పుస్తకం ఒకటుంది. దాని పేరు “Lines and curves: A practical Geometry Handbook.” సరళ రేఖల గురించి, రకరకాల వక్రాల గురించి ఆసక్తికరమైన కథలతో, అందమైన బొమ్మలతో ఆ పుస్తకం లెక్కల పుస్తకంలా కాక, ఓ fairy tale లా ఉంటుంది. అది చదివితే ఎవరైన geometry అంటే పీకల్దాకా ప్రేమలో పడతారు.ఓ పుస్తకంలో ఇవ్వబడ్డ అలాంటి ఓ చిన్న లెక్కల ‘కథ.’
ఓ నిచ్చెన మీద ఓ పిల్లి ప్రశాంతంగా కూర్చుందట పాపం. ఇంతలో మరి – ఆ పిల్లి ఏం చేసిందో ఏమో గాని – గోడకి ఆన్చిన నిచ్చెన నెమ్మదిగా జారడం మొదలెట్టింది. పిల్లి నిచ్చెనకి సరిగ్గా మధ్యన కూర్చుని వుంది. అలా పడుతున్న పిల్లి యొక్క చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది? (పడిపోతున్న పిల్లికూనని ఠక్కున గంతేసి ఆదుకోక దాని మీద లెక్కలు అల్లడం ఏంటండీ? ఈ గణితవేత్తలకి గుండె లేదు!)
నిచ్చెన గోడని తాకిన బిందువు A అని, నేలని తాకిన బిందువు B అని అనుకుందాం. నిచ్చెన పొడవు d అనుకుందాం. పిల్లి ఉన్న బిందువు P అనుకుందాం. ఈ సమస్యని రకరకాలుగా పరిష్కరించొచ్చు.
A వద్ద అడ్డుగాను, B వద్ద నిలువుగాను గీతలు గీసి OACB అనే దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పాటు చెయ్యాలి. దీని కర్ణాలు (diagonals) రెండూ ఒక దాన్నొకటి మధ్యగా ఛేదించుకుంటాయి కనుక OP=PC=AP=PB అవుతుంది. P నిచ్చెనలో మధ్య బిందువు కనుక AP=PB=d/2 =OP అవుతుంది. అంటే పిల్లి ఎక్కడ ఉన్నా OP విలువ ఎప్పుడూ d/2 అవుతుంది అన్నమాట. అంటే పిల్లి వృత్తాకరపు రేఖలో కింద పడుతుంది.
ఇపుడు ఇదే సమస్యని పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తూ (మరి దాని ఫీలింగ్స్ ని కూడా కాస్త పట్టించుకోవాలిగా మరి!) పరిష్కరిద్దాం. పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తే నిచ్చెన కదలకుండా స్థిరంగా ఉంటుంది. గోడ, నేల కదులుతుంటాయి! ఆ కదలికని కింద బొమ్మలో చూడొచ్చు.
గోడ, నేల ఎప్పుడూ ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి. పిల్లి దృష్టిలో గోడ నేల కలిసే బిందువు (O) కదులుతుంటుంది (O1, O2 …). O ఎక్కడ ఉన్నా /AOB = 90 డిగ్రీలే అవుతుంది. కనుక AB రేఖ వ్యాసంగా గల ఓ వృత్తం మీద O ఒక బిందువు అవుతుంది. అంటే OP = AB/2 = d/2, అవుతుంది. మళ్లీ P అనే బిందువు O నుండి d/2 దూరంలో కదులుతోందని తేలింది.
ఇదే సమస్యని త్రికోణమితి (trigonometry) ఉపయోగించి కూడా చాలా సులభంగా చెయ్యొచ్చు. త్రికోణమితి పద్ధతిలో చేస్తే దీనికి సంబంధించిన మరింత జటిలమైన మరో సమస్యని కూడా పరిష్కరించొచ్చు.
ఈ కింది బొమ్మలో చూపించినట్టు, కోణం /ABO విలువ h అనుకుందాం.
అప్పుడు
x= d/2 cos(h); y = d/2 sin(h)
అని సులభంగా తెలుస్తుంది.
రెంటిట్నీ కలిపితే,
x^2 + y^2 = (d/2)^ 2
అని తెలుస్తుంది. ఇది వృత్తాన్ని వర్ణించే సమీకరణం అని మనకి తెలుసు.
ఇప్పుడు మరి కాస్త జటిలమైన ప్రశ్న. పిల్లి నిచ్చెనకి మధ్యలో కాకుండా ఒక పక్కకి ఉంటే దాని చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది. ఈ సారి కూడా వృత్తాకరంలోనే ఉంటుందా?
ఈ సమస్యని త్రికోణమితితో అయితే చాలా సులభంగా పరిష్కరించొచ్చు.
కింది బొమ్మలో AP = a, BP = b, అనుకుందాం. (a,b లు సమానం కావు గాని a+b=d అని తెలుసు).
ఈ సారి P యొక్క నిరూపకాలు,
X = a cos(h), y = b sin(h) అవుతుంది కనుక,
(x/a)^2 + (y/b) ^2 = 1
అని తెలుస్తుంది. ఇది ఓ దీర్ఘ వృత్తాన్ని (ellipse) వర్ణించే సమీకరణం.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లియొనార్డో డా వించీ దీర్ఘవృత్తాలని గీయడా
నికి ఓ చక్కని పరికరాన్నికనిపెట్టాడు. దాన్ని ఈ కొంది బొమ్మలో చూడొచ్చు.పిల్లి కూన పడిందన్న మాటేగాని పడుతూ పడుతూ ఎన్ని పాఠాలు నేర్పింది!
Reference:
Victor Gutenmacher, NB Vasilyev, Lines and Curves, Mir Publishers.
0 comments