శాస్త్ర విజ్ఞానము

ఆర్కిమిడీస్ కనిపెట్టిన స్టోమకియాన్ (stomachion) అనే గణిత క్రీడ గురించి రెండు వ్రాతపత్రులు శిధిలావస్థలో దొరికాయి. వాటిలో ఒకటి అరబిక్ అనువాదం. పదవశతాబ్దానికి చెందిన రెండవ వ్రాతపత్రి గ్రీకులో రాయబడినది. ఇది 1899 లో కాస్టాంటినోపుల్ నగరంలో దొరికింది. అసలు ఆర్కిమిడీస్ ఈ ఆటని కనిపెట్టాడా లేక అందులోని జ్యామితి (geometry) సంబంధమైన అంశాలని గణితపరంగా విశ్లేషించాడా అన్న విషయం మీద స్పష్టత లేదు. ప్రాచీన రచనలలో మరి కొన్ని చోట్ల కూడా ఈ ఆట గురించిన ప్రస్తావన ఉంది. ఒక లాటిన్ కృతిలో దీని గురించి ‘లోక్యులస్ ఆర్కిమీడియస్’ (loculus Archimedius అంటే ఆర్కిమిడీస్ పెట్టె) అని ప్రస్తావించబడింది. στόμαχος (stomakos) అంటే గ్రీకులో ‘కడుపు’ (stomach) అని అర్థం. మరి ఈ ఆటకి స్టొమకియాన్ అని ఎందుకు పేరు పెట్టారో ఎవరికీ తెలీదు.

ఈ ఆటలో 14 చదునైన దంతపు ముక్కలు ఉంటాయి. ప్రతి ముక్క ఒక బహుభుజి (polygon) ఆకారంలో ఉంటుంది. ఈ ఆకారాలని కూర్చి ఒక చదరాన్ని తయారు చెయ్యొచ్చు. అయితే ఇవే ఆకారాలని కొత్త కొత్త రకాలుగా కూర్చి సరదాగా వివిధ వస్తువుల రూపాలని తయారు చెయ్యాలి. కింద చిత్రంలో వీటిని కూర్చి ఓ ఏనుగు బొమ్మని తయారుచేసే పద్దతి కనిపిస్తోంది.

`

స్టొమకియాన్ ఆటలో ఆడే బహుభుజుల నిర్మాణం ఈ విధంగా ఉంటుంది. 12 X 12 పరిమాణం ఉన్న చదరపు గడిని తీసుకోవాలి. గడిలో కనిపించే గీతల అంతరఖండన (intersection) బిందువులని ‘గడి బిందువులు’ (lattice points) అంటారు. గడిలో కనిపించే ప్రతి చిన్న చదరం యొక్క వైశాల్యం ఒక యూనిట్ అనుకుంటే, పెద్ద చదరం యొక్క వైశాల్యం 144 అవుతుంది. గడిలో గుర్తులు పెట్టబడ్డ ఎర్రని బిందువులని చిత్రంలో చూపించినట్టు కలపాలి. ఈ గీతల వల్ల గడి 14 ముక్కలుగా విభజింపబడుతుంది.

3 ముఖాలు గల బహుభుజులు (త్రిభుజాలు) =11
4 ముఖాలు గల బహుభుజులు (చతుర్భుజాలు) = 2
5 ముఖాలు గల బహుభుజులు (పంచభుజాలు) = 1

ప్రతి బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం పూర్ణ సంఖ్య కావడం విశేషం. ఎందుకంటే ఇవి ప్రత్యేకమైన బహుభుజులు. చదరపు గడి మీద బిందువులని కలపగా ఏర్పడ్డవి. అలాంటి బహుభుజులని గడి బహుభుజులు (lattice polygons) అంటారు. గడి బహుభుజుల వైశాల్యాన్ని తెలిపే ఓ చక్కని సూత్రం ఉంది. దాని పేరు ‘పిక్ సిద్ధాంతం’ (Pick’s theorem). ఆ సిద్ధాంతం సహాయంతో స్టొమకియాన్ ఆటలోని బహుభుజుల వైశాల్యం పూర్ణ సంఖ్య ఎందుకు అయ్యిందో అర్థం అవుతుంది.


పిక్ సిద్ధాంతం
ఈ సిద్ధాంతాన్ని కనిపెట్టింది ఆస్ట్రియాకి చెందిన జార్జ్ అలెగ్సాండర్ పిక్ (1859-1942).
ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం ఒక గడిబహుభుజి యొక్క వైశాల్యాన్ని తెలిపే సూత్రం ఈ విధంగా ఉంటుంది –
వైశాల్యం = A + B/2 – 1
A - ఇది బహుభుజి లోపలి భాగంలో ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య
B – ఇది బహుభుజి సరిహద్దు మీద ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య
ఉదాహరణకి కింద కనిపించే గడిబహుభుజిలో A = 31, B = 15, కనుక బహుభుజి వైశాల్యం
= 31 + 15/2 – 1 = 37.5 అవుతుంది.

ఇంత సంక్లిష్టమైన బహుభుజి యొక్క వైశాల్యానికి ఇంత సులభమైన సూత్రం ఉండడం ఆశ్చర్యం. ఇదే పిక్ సిద్ధాంతంలోని గొప్పదనం.
ఈ సూత్రంలో B సరి సంఖ్య అయితే వైశాల్యం ఎప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది. స్టొమకియాన్ ఆటలో ప్రతీ బహుభుజికి సరిహద్దు మీద ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య సరి సంఖ్య అయ్యుండేలా జాగ్రత్తపడ్డాడు ఆ ఆట యొక్క సృష్టికర్త.

Reference:
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/intro.html