శాస్త్ర విజ్ఞానము

శ్రీనివాస రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ లో ఉండే రోజుల్లో పి.సి. మహలనోబిస్ అనే మరో ప్రఖ్యాత భారతీయ గణితవేత్తతో పాటు కలిసి ఒకే ఇంట్లో ఉండేవాడు. మహలనోబిస్ కి ఒక రోజు స్ట్రాండ్ అనే ఇంగ్లీష్ పత్రికలో ఒక గణిత సమస్య కనిపించింది. వెంటనే తెచ్చి రామానుజన్ కి చదివి వినిపించాడు. ఆ సమయంలో రామానుజన్ వంటగదిలో కూరలు వేయిస్తున్నాడు. మహలనోబిస్ వర్ణించిన సమస్యని జాగ్రత్తగా విన్నాడు. రామానుజన్ కి అత్యంత జటిలమైన లెక్కలు కూడా మనసులోనే చెయ్యగలిగే అలవాటు ఉండేది. ఆ సమస్య ఇలా ఉంటుంది.

సమస్య – ఒక వీధిలో వరుసగా 1, 2, 3, … n, అని అంకెల గుర్తులు ఉన్న ఇళ్లు ఉన్నాయి. ఈ వరుసలో ఒక ప్రత్యేకమైన ఇల్లు వుంది. దాని స్థానం x. ఆ ఇంటికి కుడి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం ఎంతో, ఎడమ పక్క ఉండే ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం కూడా అంతే. ఇప్పుడు n విలువ 50కి, 500 కి మధ్య ఉందని అనుకుంటే , n, x, ల విలువలు ఎంత?

ఆ సమస్యకి రామానుజన్ ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు. ఆ పరిష్కారంలో ఒక విశేషం వుంది. ‘అవిచ్ఛిన్న భిన్నాల’ని (continued fractions) ఉపయోగించి ఈ సమస్యని పరిష్కరించాడు. అంతే కాక, ఈ ఒక్క సమస్యనే కాక, ఈ వర్గానికి చెందిన మరెన్నో సమస్యలని కూడా అదే దెబ్బతో పరిష్కరించాడు. “అలా ఎలా చెయ్యగలిగావ?”ని అడిగాడు ఆ దెబ్బకి ఇంకా తేరుకోని మహలనోబిస్. “ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది,” అని బదులు చెప్పాడు రామానుజన్.
పైన చెప్పుకున్న సమస్యకి పరిష్కారాన్ని ఇలా ప్రారంభించొచ్చు. x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి ఒక పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
1 + 2 + 3 … (x-1) = x(x-1)/2
(ఇక్కడ, 1 + 2 + …+m = m(m+1)/2 అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాం.)
అలాగే x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి అవతలి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
(x+1) + (x+2) + (x+3)+ … +n = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
కనుక,
x(x-1)/2 = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
పైన సమీకరణంలోని పదాలకి కాస్త అటు ఇటు చేస్తే,
(2n + 1)2 – 2 (2x) 2 = 1
దీన్ని మరింత సామాన్య రూపంలో ఇలా రాసుకోవచ్చు,
u^2 – 2v^2 = 1
దీన్ని బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర సమీకరణం అంటారు. దీన్నే ‘పెల్’ (Pell) సమీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఈ సమీకరణానికి ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. దీని పరిష్కారం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని ఇలా రాసుకోవచ్చు.
(u^2 –1)/v^2 = 2,
లేదా
కనుక u, v విలువలు తెలిస్తే విలువని ఉజ్జాయింపుగా, ఒక భిన్నం రూపంలో, వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలుంటుంది. ఈ సమీకరణానికి మరింత సార్వత్రిక రూపం వుంది. అది,
u^2 – N v^2 = 1
దీనికి పరిష్కారం తెలిస్తే,
ని కూడా భిన్నంగా, ఉజ్జాయింపుగా వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలవుతుంది.
ఈ సమీకరణం గురించి ప్రాచీన భారత గణితవేత్తలకి బాగా తెలుసు.
ఉదాహరణకి ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు u = 17, v = 12, మరియు u = 577, v = 408 అని బౌధాయనుడికి తెలుసు. ఈ బౌధాయనుడు క్రీ.పూ. 800 ప్రాంతాల్లో జీవించాడు. ఇతడు ‘బౌధాయన సుల్బసూత్రాలు’ అనే గణిత గ్రంథానికి రచయిత.
ఇదే సమస్యని బ్రహ్మగుప్తుడు అసంఖ్యాకమైన సాధనలు వచ్చేట్టుగా పరిష్కరించాడు.
అందుకోసం ముందుగా ఒక ‘అభిన్నం’ ని (identity) నిరూపించాడు. బ్రహ్మగుప్తుడి అభిన్నంగా పిలవబడే ఈ అభిన్నం ఇలా ఉంటుంది.
(a^2 + n b^2) (c^2 + n d^2) = (ac – nbd)^2 + n (ad + bc)^2
పై అభిన్నాన్ని నిరూపించడం అంత కష్టం కాదు. కాని ఈ అభిన్నానికి మరో రూపాంతరాన్ని కుడా ఇస్తాడు బ్రహ్మగుప్తుడు.
(x1^2 – N y1^2)( x2^2 – N y2^2) = (x1* x2 – N* y1* y2)^2 – N (x1*y2 + x2*y1)^2

దీన్ని వాడుకుని ఇందాక చెప్పుకున్న బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అద్భుతంగా ఉంటుంది.
దీన్ని బట్టి (x1,y1), (x2,y2) అనేవి u2 – Nv2 = 1 కి సాధనలు అయితే, ((x1* x2 – N* y1* y2), (x1*y2 + x2*y1)) లు కూడా సాధనలు అవుతాయని తేలుతుంది. ఈ సూత్రాన్ని మళ్లీ మళ్లీ వాడుకుంటే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.

మొదట చెప్పుకున్న సమస్య గురించి విన్నాడో లేదో రామానుజన్ కి దాని పరిష్కారం మనసులో స్ఫురించింది. బ్రహ్మగుప్తుడు సాధించిన పద్ధతిలో కాక, వేరే విధంగా, అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలని (continued fractions) ఉపయోగించి సమస్యని గొప్ప చాతుర్యంతో పరిష్కరించాడు. అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అంటే అనంతంగా సాగే భిన్నం. ఉదాహరణకి,

sqrt(2) కి అవిచ్ఛిన్న భిన్నం ఇలా ఉంటుందని ఊహించాడు రామానుజన్,

sqrt(2) = 1 + 1/(2+1/(2+1/(2+1/...

ఇలాంటి భిన్నాన్ని అనంతం వరకు లెక్కించడం అసంభవం కనుక దాన్ని ఏదో ఒక స్థాయిలో తెగ్గోస్తారు. అలా తెగ్గోయగా వచ్చిన విలువని convergent అంటారు. స్థాయి పెంచుకుంటూ పోతే వరుసగా ఎన్నో convergent లు వస్తాయి. ఉదాహరణకి,
మొదటి convergent, = 1/1
రెండవ convergent = 1 + 1/2 = 3/2
మూడవ convergent, = 1+ 1/(2 + 1/2) = 7/5

నాలుగవ convergent, = 1+ 1/(2+1/(2+1/2)) = 17/12


పైన ఇవ్వబడ్డ convergent లు అన్నీ భిన్నాల రూపంలో ఉన్నాయి. అవే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అవుతాయని రామానుజన్ గుర్తించాడు!
ఉదాహరణకి (1,1) (3,2), (7,5), (17,12) మొదలైనవి,
u^2 – 2v^2 = 1
u^2 – 2v^2 = -1
అనే రెండు సమీకరణాలని మారి మారి తృప్తిపరుస్తాయి!
బ్రహ్మగుప్తుడి పద్ధతి లాగానే ఈ విధంగా కూడా బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.

R. Ramanujam, The man who was loved by formulas, Jantar Mantar, Nov-Dec, 2011.