శాస్త్ర విజ్ఞానము

అసలు ఘనకోణం అనే బావన ఎందుకు అవసరం?

కోణం అనే భావన తలానికి పరిమితమైన ఓ లక్షణం అని మనకి తెలుసు. ఉదాహరణకి త్రిభుజం, చతురస్రం మొదలైన బహుభుజులకి శీర్షాలు (కొసలు, vertices) ఉంటాయి. ఆ శీర్షాలకి కోణాలు ఉంటాయి.

మరైతే ఘనపరిమాణం గల వస్తువులైన ఘనం, పిరమిడ్, టెట్రహెడ్రన్, శంకువు మొదలైన వస్తువులకి కూడా శీర్షాలు ఉంటాయి కదా?

ఆ కొసలని కూడా కోణాలతో వర్ణించగలమా? ఉదాహరణకి ఒక ఘనంలో ప్రతీ శీర్షం వద్ద మూడు ముఖాలు కలుస్తున్నాయి. మూడు ముఖాలలోను మూడు కోణాలు ఆ శీర్షం వద్ద కలుస్తున్నాయి. కనుక ఆ శీర్షం వద్ద “కోణాన్ని” వర్ణించడానికి నిజానికి మూడు కోణాలు కావాలి.

అలాగే పక్కన ఉన్న టెట్రాహెడ్రన్ చిత్రంలో ప్రతీ శీర్షం వద్ద “కోణాన్ని” వర్ణించడానికి మూడు కోణాలు కావాలి.
ఇక ఆ పక్కన ఉన్న శంకువు శీర్షం వద్ద ఒకే కోణం ఉన్నట్టు కనిపిస్తోంది.

కాని అన్ని ఘనాలలోను ప్రతీ శీర్షాన్ని కేవలం ఒకే “కోణం” తో వర్ణించడానికి వీలవుతుందా?

ఘనకోణం అన్న భావనని ఉపయోగిస్తే వీలవుతుంది.

ఘనపరిమాణం గల వస్తువులలో శిర్షాల వద్ద ఉండే “కోణాల”ని కొలవడానికి రూపొందించబడ్డ భావనే ‘ఘనకోణం.’ దాన్ని ఎలా కొలుస్తారో చూద్దాం.

కోణాన్ని డిగ్రీలతో బదులు రేడియన్లలో ఎలా కొలుస్తామో ఒక సారి గుర్తు తెచ్చుకుంటే, ఘనకోణాన్ని కొలిచే పద్ధతి సులభంగా అర్థమవుతుంది.

పై చిత్రంలో అనే కోణాన్ని రేడియన్లలో ఇలా కొలుస్తాం.
/_AOB = చాపంAB/r, రేడియన్లు,
చాపం AB =AB లని కలిపే చాపం పొడవు;

r = వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

పై నిర్వచనంలో వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం పెరుగుతుంటే, యొక్క పొడవు కూడా అదే నిష్పత్తిలో పెరుగుతుంది కనుక, కోణం యొక్క విలువ మారదు. కనుక కోణం యొక్క నిర్వచనంలో కొన్ని పొడవులు (AB, r) కనిపిస్తున్నా, కోణం విలువ పొడవుల మీద ఆధారపడని రాశి అవుతోంది.

అదే విధంగా ఘనకోణాన్ని వ్యక్తం చెయ్యడానికి వృత్తానికి బదులుగా ఓ గోళాన్ని తీసుకుందాం. చాపానికి బదులుగా ఏదైనా వైశాల్యాన్ని తీసుకుంటాం. ఉదాహరణకి కింద చిత్రంలో ABCD అనే వైశాల్యం కనిపిస్తోంది. (ఈ వైశాల్యం ఏ ఆకారంలోనైనా ఉండొచ్చు. కచ్చితంగా వృత్తం లాగానో, చదరం లాగానో, క్రమమైన ఆకారం కలిగి ఉండాలని లేదు. )
ABCD వైశాల్యం యొక్క సరిహద్దు మీద ప్రతీ బిందువు నుండి గోళం యొక్క కేంద్రాన్ని కలుపుతూ గీతలు గీయాలి. ఆ గీతలన్నీ గోళ కేంద్రం O వద్ద ఏర్పరచే కోణాన్నే ఘనకోణం అంటారు.


దాని విలువని ఈ విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
ఘనకోణం = ABCD వైశాల్యం/r^2

దీని యూనిట్లు ‘స్టెరేడియన్లు.’ దీన్ని ‘ sr‘ అన్న అక్షరాలతో సూచిస్తారు.

ఘనకోణం యొక్క సూత్రంలో వైశాల్యాలు (ABCD, r^2 ) కనిపిస్తున్నాయి. కాని గోళం వ్యాసం పెరుగుతుంటే ABCD యొక్క వైశాల్యం కూడా r^2 కి అనులోమంగా పెరుగుతుంది. కనుక ఘనకోణం యొక్క విలువ వైశాల్యాల మీద ఆధారపడని రాశి అని అర్థమవుతోంది.

ఘనకోణానికి కొన్ని ఉదాహరణలు.
1. అర్థగోళం యొక్క ఘనకోణం.
వృత్తంలో సగభాగం యొక్క కోణం విలువ p అని మనకి తెలుసు. అదే గోళంలో సగభాగం (అర్థగోళం) యొక్క వైశాల్యం 2 pi r^2 కనుక, అర్థగోళం యొక్క ఘనకోణం,
=2 pi,
మామూలు కోణానికి, ఘనకోణానికి తేడా ఇక్కడ కనిపిస్తుంది.

2. పూర్ణగోళం యొక్క ఘనకోణం
పూర్ణవృత్తం యొక్క కోణం విలువ 2pi అని మనకి తెలుసు. కాని పూర్ణగోళం యొక్క వైశాల్యం 4 pi r^2 కనుక, పూర్ణగోళం యొక్క ఘనకోణం,
=4 pi.

దృగ్గోచరకాంతి మితిలో ఘనకోణం అనే భావన అవసరం అవుతుంది.