శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

పాతాళానికి ముఖద్వారం (పాతాళానికి ప్రయాణం - 42)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, February 28, 2012 0 comments



అధ్యాయం 16
పాతాళానికి ముఖద్వారం






బాగా ఆకలి మీద ఉన్నామేమో అందరం ఆవురావురని తిన్నాం. విశ్రాంతి తీసుకోడానికి ఆ అగ్నిబిలం లోనే తలో చోటూ వెతుక్కున్నాం. ఆ రాత్రికి ఆ బండరాతి తల్పం తోనే సరిపెట్టుకున్నాం. సముద్ర మట్టానికి మూడు వేల అడుగుల ఎత్తులో పెద్దగా కంబళులు లేకపోయినా సర్దుకుపోయాం. ఆశ్చర్యం ఏంటంటే ఆ రాత్రి నాకు బాగా నిద్ర పట్టింది. అసలు అంత గాఢంగా నిద్రపోయి చాలా కాలం అయ్యింది అనిపించింది. ఒక్క కల వస్తే ఒట్టు.

మర్నాడు ఉదయం మేలుకునే సరికి సగం గడ్డకట్టుకుపోయాం. గాలిలో చలి చురుక్కు మంటోంది. భానుడి నులివెచ్చ కిరణాలు కాస్త స్వాంతన నిచ్చాయి. నే పడుకున్న రాతి పరుపు మీంచి లేచి చుట్టూ చూశాను. ఎదుట కనిపించిన లోకోత్తర దృశ్యాన్ని చూడడానికి రెండు కళ్ళు చాల్లేదు.


నేను నించున్న శిఖరం స్నెఫెల్ శిఖర శ్రేణుల లోకెల్లా దక్షిణతమమైన శిఖరం. అక్కణ్ణుంచి చూస్తే ద్వీపం యొక్క అవతలి అంచు కూడా స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది. దృశ్య విజ్ఞానంలోని ఓ ప్రాథమిక సూత్రం వల్ల కాబోలు, తీరం కాస్త పైకి లేచినట్టు, ద్వీపం యొక్క కేంద్ర భాగం కాస్త లొత్తగా లోపలికి పోయినట్టు కనిపిస్తోంది. హెల్బెస్మర్ తయారు చేసే, పైకి పొడుచుకుని వచ్చినట్టు ఉండే మ్యాపు ఒకటి నా కళ్ల ఎదుట విస్తరించినట్టు అనిపించింది. చుట్టూ లోతైన లోయలు ఒకదాన్నొకటి కోసుకుంటూ పోతున్నాయి. ఎత్తైన చెరియలు చిన్నపాటి గోడల్లా కనిపిస్తున్నాయి. మహా సరస్సులు చిట్టి చెరువుల్లా కనిపిస్తున్నాయి. మహానదులు పిల్లకాలువల్లా అగుపిస్తున్నాయి. నాకు కుడివైపున అసంఖ్యాకమైన హిమానీనదాలు, హిమవన్నగాలు మబ్బుల కుచ్చుటోపీలతో, తెలిమంచు అవరించిన రూపాలతో శోభాయమానంగా ఉన్నాయి. దట్టమైన మంచు పరుపుల చేత కప్పబడి, పడిలేచే ఈ పర్వతావళి తుఫాను ధాటికి కల్లోలమయమైన సముద్రాన్ని తలపిస్తోంది. ఇక దక్షిణ దిశగా చూస్తే గంభీరంగా గగనం అంచు దాకా విస్తరించిన సాగరం కనిపిస్తోంది. మంచు పరుపులు ఎక్కడ అంతమౌతున్నాయో, అలల పరవళ్ళు ఎక్కడ ఆరంభం అవుతున్నాయో చెప్పడం కష్టంగా ఉంది.

ఆ లోకోత్తర దృశ్యాలని చూసిన పరవశంలో కాసేపు నన్ను నేనే మర్చిపోయాను. మనస్సు మీద మహాపర్వత దర్శనం యొక్క ప్రభావం ఎప్పుడూ ఇలాగే ఉంటుంది. కొత్తల్లో అయితే ఇంత ఎత్తు మీద నించుని చూస్తే కళ్ళు తిరిగేవి. ఇప్పుడు ఎత్తు అలవాటైపోయింది. ఉప్పెనలా వస్తున్న భానుడి బంగరు కాంతులతో కళ్ళు మిరుమిట్లు గొల్పుతున్నాయి. నేను ఎవరు, ఎక్కడున్నాను అన్న స్పృహ కూడా ఆ మంచులాగే కరిగిపోతోంది. స్కాండినావియా కి చెందిన జానపదగాధలకి చెందిన ఎల్ఫ్ లు, సిల్ఫ్ లు మొదలైన అదృశ్య జీవులలో నేనూ ఒకణ్ణి అన్న తలంపు కలిగింది. ఎదుట మా రాకకోసం ఎదురు చూస్తున్న భయంకర పాతాళం సంగతి పూర్తిగా మర్చిపోయి కాసేపు ఆ కలలలో విహరించసాగాను. కాని అంతలోనే ఎక్కణ్ణుంచి ఊడి పడ్డారోగాని మామయ్య, హన్స్ వచ్చి నా ఎదుట నిలుచున్నారు. నా కలలన్నీ ఒక్కసారిగా కరిగిపోయాయి.
పశ్చిమ దిశలో అల్లంత దూరాన పొగమంచు మాటున లీలామాత్రంగా కనిపిస్తున్న ఏదో భూమిని చూపించాడు మామయ్య . నింగి, నీరు కలిసే చోటు ఆ భూమి అంచులు కనిపిస్తున్నాయి.

“గ్రీన్లాండ్” వేలితో సూచిస్తూ అన్నాడు మామయ్య.
“గ్రీన్లాండా?” అదిరి పోయి అడిగాను.
“అవును. అక్కణ్ణుంచి ముప్పై ఐదు లీగ్ ల దూరంలో ఉన్నాం అంతే. చలికాలంలో సముద్ర గడ్డకట్టుకున్న సమయంలో ఉత్తర హిమభూముల నుండి తెల్ల ఎలుగులు ఐస్లాండ్ దాకా చొచ్చుకువస్తాయి. సరే ఆ సంగతి పక్కన పెట్టు. ప్రస్తుతం మనం స్నెఫెల్ పర్వతశ్రేణి మీద ఉన్నాం. ఇక్కడ రెండు శిఖరాలు ఉన్నాయి. ఒకటి ఉత్తరాన, మరొకటి దక్షిణాన వుంది. ప్రస్తుతం మనం ఉన్న శిఖరం పేరు హన్స్ చెప్తాడు,” అంటూ హన్స్ కేసి తిరిగాడు మామయ్య.
“స్కార్టారిస్” ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు హన్స్.
అది వినగానే మామయ్య ముఖం ఎందుకు వెలిగిపోయిందో ఒక్క క్షణం అర్థం కాలేదు.
“పాతాళానికి ముఖ ద్వారం ఇక్కడే వుంది” అంటూ గర్వంగా ప్రకటించాడు మామయ్య.
(ఇంకా వుంది)
Image credits:
http://www.edge.org/3rd_culture/myhrvold08/myhrvold08_index.html

స్టొమకియాన్ – ఆర్కిమిడీస్ కనిపెట్టిన గణితక్రీడ

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, February 27, 2012 0 comments






ఆర్కిమిడీస్ కనిపెట్టిన స్టోమకియాన్ (stomachion) అనే గణిత క్రీడ గురించి రెండు వ్రాతపత్రులు శిధిలావస్థలో దొరికాయి. వాటిలో ఒకటి అరబిక్ అనువాదం. పదవశతాబ్దానికి చెందిన రెండవ వ్రాతపత్రి గ్రీకులో రాయబడినది. ఇది 1899 లో కాస్టాంటినోపుల్ నగరంలో దొరికింది. అసలు ఆర్కిమిడీస్ ఈ ఆటని కనిపెట్టాడా లేక అందులోని జ్యామితి (geometry) సంబంధమైన అంశాలని గణితపరంగా విశ్లేషించాడా అన్న విషయం మీద స్పష్టత లేదు. ప్రాచీన రచనలలో మరి కొన్ని చోట్ల కూడా ఈ ఆట గురించిన ప్రస్తావన ఉంది. ఒక లాటిన్ కృతిలో దీని గురించి ‘లోక్యులస్ ఆర్కిమీడియస్’ (loculus Archimedius అంటే ఆర్కిమిడీస్ పెట్టె) అని ప్రస్తావించబడింది. στόμαχος (stomakos) అంటే గ్రీకులో ‘కడుపు’ (stomach) అని అర్థం. మరి ఈ ఆటకి స్టొమకియాన్ అని ఎందుకు పేరు పెట్టారో ఎవరికీ తెలీదు.

ఈ ఆటలో 14 చదునైన దంతపు ముక్కలు ఉంటాయి. ప్రతి ముక్క ఒక బహుభుజి (polygon) ఆకారంలో ఉంటుంది. ఈ ఆకారాలని కూర్చి ఒక చదరాన్ని తయారు చెయ్యొచ్చు. అయితే ఇవే ఆకారాలని కొత్త కొత్త రకాలుగా కూర్చి సరదాగా వివిధ వస్తువుల రూపాలని తయారు చెయ్యాలి. కింద చిత్రంలో వీటిని కూర్చి ఓ ఏనుగు బొమ్మని తయారుచేసే పద్దతి కనిపిస్తోంది.







`

స్టొమకియాన్ ఆటలో ఆడే బహుభుజుల నిర్మాణం ఈ విధంగా ఉంటుంది. 12 X 12 పరిమాణం ఉన్న చదరపు గడిని తీసుకోవాలి. గడిలో కనిపించే గీతల అంతరఖండన (intersection) బిందువులని ‘గడి బిందువులు’ (lattice points) అంటారు. గడిలో కనిపించే ప్రతి చిన్న చదరం యొక్క వైశాల్యం ఒక యూనిట్ అనుకుంటే, పెద్ద చదరం యొక్క వైశాల్యం 144 అవుతుంది. గడిలో గుర్తులు పెట్టబడ్డ ఎర్రని బిందువులని చిత్రంలో చూపించినట్టు కలపాలి. ఈ గీతల వల్ల గడి 14 ముక్కలుగా విభజింపబడుతుంది.










3 ముఖాలు గల బహుభుజులు (త్రిభుజాలు) =11
4 ముఖాలు గల బహుభుజులు (చతుర్భుజాలు) = 2
5 ముఖాలు గల బహుభుజులు (పంచభుజాలు) = 1









ప్రతి బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం పూర్ణ సంఖ్య కావడం విశేషం. ఎందుకంటే ఇవి ప్రత్యేకమైన బహుభుజులు. చదరపు గడి మీద బిందువులని కలపగా ఏర్పడ్డవి. అలాంటి బహుభుజులని గడి బహుభుజులు (lattice polygons) అంటారు. గడి బహుభుజుల వైశాల్యాన్ని తెలిపే ఓ చక్కని సూత్రం ఉంది. దాని పేరు ‘పిక్ సిద్ధాంతం’ (Pick’s theorem). ఆ సిద్ధాంతం సహాయంతో స్టొమకియాన్ ఆటలోని బహుభుజుల వైశాల్యం పూర్ణ సంఖ్య ఎందుకు అయ్యిందో అర్థం అవుతుంది.


పిక్ సిద్ధాంతం
ఈ సిద్ధాంతాన్ని కనిపెట్టింది ఆస్ట్రియాకి చెందిన జార్జ్ అలెగ్సాండర్ పిక్ (1859-1942).
ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం ఒక గడిబహుభుజి యొక్క వైశాల్యాన్ని తెలిపే సూత్రం ఈ విధంగా ఉంటుంది –
వైశాల్యం = A + B/2 – 1
A - ఇది బహుభుజి లోపలి భాగంలో ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య
B – ఇది బహుభుజి సరిహద్దు మీద ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య
ఉదాహరణకి కింద కనిపించే గడిబహుభుజిలో A = 31, B = 15, కనుక బహుభుజి వైశాల్యం
= 31 + 15/2 – 1 = 37.5 అవుతుంది.

ఇంత సంక్లిష్టమైన బహుభుజి యొక్క వైశాల్యానికి ఇంత సులభమైన సూత్రం ఉండడం ఆశ్చర్యం. ఇదే పిక్ సిద్ధాంతంలోని గొప్పదనం.
ఈ సూత్రంలో B సరి సంఖ్య అయితే వైశాల్యం ఎప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది. స్టొమకియాన్ ఆటలో ప్రతీ బహుభుజికి సరిహద్దు మీద ఉండే గడి బిందువుల సంఖ్య సరి సంఖ్య అయ్యుండేలా జాగ్రత్తపడ్డాడు ఆ ఆట యొక్క సృష్టికర్త.

Reference:
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/intro.html

డార్విన్ “బళ్లోపడిపోవడం”

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, February 25, 2012 0 comments

చిన్నప్పట్నుంచి కూడా నాకు సున్నితమైన, ఉదారమైన స్వభవం ఉండేదట. ఆ లక్షణం నాకు మా అక్క చెళ్లెళ్ల నుండి, వాళ్ల శిక్షణ వల్ల వచ్చి ఉంటుందని అనుకుంటాను. ఇది స్వతహాగా నాలో ఉండే లక్షణం అయ్యుండదు. నాకు పక్షి గుడ్లు సేకరించడం అంటే చాలా ఇష్టం ఉండేది. అయితే ఎప్పుడు తీసినా గూడు లోంచి ఒక్క గుడ్డే తీసేవాణ్ణి. అయితే ఒక్క సారి మాత్రం గూడులో ఉన్న గుడ్లన్నీ తీసేసాను. ఆ గుడ్ల విలువ దృష్టిలో పెట్టుకుని కాదు, ఏదో దుడుకుతనం వల్ల అలా చేశానని అనిపిస్తుంది.

ఎర వేసి చేపలు పట్టటం అంటే నాకు చాలా ఇష్టం ఉండేదట. ఏటి గట్టునో, నదీ తీరం లోనో గంటల తరబడి ఎర కోసం వచ్చే చేప కోసం ఓపిగ్గా ఎదురు చూస్తూ కూర్చునేవాణ్ణట. మాయర్ మామయ్య ఇంట్లో ఒకసారి ఎవరో ఉప్పు, నీరు కలిపి పురుగులని చంపొచ్చని చెప్పారు. అప్పట్నుంచి సజీవంగా ఉండే పురుగుల్ని ఎప్పుడూ ఎరగా వాడలేదు. అప్పట్నుంచి ఎరకి చిక్కే చేపల సంఖ్య కూడా తగ్గింది అనుకోండి. అది వేరే విషయం.

ఆ బడికి వెళ్లే రోజుల్లోనే ననుకుంటా, ఒకసారి నేను క్రూరంగా ప్రవర్తించాను. ఓ చిన్న కుక్కపిల్లని కొట్టాను. దాని కన్నా నేను బలవంతుణ్ణని దాని మీద నా ప్రతాపం చూపించుకోవడానికి కొట్టి ఉంటాను. అయితే దెబ్బలు మరీ అంత గట్టిగా తగిలి ఉండవు. ఎందుకంటే అది కుయ్యో మొర్రో అనలేదు. కాని ఈ సంఘటన నా మనసులో గాఢంగా ముద్ర పడిపోయింది. ఎందుకంటే ఈ ఘోరకృత్యం ఎక్కడ జరిగిందో కూడా నాకు బాగా గుర్తుంది. సహజంగా నాకు కుక్కలు అంటే చాలా ఇష్టం ఉండడంతో ఈ జ్ఞాపకం మోయరాని భారం అయ్యింది. ఈ విషయాన్ని కుక్కలు కూడా పసిగట్టినట్టు ఉన్నాయి. అవును మరి, యజమానుల పట్ల వాటికి ఉండే ప్రేమని తుంచి వెయ్యడంలో నేను ఘటికుణ్ణి కదా?!

మిస్టర్ కేస్ బడిలో ఉన్న ఆ ఏడాదిలో నాకు మరొక్క సంఘటన మాత్రం స్పష్టంగా గుర్తుంది. చనిపోయిన ఒక సిపాయికి ఆఖరు సంస్కారాలు చేసిన సంఘటన అది. ఆ సిపాయి వేసుకున్న బూట్లు, వాడిన తుపాకి ఓ గుర్రానికి తగిలించి తెచ్చారు. అతడి సమాధి వద్ద అతడి గౌరవార్థం తుపాకులు పేల్చారు. ఆ దృశ్యం నన్ను బాగా కదిలించి నాలో ఏ మూలో ఉన్న కవిని మేల్కొలిపింది.

1818 వేసవిలో ష్రూ బరీ లోనే ఉన్న డాక్టర్ బట్లర్ గారి బళ్లో నన్ను చేర్పించారు. 1825 దాకా, అంటే నాకు పదహారు వచ్చిందాక, ఓ ఏడేళ్ల పాటు అక్కడే నా చదువు సాగింది. ఇది రెసిడెన్షియల్ బడి కనుక అక్కడే ఉండేవాణ్ణి. ధైర్యంగా, స్వతంత్రంగా వికాసం చెందడానికి ఇదొక మంచి అవకాశం అనిపించింది. కాని బడికి ఇంటికి మధ్య పట్టుమని మైలు దూరం కూడా ఉండక పోవడంతో తోచినప్పుడల్లా ఇంటికి పరుగెత్తి పోతూ ఉండేవాణ్ణి. అందుచేత ఇంట్లో మా వాళ్ల ప్రేమాభిమానాలకి ఎప్పుడూ దూరం అయినట్టు పెద్దగా అనిపించలేదు. స్కూలు దశలో, తొలి రోజుల్లో వేళ మించిపోకుండా ఉండడానికి వేగంగా పరుగెత్తాల్సి వచ్చేది. పరుగు పందేలు అలవాటు ఉన్నవాణ్ణి కనుక సమయానికి గమ్యం చేరే వాణ్ణి. కాని చేరలేనేమో అని అనుమానం వచ్చినప్పు దేవుణ్ణి ప్రార్థించేవాణ్ణి. అప్పటుంచి నా విజయాలకి కారణం నా పరుగు వేగం కదని, అనుగ్రహమే నని గుర్తుంది.

నాకు బాగా చిన్నప్పట్నుంచి కూడా ఏకాంతంగా షికార్లకి వెళ్ళే అలవాటు ఉండేదని మా నాన్నగారు, అక్క అంటూ ఉంటారు. అలా నడిచే సమయంలో ఏం ఆలోచించేవాణ్ణో మరి నాకైతే గుర్తు లేదు. అయితే పరధ్యానంగా నడిచే వాణ్ణేమో, ఓ సారి బడికి వెళ్లే దారిలో ఓ ఎత్తైన ఫుట్పాత్ మీద నడి వెళ్తుంటే కాలు జారి పుట్పాత్ అవతలి అంచు మీంచి కింద పడ్డాను. ఏడు, ఎనిమిది అడుగుల ఎత్తు నుంచి పడ్డానేమో. కాని ఆ పడుతున్న కాస్తంత సమయంలో నా మనసు లోంచి ఎన్ని ఆలోచనలు ప్రవహించాయో చెప్పలేను. ఒక్కొక్క ఆలోచనకి కొంత నిర్ణీత సమయం పడుతుందని బోధించే జివశాస్త్రవేత్తలు అంటుంటారు. కాని మరి నా అనుభవం వాళ్లు చెప్పేదానికి విరుద్ధంగా ఉన్నట్టు అనిపించింది.

నా మానసిక వికాసానికి డా బట్లర్ గారి బడి కన్నా చేటు కలిగించేది మరేదీ లేదు. పూర్తిగా సాంప్రదాయ బద్ధమైన, ఛాందసమైన విషయాలు తప్ప మరేమీ నేర్పరు. మహా అయితే కాస్తంత ప్రాచీన భౌగోళిక శాస్త్రం, కొంచెం చరిత్ర నేర్పుతారేమో అంతే. స్కూలు నుండి నేను నేర్చుకున్న చదువు ఓ పెద్ద సున్నా అని చెప్పొచ్చు. నా జీవితంలో కొత్త భాషలు నేర్చుకునే ప్రతిభ పెద్దగా లేదని అనిపించింది. పద్య రచనలో కొంత శిక్షణ ఉన్నా అది కూడా సరిగ్గా చెయ్యలేక పోయేవాణ్ణి. నాకు బోలెడు మంది నేస్తాలు ఉండేవాళ్లు. అందరం కలిసి ఎన్నో పాత కవితలు సేకరించే వాళ్ళం. ఈ కవితల్లో వాక్యాలని వేరు చేసి, కొత్త విన్యాసాలలో కూర్చి, ఏ అంశం మీద కావలిస్తే ఆ అంశం మీద కవిత్వం చెప్పగలిగే వాళ్లం. ముందు రోజు నేర్చుకున్న పాఠాన్ని బట్టీ పట్టమని బళ్లో బలవంతం చేసేవాళ్లు. ఇది మాత్రం నేను సునాయాసంగా చేసేవాణ్ణి. ఉదయం చర్చికి వెళ్లే సమయంలో, వర్జిల్, హోమర్ వంటి మహాకవుల కావ్యాల నుండి నలభై, యాభై పంక్తుల దాకా నేర్చేసుకునేవాణ్ణి. కాని ఇది బొత్తిగా పనికిమాలిన కసరత్తని తరువాత అనిపించింది. ఎందుకంటే నలభై ఎనిమిది గంటలు తిరిగేలోగా ఆ పద్యాలు మర్చిపోయేవాణ్ణి. చదువులో బద్ధక పడే వాణ్ణి కాదు. ఒక్క కవితలు అల్లమంటేనే కొంచెం ఇబ్బంది గాని, శాస్త్రీయ సాహిత్యాన్ని మాత్రం ఎంతో శ్రద్ధగా చదివేవాణ్ణి. ఈ శాస్త్రీయ అధ్యయనాలలో హొరేస్ కవి రాసిన కృతులు చదివి చాలా ఆనందించేవాణ్ణి.

మామూలుగా అందరు పిల్లలకి బడిని విడిచి పెట్టే సమయానికి ఎంత వయసు ఉంటుందో, నా వయసు కూడా అంతే ఉండేదట. మా గురువులే కాక, మా నాన్నగారు కూడా చదువులలో నా సామర్థ్యం సర్వసాధారణంగా ఉండేదని తలచేవారు. బుద్ధికుశలతలో కూడా నేను సగటు పిల్లల కన్నా ఓ మెట్టు కిందనే ఉండేవాణ్ణట. ఒక సారి మా నాన్నగారు నాతో కోపంగా, "వేటాడటం, కుక్కలతో ఆడటం, ఎలకలు పట్టుకోవడం - నీ ధ్యాస అంతా ఎప్పుడూ వీటి మీదే. నువ్వసలు మన వంశానికే చేటు," అన్నారు. ఆ మాటలు నా మనసులో గుచ్చుకున్నాయి. స్వతహాగా మా నాన్నగారు చాలా మంచివారు. నా మనసులో ఆయన పట్ల ప్రేమానురాగాలు తప్ప మరేమీ లేదు. కాని ఆయన ఎందుకో బాగా కోపంలో ఉన్నప్పుడు అన్న మాటలవి అనిపించింది.


బళ్లో చదువుకునే దశలో నా వ్యక్తిత్వంలో మంచి భవిష్యత్తును సూచించే లక్షణాలు అంటూ ఏవైనా ఉన్నాయంటే అవి ఇవి. నాకు గొప్ప వైవిధ్యం గల అభిరుచులు ఉండేవి. ఏదైనా నచ్చిందంటే దాని మీద అపారమైన శ్రద్ధ చూబించేవాణ్ణి. అది ఎంత సంక్లిష్టమైనది అయినా ఎలాగో కష్టపడి దాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించి ఆనందించేవాణ్ణి. నాకు ఒక ప్రైవేటు మాస్టరు యూక్లిడ్ జ్యామితి బోధించేవాడు. జ్యామితిలో ఉండే కచ్చితమైన నిరూపణలు నాకు బాగా నచ్చేవి. మా మామయ్య ఒకాయన బారోమీటర్ కి సంబంధించిన భైతిక సూత్రాలని వివరించడం నాకు బాగా గుర్తు. విజ్ఞానంతో సంబంధం లేని మరెన్నో అభిరుచులు కూడా ఉండేవి. నాకు పుస్తకాలు చదవడం ఇష్టం ఉండేది. బళ్లో లావుపాటి గోడలలో ఏ కిటికీ లోనో కూర్చుని షేక్స్పియర్ నాటకాలు చదువుతూ గంటల తరబడి కాలక్షేపం చేసేవాణ్ణి. ఇవి గాక ఎన్నో కవితలు కూడా చదివాను. ఉదాహరణకి థామ్సన్ రాసిన "ఋతువులు" కవిత చదివాను. ఇటీవలే అచ్చయిన బైరన్, స్కాట్ ల కవితలు కూడా చదివాను. ఇది ఇంత ప్రత్యేకంగా ఎందుకు చెప్తున్నాను అంటే తరువాత నా జివితంలో కవిత్వాన్ని ఆస్వాదించే శక్తిని పూర్తిగా కోల్పోయానని చెప్పటానికి చింతిస్తున్నాను.
(ఇంకా వుంది)

అర్కిమిడీస్ నిర్మించిన సాంకేతిక పరికరాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Sunday, February 19, 2012 2 comments












ఆర్కిమిడీస్ భౌతిక శాస్త్ర సూత్రాలని కనుక్కోవడమే కాక ఎన్నో అద్భుత సాంకేతిక పరికరాలని కూడా రూపొందించాడు. అలాంటి పరికరం ఒకటి ‘ఆర్కిమిడీస్ స్క్రూ’. ఈ పరికరంతో నీళ్లు తోడడానికి వీలవుతుంది. దీని రూపకల్పనకి కూడా ఒక విధంగా రెండవ హీరో రాజే కారణం. నౌక్రాటిస్ కి చెందిన ఎథెనేయియస్ అనే రచయిత ఈ కథనం అంతా ఓ పుస్తకంలో వర్ణించాడు. అందులో 600 మంది ప్రయాణించగలిగేవారట. అందులో ఓ క్రీడారంగం (జిమ్నేషియమ్) ఉంటుంది. గ్రీకుల ప్రేమదేవత అయిన అఫ్రొడైటీ కి అంకితం చెయ్యబడ్డ ఓ ఆలయం కూడా ఉండేదట. అంతపెద్ద ఓడలో ఎక్కడైనా చిల్లులు పడి నీరు ఓడ లోపలికి వస్తే ఆ నీటిని తోడి బయటికి పంప్ చెయ్యాల్సిన సమస్య వచ్చి పడింది. అందుకోసమే ఈ ప్రత్యేకమైన ‘స్క్రూ’ ని కనిపెట్టాడు ఆర్కిమిడీస్. ఈ స్క్రూ ఇప్పటికీ ప్రపంచంలో పంట పొలాలకి నీరు అందించే ప్రయోజనాల కోసం వాడుతున్నారు. బొగ్గు లాంటి ఘనపదార్థాలని ఎత్తుకి ఎత్తించేటందుకు కూడా వీటిని వాడతారు. ఇలాంటి స్క్రూ నే తొలుత బాబిలోన్ నగరంలోని ప్రఖ్యాత ‘వేలాడే తోటలకి’ (Hanging gardens of Babylon) నీరు సరఫరా చెయ్యడానికి వాడేవారని చెప్తారు. ఆ పాత స్క్రూ యొక్క మరింత అధునాతన రూపమే ఆర్కిమిడీస్ కనిపెట్టిన స్క్రూ అని అంటారు.



ఆర్కిమిడీస్ పంజా





ఆర్కిమిడీస్ కేవలం శాంతియుతమైన ప్రయోజనాలు గల పరికరాలు మాత్రమే కాక యుద్ధంలో పనికొచ్చే యంత్రాలని కూడా రూపొందించాడు. ఉదాహరణకి ఆర్కిమిడీస్ పంజా అని పిలువబడే ఓ యంత్రం సిరక్యూస్ నగరానికి యుద్ధంలో గొప్ప రక్షణ కల్పించింది. ‘క్రేన్’ ఈ యంత్రం కోట గోడల మీద స్థాపించబడి వుంటుంది. ఆ యంత్రం నుండి పంజా లాంటి పరకరాన్ని కిందికి దించుతారు. కోట గోడలకి అవతల సముద్రం మీదుగా గోడలకి మరీ దగ్గరగా వచ్చిన శత్రు నౌకల మీదికి ఈ పంజాని ప్రయోగిస్తారు. ఆ పంజా ఓడకి తగులుకోగానే పైనుండి తాళ్లతో ఓడలని లాగుతారు. కొంత ఎత్తువరకు తాళ్లు లాగి ఒక్కసారిగా వదిలేస్తారు. ఆ దెబ్బకి ఓడలు పక్కకి ఒరిగి నీట మునుగుతాయి.


ఆర్కిమిడీస్ ప్రయోగించిన “మరణ కిరణం”


క్రీ.శ. రెండవ శతాబ్దానికి చెందిన లూసియన్ అనే రచయిత సిరక్యూస్ యుద్ధం గురించి రాస్తూ ఆ యుద్ధంలో ఆర్కిమిడీస్ అగ్నిని ప్రయోగించి శత్రు నౌకలని ధగ్ధం చేశాడని వర్ణిస్తాడు. “ఆర్కిమిడీస్ వేడి కిరణం” గా చెప్పుకోబడే ఈ సాధనంతో సూర్యకాంతిని ఓడ మీదకి కేంద్రీకరించి ఓడని ధగ్ధం చేస్తారు.

అయితే నిజంగానే అల్లంత దూరంలో ఉన్న ఓడల మీదకి సూర్యకాంతిని కేంద్రీకరించి నాశనం చెయ్యడం జరిగేపనేనా, అది అతిశయోక్తి కాదా అని ఎంతో మంది ఈ విషయంలో సంశయం వ్యక్తం చేశారు. ఫ్రెంచ్ తాత్వికుడు రేనే దేకార్త్ అదంతా వట్టి పుక్కిటి పురాణం అని కొట్టి పారేశాడు. అయితే ఆర్కిమిడీస్ కాలంలో అందుబాటులో ఉండే సాధన సామగ్రితో అలాంటి ఫలితం సాధ్యం కావచ్చని కొందరు ఆలోచించారు. రాగితో గాని, కంచుతో గాని చేయబడ్డ కవచాలని బాగా మెరుపు వచ్చేలా రుద్ది, వాటిని అద్దాలలా వాడుకుంటూ, సముద్ర తీరం మీద పారాబోలా ఆకారంలో వాటిని నిలిపి, సూర్యకాంతిని శత్రు నౌక మీదకి కేంద్రీకరిస్తే నిజంగానే ఓడని ధగ్ధం చెయ్యొచ్చని వాదనలు జరిగాయి.

1973 లో అయోనిస్ సక్కాస్ అనే గ్రీకు శాస్త్రవేత్త నిజంగానే ఈ వాదనని ప్రయోగించదలచాడు. ఏతెన్స్ నగరానికి బయట స్కరమాగాస్ అనే రేవులో ఈ ప్రయోగం జరిగింది. ప్రయోగంలో 70 అద్దాలు వాడారు. 5 X 3 అడుగుల పరిమాణం ఉన్న ఈ అద్దాలకి రాగి పూత వేశారు. ప్లై వుడ్ తో తయారు చేసిన రోమన్ యుద్ధనౌక యొక్క నమూనాని

160 అడుగుల దూరంలో ఉంచారు. అద్దాలని కచ్చితంగా నిలిపి కిరణాలని నౌక మీదకి కేంద్రీకరిస్తే క్షణాల్లో నౌక భగ్గుమంది. పైగా నౌక మీద తారు పూత పూశారు. దాని వల్ల కూడా నౌక మరింత సులభంగా నిప్పు అంటుకుని ఉంటుంది. నీరు ఓడ లోపలికి రాకుండా తారు పూత పూయడం ఆ రోజుల్లో పరిపాటి.

అక్టోబర్ 2005 లో మసాచుసెట్స్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీకి చెందిన విద్యార్థుల బృందం ఒకటి ఈ ప్రయోగాన్ని మళ్లీ చేసి చూసింది. ఈ ప్రయోగంలో 1 చదరపు అడుగు వైశాల్యం ఉన్న 127 అద్దపు పలకలని తీసుకున్నారు. వాటి సహాయంతో 100 అడుగుల దూరంలో ఉన్న ఓ నమూనా ఓడ మీదకి సూర్యకాంతిని కేంద్రీకరించారు. ఓడ మీద కాంతి పడ్డ ప్రాంతంలో మాత్రమే నిప్పు అంటుకుంది. అయితే ఆకాశంలో మేఘాలు లేని పరిస్థితుల్లో, ఓడ కదలకుండా పది నిముషాల సేపు ఉన్నప్పుడే ప్రయోగం పని చేసింది. ఈ సారి ఓడ మీద కాంతి పడ్డ చోట కాస్త మంట వచ్చింది, కాస్త మసిబారింది.

ఇదే ప్రయోగాన్ని ఆ ఎమ్. ఐ. టి. బృందం సాన్ ఫ్రాన్సిస్కో తీరం మీద కూడా చేసి చూసింది. ‘మిత్ బస్టర్స్’ అనే టీవీ షోలో భాగంగా ఆ ప్రయోగం జరిగింది. మూడనమ్మకాలని పరీక్షించి వాటి గుట్టు రట్టు చెయ్యడం ఈ టీవీ షో లక్ష్యం. ఈ సారి చెక్కతో చేసిన ఓ జాలరి పడవ మీద ఈ సారి కాంతిని కేంద్రీకరించారు. అయితే ఓడ సమూలంగా దగ్ధం కాలేదు. చెక్క నిప్పు అంటుకోవాలంటే దాని ఉష్ణోగ్రత స్వయం జ్వలన బిందువు (autoignition temperature) ని, అంటే 300 oC ని, చేరుకోవాలి.

ఈ ఫలితాలన్నీ గమనించాక ‘మిత్ బస్టర్స్’ షో లో ఈ ప్రయోగం విఫలం అయినట్టు ప్రకటించారు. ఓడ మీద ఎంతో కొంత ప్రభావం లేకపోయినా, అనుకున్నట్టు ఓడ దగ్ధం కాదని ఆ షో ఖండితంగా చెప్పింది. అంత కష్టపడి అద్దాలతో సూర్యకాంతిని కేంద్రీకరించి అంత అల్పమైన ఫలితాన్ని సాధించే బదులు, సాంప్రదాయక ఆయుధాలైన నిప్పుబాణాలు, ఫిరంగులు మొదలైనవి మరింత సఫలదాయకంగా ఉంటాయని ఆ షో అభిప్రాయాన్ని వ్యక్తం చేసింది.

రాజుగారి కిరీటం, ఆర్కిమిడీస్ సూత్రం కథ

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, February 18, 2012 1 comments












ఆర్కిమిడీసె సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకునే ప్రయత్నంలో వస్తువులని నీట్లో ముంచి, తీసి, తూచి తిప్పలు పడ్డ అనుభవం చాలా మంది తెలియనితనంలో పొందే వుంటారు. అలాగే స్నానాల తొట్టెలో దీర్ఘంగా ఆలోచిస్తుండగా స్ఫురించిన ఆలోచనకి సంబరం పట్టలేక ఇబ్బందికరమైన వేషంలో నగర వీధుల వెంట ‘యురేకా’ అంటూ ఉరకలు వేసిన ఆర్కిమిడీస్ గురించి చాలా మంది వినే వుంటారు.

పాశ్చాత్య గణితలోకంలో త్రిమూర్తులుగా మూడు పేర్లు చెప్పుకుంటారు – వాళ్లు ఆర్కిమిడీస్, న్యూటన్, గౌస్. వీరిలో న్యూటన్, గౌస్ లు కేవలం శతాబ్దాల క్రితం జీవించిన వారైతే, ఆర్కిమిడీస్ క్రీ.పూర్వం వాడు. సిసిలీ ద్వీపంలోని సిరక్యూస్ నగరంలో క్రీ.పూ. 287 లో జన్మించాడు ఆర్కిమిడీస్. తన తండ్రి ఫైడియాస్ ఓ ఖగోళవేత్త. ఆ రోజుల్లో సిరక్యూస్ ని పాలించిన రెండవ హీరోకి ఆర్కిమిడీస్ బంధువు అని చెప్పుకుంటారు. యవ్వనంలో చదువు కొంతకాలం ఈజిప్ట్ లోని అలెగ్జాండ్రియాలో జరిగింది. భూమి వ్యాసాన్ని అంచనావేసిన ఎరొటోస్తినీస్ ఇతడికి సమకాలికుడు.

ఆర్కిమిడీస్ కనుక్కున్న ప్రఖ్యాత సూత్రం వెనుక ఒక కథ వుంది. మహారాజు రెండవ హీరో ఒకసారి గుళ్ళో విగ్రహాన్ని అలంకరించేందుకు గాను ఓ స్వర్ణకారుణ్ణి పురమాయించి ఓ బంగారు కిరీటం చేయించాడు. కిరీటానికి కావలసిన బంగారం కూడా రాజే సరఫరా చేశాడు. అయితే తీరా కిరీటం తయారయ్యాక బంగారానికి బదులు కాస్త వెండి కలిపాడేమోనని రాజుకు స్వర్ణకారుడి మీద సందేహం వచ్చింది. సందేహం రావడంతోనే స్వర్ణకారుణ్ణి పిలిచి ఉరి తీయించకుండా ముందు సందేహం నిజమో కాదో తేల్చుకోవాలని అనుకున్నాడు. ఆర్కిమిడీస్ ని పిలిచి ఏదైనా ప్రయోగం చేసి నిజం నిర్ధారించమని కోరాడు.

ఆర్కిమిడీస్ ఆలోచనలో పడ్డాడు. కల్తీ జరిగిందో లేదో తెలియాలంటే కిరీటం సాంద్రత కనుక్కోవాలి. కిరీటం బరువు కనుక్కోవడం సులభమే. కాని ఘనపరిమాణం తెలుసుకోవడం ఎలా? ఏ ఘనమో, శంకువో అయితే ఘనపరిమాణాన్ని అంచనా వెయ్యడానికి కచ్చితమైన సూత్రాలు ఉన్నాయి. కాని ఇలాంటి క్రమరహిత రూపం యొక్క ఘనపరిమాణం కనుక్కోవడం ఎలా? దీని గురించి ఆలోచిస్తూ ఓ రోజు స్నానం చేద్దామని స్నానాల తొట్టెలో కి దిగాడు. తను లోపలికి దిగుతుంటే తొట్టెలో నీటి మట్టం నెమ్మదిగా పైకి రావడం గమనించాడు. పెరిగిన నీటి మట్టానికి తన ఒంటి ఘనపరిమాణానికి మధ్య సంబంధాన్ని గుర్తించాడు. వస్తువు రూపం ఎలా ఉన్నా ఈ అత్యంత సులభమైన పద్ధతిలో దాని ఘనపరిమాణం ఎలా కనుక్కోవాలో ఆ క్షణం అర్థమయ్యింది. ఇక ఉత్సాహం పట్టలేక ఉన్న పళంగా సిరక్యూస్ పురవీధుల్లో ‘యురేకా’ అని ఉరికాడట! తదనంతరం ఆ పద్ధతిని ఉపయోగించి కిరీటంలో వెండి కలిసిందని నిరూపించాడు ఆర్కిమిడీస్.

అయితే కేవలం స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం సహాయంతో కిరీటం ఘనపరిమాణాన్ని కచ్చితంగా కొలవడం కొంచెం కష్టం అని నిపుణులు అభిప్రాయపడుతున్నారు. పైగా అసలు ఈ కిరీటం సమస్య గురించి ఆర్కిమిడీస్ సొంత రచనల్లో ఎక్కడా లేదు. మర్కస్ విట్రీవియస్ అనే రోమన రచయిత, ఇంజినీరు ఈ కథ గురించి రాశాడు. అయితే ఆర్కిమిడీస్ ‘తేలే వస్తువులు’ అన్న పుస్తకంలో ఇలాంటి అంశాలు ఎన్నో చర్చించాడు. అందులోనే మనం ప్రస్తుతం చెప్పుకునే ఆర్కిమిడీస్ సూత్రం ప్రస్తావన వస్తుంది.

నీట్లో (లేక మరే ద్రవంలో అయినా) మునిగిన వస్తువు దాని ఘనపరిమాణంతో సమానమైన నీటి మొత్తాన్ని స్థానభ్రంశం (displace) చేస్తుంది. అలా స్థానభ్రంశం అయిన నీటి భాగం మునిగిన వస్తువుని పైకెత్తుతూ ఉంటుంది. దీన్నీ ప్లవనం (buoyancy) అంటారు. దీని వల్ల మునిగిన వస్తువు ఎంత బలంతో పైకి ఎత్తబడుతుందో ఆ బలాన్ని ప్లవన బలం (force of buoyancy) అంటారు. వస్తువు బరువు కన్నా ఈ బలం ఎక్కువ అయితే వస్తువు పూర్తిగా తేల్తుంది.

వస్తువు బరువు కన్నా ప్లవన బలం తక్కువైతే వస్తువు మునుగుతుంది గాని, గాలిలో ఉన్నప్పటి కన్నా నీట్లో మునిగి వున్న స్థితిలో బరువు కాస్త తగ్గుతుంది.స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం, వస్తువు ఘనపరిమాణం ఒక్కటే కనుక ఇక్క బరువులని పోల్చేబదులు సాంద్రత (=బరువు/ఘనపరిమాణం) ని పోల్చితే సరిపోతుంది. సాంద్రత పరంగా ఈ సూత్రాన్ని చెప్పుకోవాలంటే, నీటి సాంద్రత కన్నా వస్తువు సాంద్రత తక్కువైతే వస్తువు తేల్తుంది, లేకుంటే మునుగుతుంది.

ఈ సూత్రాన్ని ఈ కింది చిత్రంలో ప్రదర్శించబడుతున్న ప్రయోగంలో స్పష్టంగా చూడొచ్చు. చిత్రంలో కనిపిస్తున్న మూడు గ్లాసుల్లో మూడు కోడిగుడ్లు ఉన్నాయి. ఎడమ పక్క ఉన్న గ్లాసులో మంచి నీరు ఉంది. మధ్యలో ఉన్న గ్లాసులో ముందు మంచి నీరు తీసుకుని, అందులో నాలుగు చెంచాల ఉప్పు కలిపారు. కుడి పక్క ఉన్న గ్లాసులో ముందు మంచి నీరు తీసుకుని అందులో రెండు చెంచాల ఉప్పే కలిపారు. ఉప్పు కలపడం వల్ల నీటి సాంద్రత పెరుగుతుంది.

ఎడమ పక్క గ్లాసులో నీటి సాంద్రత తక్కువ కనుక గుడ్డు మునిగింది. కుడి పక్క గ్లాసులో నీటి సాంద్రత మరి కాస్త ఎక్కువ కనుక గుడ్డు తేలకుండా, మునగకుండా మధ్యస్థంగా ఉండిపోయింది. మధ్యలో ఉన్న గ్లాసులో నీటి సాంద్రత అన్నిటికన్నా ఎక్కువ కనుక గుడ్డు తేలింది.

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ‘కిరీటం సమస్యని’ సులభంగా పరిష్కరించొచ్చు. కచ్చితంగా కిరీటం బరువుతో సమానమైన బరువున్న శుద్ధ బంగారపు ముక్కని తీసుకోవాలి. ఇప్పుడు కిరీటాన్ని, బంగారపు ముక్కని ఓ త్రాసు మీద ఉంచి, రెండిట్నీ నీట్లో ముంచాలి. రెండు వస్తువుల సాంద్రత ఒకటే అయితే, త్రాసు సరిగ్గా తూగుతుంది. కల్తీ జరగడం వల్ల కిరీటం సాంద్రత బంగారం సాంద్రత కన్నా తక్కువైతే, బంగారం ఉన్న వైపు త్రాసు మొగ్గు చూపుతుంది.



References:


2. Socoolscienceshow


(ఆర్కిమిడీస్ రూపొందించిన యంత్రాల గురించి మరో పోస్ట్ లో)

రాకాసి వాయుగుండం (పాతాళానికి ప్రయాణం - 41)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, February 17, 2012 0 comments




కొన్ని చోట్ల కొండ వాలు 36 డిగ్రీలు మించి ఉంటుంది. దాన్ని ఎక్కడం అసంభవం అనిపించింది. కాని ఎలాగో కష్టపడి ఆ బండరాతి కొండని ఎక్కుతూ పోయాం. కట్టెలతో ఒకరికొరం సహాహపడుతూ పైపైకి సాగిపోయాం.

మామయ్య మాత్రం ఎప్పుడూ నన్ను అంటిపెట్టుకునే ఉన్నాడు. నేను ఎప్పుడూ తన దృష్టిని దాటిపోకుండా కనిపెట్టుకుని ఉన్నాడు. ఎన్నో సంకట పరిస్థితుల్లో చటుక్కున నా చేయి పట్టుకుని నిలుపుతూ వచ్చాడు. కాని తను మాత్రం ఎప్పుడూ తొట్రువడడం, తబ్బిబ్బు కావడం చూడలేదు. ఇక మాతో పాటు వచ్చిన ఐస్లాండ్ వాసులు మాత్రం అంతంత బరువులు మోస్తూ కూడా సునాయాసంగా చెంగుచెంగున కొండెక్కేస్తూ సాగిపోయారు.

శిఖరాగ్రం మరీ దూరంగా ఉన్నట్టు కనిపించడం వల్లనో ఏమో మొదట్లో మేం ఉన్నవైపు నుండి వాలు మరీ ఎక్కువని అనిపించింది. కాని అదృష్టవశాత్తు ఓ గంటసేపు అలా కుస్తీపట్లు, కవాతులు చేశాక ఓ విశాలమైన, మంచు కప్పిన ప్రాంతాన్ని చేరుకున్నాం. ఇది రెండు శిఖరాల మధ్యన ఉన్న ఓ మంచుమైదానం. అక్కణ్ణుంచి చూస్తే శిఖరానికి తీసుకుపోతూ ఓ మెట్ల దారి లాంటిది కనిపించింది. దీంతో మా అవరోహణ మరింత సులభమయ్యింది. అగ్నిపర్వత విస్ఫోటం లోంచి ఎగజిమ్మబడ్డ రాతిశకలాల చేత ఏర్పడ్డ మెట్ల దారి అది. ఆ రాళ్ళ వర్షం కొండ వాలు మీద పడకపోయి వుంటే సముద్రంలో పడి చిన్న చితక దీవులు ఏర్పడి వుండేవి.

కనుక రాళ్ళు పడితే పడ్డాయి కాని మాకెంతో మేలే చేశాయి. వాలు ఇంకా ఇంకా పెరుగుతూ వున్నా, ఈ రాళ్ల దారి సహాయంతో సులభంగానే ఎక్కగలిగాం. వడి బాగానే వుంది కదా అని ఓ క్షణం ఊపిరి తీసుకుందామని ఆగానంతే. మా ఐస్లాండ్ వాసులు అంతలోనే అల్లంత దూరాన నలకలంత పరిమాణంలో కనిపించారు. కంగారు పుట్టి మళ్లీ నడక అందుకున్నాను.
ఆ రాతిమెట్ల దారి వెంబడి ఓ రెండు వేల మెట్లు ఇక్కాక పర్వతం యొక్క మూపురాన్ని చేరుకున్నాం. ఆ వేదిక మీద శిఖరాగ్రం నిలిచి వుంది. ఆపై వరకు ఎక్కితే అగ్నిబిలం (crater) వస్తుంది.

మేం ఉన్న చోటి నుండి మూడు వేల రెండు వందల అడుగుల కిందన సముద్రం విస్తరించి వుంది. శాశ్వత మంచు ఉండే ప్రాంతం లోకి ప్రవేశించాం. మాములుగా అనుకునే దాని కన్నా మరింత ఎత్తులో ఇక్కడ మంచు కనిపిస్తుంది. దానికి కారణం ఇక్కడ వాతావరణంలో ఉండే తేమ. చలి అతి తీవ్రంగా ఉంది. గాలి ఉధృతంగా వీస్తోంది. నాకైతే ఒక్కసారిగా ఒళ్ళంతా నిస్సత్తువ ఆవరించింది. ఇక కాళ్లు చేతులు ఆడలేదు. మామయ్య నా అవస్థ గమనించినట్టు ఉన్నాడు. సాధారణంగా అసహనంగా ఉండే పెద్దమనిషి నన్ను చూసి కాసేపు ఆగుదాం అని నిశ్చయించుకున్నాడు. హన్స్ ని పిలిచి ఏదో అన్నాడు. దానికి అతగాడు తల అడ్డంగా ఊపుతూ,
“ఒఫ్వాన్ ఫర్” అన్నాడు.
“ఇంకా ఎత్తుకి వెళ్లాలంటున్నాడు,” అన్నాడు మామయ్య నాకేసి తిరిగి.
“ఎందుకని?” అడిగాడు మామయ్య.
“మిస్టోర్” అన్నాడు హన్స్.
“యా మిస్టోర్” అన్నాడు తతిమా ఐస్లాండ్ గైడ్ల లో ఒకడు కాస్త భయంగా.
“ఇంతకీ ఆ పదానికి అర్థమేంటి?” అన్నాను కాస్త విసుగ్గా.
“అటు చూడు,” అంటూ మామయ్య దిగువ తలాల కేసి చూపించాడు.
అల్లంత దూరంలో ఇసుక, ధూళి, అగ్నిపర్వత శిలా రేణువులు కలిసిన పెద్ద వాయుగుండం లాంటిది ఏర్పడుతోంది. గాలి వాటుకి అది స్నెఫెల్ పర్వతం దిశగా, ముఖ్యంగా మేం ఉన్న వైపుగా తరలి వస్తోంది. సూర్యుడీకి అడ్డుగా కదుల్తున్న ఆ పొడవాటి ధూళి స్తంభం యొక్క చిక్కని నీడ కొండ మీద పడుతోంది. ఆ గాలికంబం కొద్దిగా మామీదకి వాలిందంటే మమ్మల్ని అందర్నీ గుప్పెట్లో పెట్టుకుని మోసుకుపోగలదు. హిమానీనదాల మీదుగా బలమైన గాలులు వీచినప్పుడు ఇలాంటి గాలిస్తంభాలు ఏర్పడతాయని ఐస్లాండ్ వాసులకి బాగా తెలుసు. దీన్నే వాళ్లు ‘మిస్టోర్’ అని పిలుస్తుంటారు.
“హాస్టిగ్! హాస్టిగ్!” అరిచాడు మా గైడు.
డేనిష్ తెలీకపోయినా విషయాన్ని సులభంగా గ్రహించి హన్స్ వెనుకే కాలిసత్తువ కొద్దీ పరుగు అందుకున్నాను. హన్స్ పర్వతం పైన శిఖరాగ్రపు శంకువు మీదుగా పరుగు అందుకున్నాడు. సూటిగా మీదకి ఉరకకుండా పక్కల వెంట శంకువు వెనకకి చేరుకున్నాడు. వాయుదుమారం క్రమంగా కొండని కబళించసాగింది. దాని ధాటికి కొండంతా భూకంపం వచ్చినట్టు కంపించసాగింది. వొదులుగా ఉన్న రాళ్ళు ఆ గాలికి కొట్టుకుపోయి కింద తలాల మీద వర్షంలా పడుతున్నాయి. మా అదృష్టం బాగుండి పర్వతానికి అవతలి పక్కకి వచ్చేశాం గాని లేకుంటే ఈ పాటికి రాళ్ళ వర్షంతో పాటు, మా నెత్తుటి వర్షం కూడా కురిసేది. యుద్ధభూమి మీద రాలే దేహాంగాలలా మా అంగాంగాలు ఆ ప్రళయానిలపు తాపులకి తుత్తునియలై కింద తలాల మీద విసిరేయబడి ఉండేవి.

శంకువు పక్కల మీద ఆ రాత్రంతా గడపడం శ్రేయస్కరం కాదని హన్స్ అన్నాడు. కనుక దుమారం తరలిపోయాక కూడా ఆగకుండా మా ఆరోహణ కొనసాగించాం. మిగిలిన పదిహేను వందల అడుగులు ఎక్కడానికి మాకు ఐదు గంటలు పట్టింది. నాకైతే ఇక నించోడానికి కూడా ఓపిక లేదు. ఆకలి, చలి నన్ను పూర్తిగా లోబరుచుకున్నాయి. దీనికి తోడు గాలి కూడా పలచన కావడంతో ఊపిరి తిత్తులు కూడా ఉక్కిరిబిక్కిరి అవుతున్నాయి.
ఎట్టకేలకి రాత్రి పదకొండు గంటలకి స్నెఫెల్ శిఖరాన్ని జయించాం.
అందరం అగ్నిబిలం లోకి ప్రవేశించి విశ్రాంతి తీసుకున్నాం.




నా పాదాల కింద నిద్దరోతున్న దీవిని ముద్దాడుతున్న నడిరాతిరి రవి కిరణాలని చూస్తూ నెమ్మదిగా నేనూ నిద్రలోకి జారుకున్నాను.

(పదిహేనవ అధ్యాయం సమాప్తం)


శ్రీనివాస రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ లో ఉండే రోజుల్లో పి.సి. మహలనోబిస్ అనే మరో ప్రఖ్యాత భారతీయ గణితవేత్తతో పాటు కలిసి ఒకే ఇంట్లో ఉండేవాడు. మహలనోబిస్ కి ఒక రోజు స్ట్రాండ్ అనే ఇంగ్లీష్ పత్రికలో ఒక గణిత సమస్య కనిపించింది. వెంటనే తెచ్చి రామానుజన్ కి చదివి వినిపించాడు. ఆ సమయంలో రామానుజన్ వంటగదిలో కూరలు వేయిస్తున్నాడు. మహలనోబిస్ వర్ణించిన సమస్యని జాగ్రత్తగా విన్నాడు. రామానుజన్ కి అత్యంత జటిలమైన లెక్కలు కూడా మనసులోనే చెయ్యగలిగే అలవాటు ఉండేది. ఆ సమస్య ఇలా ఉంటుంది.

సమస్య – ఒక వీధిలో వరుసగా 1, 2, 3, … n, అని అంకెల గుర్తులు ఉన్న ఇళ్లు ఉన్నాయి. ఈ వరుసలో ఒక ప్రత్యేకమైన ఇల్లు వుంది. దాని స్థానం x. ఆ ఇంటికి కుడి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం ఎంతో, ఎడమ పక్క ఉండే ఇళ్ళ మీది అంకెల మొత్తం కూడా అంతే. ఇప్పుడు n విలువ 50కి, 500 కి మధ్య ఉందని అనుకుంటే , n, x, ల విలువలు ఎంత?

ఆ సమస్యకి రామానుజన్ ఠక్కున సమాధానం చెప్పాడు. ఆ పరిష్కారంలో ఒక విశేషం వుంది. ‘అవిచ్ఛిన్న భిన్నాల’ని (continued fractions) ఉపయోగించి ఈ సమస్యని పరిష్కరించాడు. అంతే కాక, ఈ ఒక్క సమస్యనే కాక, ఈ వర్గానికి చెందిన మరెన్నో సమస్యలని కూడా అదే దెబ్బతో పరిష్కరించాడు. “అలా ఎలా చెయ్యగలిగావ?”ని అడిగాడు ఆ దెబ్బకి ఇంకా తేరుకోని మహలనోబిస్. “ఏం లేదు. సమస్యని వినగానే దాని పరిష్కారం ఒక అవిచ్ఛిన్న భిన్నమే అయ్యుంటుందని అనిపించింది. ఇంతకీ ఏంటా అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అని ఓ సారి ప్రశ్నించుకున్నాను. వెంటనే సమాధానం మనసులో స్ఫురించింది,” అని బదులు చెప్పాడు రామానుజన్.
పైన చెప్పుకున్న సమస్యకి పరిష్కారాన్ని ఇలా ప్రారంభించొచ్చు. x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి ఒక పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
1 + 2 + 3 … (x-1) = x(x-1)/2
(ఇక్కడ, 1 + 2 + …+m = m(m+1)/2 అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాం.)
అలాగే x వ స్థానంలో ఉన్న ఇంటికి అవతలి పక్క ఉన్న ఇళ్ళ అంకెల మొత్తం ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
(x+1) + (x+2) + (x+3)+ … +n = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
కనుక,
x(x-1)/2 = n(n+1)/2 – (x)(x+1)/2
పైన సమీకరణంలోని పదాలకి కాస్త అటు ఇటు చేస్తే,
(2n + 1)2 – 2 (2x) 2 = 1
దీన్ని మరింత సామాన్య రూపంలో ఇలా రాసుకోవచ్చు,
u^2 – 2v^2 = 1
దీన్ని బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర సమీకరణం అంటారు. దీన్నే ‘పెల్’ (Pell) సమీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఈ సమీకరణానికి ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. దీని పరిష్కారం తెలిస్తే, సమీకరణాన్ని ఇలా రాసుకోవచ్చు.
(u^2 –1)/v^2 = 2,
లేదా
కనుక u, v విలువలు తెలిస్తే విలువని ఉజ్జాయింపుగా, ఒక భిన్నం రూపంలో, వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలుంటుంది. ఈ సమీకరణానికి మరింత సార్వత్రిక రూపం వుంది. అది,
u^2 – N v^2 = 1
దీనికి పరిష్కారం తెలిస్తే,
ని కూడా భిన్నంగా, ఉజ్జాయింపుగా వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలవుతుంది.
ఈ సమీకరణం గురించి ప్రాచీన భారత గణితవేత్తలకి బాగా తెలుసు.
ఉదాహరణకి ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు u = 17, v = 12, మరియు u = 577, v = 408 అని బౌధాయనుడికి తెలుసు. ఈ బౌధాయనుడు క్రీ.పూ. 800 ప్రాంతాల్లో జీవించాడు. ఇతడు ‘బౌధాయన సుల్బసూత్రాలు’ అనే గణిత గ్రంథానికి రచయిత.
ఇదే సమస్యని బ్రహ్మగుప్తుడు అసంఖ్యాకమైన సాధనలు వచ్చేట్టుగా పరిష్కరించాడు.
అందుకోసం ముందుగా ఒక ‘అభిన్నం’ ని (identity) నిరూపించాడు. బ్రహ్మగుప్తుడి అభిన్నంగా పిలవబడే ఈ అభిన్నం ఇలా ఉంటుంది.
(a^2 + n b^2) (c^2 + n d^2) = (ac – nbd)^2 + n (ad + bc)^2
పై అభిన్నాన్ని నిరూపించడం అంత కష్టం కాదు. కాని ఈ అభిన్నానికి మరో రూపాంతరాన్ని కుడా ఇస్తాడు బ్రహ్మగుప్తుడు.
(x1^2 – N y1^2)( x2^2 – N y2^2) = (x1* x2 – N* y1* y2)^2 – N (x1*y2 + x2*y1)^2

దీన్ని వాడుకుని ఇందాక చెప్పుకున్న బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అద్భుతంగా ఉంటుంది.
దీన్ని బట్టి (x1,y1), (x2,y2) అనేవి u2 – Nv2 = 1 కి సాధనలు అయితే, ((x1* x2 – N* y1* y2), (x1*y2 + x2*y1)) లు కూడా సాధనలు అవుతాయని తేలుతుంది. ఈ సూత్రాన్ని మళ్లీ మళ్లీ వాడుకుంటే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.

మొదట చెప్పుకున్న సమస్య గురించి విన్నాడో లేదో రామానుజన్ కి దాని పరిష్కారం మనసులో స్ఫురించింది. బ్రహ్మగుప్తుడు సాధించిన పద్ధతిలో కాక, వేరే విధంగా, అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలని (continued fractions) ఉపయోగించి సమస్యని గొప్ప చాతుర్యంతో పరిష్కరించాడు. అవిచ్ఛిన్న భిన్నం అంటే అనంతంగా సాగే భిన్నం. ఉదాహరణకి,





sqrt(2) కి అవిచ్ఛిన్న భిన్నం ఇలా ఉంటుందని ఊహించాడు రామానుజన్,

sqrt(2) = 1 + 1/(2+1/(2+1/(2+1/...



ఇలాంటి భిన్నాన్ని అనంతం వరకు లెక్కించడం అసంభవం కనుక దాన్ని ఏదో ఒక స్థాయిలో తెగ్గోస్తారు. అలా తెగ్గోయగా వచ్చిన విలువని convergent అంటారు. స్థాయి పెంచుకుంటూ పోతే వరుసగా ఎన్నో convergent లు వస్తాయి. ఉదాహరణకి,
మొదటి convergent, = 1/1
రెండవ convergent = 1 + 1/2 = 3/2
మూడవ convergent, = 1+ 1/(2 + 1/2) = 7/5

నాలుగవ convergent, = 1+ 1/(2+1/(2+1/2)) = 17/12


పైన ఇవ్వబడ్డ convergent లు అన్నీ భిన్నాల రూపంలో ఉన్నాయి. అవే బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అవుతాయని రామానుజన్ గుర్తించాడు!
ఉదాహరణకి (1,1) (3,2), (7,5), (17,12) మొదలైనవి,
u^2 – 2v^2 = 1
u^2 – 2v^2 = -1
అనే రెండు సమీకరణాలని మారి మారి తృప్తిపరుస్తాయి!
బ్రహ్మగుప్తుడి పద్ధతి లాగానే ఈ విధంగా కూడా బ్రహ్మగుప్త-భాస్కర-పెల్ సమీకరణానికి అసంఖ్యాకమైన సాధనలు లెక్కించొచ్చు.






R. Ramanujam, The man who was loved by formulas, Jantar Mantar, Nov-Dec, 2011.

డార్విన్ ఆత్మకథ

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, February 13, 2012 5 comments




భౌతిక శాస్త్రానికి ఐన్ స్టయిన్ ఎంతో, జీవశాస్త్రానికి డార్విన్ అంత అని చెప్పుకోవచ్చు. డార్విన్ ఎనలేని కృషి వల్ల పరిణామ సిద్ధాంతం జీవశాస్త్రంలో ఓ ముఖ్య స్థానాన్ని ఆక్రమించింది. పరిణాత్మక దృష్టితో చూడకపోతే జీవశాస్త్రంలో ఏదీ కచ్చితంగా అర్థం కాదనేంత ఎత్తుకు పరిణామ సిద్ధాంతం ఎదిగింది.


డార్విన్ కృషి గురించి లోగడ కొన్ని వ్యాసాలు ఈ బ్లాగ్ లో పోస్ట్ చెయ్యడం జరిగింది. అందులో డార్విన్ యొక్క వైజ్ఞానిక చింతన గురించి, ఆ చింతనకి ఊపిరి పోసిన పూర్వుల చింతన గురించి ఎక్కువగా చెప్పడం జరిగింది. అయితే ఓ మేధావి యొక్క వ్యక్తి గత జీవన విశేషాల గురించి కూడా ఆయన చింతన గురించి ఎంతో తెలుసుకోవచ్చు. ఎలాంటి సంఘటనలు, ఎలాంటి జీవన, సామాజిక నేపథ్యం అలాంటి భావాలకి ప్రాణం పోశాయో స్పష్టంగా తెలుసుకునే అవకాశం ఉంటుంది.


వైజ్ఞానికులలో జీవత కథలు చాలా ఉన్నాయిగాని, అత్మకథలు కొంచెం అరుదు. అయితే డార్విన్ ఆత్మకథ ఒకటి వుంది. ఓ సంపాదకుడి విన్నపం మీద తన జీవిత కథని క్లుప్తంగా రాశాడు డార్విన్.

డార్విన్ పుట్టిన రోజు (ఫిబ్రవరి 12) సందర్భంగా ఆయన ఆత్మకథను ఇప్పట్నుంచి ఈ బ్లాగ్ లో ఓ సీరియల్ గా పోస్ట్ చేస్తున్నాం. (ఇది నిన్న చేసి ఉండాల్సింది. అయితే నిన్న ఇంట్లో నెట్ పడుకుంది! :-)
- శ్రీ.చ.


డార్విన్ ఆత్మకథ

నాకు తెలిసిన ఓ జర్మను సంపాదకుడు నా మానసిక, వ్యక్తిత్వ వికాసాన్ని గురించి, నా ఆత్మకథా విషయాల గురించి ఏదైనా రాయమని అడిగాడు. కాలక్షేపానికి అలాంటి పని చెయ్యడం సరదాగా ఉంటుందనిపించింది. అంతే కాక నా పిల్లలకి, వాళ్ల పిల్లలకి కూడా అది పనికి రావచ్చని అనిపించింది. మా తాతగారు తన జీవితం గురించి, తన ఆలోచనల గురించి, పని తీరు గురించి ఏ కాస్త రాసి ఉన్నా చదవడానికి ఆసక్తికరంగా ఉండేదని ఎన్నో సార్లు అనిపిస్తుంది. కనుక నా ఆత్మకథని రాయటానికి పూనుకున్నాను. ఓ మరణించిన మనిషి మరో లోకం నుంచి తన గత జీవితాన్ని చూసుకుంటూ వ్యాఖ్యానిస్తే ఎలా ఉంటుందో ఆ విధంగా ఈ కథ చెప్పుకొచ్చాను. అలా చెయ్యడం నాకు పెద్ద కష్టం అనిపించలేదు. ఎందుకంటే నా జీవితం ఇంచుమించు అయ్యేపోయింది. శైలి గురించి పెద్దగా పట్టించుకోకుండా బుద్ధి పుట్టినట్టు రాస్తూ పోయాను.

నేను పుట్టింది 1809 లో, ఫిబ్రవరి 12 నాడు. ష్రూస్బరీ నగరంలో. బాగా చిన్నతనానికి సంబంధించి నాకు ఒకే విషయం జ్ఞాపకం ఉంది. అప్పటికి నా వయసు నాలుగు ఏళ్లు దాటి కొన్ని నెలలు ఉంటుందేమో. సముద్ర స్నానానికి అని అబర్గెలే నగరానికి వెళ్లాం. అక్కడ కొన్ని సంఘటనలు, ప్రదేశాలు కొద్దోగొప్పో స్పష్టంగా గుర్తున్నాయి.

జులై 1817లో మా అమ్మ చనిపోయింది. అప్పటికి నా వయసు ఎనిమిది దాటి ఉంటుంది. మా అమ్మ గురించి నాకు పెద్దగా గుర్తు లేదు. మరణ శయ్య మీద నల్లని వెల్వెట్ గౌన్ లో ఆమె శయనించి ఉండటం గుర్తుంది. ఆ తరువాత విచిత్రమైన రూపం గల ఆమె పని చేసుకునే బల్ల కూడా గుర్తుంది.

ఆ ఏటే నన్ను ష్రూస్ బరీ లో ఓ బళ్లో పడేశారు. అక్కడ ఓ ఏడాది పాటు నా చదువు సాగింది. మా చెల్లెలు కాథ్రీన్ తో పోల్చితే నేను చదువులో కాస్త నెమ్మది అని చెప్తారు. బాగా అల్లరి చేసేవాణ్ణని కూడా చెప్తారు.

ఆ బళ్లో చేరిన నాటికే ప్రకృతి పట్ల నాలో ఆకర్షణ, వస్తువులు సేకరించే అలవాటు బలంగా ఉండేదట. కనిపించిన ప్రతీ మొక్క పేరు గుర్తించడానికి ప్రయత్నించేవాణ్ణట. గవ్వలు, నాణేలు, ఖనిజాలు ఇలా నానారకాల వస్తువులు సేకరించేవాణ్ణట. ఈ సేకరించే అలవాటు ఉన్న మనిషి ప్రకృతివేత్త గాని, పిసినారి గాని అవుతాడని అంటారు. మరి ఎలా వచ్చిందో నాకీ అలవాటు సహజంగా వచ్చింది. నా అక్కచెళ్లెళ్లకి గాని, తమ్ముడికి గాని ఈ అలవాటు రాలేదు.

ఆ ఏడాది జరిగిన ఒక సంఘటన మాత్రం నా మనసులో గాఢంగా ముద్ర పడిపోయింది. ఆ సంఘటన జరిగిన తరువాత అది నా మనసులో రేపిన కలకలం వల్ల అది ఇంకా ఎక్కువ గుర్తుండిపోయింది. ఆ వయసులోనే నన్ను మొక్కల్లోని వైవిధ్యం ఎంతో ఆకట్టుకుంది. పాలీయాంతస్ మొక్కలకి, ప్రిమ్రోజ్ మొక్కలకి రకరకాల రంగు నీళ్లు పోసి రంగు రంగుల పూలు సృష్టించగలనని నాకు తెలిసిన ఓ పిల్లవాడితో (అది లేటన్ అనుకుంటా, ఇతగాడే తరువాత ప్రఖ్యాత వృక్ష శాస్త్రవేత్తగా ఎదిగాడు) ఓ సారి బుకాయించానట! కాని ఆలాంటి ప్రయత్నానికి ఎప్పుడూ నేను స్వయంగా పూనుకున్న పాపానికి పోలేదు! ఆ వయసులో ఇలాంటి కట్టుకథలు చాలా అల్లేవాణ్ణట. స్నేహితులలో సంచలనం కలిగించడానికి అలా చేసే వాణ్ణి. ఒకసారి అలాగే మా నాన్నగారి తోట లోంచి మంచి మంచి పళ్లెన్నో కోసి అవన్నీ ఓ పొద కింద దాచాను. ఆ తరువాత పరుగెత్తుకుంటూ వెళ్ళి ఓ పెద్ద “దొంగలించిన పళ్ల భాండారం” దొరికిందంటూ అందరికీ దండోరా వేశాను!

నేను మొట్టమొదట బళ్లో చేరినప్పుడు చాలా అమాయకంగా ఉండేవాణ్ణో ఏమో. గార్నెట్ అని ఓ మిత్రుడు ఒకసారి నన్నొక బేకరీకి తీసుకెళ్లాడు. ఆ కొట్లో బోలేడు కేకులు తీసుకుని, డబ్బు చెల్లించకుండా బయటికి వచ్చాడు. డబ్బులు చెల్లించలేదేం? అని అడిగాను. అందుకు ఆ పిల్లవాడు, "మా మావ గొప్ప ఆస్తిపరుడు. పోతూపోతూ ఈ ఊరి పేర్న తన ఆస్తంతా రాస్తూ, నాకు గాని, తన పాత టోపీ పెట్టుకుని ఆ టోపీని ఓ ప్రత్యేక రీతిలో కదిలించిన మరెవరికైనా గాని, ఊళ్లో అంగళ్ల వాళ్లు ఉచితంగా అడిగినవన్నీ ఇవ్వాలన్న నిబంధన పెట్టి పోయాడు," అని చెప్పాడు. "కావాలంటే నువ్వూ కూడా ప్రయత్నించి చూడు, ఇందాకటి బేకరీ నుండి ఏవైనా తెచ్చుకో," అంటూ ఆ విచిత్ర టోపీని నా చేతిలో పెట్టాడు.

మహాప్రసాదంలా ఆ టోపీని అందుకుని ఇందాకటి బేకరీకి వెళ్లాను. కొన్ని కేకులు అడిగి తీసుకుని, టోపీని ఓ సారి జాగ్రత్తగా కదిలించి డబ్బులు చెల్లించకుండా బయటికి నడవబోయాను. కొట్టువాడు నా పీక పట్టుకోబోయాడు. నేనా కేకులు కింద పడేసి కాలిసత్తువ కొద్దీ పరుగు అందుకున్నాను. నేనలా పరుగెత్తు తుంటే అల్లంత దూరంలో పొట్ట చెక్కలయ్యేలా నవ్వుతూ నా స్నేహితుడు, ఆ పిల్ల రాక్షసుడు, గార్నెట్ కనిపించాడు.
(ఇంకా వుంది)

శిఖరాగ్రం దగ్గర పడుతోంది (పాతళానికి ప్రయాణం - 40)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, February 9, 2012 0 comments




ఐస్లాండ్ నేలలో ఒండ్రుమట్టి ఇంచుమించు లేదనే చెప్పాలి. ఈ భూమి అంతా అగ్నిపర్వతాల నుండి పెల్లుబికిన రాళ్లు రప్పల సమూహం. అగ్నిపర్వతాలు విస్ఫోటం చెందక ముందు ఇక్కడ భూగర్భ శక్తుల ప్రభావం వల్ల నెమ్మదిగా పైకి లేచిన అగ్నిశిలల సమూహమే ఉండేది. అప్పటికి ఇంకా భూగర్భంలోని అగ్ని ఇంకా పైకి తన్నుకురాలేదు.

కాని తదనంతర దశలలో దక్షిణ-పశ్చిమం నుండి ఉత్తర-తూర్పు దిశలో, దీవి యొక్క కర్ణం (diagonal) వెంట, ఓ పెద్ద అగాధం ఏర్పడింది. ఆ అగాధం లోంచి ట్రాకైట్ శిల పైకి తన్నుకొచ్చి ఓ పొడవాటి పర్వత శ్రేణి ఏర్పడింది. ఈ పరిణామాలన్ని సంచలనాత్మకంగా జరిగాయని అనుకోను. పెద్ద మొత్తంలో పదార్థం పైకి ఎగదోయబడింది. భూమి లోతుల నుండి కుతకుతలాడే రాతి ద్రవం పైకి ఎగజిమ్మ బడింది. ఆ పదార్థం అంతా విశాల తలాలుగా, మరీ ఎత్తుకాని కొండలుగా, గుట్టలుగా ఏర్పడింది. ఫెల్స్పార్, సైనైట్, పార్ఫిరీ మొదలైన రాతి జాతులన్నీ ఈ దశకి చెందినవే.

అలా ఎగదన్నుకు వచ్చిన పదార్థం వల్ల ఈ ద్వీపంలో పై పొర మందం పెరిగింది. ఆ పొర యొక్క ఎదుగుతున్న భారం మరింత పదార్థం లోనుండి తన్నుకురాకుండా అడ్డుపడింది. పైన ట్రాకైట్ పొర గట్టిపడిపోయాక లోపల విశాలమైన వాయురాశులు, మరిగే పదార్థపు సందోహాలు నిర్బందించబడ్డాయి. ఈ ట్రాకైట్ మూతని భేదించుకుని ఏదో ఒకనాడు లోనున్న పదార్థం విస్ఫోటాత్మకంగా పెల్లుబుకుతుంది. పొగగొట్టంలోంచి పైకి తోసుకొచ్చే పొగలా, లోపల బంధించబడ్డ వాయువులన్నీ ఏవో సొరంగ మార్గలు వెదుక్కుని పైకి తన్నుకొస్తాయి. అగ్నిపర్వతాల పైన ఉండే అగ్నిబిలం వద్ద పైపొర కాస్త సన్నగా ఉంటుంది కనుక పైపొరని భేదించడానికి ఇంత కన్నా అనువైన ప్రదేశం ఉండదు.

ఈ విస్ఫోటానికి ఇతర అగ్నిపర్వత పరిణామాలు కూడా తోడయ్యాయి. మొదటి విస్ఫోటం వల్ల ఏర్పడ్డ మార్గాల లోంచి ఎగజిమ్మబడ్డ పదార్థాలలో ఒకటి బేసల్ట్. దాని ఆనవాళ్లు ఇందాక మేం వచ్చిన మైదానాలలో ఎన్నో కనిపించాయి. గట్టిపడ్డ అగ్నిశిలా పదార్థం అంతా లెక్కలేనన్ని షడ్భుజి ఆకారపు ఫలకాలుగా ఏర్పడింది. ఒకప్పటి అగ్నికీలలన్నీ చల్లబడి లెక్కలేనన్ని ఛిద్ర శంకువులుగా మారాయి.

చుట్టుపక్కల చిన్నా చితకా అగ్నిబిలాలన్నీ చల్లారిపోయాక, బేసాల్ట్ ప్రవాహం ఆగిపోయాక ఈ అగ్నిపర్వతం మరింత శక్తిని పుంజుకుంది. లావా, బూడిద, స్లాగ్ మొదలైన పదార్థాలు బయటికి ప్రవహించడానికి మార్గం ఏర్పడింది. విరబోసుకున్న కేశాల లాగా ఈ ప్రవాహాలు కొండ వాలు మీద బాటలు వేస్తూ ఇప్పటికీ కనిపిస్తాయి.

ఇలాంటి పరిణామాల పరంపరకి పర్యవసానంగా ఐస్లాండ్ ద్వీపం ఉద్భవించింది. భూగర్భంలోని అగ్ని చేత మలచబడ్డ భూమి ఇది. కనుక ఈ నేలకి అడుగున ఉన్న పదార్థం అంతా మరుగుతున్న ద్రవ రూపంలో లేదని అనుకోవడం వట్టి వెర్రితనమే అవుతుంది. మరి ఇలాంటి పరిస్థితిలో భూగర్భం లోకి, పైగా భూమి కేంద్రం వరకు ప్రయాణించడం అయ్యేపనిటండీ? ఈ ముసలాళ్ల పిచ్చిగానీ!

అలా ఆలోచిస్తుంటే నా మనసు కాస్త ఊరటచెందింది. స్నెఫెల్ శిఖరాగ్రం కూడా క్రమంగా దగ్గరపడుతోంది.

మా స్నెఫెల్ పర్వతారోహణా ప్రయత్నం కొనసాగుతూనే వుంది. ఎక్కుతున్న కొద్ది వాలు ఇంకా పెరుగుతోందే గాని తగ్గడం లేదు. అక్కణ్ణుంచి జారి పడితే ఇక ఎముకలు కూడా దక్కవు.

కాని మా హన్స్ మాత్రం – మహానుభావుడు – నేల మీద ఎలా నడుస్తామో అంతే సునాయాసంగా ఆ వాలు మీద కూడా నడిచేస్తున్నాడు. కొన్ని సార్లు వడివడిగా మా ముందుగా ఎగబ్రాకి కనుమరుగు అవుతాడు. మేం దిక్కులు చేస్తుంటే అంతలో ఎక్కణ్ణుంచో ఈల వేస్తాడు. ఊళ వచ్చిన దిశగా మేం ఉస్సురంటూ ముందుకు సాగుతాం. కొన్ని సార్లు నడుస్తున్నవాడల్లా ఆగి కొన్ని రాళ్ళు అందుకుంటాడు. ఆ రాళ్లని ఏదో చిత్రమైన ఆకారంలో కింద పేర్చుతాడు. ఇవన్నీ మార్గంలో మా పురోగమనాన్ని తెలిపే మైలురాళ్లు అన్నమాట. వెనక్కు వచ్చేటప్పుడు వీటి సహాయంతో మాకు దారి తెలుస్తుంది. చాలా ముందు జాగ్రత్తలు తీసుకుంటున్నాడు పాపం. కాని ఈ ఏర్పాట్లు ఎందుకూ పనికి రాకుండా పోయాయని తరువాత కలిగిన అనుభవాల వల్ల తేలింది.

మూడు గంటల పాటు రొప్పుతూ, రోజుతూ నడిచాక కొండ యొక్క అడుక్కి చేరాం. కాసేపు ఆగుదాం అని సంజ్ఞ చేసి హన్స్ అందరికీ ఏదో ఫలహారం అందించాడు. సమయం ఆదా చేద్దాం అని కాబోలు మామయ్య రెండేసి ముద్దలు ఒకసారి గుటకేసి మింగేసి భోజనం అయ్యిందనిపించాడు. కాని ఆయనకి నచ్చినా నచ్చకపోయినా ఇది విశ్రాంతి ఘడియ. భోజనం ముగిసినా లేకున్నా ఓ గంట పాటు ఇక్కడ ఆగాల్సిందే. మాతో వున్న ముగ్గురు ఐస్లాండ్ వాసులూ (వాళ్ల బాస్ లాగే వీళ్ళూ ఆట్టే నోరు మెదపరు కాబోలు!) మౌనంగా వాళ్లకి అందిన దాన్ని అందినట్టు తినేశారు.

మా పర్వతారోహణం మళ్లీ కొనసాగింది. ఈ సారి కొండ వాలు ఓ గోడలా, పీడలా మా ఎదుట సాక్షాత్కరించింది. దాని హిమశిఖరం వాస్తవం కన్నా దగ్గరగా ఉన్నట్టు కనిపించింది. అదో దృశ్య భ్రాంతి అని పర్వతారోహకులకి అందరికీ తెలుసు. అందుకేనేమో మరి ఎంత నడిచినా దగ్గర పడదే! కాళ్ల కింద మట్టి లేదు, చిన్న చిన్న తుప్పల, మొక్కల వేళ్లు లేవు జారబోయిన కాళ్లని నిలువరించడానికి. మా పాదాలకి తగిలిన రాళ్ళు దొర్లిపోయి కింద ఎక్కడో అగాధంలో పడుతున్నాయి.

(ఇంకా వుంది)

'నిచ్చెన మీద పిల్లి' సమస్య

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Monday, February 6, 2012 0 comments






సోవియెట్ ప్రచురణ సంస్థ మీర్ పబ్లిషర్స్ మన దేశంలో విజ్ఞాన ప్రచారంలో ఎంతో సేవ చేశాయి. ఆ పుస్తకాలు ప్రస్తుతం మనకి, ముఖ్యంగా ప్రస్తుత యువ తరానికి లభ్యం కాకపోవడం విచారకరం.
మీర్ పబ్లిషర్స్ యొక్క గణిత ప్రచురణల్లో నేను చిన్నప్పుడు చదువువున్న పుస్తకం, బాగా గుర్తుండిపోయిన పుస్తకం ఒకటుంది. దాని పేరు “Lines and curves: A practical Geometry Handbook.” సరళ రేఖల గురించి, రకరకాల వక్రాల గురించి ఆసక్తికరమైన కథలతో, అందమైన బొమ్మలతో ఆ పుస్తకం లెక్కల పుస్తకంలా కాక, ఓ fairy tale లా ఉంటుంది. అది చదివితే ఎవరైన geometry అంటే పీకల్దాకా ప్రేమలో పడతారు.

ఓ పుస్తకంలో ఇవ్వబడ్డ అలాంటి ఓ చిన్న లెక్కల ‘కథ.’

ఓ నిచ్చెన మీద ఓ పిల్లి ప్రశాంతంగా కూర్చుందట పాపం. ఇంతలో మరి – ఆ పిల్లి ఏం చేసిందో ఏమో గాని – గోడకి ఆన్చిన నిచ్చెన నెమ్మదిగా జారడం మొదలెట్టింది. పిల్లి నిచ్చెనకి సరిగ్గా మధ్యన కూర్చుని వుంది. అలా పడుతున్న పిల్లి యొక్క చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది? (పడిపోతున్న పిల్లికూనని ఠక్కున గంతేసి ఆదుకోక దాని మీద లెక్కలు అల్లడం ఏంటండీ? ఈ గణితవేత్తలకి గుండె లేదు!)

నిచ్చెన గోడని తాకిన బిందువు A అని, నేలని తాకిన బిందువు B అని అనుకుందాం. నిచ్చెన పొడవు d అనుకుందాం. పిల్లి ఉన్న బిందువు P అనుకుందాం. ఈ సమస్యని రకరకాలుగా పరిష్కరించొచ్చు.

A వద్ద అడ్డుగాను, B వద్ద నిలువుగాను గీతలు గీసి OACB అనే దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పాటు చెయ్యాలి. దీని కర్ణాలు (diagonals) రెండూ ఒక దాన్నొకటి మధ్యగా ఛేదించుకుంటాయి కనుక OP=PC=AP=PB అవుతుంది. P నిచ్చెనలో మధ్య బిందువు కనుక AP=PB=d/2 =OP అవుతుంది. అంటే పిల్లి ఎక్కడ ఉన్నా OP విలువ ఎప్పుడూ d/2 అవుతుంది అన్నమాట. అంటే పిల్లి వృత్తాకరపు రేఖలో కింద పడుతుంది.
ఇపుడు ఇదే సమస్యని పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తూ (మరి దాని ఫీలింగ్స్ ని కూడా కాస్త పట్టించుకోవాలిగా మరి!) పరిష్కరిద్దాం. పిల్లి దృష్టి నుండి చూస్తే నిచ్చెన కదలకుండా స్థిరంగా ఉంటుంది. గోడ, నేల కదులుతుంటాయి! ఆ కదలికని కింద బొమ్మలో చూడొచ్చు.

గోడ, నేల ఎప్పుడూ ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి. పిల్లి దృష్టిలో గోడ నేల కలిసే బిందువు (O) కదులుతుంటుంది (O1, O2 …). O ఎక్కడ ఉన్నా /AOB = 90 డిగ్రీలే అవుతుంది. కనుక AB రేఖ వ్యాసంగా గల ఓ వృత్తం మీద O ఒక బిందువు అవుతుంది. అంటే OP = AB/2 = d/2, అవుతుంది. మళ్లీ P అనే బిందువు O నుండి d/2 దూరంలో కదులుతోందని తేలింది.

ఇదే సమస్యని త్రికోణమితి (trigonometry) ఉపయోగించి కూడా చాలా సులభంగా చెయ్యొచ్చు. త్రికోణమితి పద్ధతిలో చేస్తే దీనికి సంబంధించిన మరింత జటిలమైన మరో సమస్యని కూడా పరిష్కరించొచ్చు.
ఈ కింది బొమ్మలో చూపించినట్టు, కోణం /ABO విలువ h అనుకుందాం.
అప్పుడు
x= d/2 cos(h); y = d/2 sin(h)
అని సులభంగా తెలుస్తుంది.
రెంటిట్నీ కలిపితే,
x^2 + y^2 = (d/2)^ 2
అని తెలుస్తుంది. ఇది వృత్తాన్ని వర్ణించే సమీకరణం అని మనకి తెలుసు.

ఇప్పుడు మరి కాస్త జటిలమైన ప్రశ్న. పిల్లి నిచ్చెనకి మధ్యలో కాకుండా ఒక పక్కకి ఉంటే దాని చలన రేఖ ఎలా ఉంటుంది. ఈ సారి కూడా వృత్తాకరంలోనే ఉంటుందా?
ఈ సమస్యని త్రికోణమితితో అయితే చాలా సులభంగా పరిష్కరించొచ్చు.
కింది బొమ్మలో AP = a, BP = b, అనుకుందాం. (a,b లు సమానం కావు గాని a+b=d అని తెలుసు).
ఈ సారి P యొక్క నిరూపకాలు,
X = a cos(h), y = b sin(h) అవుతుంది కనుక,
(x/a)^2 + (y/b) ^2 = 1
అని తెలుస్తుంది. ఇది ఓ దీర్ఘ వృత్తాన్ని (ellipse) వర్ణించే సమీకరణం.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లియొనార్డో డా వించీ దీర్ఘవృత్తాలని గీయడానికి ఓ చక్కని పరికరాన్నికనిపెట్టాడు. దాన్ని ఈ కొంది బొమ్మలో చూడొచ్చు.

పిల్లి కూన పడిందన్న మాటేగాని పడుతూ పడుతూ ఎన్ని పాఠాలు నేర్పింది!

Reference:
Victor Gutenmacher, NB Vasilyev, Lines and Curves, Mir Publishers.

గోవాకి వైస్రాయ్ (వాస్కో ద గామా 12)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, February 4, 2012 2 comments



మూడవ సారి వాస్కో ద గామా ఇండియాకి పయనమయ్యాడు. కొత్తగా వచ్చిన జాన్ – III నియమించగా పోర్చుగల్ ప్రతినిధిగా. గోవాకి వైస్రాయ్ గా వెళ్లాడు. 1524 ఏప్రిల్ నెలలో 14 ఓడలతో 3000 సిబ్బందితో బయల్దేరాడు. మొసాంబిక్ దాకా యాత్ర భద్రంగానే సాగింది. మరమ్మత్తుల కోసం మొసాంబిక్ లో ఆగారు. అక్కడ ఒక్కసారిగా పరిస్థితులు తిరగబడ్డాయి. ఓ పెనుతుఫాను తీరం మీద విరుచుకుపడింది. ఆ దెబ్బకి మూడు ఓడలు నీటిపాలయ్యాయి. ఆ ఓడలలోని సిబ్బంది అంతా ప్రాణాలు కోల్పోయారు. మరొక ఓడలో సిబ్బంది తిరగబడి కాప్టెన్ ని హతబార్చి, ఓడతో పరారయ్యారు. తదనంతరం వాళ్లంతా సముద్రపు దొంగలుగా మరిపోయారు. ఇది చాలదన్నట్టు ఇంచుమించు అదే సమయంలో స్కర్వీ వ్యాధి మరి కొన్ని ప్రాణాలు బలితీసుకుంది.

సెప్టెంబర్ 8 నాటికి నౌకాదళం భారతీయ పశ్చిమ తీరం మీద డాబుల్ అనే ఊరికి దరిదాపుల్లోకి వచ్చింది. అప్పుడు ఓ అనుకోని సంఘటన జరిగింది. సముద్ర గర్భంలో భూకంపం వచ్చి సముద్రం అతలాకుతలం అయ్యింది. పెద్ద పెద్ద కెరటాలు లేచిపడసాగాతయి. సమంగా, శాంతంగా ఉండే సముద్ర తలం మీద ఒక్కసారిగా కదిలే నీటి కొండలు పొడుచుకు వచ్చినట్టు అయ్యింది. ఓడలు ఆ కెరటాల మీద అస్థిరంగా సవారీ చెయ్యసాగాయి. ఓడల మీద నావికులు బంతుల్లా ఎగిరెగిరి పడుతున్నారు. నీరు కొన్ని చోట్ల సల సల కాగుతోంది. లోనుండి ఆవిర్లు తన్నుకువస్తున్నాయి. ఆ భూకంపం లేదా సముద్ర కంపం ఓ గంట సేపు సాగింది. ఇంత జరుగుతున్నా వాస్కో ద గామా మాత్రం నిమ్మకు నీరెత్తినట్టు ఉన్నాడు. అంతా అయ్యాక, పరిస్థితులు సద్దుమణిగాక మిగిలిన నౌకా సిబ్బందిని పిలిచి ఇలా అన్నాట్ట – “చూశారా మిత్రులారా! మనని చూసి సముద్రం కూడా వణికిపోతోంది. కనుక ఏం భయం లేదు. హాయిగా వేడుకలు జరుపుకోండి.”

వాస్కో ద గామా బృందం గోవా తీరం మీద కాలుపెట్టింది. వాస్కో రాకకి అక్కడి పోర్చుగల్ అధినివేశం (colony) లో ఉండే పోర్చుగీస్ వారు మహదానందం చెందారు. అడ్మిరల్ స్వయంగా రావడంతో వారికి కొండంత బలం వచ్చినట్టు అయ్యింది. మెరిసే బంగరు మాలలతో, ధగధగలాడే ఖరీదైన వస్త్రాలు ధరించి, చుట్టూ దాసదాసీ జనంతో రాజవైభవాన్ని ప్రదర్శిస్తూ వాస్కో గోవా ప్రజలకి దర్శనమిచ్చాడు. వాస్కో రాకతో గోవాలో పాలన చక్కదిద్దబడుతుందన్న విశ్వాసం బలపడింది.




అధినివేశంలో ఉండే కొందరు పోర్చుగీస్ అధికారులు కొన్ని అస్త్రశస్త్రాలని స్థానిక వర్తకులకి అమ్మేశారని తెలిసింది. అలా అమ్మబడ్డ ఆయుధాలన్నీ వెనక్కు రప్పించుకునే ప్రయత్నాలు మొదలెట్టాడు ద గామా. చాలా మంది వర్తకులు తాము కొన్న ఆయుధాలు వెంటనే తిరిగి తెచ్చి ఇచ్చేశారు. క్రమంగా పరిస్థితులు మెరుగు పడుతున్నాయని అనుకుంటుండగా వాస్కో ఆరోగ్యం పాడయ్యింది. బయట వాతావరణంలో అధిక ఉష్ణోగ్రత, ఎడతెగని పని – ఈ రెండూ కలిసి అనారోగ్యానికి దారితీశాయి. మొదట్లో మెడలో నొప్పి మొదలయ్యింది. తరువాత మెడలో కురుపులు బయల్దేరి చిప్పిల్లసాగాయి. వైద్యులు ఎన్నో మందులు వాడారు. కాని లాభం లేకపోయింది. మెడ తిప్పడానికి వీల్లేని పరిస్థితి ఏర్పడింది. మంచం మీద నుండే అధికారులకి ఆదేశాలు ఇవ్వడం మొదలెట్టాడు. నానాటికి ఆరోగ్యం క్షీణించసాగింది. తన చివరి రోజులు దగ్గరపడుతున్నాయని వాస్కో ద గామాకి అర్థమయ్యింది.

కొచ్చిన్ లో ఉన్న ఓ మిత్రుడి ఇంటికి తనని తరలించమని కోరాడు. పాలనా విషయాల మీద తన చివరి ఆదేశాలు అధికారులకి తెలియజేశాడు. ఓ కాథలిక్ అర్చకుడు వచ్చి వాస్కో చేసిన పాపకర్మలకి సంబంధించిన పశ్చాత్తాప ప్రకటన తీసుకున్నాడు. తన కొడుకులని పిలిచి వీడ్కోలు మాటలు చెప్పాడు. డిసెంబర్ 24, 1524, నాడో వాస్కో ద గామా కన్ను మూశాడు. ఎన్నో సముద్రాలు దాటి ఇండియాని చేరుకునే సుదీర్ఘమైన మర్గాన్ని కనుక్కున్న వాస్కో ద గామా, మరేదో లోకాన్ని వెదుక్కుంటూ, ఈ ప్రపంచాన్ని వదిలి వెళ్లిపోయాడు. ఆయన నిష్క్రమణానికి స్థానికి పోర్చుగీస్ వారంతా కన్నీరు మున్నీరు అయ్యారు.



వాస్కో ద గామా తరువాత ఇతర పోర్చుగీస్ నావికులు చేసిన యాత్రల వల్ల పోర్చుగల్ ఓ ప్రపంచ నౌకాబలంగా సుస్థిర స్థానాన్ని సాధించింది. పోర్చుగీస్ వాణిజ్య సామ్రాజ్యం చైనా, జపాన్, ఫిలిపీన్స్ మొదలైన ప్రాంతాలకి విస్తరించింది. అయితే పోర్చుగల్ చిన్న దేశం కనుక అంత దూరాలలో ఉన్న అధినివేశాలని నియంత్రించగల మంది మార్బలం లేకపోయింది. పోర్చుగీస్ అధినివేశాలు క్రమంగా చేజారిపోయాయి. మరింత పెద్ద దేశాలైన ఇంగ్లండ్, ఫ్రాన్స్ మొదలైన యూరొపియన్ దేశాల ప్రాభవం మాత్రం ఇంకా ఎంతో కాలం నిలిచింది. ఇరవయ్యవ శతాబ్దంలో యూరొపియన్ దేశాలు ప్రపంచంలో వివిధ ప్రాంతాలలో ఏర్పాటు చేసిన అధినివేశాలకి స్వాతంత్ర్యం వచ్చింది. అధినివేశాలు మాయమైనా వాటి సంస్థాపన వెనుక ఉన్న అన్వేషకుల ధైర్యసాహసాలకి చెందిన గాధలు మాత్రం శాశ్వతంగా నిలిచిపోయాయి.

(సమాప్తం)

Further reading:
Rachel A. Koestler-Grack, Vasco da Gama and the Sea Route to India, Chelsea House Publishers.
Ames, Glenn J. (2004). Vasco da Gama: Renaissance Crusader. Longman
Subrahmanyam, Sanjay (1997). The Career and Legend of Vasco da Gama. Cambridge University Press.

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email