శాస్త్ర విజ్ఞానము

ప్లేటోనిక్ ఘనవస్తువుల లక్షణాలు

కుంభాకార క్రమ బహుముఖు లని (convex regular polyhedra) మాత్రమే ప్లేటోనిక్ ఘనవస్తువులు అంటారని ముందు చెప్పుకున్నాం.

(కుంభాకార అంటే ఉబ్బిత్తుగా పొంగినట్టు, లొత్తలు లేకుండా ఉండేది, అని అర్థం. ఈ కుంభాకారత (convexity) కి మరింత శాస్త్రీయ నిర్వచనం ఉంది. ఒక వస్తువులో ఉన్న రెండు బిందువులు A, B లని ఒక ఋజురేఖతో కలిపితే ఆ రేఖ కూడా పూర్తిగా ఆ వస్తువులోనే ఇమిడి ఉంటే, ఆ వస్తువు కుంభాకార వస్తువు అన్నమాట).

పైన ఇచ్చిన పట్టిక (table) లో ఒక్కొక్క వస్తువు యొక్క శీర్షాల (vertices, V) సంఖ్య, ముఖాల (faces, F), అంచుల (edges, E) సంఖ్య ఇవ్వబడింది.
ఈ మూడింటి మధ్య సంబంధాన్ని తెలుపుతూ గణితవేత్త ఆయిలర్ (Euler) ఓ చక్కని సూత్రాన్ని ఇచ్చాడు.

F + V - E = 2 (1)

ఒక్క ఈ ఐదు ప్లేటోనిక్ ఘనవస్తువులకి మాత్రమే కాదు, ఏ కుంభాకార బహుముఖానికి అయినా ఈ సూత్రం వర్తిస్తుంది. ఆ సూత్రం యొక్క నిరూపణ ఏంటో తర్వాత చూద్దాం.

పైన పట్టికలో షాఫ్లీ సంకేతం (Schafli symbol) అని ఒక నిలువు గడి ఉంది. అందులో సంఖ్యల జతలు (p, q) ఉన్నాయి . వీటి అర్థం ఇది:

p - ఒక ముఖం చుట్టూ ఉండే అంచుల సంఖ్య (=ఒక ముఖం చుట్టూ ఉండే శీర్షాల సంఖ్య)
q - ఒక శీర్షం వద్ద కలిసే ముఖాల సంఖ్య (= ఒక శీర్షం వద్ద కలిసే అంచుల సంఖ్య)

ఉదాహరణకి ఒక ఘనం (cube) లో ప్రతీ ముఖం ఒక చదరం కనుక p=4. ప్రతీ శీర్షం వద్ద మూడు ముఖాలు కలుస్తాయి కనుక q = 3.

ఇప్పుడు ఈ p, q లని, ఈ V, E, F లని కలుపుతూ మరి రెండు సూత్రాలని ఇవ్వొచ్చు.

pF = 2E (2)

ప్రతీ ముఖానికి p అంచులు ఉన్నప్పుడు, మొత్తం F ముఖాలు ఉన్నాయి కనుక, ఘనవస్తువులో ఉండే మొత్తం అంచుల సంఖ్య (E= pF/2) అవుతుంది. ప్రతీ అంచు రెండు ముఖాల మీద సమానంగా ఉంటుంది కనుక pF ని రెండుతో భాగించాలి.

అలాగే మరో సూత్రం,

qV = 2E, (3)

ప్రతీ శీర్షం వద్ద q అంచులు కలుస్తాయి కనుక, మొత్తం అంచుల సంఖ్య, E = qV/2 అవుతుంది.

మనకి ఇప్పుడు మూడు సమీకరణాలు, ఐదు అజ్ఞాత రాశులు (unknowns) ఉన్నాయి కనుక, V, E, F లని, p, q ల పరంగా ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.

V = (4p)/(4 - (p-2)(q-2))
E = (2pq)/(4-(p-2)(q-2))
F = (4q)/(4 - (p-2)(q-2))

ప్లేటోనిక్ వస్తువులు ఐదు మాత్రమే:
పై సమాచారంతో ఐదు ప్లేటోనిక్ ఘనవస్తువులు మాత్రమే ఉండగలవని నిరూపించొచ్చు.

పైన (2), (3) సమీకరణాల నుండి E విలువని తీసుకుని (E= pF/2, E = qV/2) తీసుకుని, (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,

(2E/p) + (2E/q) - E = 2,

అవుతుంది. ఇందులో రాశులని కొంచెం అటు ఇటు మార్చి ఇలా రాసుకోవచ్చు,

1/p + 1/q = 1/2 + 1/E

E ధన సంఖ్య (E>0) కనుక, పై సమీకరణం స్థానంలో ఈ కింది అసమీకరణం వస్తుంది.

1/p + 1/q > 1/2 (4)

ఇప్పుడు p, q ల విలువలు కనీసం 3 అయినా కావాలని సులభంగా గమనించొచ్చు. ఎందుకంటే -
ఒక ముఖం చుట్టూ కనీసం మూడు అంచులైనా ఉండాలి, రెండు అంచులు గల ముఖం సాధ్యం కాదు!
అలాగే ఒక శీర్షం వద్ద కనీసం మూడు ముఖాలైనా కలవాలి, రెండు ముఖాలు మాత్రమే కలిస్తే అదసలు శీర్షమే కాదు.

కనుక పైన సమీకరణం (4) లో p>= 3, q>=3 అని అనుకుంటే, దాన్ని తృప్తి పరిచే (p,q) విలువలు ఇవి మాత్రమే:

(p,q) = (3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5)

ఈ ఐదు పరిష్కారాలు ఐదు ప్లేటోనిక్ ఘనవస్తువులకి సంబంధించినవై ఉంటాయి.

Reference:
Platonic solids, Wiki.