కల్లోలతా సిద్ధాంతం - పార్ట్ 13
ఈ తూనీగ న్యాయాన్నే శాస్త్రీయ పరిభాషలో "ఆరంభ స్థితుల మీద సునిశితంగా ఆధారపడడం" అంటారు. లారెంజ్ రూపొందించిన సమీకరణాల్లో వ్యవస్థ యొక్క పరిణామం దాని ఆరంభస్థితి మీద సునిశితంగా, కీలకంగా ఆధారపడుతుంది - అచ్చం వాతావరణంలా. ఆ "ఆరంభ స్థితుల మీద సునిశితంగా ఆధారపడడం" గోలేమిటి అంటారా? ఓ చిన్న ఉదాహరణ. వెంకట్రావుకి, తన పక్కింటి సీతారామ్‌కి ఒకే రోజు ఓ పెద్ద మల్టీ నేషనల్ కంపెనీలో ఇంటర్వ్యూ ఉంది. అభ్యర్థులందరూ ఖచ్చితంగా పది గంటలకి హాజరు కావాలి. 8:30కి ఇంటి దగ్గర 6 నెంబరు బస్సు పట్టుకుంటే 9:30 కల్లా ఇంటర్వ్యూ స్థలాన్ని చేరుకుంటారు. ఇద్దరూ 8:20 కల్లా ఇంటి దగ్గర బస్టాప్ చేరుకుని బస్ కోసం ఎదురు చూడసాగారు. కాలేజి రూటు గనుక, కాలేజి టైము గనుక బస్టాప్ కిటకిటలాడుతోంది. వెంకట్రావు కాళ్ళు నెప్పిపుట్టి కూర్చున్న వాళ్ళని బతిమాలి సిమెంటు బల్ల అంచుకి కూర్చున్నాడు. మొహమాటపడి సీతారామ్ నించునే ఉండిపోయాడు. బస్సు వచ్చింది. ఇద్దరూ బస్సు వైపు పరుగెత్తారు. అప్పుడు గమనించాడు సీతారాం. వెంకట్రావు ఫ్యాంటుకి అంటుకుని ఏదో రోజారంగు జిగురు పదార్థం. తడుముకుని చూసుకున్నాడు వెంకట్రావు. చూయింగమ్! శనిలా తన పాంటుని పట్టుకుని వేలాడుతున్న చూయింగమ్! ఇంటికెళ్ళి ఫ్యాంటు మార్చుకోవడమా, ఫైలు అడ్డం పెట్టుకుని ముందుకి సాగిపోవడమా అని ఆలోచించేలోపు బస్సు వెళ్ళిపోయింది. సీతారాం బస్సెక్కి వెళ్ళిపోయాడు. సకాలంలో ఇంటర్వ్యూ స్థలం చేరాడు. (అటుపై నెల తిరక్కుండా కొత్త ఉద్యోగంలోను, రెండు నెలలు తిరక్కుండా కొత్త కార్లోను, ఆర్నెల్లు తిరక్కుండా కొత్త సంసారంలోను చేరాడు.) "ఇప్పుడేం దారిరా దేవుడా" అంటూ కాళ్లీడ్చుకుంటూ వెంకట్రావు ఇంటికి చేరాడు. "ఇది అన్యాయం" అంటూ తూనీగ న్యాయాన్ని తిట్టిపోశాడు!
ఆరంభ స్థితుల మీద సునిశితంగా ఆధారపడడం అంటే ఇదే! ఈ తూనీగ న్యాయం కొత్త విషయం ఏం కాదు. దీని మీద ఓ గేయం కూడా ఉంది.
సూది లేక చెప్పూ పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
చెప్పూ లేక గుర్రం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
గుర్రం లేక రౌతు పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
రౌతు లేక యుద్ధం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
యుద్ధం లేక రాజ్యం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!.
చెప్పూ లేక గుర్రం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
గుర్రం లేక రౌతు పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
రౌతు లేక యుద్ధం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!
యుద్ధం లేక రాజ్యం పోయే ఢాం! ఢాం! ఢాం!.
ఇందాక వెంకట్రావు కథలో లాగ జీవితంలో ఎన్నోసార్లు చిన్న చిన్న కారణాలు పెద్ద పెద్ద పర్యవసనాలకి దారి తీయడం చూస్తాము. సరిగ్గా ఇటువంటి కారణాల వల్లనే వాతావరణ పరిణామం అంత సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది. అంత సంక్లిష్టమైన ప్రవర్తననీ కొద్ది పాటి సమీకరణాలలో పట్టి బంధించగలిగాడు లారెంజ్. మొత్తం పన్నెండు సమీకరణాలు. అంతే. వాతావరణ వైవిధ్యాన్ని అంతటినీ తమలో పొందుపరచుకున్న అసమాన సమీకరణాలు. అంత చిన్న సమీకరణాల్లో అంత వైవిధ్యం, అనిశ్చయత్వం ఎలా వస్తోందో?
లారెంజ్ కొంత కాలం వాతావరణాన్ని పక్కన పెట్టి సంక్లిష్టమైన ప్రవర్తనను వ్యక్తం చేయగల మరింత సరళమైన వ్యవస్థలేమైనా ఉన్నాయేమో శోధించసాగాడు. కేవలం మూడు సమీకరణాలు గల ఓ వ్యవస్థలో అటువంటి ప్రవర్తనే కనిపించింది. ఎందుకంటే అవి అరేఖీయ సమీకరణాలు. ఏమిటీ అరేఖీయత అంటారా? ఇప్పుడు "అ" అనే రాశి "ఉ" అనే మరో రాశి మీద ఆధారపడి ఉందనుకుందాం. "ఉ" రెండింతలైతే, "అ" రెండింతలు అవుతుంది అనుకుందాం. అలాగే "ఉ" "n" ఇంతలైతే, "అ" "n" ఇంతలు అయ్యిందనుకుందాం. అప్పుడు "అ", "ఉ" ల మధ్య సంబంధాన్ని రేఖీయ సంబంధం అంటారు. లేదంటే అది అరేఖీయ సంబంధం అన్నమాట. ఒక వ్యవస్థలోని రాశులన్నిటి మధ్య రేఖీయ సంబంధాలే ఉంటే గణిత శాస్త్రవేత్తలు హాయిగా ఊపిరి పీల్చుకోవచ్చు. ఎక్కడైనా కాస్తంత అరేఖీయత తొంగి చూసినా చాలు చిక్కులు మొదలవుతాయి. అరేఖీయ సంబంధాలని, అలాంటి సంబంధాలని వర్ణించే సమీకరణాలని విశ్లేషించడం కష్టం.
గణిత శాస్త్రవేత్తలకి నచ్చనంత మాత్రాన అరేఖీయత ప్రకృతిలో లేదని కాదు. అసలు అధికశాతం వ్యవస్థలు అరేఖీయమైన ప్రవర్తన గలవే. అతి పరిమితమైన పరిస్థితులలోనే వ్యవస్థలు రేఖీయంగా, గణితశాస్త్రవేత్తలకి మహదానందాన్ని కలిగిస్తూ బుద్ధిగా నడుచుకుంటాయి. ఉదాహరణకి ద్రవాల ప్రవాహాలలోను, రాపిడి ఉన్న యాంత్రిక వ్యవస్థల్లోను ఈ అరేఖీయత కొట్టొచ్చినట్టు కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకి ద్రవ గతి శాస్త్రంలో ఒకే ఒక ప్రధాన మూల సమీకరణం ఉంది. దాని పేరు "నేవియర్-స్టోక్స్" సమీకరణం. ఒక ద్రవం యొక్క పీడనం (pressure), ప్రవాహ వేగం (flow rate), సాంద్రత (density), స్నిగ్ధత (viscosity) వంటి విలక్షణమైన రాశులన్నీ ఈ ఒక్క చక్కని సమీకరణంలో పొందు పరచబడి ఉన్నాయి. అయితే ద్రవాలకి ఉండే స్నిగ్ధత అనే లక్షణం మూలంగా ఈ సమీకరణం అరేఖీయం అవుతోంది. స్నిగ్ధత అంటే చిక్కదనం అన్నమాట, బంకలా అంటుకునే లక్షణం అన్నమాట. ఉదాహరణకి (వెంకట్రావు బతుకుని సర్వనాశనం చేసిన) చూయింగమ్‌కి స్నిగ్ధత ఎక్కువ. మామూలు నీటికి స్నిగ్ధత తక్కువ. వాతావరణ పరిశోధనలో ముఖ్యంగా పనికి వచ్చేది ఈ నేవియర్-స్టోక్స్ సమీకరణమే. వాతావరణ పరిశోధకులని మూడు చెరువుల నీరు తాగించేది కూడా ఈ సమీకరణంలోని అరేఖీయతే!
మరికొంత వచ్చే టపాలో...
సహజంగా ఏవ్యవస్థను ఐనా విశ్లెషించేవారు అందులోని వివిధ పరామితులమద్య సంబంధాలను రేఖీయ సంబంధాలుగా ఉండేలా ప్రయత్నిస్తారు. ఐతే ఇది ఎలిమెంటల్ స్థాయిలోనే సాద్యం. అందులో ఎఫ్.ఈ.ఎం లేదా మరే ఇతర గణనపద్దతుల ద్వారా విష్లేషించేటప్పుడు అరేఖీయ ముఖ్యంగా లాగరిథమిక్ సంబంధాలలో ఎర్రర్‌ను వీలైనంత తగ్గించాలి అంటే కొంచెం కష్టం అవుతుంది. ఐతే ఈ పరామితులన్నీ కలిపి ఒక సంక్లిష్టమైన సమీకరణం తెచ్చే క్రమంలో చివరికి అరేఖీయ సంబదాలే వస్తాయి.
Very nice post... Thank you
సుబ్రహ్మణ్య చైతన్య గారు. మీకు శాస్త్రీయ పరిభాష మీద పంచి పట్టు ఉన్నట్టు కనిపిస్తోంది. శాస్త్రీయ వ్యాసాలు ఏవైనా రాయగలరా? అభ్యర్థిస్తున్నాను...
బాగా రాస్తున్నారు. ద్రవ అని రాయడానికి ద్రవ్య అని రాశారు, చూసుకోండి, నావియర్ స్టోక్స్ దగ్గర
కొత్త పాళీ గారు, సవరణలు సూచించినందుకు ధన్యవాదాలు.
ఆఖరు పేరాలో 3,7 లైన్లలో "ద్రావకాల" కి బదులు ద్రవాలు అని ఉండాలి. అలాగే 5 వ వాక్యంలో "ద్రవ్యం" బదులు ద్రవం అని ఉండాలి. ద్రవ్యం అంటే ద్రవం అన్న అర్థం కూడా ఉన్నా, ఆ పదానికి ప్రముఖంగా ధనం అన్న అర్థమే ఉంది. కనుక మీరు చెప్పిందే సరైనది.