అది 1696 సంవత్సరం.
అప్పటికి న్యూటన్ వయసు యాభై దాటింది. "నూనూగు మీసాల నూత్న యవ్వనం" లోనే గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతం, యంత్ర శాస్త్రం, కాంతి శాస్త్రం, కాల్క్యులస్ లాంటి రంగాలకి పునాదులు వేసి వైజ్ఞానిక లోకాన్ని హడలెత్తించాడు. కాని 30 లు దాటాక ఆరోగ్యం దెబ్బ తినడం వల్ల, ప్రత్యర్థుల విమర్శలకి బాగా విసిగిపోవడం వల్ల, తదితర కారణాల వల్ల వైజ్ఞానిక కార్యక్రమాలు కొంచెం నెమ్మదించాయి. ఆ రోజుల్లో ఇంగ్లండ్ టంక శాలకి అధికారిగా పనిచేసేవాడు. పరిశోధనలకి దూరంగా, తోటి శాస్త్రవేత్తలతో వివాదాలకి దూరంగా, ప్రశాంతంగా జీవిస్తున్నాడు.
సింహం నిద్రపోతోంది కనుక అడవిలో చిన్న చితక జీవాలకి ఆటవిడుపు అయ్యింది.
1696 లో జోహాన్ బెర్నూలీ అనే గణితవేత్త ప్రపంచ గణితవేత్తలని సవాలు చేస్తూ ఓ సమస్య విసిరాడు.
సమస్య 1: A, B అనే రెండు బిందువులని కలుపుతూ ఓ నునుపైన P అనే బాట ఉంది (చిత్రం 1). A, B కన్నా కొంచెం ఎత్తులో ఉంది. కొంచెం పక్కగా కూడా ఉంది. A వద్ద ఓ చిన్న బంతిని విడిచిపెడితే అది P బాట వెంట జారుతూ B ని చేరడానికి కొంత సమయం పడుతుంది. అది T సెకనులు అనుకుందాం. అతి తక్కువ సమయంలో బంతి A నుండి B ని చేరాలంటే P ఆకారం ఎలా ఉండాలి?
సమస్యని పరిష్కరించడానికి ఆరు నెలలు గడువు ఇచ్చాడు బెర్నూలీ.
కొంత కాలం తరువాత న్యూటన్ కి తెలిసిన వాళ్లు ఎవరో వచ్చి ఆయనకి ఈ సమస్య విషయం చెప్పారు. ఆయన ఆ సమస్యని చేపట్టి 24 గంటల్లో పరిష్కరించి కూర్చున్నాడు! పరిష్కారాన్ని ఓ కాగితం మీద రాసి సంతకం చెయ్యకుండా బెర్నూలీకి పంపాడు. ఉత్తరం చదివిన బెర్నూలీ పరిష్కారాన్ని బట్టి పరిష్కర్త ఎవరో గుర్తుపట్టి, "పులి పంజా దెబ్బ చవి చూశా" నన్నాట్ట!
గణిత పరంగా చూస్తే న్యూటన్ పరిష్కరించిన పద్ధతి చాలా శాస్త్రీయంగా ఉంటుంది. అది కేవలం బెర్నూలీ ఇచ్చిన ప్రత్యేక సమస్యనే కాక ఆ కోవకి చెందిన ఎన్నో సమస్యలని ఒకే దెబ్బకి పరిష్కరిస్తుంది. అయితే బెర్నూలీ పరిష్కారం ఆ ఒక్క సమస్యకే వర్తించినా అందులో ఓ అందం ఉంది. (మరి బెర్నూలీ మరీ తక్కువ వాడు కాడండోయ్!) కాంతి శాస్త్రం నుండి ఓ నియమాన్ని ఈ పరిష్కారంలో తెలివిగా వాడుకుంటాడు బెర్నూలీ. ఆ సంగతేంటో చూద్దాం.
బెర్నూలీ పరిష్కారాన్ని సూటిగా వివరించే కన్నా అందుకు ఉపోద్ఘాతం లాంటి మరో బుల్లి ఉపసమస్య గురించి చెప్పుకుందాం. ఎందుకంటే అది ... బుడుగు, సీగానాపెసూనాంబల సమస్య!
బుడుగు, సీగానాపెసూనాంబల సమస్య:
సీగానాపెసూనాంబని ఓ బెద్ద రాచ్చసుడు సముద్రంలో A అనే ద్వీపంలో దాచేశాడు. నేల మీద B అనే చోట ఉన్న బుడుగు వెళ్ళి ఆమెని రష్చించాలి. బుడుగు ఎక్కిన నిఝం జెటకా నేల మీద Vl వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఎక్కాల్సిన పడవ సముద్రం మీద Vb వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. B నుండి బయల్దేరిన బుడుగు ఏ మార్గం వెంట ప్రయాణిస్తే అతి తక్కువ సమయంలో A ని చేరుకుంటాడు?
నేల మీద, సముద్రం మీద వేగాలు తెలుసు కనుక చిత్రం 2b కనిపించే రాశులని ఉపయోగించి, B నుండి A కి పట్టే కాలాన్ని (T) ని ఇలా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:
ఈ రాశి యొక్క కనిష్ఠ విలువని తెలుసుకోవాలంటే దాని అవకలానాన్ని (derivative) సున్నా తో సమానం చెయ్యాలి. అలా చేసినప్పుడు ఈ కింది సమీకరణం వస్తుంది:
కొంచెం త్రికోణమితిని ఉపయోగించి పై సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు,
పై సమీకరణం చిన్నప్పుడు కాంతి శాస్త్రంలో (ప్రత్యేకించి జ్యామితీయ కాంతి శాస్త్రంలో (geometric optics)) చదువుకున్న కాంతి వక్రీభవనాన్ని శాసించే స్నెల్ నియమాన్ని పోలి ఉన్నట్టు గుర్తించి ఉంటారు. ఈ సమీకరణతో స్నెల్ నియమం ఎలా వచ్చిందో ఊహించొచ్చు. కాంతి రేఖ ఒక యానకం లోంచి మరో యానకం లోకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు అతి తక్కువ కాలం పట్టే మార్గాన్ని ఎన్నుకుంటుంది. అందుకే అది స్నెల్ నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది. ఒక యానకంలో కాంతి వేగం ఆ యానకం యొక్క వక్రీభవన గుణకం (refractive index) మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. కనుకనే పైన చెప్పుకున్న బుడుగు-సీగానాపెసూనాంబ సమస్యకి పరిష్కారం స్నెల్ నియమమే అవుతుంది.
ఇప్పుడు సమస్య 1 కి వస్తే, బుడుగు-సీగానాపెసూనాంబ సమస్య అసలు సమస్యలో భాగం మాత్రమే అని గమనించొచ్చు.
A నుండి బయల్దేరిన బంతి P అనే మార్గం వెంట దొర్లుతూ వస్తున్నప్పుడు, దాని ఎత్తు తగ్గుతున్న కొలది దాని గతి శక్తి పెరిగి వేగం పెరుగుతూ ఉంటుంది. బంతి పడ్డ ఎత్తుకి (h) , బంతి వేగానికి (v) మధ్య సంబంధం ఇది:
ఇప్పుడు A నుండి B కి మధ్య నిడివి ని N పొరలుగా విభజిద్దాం. వీటిలో n అవ పొరలో బంతి వేగం Vn అయితే, n+1 అవ పొరలో వేగం Vn+1 అవుతుంది. కనుక ఈ సందర్భంలో కూడా ఇందాకటి లాగే స్నెల్ నియమం ఉపయోగించి n, మరియు n+1 అవ పొరలలో బంతి యొక్క వేగాలకి, గమన దిశలకి మధ్య సంబంధాన్ని ఈ విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు:
ఇప్పుడు పొరల సంఖ్యని (N) అనంతంగా పెంచుతూ పోతే పై సమీకరణం ఒక అవకలన సమీకరణం (differential equation) గా మారుతుంది. దాన్ని పరిష్కరిస్తే బంతి అతి తక్కువ కాలంలో A నుండి B ని చేరే మార్గం ఏమిటో తెలుస్తుంది.
ఆ మార్గం ’సైక్లాయిడ్’ అనబడే ఓ ప్రత్యేకమైన వక్రం. ఓ చక్రం సమమైన నేల మీద దొర్లుతున్నప్పుడు చక్రం అంచు మీది ఓ బిందువు కదిలే మార్గమే ఈ సైక్లాయిడ్ (చిత్రం 4).
.png)
ఈ సైక్లాయిడ్ కి బెర్నూలీ సమస్యకి మధ్య సంబంధం ఏంటి అంటారా? ఏం చేస్తాం? గణితవేత్తలు పెళ్లిళ్ల పేరయ్యలాంటి వాళ్లు. బొత్తిగా సంబంధం లేనట్టుగా కనిపించే విషయాల మధ్య సంబంధాలు ఎత్తి చూపడంలో వాళ్లు ఘటికులు.
ఆ విధంగా కాంతి శాస్త్రంలోని స్నెల్ నియమాన్ని ఈ సమస్యకి వర్తింపజేసి బెర్నూలీ చాలా యుక్తిగా సమస్యని పరిష్కరించాడు. అయితే బెర్నూలీ పద్ధతి ఈ ఒక్క సమస్యకే పని చేస్తుంది. కాని న్యూటన్ పద్ధతి సార్వత్రికం. న్యూటన్ పరిష్కారం Calculus of Variations అనే ఓ కొత్త గణిత విభాగానికి పునాదులు వేసింది.
Reference:
1. R. Courant, H. Robbins and I. Stewart, What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996).
హలో సార్....
సమీకరణాలు కనిపించటం లేదు... మీ సిస్టం పాత్ ఇచ్చినట్లున్నారు.. ఒక్క సారి సరి చేస్తే సమీకరణాలు కూడా చూస్తాము..
సమీకరణాలని ఇమేజెస్ గా మార్చి ఇన్సర్ట్ చెయ్యడానికి ఇబ్బంద అయ్యింది. ఆలస్యం అయ్యింది.
ఇప్పుడు సరిగ్గా వచ్చి ఉండాలి చూడండి.
(నేరుగా సమీకరణాలని పోస్ట్ లో ఎంటర్ చేసే సౌకర్యం (మాత్ టైప్ లాంటిది) ఉందా? దయచేసి తెలిస్తే చెప్పండి?)
Hi Charavarthi gaaru
For example,
If the gravitational force is G (hypothetically) =0, then the 'P' path would be straight line ?
మంచుపల్లకీ గారు, Gravitational force లేకపోతే అస్సలు వస్తువు క్రిందపడదు కదా. :)
ఒక వేళ వస్తువు స్థిరవేగంతో (Velocity, A vector quantity which has both magnitude and direction) ప్రయాణిస్తున్నట్లైతే అప్పుడు Straight line లో వెళితేనే తక్కువ సమయంలో వెళ్ళవచ్చు.
ఉదాహరణకు: A,B అనే రెండు బిందువులు భూమిపై ఒకే ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు A నుండి B కి అతితక్కువ సమయంలో వెళ్ళవలసిన పరిస్థితి ఏర్పడితే అప్పుడు Straight line సమాధానం అవుతుంది.
ఇక్కడ భూమిపై ఒకే ఎత్తు అంటే మీకు మరొక అనుమానం రావచ్చు. భూమి గుండ్రంగా ఉంది కదా. అప్పుడు A అన్నది భారతదేశంలో ఉండి, B అన్నది జర్మనీలో ఉంది అనుకుంటే, A నుండి B కి సరళరేఖ గీసినప్పుడు అది భూమి గుండా వెళుతుంది. కాని మన ప్రశ్నలో మాత్రం భూమి ఉపరితలం నుంచే ప్రయాణిస్తుంది అనుకుంటున్నాం. అలాంటప్పుడు A నుండి B కు ప్రయాణించాలంటే భూమి యొక్క వంపు మార్గంలోనే ప్రయాణించాల్సి ఉంటుంది. కాబట్టి A,B అనునవి చాలా దగ్గర దగ్గర బిందువులు అనుకుంటే అప్పుడు ఉజ్జాయింపుగా సరళరేఖ (straight line) అవుతుంది అని నా అభిప్రాయం....
Hi Vikram
You are right.. silly of me.. :-)
I wanted to ask about constant velocity moving object (with out influence of gravitational force).. like you explained in rest of your email.
పైన విక్రం ఇచ్చిన వివరణకి చిన్న సవరణ.
A, B లు ఒకే ఎత్తు వద్ద ఉన్నప్పుడు వాటిని సరళ రేఖతో కలిపితే అతితక్కువ సమయంలో వెళ్లే ప్రసక్తే ఉండదు. గురుత్వ క్షేత్రం నేలకి లంబంగా ఉంది కనుక A-B లని కలిపే సరళ రేఖకి కూడా లంబంగా ఉంటుంది. కనుక బంతి కదలదు. ఆ మార్గం వెంట B ని చేరటానికి అనంతమైన సమయం తీసుకుంటుంది.
కాని A నుండి కొంచెం కిందకి జారి,వేగం పుంజుకుని తిరిగి పైకి మెల్లగా ఎగబ్రాకే మార్గం ఉండచ్చు. అంటే ఆ మార్గం వక్ర మార్గం (U ఆకారం లోనిది) అవుతుంది. అయితే ఆ మార్గాలలో కెల్లా అతి తక్కువ సమయం పట్టే మార్గం ఏంటి? అంటే సమాధానం నాకూ తెలీదు. కొంచెం ఆలోచించాలి...
మీరు చెప్పే సరళ రేఖా మార్గం మరో సందర్భంలో వస్తుంది. అది A సరిగ్గా B కి నడి నెత్తిన ఉన్నప్పుడు. అప్పుడు బంతి నేరుగా కిందకి పడుతుంది.
OK.. Let me refresh my understanding here..
Consider a graph with +/- X axis and +/- Y axis. Assume B is at the origin. X-axis is parallel to earth.
Case1: Starting point A is on the same level as point B (A on +/- X-axis).
The gravitational force is perpendicular to the points A&B which is in -Y axis. If there is no external force applied, then there is movement of ball from A to B or in other words, it takes infinity time to travel from A to B.
Case2: Starting point A is on top of point B with reference to earth (A is on positive Y axis)
Since ball has to travel in same direction of gravitational pull (A is on top of the B) , then path of straight line .
Case 3: A and B are at different levels and they are not same level .
That means A is on 1st or 2nd quadrant of the graph and B is at origin. So as long as no external force is applied, then the path P is not straight line.
yeah.. Its obvious now why P is not straight line..
Thanks for that excellent summary.
I would just add one more subcase to case 1.
When the two points A and B are at the same level, AND connected by a
straight line, then the ball takes infinite time to get to B.
But since we are open to curved trajectories, we can consider a U shaped
curve connecting A and B, on which the ball could take a finite time. What
is that curve? This is where we left off yesteryday. I think i have an
(approximate) answer.
Consider the Curve ACB, where C is the minimum point. We can assume that the
curve is symmetric around C.
Instead of solving the differential equation rigorously (which I dont know
how:-), we can look at an approx estimate.
Let the height of C below the straight line AB = h.
Speed of the ball at C = sqrt(2gh)
Let's therefore assume that the average speed of the ball = 1/2 sqt(2gh)
(which is approx correct)
Let AB = 2*a (length of AB)
The distance travelled by the ball is approx = AC + CB
= 2*sqrt(a*a + h*h)
(We are approx the curved path by the two hypotenuses)
Now the time taken = total dist/average velocity
T = 2*sqrt(a*a + h*h)/(1/2 * sqrt(2gh))
Note that when h = 0 (which corresponds to the straight path) time taken is
infinite.
WHen h = infinity also, T = infinite. That is when the U curve goes all the
way down to infinity, time taken is obviously infinity.
Now if we differentiate T above with respect to h, we have the simple answer,
h = a (ha!!!)
and at that point,
T = 4 * sqrt(a/g)
NOte that this is only an estimate and a rigorous result can only come from
the full solution of the Euler-Lagrange eqn. to minimize T.
Thanks for pointing out this interesting special case of the problem.
See module 3 in
http://users.etown.edu/s/sanchisgr/HistoryOfMathematics/Calculus1/all.pdf
There is an animation on page 29.
Thanks to the Prof for Good concept. I saw the practical 'structure' which will clearly illustrate about straight line path/ cycloid and some other curve.. in the science museum at Lucknow in the year 2017...the item is in the open ground. just as one enter the museum main gate...they can see this item towards left side (say by walking for 2 minutes).