శాస్త్ర విజ్ఞానము

ప్లేటోనిక్ ఘన వస్తువులు (Platonic Solids)

జ్యామితిలో ఐదు ప్రత్యేకమైన ఘన వస్తువులు (solids) ఉన్నాయి. వీటిని సమిష్టిగా ప్లాటోనిక్ ఘనవస్తువులు అంటారు.
ఈ వస్తువుల ముఖాలు సమతలాలు (flat sufrace). ప్రతీ ముఖం ఒక క్రమ బహుభుజి (regular polygon) అవుతుంది. క్రమ బహుభుజిలో అన్ని భుజాలు, అన్ని కోణాలు ఒక్కలా ఉంటాయి. (ఉదాహరణకి, సమబాహు త్రిభుజం, చదరం మొదలైనవి). క్రమ బహుభుజి లలో భుజాలు ఒక్కలా ఉన్నట్టే, ఈ ప్లాటోనిక్ ఘనవస్తువులలో ముఖాలన్నీ ఒక్కలా ఉంటాయి. అంటే ఇవి క్రమ బహుముఖులు (regular polyhedra) అన్నమాట.

ఈ కింది చిత్రంలో ఐదు ప్లాటోనిక్ ఘనవస్తువులని చూడొచ్చు.

1. టెట్రాహెడ్రాన్ - ఇందులో ముఖాలన్నీ సమబాహు త్రిభుజాలు. మొత్తం 4 ముఖాలు ఉంటాయి.
2. ఘనం - ఇందులో ముఖాలు చదరాలు. మొత్తం 6 ముఖాలు ఉంటాయి.
3. అక్టాహెడ్రాన్ -ఇందులో ముఖాలు కూడా సమబాహు త్రిభుజాలే. కాని ఇందులో 8 ముఖాలు ఉంటాయి.
4. డోడెకాహెడ్రాన్ - ఇందులో ముఖాలు పంచభుజులు (pentagon). అలాంటివి 12 ముఖాలు ఉంటాయి.
5. ఇకోసాహెడ్రాన్ - ఇందులో ముఖాలు మళ్లీ సమబాహు త్రిభుజాలే. మొత్తం 20 ముఖాలు.

అయితే చిత్రం ఏంటంటే ఇలాంటి వస్తువులు మొత్తం ఐదే ఉన్నాయి. ఇంతకు మించి లేవు. ఉండలేవని నిరూపించొచ్చు కూడా (వచ్చే పోస్ట్ లో).

అద్భుత సౌష్టవం గలిగి అందంగా ఉంటాయి కనుక, అపురూపంగా ఐదే ఉంటాయి కనుక, ప్రాచీన గ్రీకులకి ఇవంటే మహా మురిపెం!
వీటిని అలంకారాలుగా ఇళ్ళలో వాడుకునే వారు. వీటితో పాచికలు చేసి ఆడుకునేవారు. మామూలుగా ఆరు ముఖాలు ఉండే ఘనంతో కాకుండా ఇరవై ముఖాలు ఉండే ఇకోసాహెడ్రాన్ తో పాచిక చేసి ఆడితే ఆట రక్తి కడుతుందని కాబోలు!

ఈ ఘనవస్తువులతో ప్లేటో పేరు జోడించడం వెనుక చిన్న కథ ఉంది. ప్లేటో తన ’సంవాదాలు (Dialogues)’ లోని ఒక సంవాదంలో ఈ ఘనవస్తువులలో మొదటి నాలుగింటికి పంచభూతాలలలో మొదటి నాలుగు భూతాలకి (భూమి, నీరు, అగ్ని, వాయువులకి) మధ్య సంబంధాన్ని ఆపాదిస్తాడు. భూమి = ఘనం, నీరు = ఇకోసాహెడ్రాన్, గాలి=అక్టాహెడ్రాన్, అగ్ని = టెట్రాహెడ్రాన్. ఇక మిగిలిన ఐదవ వస్తువైన డోడెకాహెడ్రాన్ ని ఐదవ భూతమైన ఆకాశంతో ముడిపెట్టలేదు ప్లేటో. "అంతరిక్షంలోని వస్తువులని నిర్మించడానికి దేవుడు వీటిని (డోడెకాహెడ్రాన్) వాడాడు..." అని మాత్రం ఊరుకున్నాడు.

గ్రహ గతులని శాసించే మూడు నియమాలని సూత్రీకరించిన కెప్లర్ కూడా వీటికి ఓ ప్రత్యేక రీతిలో వాడుకున్నాడు. ప్లాటోనిక్ ఘనవస్తువులని ఒకదాంట్లో ఒకటి వరుసగా ఇముడుస్తూ వచ్చాడు. అన్నిటి కన్నా లోపల ఓగోళం ఉంటుంది. దాని చుట్టూ ఓ ఆక్టాహెడ్రాన్ ఉంటుంది. ఆక్టాహెడ్రాన్ ముఖాలు, దాని లోపల ఉన్న గోళం యొక్క ఉపరితలాన్ని తాకేలా ఉండాలి. ఆ ఆక్టాహెడ్రాన్ ని మళ్లీ ఓ గోళం లో ఇమిడ్చాడు (అంతర్లిఖించాడు, లేదా inscribe చేశాడు). ఆ గోళం చుట్టూ, గోళం యొక్క ఉపరితలాన్ని అంటుకునేలా ఓ ఇకోసాహెడ్రాన్ ని అమర్చాడు. దాని మీద మరో గోళం. ఆ గోళం చుట్టూ డోడెకాహెడ్రాన్. దాని చుట్టూ మళ్లీ గోళం. ఆ గోళం చుట్టూ ఓ టెట్రాహెడ్రాన్. దాని మీద ఓ గోళం, దాని మీద చివరిగా ఓ ఘనం (చిత్రం 2). ఈ సంక్లిష్టమైన అమరికలో మొత్తం 6 గోళాలు ఉంటాయి. ఈ 6 గోళాల వ్యాసార్థాలు వరుసగా కెప్లర్ నాటికి తెలిసిన ఆరు గ్రహాల - మర్క్యురీ, వీనస్, భూమి, మార్స్, జూపిటర్, సాటర్న్ - కక్షల వ్యాసార్థాలతో సమ నిష్పత్తిలో ఉన్నాయని గమనించాడు కెప్లర్.

విశ్వరచనలో అంతర్లీనంగా ఇమిడి ఉన్న ఈ అద్భుత జ్యామితి సూత్రాలని చూసి కెప్లర్ ఆశ్చర్యపోయాడు. జ్యామితి సూత్రాలని ఉపయోగించి భగవంతుడు సృష్టి కార్యాన్ని చేశాడని నమ్మాడు. అయితే తదనంతరం గ్రహ కక్ష్యలు వృత్తాలు కావని, దీర్ఘ వృత్తాలని తెలుసుకున్న కెప్లర్ ఈ రకమైన నమూనాని విడిచిపెట్టాడు.

గ్రహ కక్ష్యలతో సంబంధం ఉన్నా లేకున్నా ప్లాటోనిక్ ఘనవస్తువులకి కొన్ని చక్కని జ్యామితీయ లక్షణాలు ఉన్నాయి.

(సశేషం...)