శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

పాస్కల్ త్రిభుజం - మేరు ప్రస్తారం - 2

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, November 6, 2009


















పాస్కల్
త్రిభుజం యొక్క నిర్మాణం ఇలా సాగుతుంది.

పై వరుసలో 1 రాయాలి. ఇప్పుడు ఆ 1 కింద అటు ఇటుగా మరో రెండు 1 లు రాయాలి. ఇప్పుడు మూడో వరుసలో ఆ రెండు 1 ల కింద మూడు అంకెలు రాయాలి. రెండు ఎడమ కుడి కొసలలో 1 లు ఉండాలి. మధ్యలో ఉన్న అంకె మాత్రం దాని పై వరుసలో అటు ఇటు ఉన్న అంకెల కూడిక అవుతుంది. పైన అటు ఇటు రెండు 1 లు ఉన్నాయి కనుక, మూడో వరుసలో మధ్య అంకె 2 అవుతుంది. ఇప్పుడు అదే విధంగా నాలుగో వరుస కూడా నింపాలి. ఎడమ కుడి కొసలలో 1 లు వస్తాయి. మధ్యన ఉండే అంకెలు మాత్రం వాటి పై వరుసలో అటూ ఇటుగా ఉన్న రెండు అంకెల కూడిక అవుతాయి. అలా నిర్మిస్తూ పోతే వచ్చేదే పాస్కల్ త్రిభుజం (చిత్రం).

ఈ త్రిభుజం సహాయంతో ద్విపద సమాసాలలో వివిధ పదాల గుణకాలని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఈ కింది రూపంలో ఉండే సమాసాలని ద్విపద సమాసాలు అంటారు:

(x+y)^n (^ చిహ్నం ఘాతాన్ని (power) సూచిస్తుంది)

ఉదాహరణకి,
n=0; (x+y)^0 = 1
n=1; (x+y)^1 = 1.x + 1.y
n=2; (x+y)^2 = 1.x^2 + 2.x.y + 1.y^2
n=3 (x+y)^3 = 1.x^3 + 3.x^2.y + 3.x.y^2 + y^3
:
:
ఈ సమాసానికి సామాన్య రూపాన్ని ఇవ్వాలంటే:

(x+y)^n = a0.x^n + a1.x^(n-1).y^1 + a2.x^(n-2).y^2 + ... ak.x^(n-k).y^k + ... + an.y^n

ఇందులో (k+1) అవ పదం యొక్క గుణకం విలువ,
ak = n!/(k!(n-k)!) అవుతుంది.

ఈ విలువకి మరో అర్థం కూడా ఉంది. n వస్తువుల లోంచి k వస్తువులని ఎన్ని విభిన్న విధాలుగా మనం ఎంపిక చెయ్యగలం అన్న ప్రశ్నకి ఇది సమాధానం. ఈ విషయం గురించి చిన్నప్పుడు సంయోగాలు (combinations) అన్న గణిత పాఠంలో చదువుకుని ఉంటాం.

మేరు ప్రస్తారం

ఈ త్రిభుజం గురించి ప్రాచీన భారతీయులకి బాగా తెలుసు అని చెప్పడానికి ఎన్నో ఆధారాలు ఉన్నాయి. క్రీ.పూ 2 - 5 నడిమి కాలంలో పింగళుడు రాసిన ఛందశ్శాస్త్రంలో దీని ప్రస్తావన వచ్చింది. సంస్కృత కావ్యాలలో గాయత్రి (6 అక్షరాలు), అనుష్టుభ్ (8 అక్షరాలు), బృహతి (9 అక్షరాలు), త్రిష్టుభ్ (11 అక్షరాలు), జగతీ (12 అక్షరాలు) మొదలుకొని ఎన్నో రకాల ఛందస్సులు వాడేవారు. ఛందస్సుల రూపకల్పనలో గురు లఘు అక్షరాలని వివిధ విన్యాసాలలో కూర్చితే మొత్తం ఎన్ని రకాల విన్యాసాలు (ప్రస్తారాలు, permutations) వస్తాయో తెలుసుకోవాల్సిన సమస్య వస్తుంది. ఈ సమస్యకి సమాధానంగా పైన చూపించిన పాస్కల్ త్రిభుజం లాంటి త్రిభుజాన్నే పాస్కల్ కి ఇంచుమించు రెండు సహస్రాబ్దాల క్రితమే మన ప్రాచీనులు నిర్మించారు.
దానికే ’మేరు ప్రస్తారం’ అని పేరు. n అక్షరాల లోంచి k అక్షరాలని ఎన్ని రకాలుగా ఎంపిక చేసుకోవచ్చో ఈ మేరు ప్రస్తారం నుండి తెలుసుకోవచ్చు. ఈ మేరు ప్రస్తారం గురించి 10 శతాబ్దానికి చెందిన హలాయుధుడు అనే కవి ప్రస్తావిస్తాడు.

మేరు ప్రస్తారం లో ప్రస్తుతం ఫిబొనాచ్చీ సంఖ్యలు అనబడే ఓ సంఖ్యా శ్రేఢి (Fobinacci series) దాగి ఉన్న విషయం కూడా ప్రాచీన భారత గణిత వేత్తలకి తెలుసు.

ఈ ఫిబొనాచ్చీ సంఖ్యల గురించి మరో పోస్ట్ లో...


1. A concise history of Science in India, DM Bose, SN Sen, BV Subbarayappa (Eds.), Universities Press, 2009.
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal's_triangle

4 comments

  1. పాశ్చాత్యులు కంటే కొన్ని వందల సంవత్సరాల ముందే మనవాళ్ళు ఇవన్నీ ప్రస్తావుంచారంటే గర్వం గా లేదూ ? మన ప్రాచిన గణిత శాస్త్రవెత్తల గురించి ఎమయినా పుస్తకం వుంటే తెలుపగలరు .. తెలుగు లొ అయితే మంచిది.. ఇంగ్లిషు అయిన పర్వాలేదు..

     
  2. Yes, it is true. Until recently I too had only a vague sense of Indian achievements in mathematics. But only over the past few months I'm realizing the greatness of ancient Indian mathematics, as I'm collecting material for the blog.

    Here are some relevant sources:


    1. ప్రఖ్యా సత్యనారాయణ శర్మ, "గణితభారతి: పరిశోధనాత్మక గ్రంథము", గోల్డెన్ పబ్లిషర్స్, 1-8-115/2, చిక్కడపల్లి, హైదరాబాదు, ఫోన్ 633867.
    2. A concise history of Science in India, DM Bose, SN Sen, BV Subbarayappa (Eds.), Universities Press, 2009.


    3. http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta
    4. http://en.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_I
    5. http://en.wikipedia.org/wiki/Bh%C4%81skara_II
    6. http://en.wikipedia.org/wiki/Varahamihira
    7. http://en.wikipedia.org/wiki/Aryabhata
    8. http://en.wikipedia.org/wiki/Aryabhata_II
    9. http://en.wikipedia.org/wiki/Madhava_of_Sangamagrama



    Books:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Bakhshali_Manuscript
    http://en.wikipedia.org/wiki/Sulba_Sutras
    http://en.wikipedia.org/wiki/Surya_Siddhanta
    A translation of Surya Siddhanta is available in Google books


    Related sites:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Hindu_astronomy

     
  3. ఈ రెఫరెన్సులు అన్ని ఒక పొస్ట్ గా రాయొచ్చు.. చాలా మందికి ఉపయొగపడుతుంది..

     
  4. http://nagendratvr.blogspot.com/2010/04/2.html
    http://nagendratvr.blogspot.com/2010/04/blog-post_4613.html

    Someone plagiarized our articles on Pascal's triangle. I dont mind people using the material but I think due credit should be given to the sources.

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email