శాస్త్ర విజ్ఞానము

ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు - గవ్వల్లోనూ ఉన్నాయి

సర్పిలాకార వస్తువులని ప్రకృతిలో ఎన్నో చోట్ల చూస్తాం. విశాలమైన పాలపుంత గెలాక్సీలోనే (చిత్రం) కాదు, సముద్రపు హోరు నిరంతరం జపించే గవ్వల్లోనూ (చిత్రం) గువ్వల్లా ఒదిగిపోతాయి సర్పిలాలు. మనిషి చెవిలోని కాక్లియా (చిత్రం) లోనూ సర్పిలాలు దాగున్నాయి.








ఇక్కడ కూడా జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తే ఫిబొనాచీ సంఖ్యలే మనకి దర్శనమిస్తాయి.

సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రానికి, ఫిబొనాచీ సంఖ్యలకి మధ్య సంబంధాన్ని కిందటి పోస్ట్ లో గమనించాం. సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రంతో ఒక చక్కని సర్పిలాన్ని నిర్మించవచ్చు. అదెలా అంటారా?



కిందటి సారి ఒక సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రం లోంచి ఒక చదరాన్ని తీసేస్తే, మరో సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రం మిగులుతుందని గమనించాం. అదే ప్రక్రియని మళ్లీ మళ్లీ చేస్తూ పోతే అలా ఒకదాంట్లో ఒకటి, ఇంకా దాంట్లో మరోటి ఇలా అనంతంగా దీర్ఘ చతురస్రాలని నిర్మించొచ్చు.


అలా నిర్మించబడ్డ దీర్ఘచతురస్రాలలో ప్రతీ చతురస్రంలోను, అభిముఖంగా ఉండే కొసలని కలుపుతూ వరుసగా జ్యా (chord) లు గీస్తూ పోవాలి. ఆ జ్యాలన్నీ గొలుసుకట్టుగా కలిసి ఒక వక్రం ఏర్పడుతుంది. ఆ వక్రం యొక్క ఒక కొస చుట్లు తిరుగుతూ ఒక కేంద్ర బిందువుని సమీపించడం కనిపిస్తుంది. ఆ వక్రమే సర్పిలం. బయటి నుండి లోపలికి పోతున్నప్పుడు ఆ సర్పిలంలో ప్రతీ తొంభై డిగ్రీలకి కేంద్రం నుండి దూరం 1.618 రెట్లు చిన్నదవుతుంది.

ఇలాంటి సర్పిలాలని సమకోణీయ సర్పిలం (equiangular spiral) అంటారు.
r = A k^theta
(theta = కేంద్రం నుండి సర్పిలం మీది బిందువుని కలిపే రేఖ యొక్క కోణం)
(r = కేంద్రం నుండి సర్పిలం మీది బిందువు యొక్క దూరం)

గణితంలో ఈ సమకోణీయ సర్పిలాలని మొట్టమొదట కనుక్కున్నవాడు ఫ్రెంచ్ తాత్వికుడు డేకార్త్ (Descartes). వీటిని అతడు 17 వ శతాబ్దంలో కనుక్కున్నాడు. తదనంతరం టోరిసెల్లీ, బెర్నూలీలు దాని మీద ఎన్నో అధ్యయనాలు చేశారు. బెర్నూలీకి ఈ సర్పిలం ఎంతగా నచ్చేసిందంటే దాన్ని తన సమాధి మీద చెక్కించుకున్నాడు.

గవ్వలోనే కాదు, పువ్వుల్లో కూడా మళ్లీ ఈ సర్పిలాలు తొంగిచూస్తాయి. పొద్దు తిరుగుడు పూవు మధ్యలో గింజలు సర్పిలాకారపు బాటల్లో అమరి ఉన్నట్టు కనిపిస్తాయి (చిత్రం).

http://www.mckibbenlandscaping.com/images/sunflower.jpg

ఆ సర్పిలాలు రెండు రకాలుగా - అపసవ్య దిశలో, సవ్య దిశలో - ఉన్నట్టు కూడా గుర్తించగలం. మొత్తం సవ్య దిశలో ఉన్న సర్పిలాల సంఖ్య, అపసవ్య దిశలో ఉన్న సర్పిలాల సంఖ్య లెక్కించితే అవి కూడా ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు కావడం చూసి ఆశ్చర్యం కలుగుతుంది!
పై చిత్రంలో స్పష్టంగా కనిపించకపోతే, మరిన్ని వివరాల కోసం ఈ కింది సైట్ లో చూడండి. ఇందులో పొద్దుతిరుగుడు పూవు చిత్రం మీద ఈ సర్పిలాల రేఖలు గ్రాఫికల్ గా ఆధ్యారోపించబడి (superimpose) ప్రదర్శించబడ్డాయి.
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#spiral

పువ్వుల్లోనే కాక పైన్ చెట్టు కి కాసే శంఖాకార కాయల్లో (pine cones) కూడా ఈ సర్పిలాలని గమనించవచ్చు.
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#pinecones