ఔషధ సరఫరాలో ఈ BioMEMS కి చాలా భిన్నమైన పద్ధతి, నానోటెక్నాలజీ మీద ఆధారపడ్డ క్వాంటం డాట్ (quantum dot) పద్ధతి. క్వాంటం డాట్లు అంటే కొద్ది పాటి నానోమీటర్లు (నూరు కోట్ల నానోమీటర్లు ఒక మీటరుతో సమానం) పరిమాణం గల స్ఫటికలు. ఇవి సామాన్యంగా కాడ్మియమ్ సెలినైడ్ అనే సెమీకండక్టరు పదార్థంతో నిర్మించబడుతాయి. కొన్ని ప్రత్యేక పౌన:పున్యాల (frequencies) వద్ద కాంతిని గ్రహించడం, ఉద్గారించడం వీటి ప్రత్యేకత. చిన్న క్వాంటం డాట్లు వర్ణమాలలో నీలి ధృవానికి దగ్గరగా ఉన్న కాంతిని, అలాగే పెద్ద క్వాంటం డాట్లు అరుణ ధృవానికి దగ్గరగా ఉన్న కాంతిని గ్రహించి ఉద్గారిస్తాయి.
ఈ క్వాంటం డాట్లకి మందు అణువులని జత చేసి శరీరంలోకి ప్రవేశపెట్టే అద్భుతాన్ని సాధించిన ప్రథములలో ఒకడు షూమింగ్ నై. ఇతడు అట్లాంటా లోని ఎమరీ యూనివర్సిటీ లో బయోమెడికల్ విభాగంలో ప్రొఫెసర్. టాక్సాల్ అనే కాన్సర్ మందుని క్వాంటం డాట్లకి జత చేసి ఓ ప్రత్యేక కాన్సరు చికిత్సా పద్ధతిని ఇతడి బృందం అభివృద్ధి చేసింది. క్వాంటం డాట్ల మీద కాన్సరు మందు టాక్సాల్ తో బాటు ఫోలిక్ ఆసిడ్ రిసెప్టార్లకి అంటుకునే మరో అణువుని కూడా జత చేస్తారు. రక్తప్రవాహంలో కొట్టుకుంటూ పోయే క్వాంటం డాట్ కాన్సర్ కణాల మీద ప్రత్యేకంగా ఉండే ఫోలిక్ ఆసిడ్ రిసెప్టార్లకి అతుక్కుంటుంది. ఆ విధంగా కాన్సరు మందు కాన్సర్ కణాలున్న ప్రాంతాల్లో పోగవుతుంది.
మానవ కాన్సరు కణాలని ఎక్కించి ఎలుకల్లో కృత్రిమంగా కాన్సరు కల్పించవచ్చు. అలా సిద్ధం చేసిన కాన్సరు ఎలుకల్లో క్వాంటం డాట్లని ఇంజక్షను ద్వారా ప్రవేశపెడతారు. కాన్సరు కణాలు ఉన్న భాగం మీద ఇప్పుడు పరారుణ కాంతి ప్రసరిస్తారు. ఆ కాంతిని గ్రహించిన క్వాంటం డాట్లు అదే కాంతిని మళ్లీ ఉద్గారిస్తాయి. అలా వెలువడ్డ కాంతి టాక్సాల్ అణువులని క్వాంటం డాట్లతో జత చేసిన ఉంచిన బంధాలని భేదిస్తుంది. అలా క్వాంటం డాట్ల నుండి విడివడ్డ టాక్సాల్ అణువులు కాన్సర్ కణాల మీద దండెత్తి వాటిని నాశనం చేస్తాయి. అయితే ఈ పద్ధతిలో కాంతి ప్రసారం జరిగితే గాని క్వాంటం డాట్లకి
అంటుకుని ఉన్న మందు అణువులు విడివడవు. అంటే శరీరంలో పైపైన, అంటే చర్మానికి దగ్గరగా ఉన్న భాగాల్లో తప్ప ఈ రకమైన చికిత్స పని చెయ్యదన్నమాట.
యూనివర్సిటీ ఆఫ్ కాలిఫోర్నియా ఎట్ సాన్ డియాగోలో బయోమెడికల్ విభాగంలో అసోసియేట్ ప్రొఫెసర్ గా పని చేస్తున్న సంగీతా భాటియా అనే భారతీయ మహిళ పైన చెప్పుకున క్వాంటం పద్ధతిని మరింత ఉన్నత స్థాయికి తీసుకుని వెళ్తున్నారు. మందుని కణాల దాకానే కాక కణాల అంతరంశాలైన న్యూక్లియస్, మైటోకాండ్రియా వంటి చోట్లకి కూడా క్వాంటం డాట్ల సహాయంతో మందు చేరవేసే పద్ధతులని ఈమె రూపొందిస్తున్నారు.
అయితే ఈ ’నానో’ పద్ధతులతోనూ నానా చిక్కులూ ఉన్నాయి! క్వాంటం డాట్లలో వాడే పదార్థానికి, ముఖ్యంగా కాడ్మియంకి శరీరం మీద హానికరమైన ప్రభావం ఉంటుందన్నది వాస్తవం. సంగీతా భాటియా, తన పీజీ స్టూడెంట్ ఆస్టిన్ డ్రేఫస్ తో బాటు చేసిన పరిశోధనల్లో కాడ్మియం క్వాంటం డాట్ల వల్ల కణనాశనం జరుగుతుందని తేలింది. అయితే ఈ క్వాంటం డాట్లకి తగిన రక్షక పూత వేసి ప్రయోగిస్తే వాటి హాణికర ప్రభావం అధికశాతం తగ్గుతుందని భాటియా, డ్రేఫస్ లు తెలుసుకున్నారు.
మొత్తం మీద ఈ నానోటెక్నాలజీకి ఎంత భవిష్యత్తు ఉన్నా, రోగుల మీద పరిపాటిగా ప్రయోగించే రోజులు రావాలంటే ఇంకా ఎన్నో పరీక్షలు చెయ్యాల్సి ఉంటుందని ఎంతో మంది నిపుణులు అభిప్రాయపడుతున్నారు. ప్రస్తుతం మన దేశంలో బయోటెక్నాలజీ అభివృద్ధి చెందుతున్న జోరు చూస్తే రాబోయే పదేళ్లలో అటువంటి ఒరవడులు మన దేశంలో కూడా వస్తాయని ఆశించొచ్చు.
Reference:
Carol E. Webb, Chip Shots, IEEE Spectrum, October, 2004.
(కొన్నేళ్ల క్రితం పిల్ల సైన్సు పత్రిక ’విద్యార్థి చెకుముకి’ కోసం రాసిన వ్యాసం ఇది.)
భవిష్యత్ ఇంజెక్షన్లు: నానోటెక్నాలజీతో ఔషధ సరఫరా
"అమ్మబాబోయ్!"
అంతవరకు బుద్ధిగా కార్టూన్ నెట్వర్క్ చూస్తున్న ఐదేళ్ల అనిల్, ఉన్నట్లుడి అలా కేకేసి ఒక్క గంతులో లోపలి గదిలోకి పారిపోయాడు.
"ఏవయ్యిందిరా?" అడిగింది తల్లి.
"డాక్టర్ అంకుల్..." అంటూ లోపలినుంచే సణిగాడు.
ఆవిడ వెనక్కి తిరిగి చూస్తే నవ్వుతూ ఇంట్లోకి ప్రవేశిస్తున్న వాళ్ల బంధువు డాక్టర్ మురళీధర్ కనిపించాడు.
అందరూ గౌరవించే డాక్టర్లని చూసి చిన్నపిల్లలు భయపడ్డానికి మూలకారణం ఒక్కటే - అదే ఇంజెక్షన్. కాని పిల్లల్లో బెదురు పుట్టించే ఈ ఆయుధం అంటే పెద్ద వాళ్లకి, ముఖ్యంగా పేదవాళ్లకి అపారమైన గురి. డాక్టర్ వాడే మందుల అమ్ములపొదిలో ఇంజెక్షన్ ఓ బ్రహాస్త్రం లాంటిది. ఏ టాబ్లెట్లకీ లొంగని మొండి రోగం ఇంజెక్షను వేస్తే దెబ్బకి లొంగుతుందని ఓ నమ్మకం.
అయితే అలాంటి నమ్మకం పూర్తిగా నిరాధారం కాదు. నోట్లో టాబ్లెట్ వేసుకున్నప్పుడు అది జీర్ణమండలంలోకి చేరగా, అందులో కొంత భాగమే రక్తమండలంలోకి చేరగా, అందులో మళ్ళీ కొంత భాగమే రక్తంలో కొట్టుకు వెళ్లి వ్యాధి ఉన్న అవయవం మీద పని చేస్తుంది. అలా కాకుండా ఇంజెక్షను వేసినప్పుడు మందు సూటిగా శరీర మాంసంలోకి (అంటే భుజం మీదనో, నడుం మీదనో ఉన్న కండలోకి) ఎక్కుతుంది. ఇక జీర్ణమండలంలోకి ప్రవేశించకుండా నేరుగా రక్తమండలంలోకి ప్రవేశించి రక్తప్రవాహం ద్వార చేరాల్సిన చోటికి చేరుతుంది. అయితే ఈ పద్ధతిలో కూడా మందు చేరాల్సిన చోటికి సూటిగా చేరడం లేదు. అందువల్ల ఎక్కించిన మందులో ఎంతో భాగం నష్టమవుతోంది. అందుకే మందుని సూటిగా అవసరమైన శరీరభాగంలోకి ప్రవేశపెటడం ఆధునిక ఔషధ సరఫరా పద్ధతుల్లో ఒకటి.
ప్రస్తుతం శరీరంలోకి మందును ప్రవేశపెట్టేందుకు వాడుకులో ఉన్న పద్ధతులు రెండు - ఇంజెక్షన్లు, టాబ్లెట్లు. ఈ రెండిట్లోనూ మరో ముఖ్యమైన సమస్య కూడా ఉంది. అదేంటో చెప్పాలంటే ఉదాహరణగా డయాబిటిస్ వ్యాధిని తీసుకుందాం. ఈ వ్యాధిలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి. ఒకటి ఇస్నులిన్ మీద ఆధారపడేది. రెండవది ఇన్సులిన్ మీద ఆధారపడనిది. ఈ ఇన్సులిన్ అనే హార్మోను చక్కెర లో ఉండే శక్తిని కణాలలోకి చేరవేయటంలో సహాయపడుతుంది. దీన్ని పాంక్రియాస్ అనే గ్రంథి విడుదల చేస్తుంది. ఈ గ్రంథిలో వచ్చే దోషాల వల్ల ఇన్సులిన్ విడుదల తగ్గినప్పుడు చక్కెరలోని శక్తి కణాలకి సరిగ్గా అందదు. అప్పుడు రోగి శరీరంలో కొరతగా ఉన్న ఇన్సులిన్ ని భార్తీ చేసుకోవడానికి టాబ్లెట్లు వేసుకోవడం, ఇన్సులిన్ ఇంజెక్షన్లు తీసుకోవడం చేస్తాడు. అయితే ఈ పద్ధతిలో శరీరంలోకి ఆగాగి మందు ప్రవేశించడం వల్ల వేసుకోగానే చక్కెర (షుగరు) బాగా తగ్గడం, మందు వేసుకోకముందు పెరగడం జరుగుతుంది. అందువల్ల ఈ పద్ధతిలో రక్తంలో షుగరు ఆటుపోట్లు తీవ్రంగా ఉంటాయి. రక్తంలో ఈ షుగరు ఆటుపోట్ల వల్ల చిన్న చిన్న రక్తనాళాలు దెబ్బతినే ప్రమాదం ఉంది. అది కళ్లలో జరిగితే గుడ్డితనం, పాదాలలో జరిగితే పాదాలు తీసేయాల్సి రావడం సంభవించవచ్చు.
వర్తమాన పరిస్థితుల్లో పాత ఔషధ సరఫరా పద్ధతులు పని చెయ్యకపోవడానికి మరో కారణం కూడా ఉంది. ఆధునిక బయోటెక్నాలజీ పద్ధతులతో తయారవుతున్న ఎన్నో మందుల్లో ప్రోటీన్లు ముఖ్యాంశాలుగా ఉంటున్నాయి. ఇలాంటి మందులని నోట్లో వేసుకుంటే అవి కడుపులో అరిగిపోయి ఇక అవి అందాల్సిన చోటికి అందవు. ఇంజెక్షన్ రూపంలో వేసుకున్నా కాలేయం (liver) వాటిని రక్తంలో ఎక్కువ సేపు ఉండనివ్వదు. ఈ రక్షకభటుల బారి నుండి తప్పించి మందుని శరీరంలోకి చొప్పించేదెలా? తగినంత సేపు అక్కడ నిలిపేదెలా?
ఆధునిక బయోమెడికల్ టెక్నాలజీ అభివృద్ధికి చిహ్నంగా ఇటీవలి కాలంలో రెండు ఔషధ సరఫరా పద్ధతులు రూపొందుతున్నాయి. వీటిలో మొదటి పద్ధతిలో ఓ చిన్న ’చిప్’ లో మందు కూరి, ఆ చిప్ ని శరీరంలో ప్రవేశపెడతారు. రిమోట్ కంట్రోల్ సహాయంతో చిప్ లో ఉన్న మందు తగు మోతాదులో, సకాలంలో శరీరంలో వెలువడేలా నియంత్రిస్తారు. ఇలాంటి చిప్ లని ’జీవ సూక్ష్మ విద్యుత్ యాంత్రిక పరికరాలు (Biological micro-electromechanical systems - Bio MEMs) ’ అంటారు. రెండవ పద్ధతి నానోటెక్నాలజీ (nanotechnology) మీద ఆధారపడి ఉంది. ఇందులో అతి చిన్న నానో రేణువులకి మందు అణువులని అంటించి వాటిని శరీరంలో ప్రవేశపెడతారు. నానో రేణువులకి అంటుకుని ఉన్న మందు అవసరమైన తీరులో వేరుపడి శరీరంలో వెలువడేట్టు నియంత్రిస్తారు. ఈ రెండు పద్ధతుల గురించి కాస్త విపులంగా తెలుసుకుందాం.
’మైక్రో చిప్స్ ఇన్కార్పరేటెడ్’ అని శరీరంలో మందు సరఫరా చేసే చిప్ లని తయారుచేసే కంపెనీ ఒకటుంది. ఇది అమెరికాలో మసాచుసెట్స్ లో, బెడ్ఫర్డ్ నగరంలో ఉంది. వీళ్లు తయారు చేసే పరికరాల్లో 35 mm ల పొడవు ఉన్న ఓ చిన్న సిలికాన్ చిప్ ఉంటుంది. ఇందులో 100 చిన్న చిన్న బద్దీలు
ఉంటాయి. ఈ బద్దీల్లో మందు కూరుతారు. బద్దీలని మూస్తూ ఓ సన్నని ప్లాటినమ్, టైటానియం పొర ఉంటుంది. ఓ చిన్న 4 వోల్టుల షాక్ ఇస్తే బద్దీ మీద ఉన్న మూత తెరుచుకుని లోపల ఉన్న మందు బయటకి స్రవిస్తుంది. ఈ వ్యవహారం అంతా రెమోట్ కంట్రోల్ తో నియంత్రించవచ్చు. ఈ పరికరాలతో జంతువుల మీద చేసిన ప్రయోగాలు సత్ఫలితాలు ఇచ్చాయి. మనుషుల మీద ప్రయోగించడానికి ప్రస్తుతం టెక్నాలజీ తగినంతగా అబివృద్ధి కాలేదని నిపుణులు అభిప్రాయ పడుతున్నారు.
అయితే ఈ BioMEMS వినియోగంలో కొన్ని సమస్యలు లేకపోలేవు. చిప్ ని ఒకసారి శరీరంలో ప్రవేశపెట్టిన తరువాత అది ఎంత కాలం సక్రమంగా పనిచేస్తుందో తెలీదు. జంతు ప్రయోగాలలో మాత్రం చిప్ మూడు నెలలకు పైగా సక్రమంగా పనిచేసినట్టు తేలింది. శరీరంలో ద్రవ్యాల ప్రభావం చేత చిప్ పాడయ్యే ప్రక్రియని ఫౌలింగ్ అంటారు. శరీరంలోని రోగనిరోధక వ్యవస్థ (immune system) చిప్ ని శత్రు వస్తువుగా పరిగణించి దాని మీద చేసే దండయాత్రకి ఫలితంగా ఎన్నో రకాల కణాలు, అణువులు వచ్చి చిప్ ఉపరితలానికి అంటుకుని, అవన్నీ ఓ దట్టమైన పొరలాగా తయారై చిప్ పూడుకుపోయేట్టు చేస్తాయి. "ఈ ఫౌలింగ్ మహా తలనొప్పొ," అంటాడు బర్టన్ సేజ్ అనే ఒక నిపుణుడు. ఫౌలింగ్ ఎంత మేరకు జరుగుతుంది అన్నది చిప్ శరీరంలో ఎక్కడ ఉంది, చిప్ లో ఉన్న మందు ఎటువంటిది మొదలైన కారణాల మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. కనుక దాన్ని అంచనా వెయ్యడం కష్టం అంటాడు ఆ నిపుణుడు.
ఇలాంటి చిప్ హార్ట్ ఎటాక్ పేషంట్లకి చాలా సౌకర్యంగా ఉంటుంది. హార్ట్ ఎటాక్ వస్తుంది అనిపించగానే రోగి తన రిమోట్ కంట్రోల్ సహాయంతో చిప్ లోని మందు వెలువడేట్టు చేసుకోవచ్చు. అయితే ఈ పద్ధతిలో కూడా మందు ఎప్పుడు వెలువడాలి అన్నది రోగి గాని, డాక్టరు గాని నిర్ణయించాల్సి ఉంటుంది. అలా కాకుండా ఆ నిర్ణయం కూడా చిప్ కే వదిలేయడం సాధ్యం అవుతుంది. అలా చెయ్యాలంటే చిప్ లో మందుతోబాటు సెన్సర్లు (sensors) కూడా జతచెయ్యాలి. ఈ సెన్సర్లు శరీరంలో చిప్ పరిసరాన్ని పరిశీలిస్తూ కొన్ని ప్రత్యేక పరిస్థితులు ఏర్పడగానే మందు వెలువరించమని చిప్ కి సంకేతం పంపుతాయి.
(సశేషం...)
సివి రామన్ కి, మద్యపానానికి సంబంధించి ఒక గమ్మత్తయిన సన్నివేశం ఉంది. అది చెప్పాలంటే ఆయన కనుక్కున్న ’రామన్ ప్రభావం (Raman effect)’ గురించి ఒకసారి చెప్పుకోవాలి.
పారదర్శకమైన ఒక రసాయన పదార్థంలోంచి కాంతి ప్రసరిస్తున్నప్పుడు, ఆ పదార్థంలో కాంతి పరిక్షేపణం (scattering) చెందుతుంది. మామూలుగా అలా పరిక్షేపణం చెందిన కాంతి యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం (wavelength) పదార్థంలోకి ప్రసరించిన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యంతో సమానం అవుతుంది. కాని కొంత భాగం కాంతి మాత్రం మూలంలో లేని వేరే తరంగదైర్ఘ్యం కలిగి ఉంటుంది. తరంగదైర్ఘ్యంలో ఈ మార్పునే రామన్ ప్రభావం అంటారు. అయితే ఇది చాలా బలహీనమైన ప్రభావం. పతనం అయిన కాంతి (incident light) యొక్క తీక్షణత (intensity) లో ఇలా తరంగదైర్ఘ్యం మారిన కాంతి యొక్క తీక్షణత 1/100,000 వంతు మాత్రమే ఉంటుంది. తరంగదైర్ఘ్యంలో వచ్చే మార్పు ఆ కాంతి ప్రసరించిన రసాయన పదార్థం యొక్క లక్షణం మీద ఆధారపడుతుంది. కనుక ఈ ప్రభావం సహాయంతో రసాయన పదార్థాలని విశ్లేషించడానికి వీలవుతుంది. ఈ ప్రభావాన్ని కనుక్కున్నందుకు రామన్ కి 1930 లో భౌతిక శాస్త్రంలో నోబెల్ పురస్కారం లభించింది. వైజ్ఞానిక రంగాల్లో తెల్లవారు కాని వారికి నోబెల్ రావడం అదే మొదటిసారి!
ఇప్పుడు అసలు కథకి వద్దాం.
సర్ సి వి రామన్ మద్యపానం విషయంలో చాలా నిష్ఠగా ఉండేవార్ట. మద్యం పుష్కలంగా సరఫరా అయ్యే విందులలో కూడా దాని జోలికి పోయేవాడు కారట. ఒకసారి ఒక విందులో ఆ విందుని ఇచ్చిన పెద్దమనిషి ఎలాగైనా కొంచెం రుచి చూడమని రామన్ ని బలవంత పెట్టాట్ట. అప్పుడు రామన్ ఇలా సమాధానం చెప్పార్ట:
"నాకు ఆల్కహాల్ లో రామన్ ప్రభావం గురించి తెలుసుకోవాలనుంది గాని, రామన్ మీద ఆల్కహాలు ప్రభావం తెలుసుకోవాలని లేదు."
ఆ పెద్ద మనిషి మళ్లీ రామన్ జోలికి రాలేదు!
*** ఇలాంటిదే మరో సన్నివేశం. ***
ఒకసారి ఓ వైజ్ఞానిక సమావేశంలో రామన్ సైక్లోట్రాన్ల గురించి ప్రసంగిస్తున్నార్ట. మాట్లాడుతూ మాట్లాడుతూ ఉన్నట్టుండి ఎదురుగా కూర్చున్న ఓ పెద్దాయన వద్దకి విసవిసా నడుచుకుంటూ వెళ్లి ఆయన చేతి కర్ర లాక్కున్నార్ట. రామన్ కి అసలే ముక్కు మీద కోపం అందరికీ తెలిసిందే. ఎవడికి మూడనుందో అని ప్రేక్షకుల్లో ఉత్కంఠ పెరిగింది. రామన్ ఆ చేతి కర్రని పైకెత్తి గిర గిరా తిప్పటం మొదలెట్టారట. కర్ర వేగం పుంజుకుంటుంటే రామన్ ప్రేక్షకులని అడిగారట: "ఇప్పుడు నేనీ కర్రని ఉన్నట్లుండి విడిచిపెడితే ఏమవుతుంది?" అని. సభికుల ముఖాలు అప్పటికే పాలిపోయి ఉన్నాయి. అప్పుడు రామన్ తన మేఘగంభీర స్వరంతో "భయపడకండి! ఏవుంది? కర్ర గాల్లో ప్రయాణించి ఎవడి తలో బద్దలు కొడుతుంది. కాని నేనలా జరగనిస్తానా? ఊరికే మీకు సైక్లోట్రాన్ సిద్ధాంతాన్ని వివరిస్తున్నానంతే!" అన్నార్ట. సభకి ఊపిరి తీసుకోవాలన్న విషయం గుర్తొచ్చింది.
http://www.hinduonnet.com/fline/fl1910/19100660.htm
"ఇదంతా మీరు నేర్పించిందే నాన్నా" - అసిమోవ్
కాల్పనిక విజ్ఞాన (science fiction) ప్రియులకు ఐసాక్ అసిమోవ్ పేరు తెలియకుండా ఉండదు. కాల్పనిక విజ్ఞానం మీదే కాక ఇతడు విజ్ఞానం మీద కూడా అందరూ చదవదగ్గ, గొప్ప వైవిధ్యం గల అంశాల మీద, చక్కని పుస్తకాలెన్నో రాశాడు. ఇతడు మొత్తం ఇంచుమించు ఐదొందల పుస్తకాల దాకా రాశాడని చెప్పుకుంటారు.
మరి సహజంగా అసిమోవ్ వద్ద ఓ పెద్ద వ్యక్తిగత గ్రంథాలయం ఉండేదట. ఒకరోజు అతడి తండ్రి తన పుస్తకాలని చూడడానికి వచ్చాడు. ఆ పుస్తకాలన్నీ చూసి ఆశ్చర్యపోయిన తండ్రి,
"ఇన్ని విషయాలు ఎలా తెలుసు నీకు," అని అడిగాడు.
"ఇవన్నీ మీరు నేర్పించినవే నాన్నా," అన్నాడు అసిమోవ్.
"నేనా? అదేంటి. నాకసలు ఇవేవీ తెలీవు," అన్నాడాయన అమాయకంగా.
"తెలియనక్కర్లేదు, నాన్నా. మీకు చదువన్నా, చదవడం అన్నా చాలా అభిమానం. ఆ అబిమానమే నాకూ వంటపట్టించారు. అదొక్కటీ ఉంటే చాలు. ఇక తక్కినదంతా దానికదే వచ్చేస్తుంది."
Reference:
K. Krishnamurthy, Spice in Science, Pustak Mahal.
ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు - గవ్వల్లోనూ ఉన్నాయి
సర్పిలాకార వస్తువులని ప్రకృతిలో ఎన్నో చోట్ల చూస్తాం. విశాలమైన పాలపుంత గెలాక్సీలోనే (చిత్రం) కాదు, సముద్రపు హోరు నిరంతరం జపించే గవ్వల్లోనూ (చిత్రం) గువ్వల్లా ఒదిగిపోతాయి సర్పిలాలు. మనిషి చెవిలోని కాక్లియా (చిత్రం) లోనూ సర్పిలాలు దాగున్నాయి.
ఇక్కడ కూడా జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తే ఫిబొనాచీ సంఖ్యలే మనకి దర్శనమిస్తాయి.
సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రానికి, ఫిబొనాచీ సంఖ్యలకి మధ్య సంబంధాన్ని కిందటి పోస్ట్ లో గమనించాం. సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రంతో ఒక చక్కని సర్పిలాన్ని నిర్మించవచ్చు. అదెలా అంటారా?
కిందటి సారి ఒక సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రం లోంచి ఒక చదరాన్ని తీసేస్తే, మరో సువర్ణ దీర్ఘ చతురస్రం మిగులుతుందని గమనించాం. అదే ప్రక్రియని మళ్లీ మళ్లీ చేస్తూ పోతే అలా ఒకదాంట్లో ఒకటి, ఇంకా దాంట్లో మరోటి ఇలా అనంతంగా దీర్ఘ చతురస్రాలని నిర్మించొచ్చు.
అలా నిర్మించబడ్డ దీర్ఘచతురస్రాలలో ప్రతీ చతురస్రంలోను, అభిముఖంగా ఉండే కొసలని కలుపుతూ వరుసగా జ్యా (chord) లు గీస్తూ పోవాలి. ఆ జ్యాలన్నీ గొలుసుకట్టుగా కలిసి ఒక వక్రం ఏర్పడుతుంది. ఆ వక్రం యొక్క ఒక కొస చుట్లు తిరుగుతూ ఒక కేంద్ర బిందువుని సమీపించడం కనిపిస్తుంది. ఆ వక్రమే సర్పిలం. బయటి నుండి లోపలికి పోతున్నప్పుడు ఆ సర్పిలంలో ప్రతీ తొంభై డిగ్రీలకి కేంద్రం నుండి దూరం 1.618 రెట్లు చిన్నదవుతుంది.
ఇలాంటి సర్పిలాలని సమకోణీయ సర్పిలం (equiangular spiral) అంటారు.
r = A k^theta
(theta = కేంద్రం నుండి సర్పిలం మీది బిందువుని కలిపే రేఖ యొక్క కోణం)
(r = కేంద్రం నుండి సర్పిలం మీది బిందువు యొక్క దూరం)
గణితంలో ఈ సమకోణీయ సర్పిలాలని మొట్టమొదట కనుక్కున్నవాడు ఫ్రెంచ్ తాత్వికుడు డేకార్త్ (Descartes). వీటిని అతడు 17 వ శతాబ్దంలో కనుక్కున్నాడు. తదనంతరం టోరిసెల్లీ, బెర్నూలీలు దాని మీద ఎన్నో అధ్యయనాలు చేశారు. బెర్నూలీకి ఈ సర్పిలం ఎంతగా నచ్చేసిందంటే దాన్ని తన సమాధి మీద చెక్కించుకున్నాడు.
గవ్వలోనే కాదు, పువ్వుల్లో కూడా మళ్లీ ఈ సర్పిలాలు తొంగిచూస్తాయి. పొద్దు తిరుగుడు పూవు మధ్యలో గింజలు సర్పిలాకారపు బాటల్లో అమరి ఉన్నట్టు కనిపిస్తాయి (చిత్రం).
http://www.mckibbenlandscaping.com/images/sunflower.jpg
ఆ సర్పిలాలు రెండు రకాలుగా - అపసవ్య దిశలో, సవ్య దిశలో - ఉన్నట్టు కూడా గుర్తించగలం. మొత్తం సవ్య దిశలో ఉన్న సర్పిలాల సంఖ్య, అపసవ్య దిశలో ఉన్న సర్పిలాల సంఖ్య లెక్కించితే అవి కూడా ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు కావడం చూసి ఆశ్చర్యం కలుగుతుంది!
పై చిత్రంలో స్పష్టంగా కనిపించకపోతే, మరిన్ని వివరాల కోసం ఈ కింది సైట్ లో చూడండి. ఇందులో పొద్దుతిరుగుడు పూవు చిత్రం మీద ఈ సర్పిలాల రేఖలు గ్రాఫికల్ గా ఆధ్యారోపించబడి (superimpose) ప్రదర్శించబడ్డాయి.
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#spiral
పువ్వుల్లోనే కాక పైన్ చెట్టు కి కాసే శంఖాకార కాయల్లో (pine cones) కూడా ఈ సర్పిలాలని గమనించవచ్చు.
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#pinecones
ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు - పూవుల్లోనూ అవే
ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు ప్రకృతిలో ఎంత తరచుగా కనిపిస్తాయంటే అది కేవలం కాకతాళీయం అంటే నమ్మబుద్ధి కాదు.
1)
ఎన్నో పూల జాతుల్లో పూల రేకుల సంఖ్యలు ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు కావడం విశేషం. ఉదాహరణకి -
పూవులు రేకుల సంఖ్య
లిలీ, ఐరిస్ - 3
కొలంబైన్, బటర్కప్, లార్క్స్ పుర్ - 5
డెల్ఫినియమ్ - 8
కార్న్ మేరీగోల్డ్ - 13
ఆస్టర్ - 21
డెయిసీ - 34, 55, 84
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals
(చిత్రం: ఒక రకం డెయిసీ. ఇందులో 13 రేకులు ఉన్నాయి).
2) ఎన్నో సార్లు రెమ్మల మీద ఆకుల అమరికలోను ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు దోబూచులాడతాయి.
సాధారణంగా రెమ్మల మీద ఆకులన్నీ రెమ్మకి ఒకే వైపుకి ఉండవు. ముఖ్యంగా నిటారుగా ఉన్న రెమ్మలో అయితే, ఆకులన్నీ ఒక పక్కనే ఉంటే, పై భాగంలో ఉన్న ఆకుల నీడ కింద నున్న ఆకుల మీద పడి, వాటికి సూర్య కాంతి అందదు. కనుక వీలైనన్ని ఆకుల మీద ఎండ పడాలంటే ఆకులు రెమ్మ చుట్టూ వివిధ కోణాల వద్ద సమంగా అమరి ఉండాలి.
అందుకనే ఎన్నో రెమ్మల్లో ఆకులు సర్పిలాకార మెట్ల (spiral staircase) లాగా రెమ్మ చుట్టూ తిరుగుతూ పోతాయి. అలాంటి రెమ్మ మీద ఆకుల విన్యాసాన్ని వర్ణించే మూడు సంఖ్యలని గమనిద్దాం. ఒక ఆకు వద్ద మొదలుపెట్టి క్రమంగా చుట్లు చుడుతూ పైకి పోతూ, సరిగ్గా మొదటి ఆకుకి నడి నెత్తి మీదకి వచ్చిందాకా పోవాలి. 1) ఈ మధ్యలో ఎన్ని ఆకులు ఉన్నాయో లెక్కించాలి. 2) ఈ రెండు ఆకుల మధ్య సవ్య దిశలో చుట్లు తిరుగుతూ పోతే మొత్తం ఎన్ని చుట్లు చుట్టాలో లెక్కించాలి. 3) ఈ రెండు ఆకుల మధ్య అపసవ్య దిశలో చుట్లు తిరుగుతూ పోతే మొత్తం ఎన్ని చుట్లు చుట్టాలో లెక్కించాలి.
ఉదాహరణకి ఈ కింద చిత్రంలో కనిపిస్తున్న మొక్కలో సరిగ్గా ఒక దాని మీద ఒకటిగా ఉన్న ఆకుల మధ్య సవ్య దిశలో 3 చుట్లు, అపసవ్య దిశలో 2 చుట్లు పడతాయి. ఆ రెండు ఆకుల మధ్య మొత్తం 5 ఆకులు ఎదురవుతాయి. ఈ మూడు సంఖ్యలు (2, 3, 5) ఫిబొనాచీ శ్రేఢిలో వరుసగా వస్తాయన్నది విశేషం.
ఇది కాకుండా ఒక్క చుట్టులో ఉన్న ఆకుల సంఖ్య కూడా ఫిబొనాచీ సంఖ్య అవుతూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి -
చెట్టు జాతి - ఒక చుట్టులో ఆకుల సంఖ్య
ఎల్మ్ - 2
చెరీ - 5
పియర్ - 8
1. http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#leavesperturn
2. Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Wide World Publishing, 1989.
దేవుడి భాష అంకెల భాష అని ప్రాచీన గ్రీకులు భావించారంటే మరి ఆశ్చర్యం లేదు.
ప్రకృతిలో కనిపించే ఎన్నో సర్పిలాలకి (spirals) కూడా ఫిబొనాచీ సంఖ్యలతో సంబంధం ఉంది.
(సశేషం...)
మామయ్య ఆనందం చూసి అపార్థం చేసుకున్న ఫ్రెడిరిక్సెన్ చిన్నబుచ్చుకున్నారు.
"ఏంటండీ మీరు అంటున్నది?" కొంచెం కోపంగా అడిగారు.
"ఇప్పుడు అర్థమయ్యింది. మొత్తం అర్థమయ్యింది. తన ఆవిష్కరణలని బాహాటంగా ప్రకటించకూడదన్న నిషేదం ఉండడం వల్ల, ఆ రహస్యన్ని గూఢసందేశంలో గుప్తంగా దాచి ఉంచాడన్నమాట." మామయ్య వివరించాడు.
"ఏ రహస్యం గురించి మీరు మాట్లాడుతున్నది?"
"ఓ రహస్యమా? అదీ... అదీ..." మామయ్య నసిగాడు.
"మీ వద్ద ప్రస్తుతం ఏమైనా రహస్య పత్రం ఉందా?" అడిగారు ఫ్రెడిరిక్సెన్.
"అబ్బే. అలాంటిదేం లేదు. ఊరికే అంటున్నానంతే." మామయ్య బుకాయించడానికి ప్రయత్నించాడు.
"ఓహ్! అంతేనా? సరే అయితే," మామయ్య ఇబ్బంది గమనించి మాట మార్చారు ఫ్రెడిరిక్సెన్. "ఏదేమైనా మా ద్వీపం మీద దొరికే ఖనిజ సంపద చూడకుండా మాత్రం మీరు తిరిగి వెళ్లకూడదు."
"తప్పకుండా!" మామయ్య ఉత్సాహంగా అన్నాడు. "కాని నేను కొంచెం ఆఖరుగా వచ్చిన వాణ్ణి అయ్యుంటాను. నా ముందు ఎంతో మంది వచ్చి వుంటారేమో?"
"అవును ప్రొఫెసర్ లీడెన్బ్రాక్! రాజాజ్ఞ మీదట ఒలాఫ్సన్, పొవెల్సెన్ మొదలైన వాళ్లు చేసిన కృషి, ట్రాయిల్ యొక్క పరిశోధనలు, జీమార్డ్ మరియు రాబర్ట్ ల వైజ్ఞానిక అధ్యయనం మొదలైన ప్రయత్నాలన్నీ ఐస్లాండ్ గురించిన పరిజ్ఞానాన్ని అమితంగా పోషించాయి. అయితే ఎంత తెలుసుకున్నా, తెలీనిది ఇంకా ఎంతో తప్పకుండా ఉంటుందని నా నమ్మకం."
"నిజంగా ఉంటుందంటారా?" ఉత్సాహాన్ని దాచుకోవడానికి విశ్వప్రయత్నం చేస్తూ అన్నాడు మామయ్య.
"ఓ, లేకేం? ఇంకా పూర్తిగా అర్థం కాని పర్వతాలు, హిమానీనదాలు, అగ్నిపర్వతాలు ఎన్నెన్ని లేవని? అసలవన్నీ ఎందుకు. అల్లంత దూరంలో నింగి నేల కలిసే చోట కనిపిస్తోందే? అదే స్నేఫెల్ పర్వతం." (చిత్రం)
"ఓ అవునా? అది స్నేఫెల్ పర్వతమా?" మామయ్య తనకి సాధ్యమైనంత అమాయకత్వాన్ని తన మాటల్లో దట్టించాడు.
"అదో విచిత్రమైన అగ్నిపర్వతం. దాని పైన ఉండే అగ్నిబిలాన్ని పెద్దగా ఎవరూ సందర్శించనే లేదు."
"అది మృత పర్వతమా?"
"అవునవును. ఓ ఐదొందల ఏళ్లుగా అది నిప్పులు కక్కలేదు."
"అవునా? అయితే సరే. నా భౌగోళిక అధ్యయనాలని ఆ పర్వతం దగ్గర్నుండి మొదలుపెడితే బావుంటుందేమో ననిపిస్తోంది. ఇంతకీ పర్వతం పేరు ఏంటన్నారు. సెఫెల్... ఫెసెల్...?"
"స్నెఫెల్!" ఠక్కున అందించారు ఫ్రెడిరిక్సెన్.
ఈ సంభాషణ అంతా లాటిన్ లో జరిగింది. అందులో నాకు ప్రతీ పదం అర్థమయ్యింది. మామయ్య ఇబ్బంది చూస్తే నాకు నవ్వు ఆగటం లేదు. అమాయకంగా కనిపిస్తున్నానని తను అనుకుంటున్నాడేమో గాని నాకైతే ఆ ముఖంలో ఓ కుటిల, కపట దరహాసం కొట్టొచ్చినట్టు కనిపిస్తోంది!
"నిజమే. మీ మాటలు వింటుంటే నా నిర్ణయం ఇంకా బలపడుతోంది. స్నెఫెల్ పర్వతాన్ని ఎక్కుతాం. దాని అగ్నిబిలంలోకి దిగి అక్కడ అధ్యయనం చేస్తాం."
"కాని పని వత్తిడి వల్ల మీతో రాలేని పరిస్థితిలో ఉన్నాను. మీరు అర్థం చేసుకుని క్షమించాలి," ఫ్రెడిరిక్సెన్ అన్నారు.
"అయ్యో! దాందేవుంది. మేం ఎవర్నీ ఇబ్బంది పెట్టదలచుకోలేదు. అసలు మీకా ఆలోచన రావడమే మా అదృష్టం. అయినా మీ బాధ్యతలకి అంతరాయం కలగడం మాకు సుతరామూ ఇష్టం లేదు..."
పాపం అమాయకుడైన ఈ ఐస్లాండ్ వాసి మా మామయ్య వేసే నాటకాలు గుర్తించినట్టు లేదు.
"మీరా అగ్నిపర్వతంతో మీ పర్యటనలు మొదలుపెట్టటం నాకు పూర్తిగా సమ్మతమే ప్రొ. లీడెన్బ్రాక్! అక్కడ మీరు చెయ్యబోయే పరిశీలనలు మీకు పండుగలా ఉంటుంది. కాని ఇంతకీ స్నెఫెల్ ద్వీపకల్పాన్ని ఎలా చేరుకుందామని?"
"సముద్రం మీదుగా. ఖాతాన్ని దాటి అక్కడికి చేరుదామని ఉద్దేశం. అదే అన్నిటికన్నా దగ్గరి దారి కదా?" మామయ్య అడిగాడు.
"నిజమే కాది అది అయ్యే పని కాదు."
"ఏం?"
"ఇక్కడ రెయిక్ జావిక్ లో మా వద్ద ఒక్క పడవ కూడా లేదు కాబట్టి."
"అలాగా?"
"నేల మీదుగా తీరం వెంబడి ప్రయాణించాలి. దారి కొంచెం పొడవైనది కాని చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది."
"సరే అయితే. కాని ఓ గైడ్ ని వెదుక్కోవాలి."
"ఆ ఏర్పాటు నేను ముందే చేసి ఉంచాను."
"సమర్ధుడేనా?"
"ఆహా! ఆ ద్వీపకల్పంలో ఉండే స్థానికుడు. తెలివైనవాడు. డేనిష్ అనర్గళంగా మాట్లాడతాడు."
"అతన్ని ఓ సారి కలవాలి."
"రేపు పంపిస్తాను."
"ఇవాళ వీలు కాదా?"
"లేదు. రేపటి దాకా రాడు."
"సరే అయితే. రేపే రమ్మనండి," మామయ్య నిట్టూరుస్తూ అన్నాడు.
చివర్లో మా జర్మన్ ప్రొఫెసర్ ఆ ఐస్లాండ్ ప్రొఫెసర్ కి పదే పదే కొద్ది నిముషాల పాటు కృతజ్ఞతలు చెప్పడంతో ఆ సంభాషణకి తెరపడింది.
(పదవ అధ్యాయం సమాప్తం)
ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు - సువర్ణ నిష్పత్తి
బహుభుజులలో (polygons) సమబాహువులు, సమకోణాలు గల బహుభుజులు చక్కని సౌష్టవంతో అందంగా ఉంటాయి. అందుకే సమబాహు చతుర్భుజానికి ఉన్న అందం సామాన్యంగా దీర్ఘ చతురస్రానికి ఉండదు. కాని దీర్ఘ చతురస్రాలలో కూడా పొడవు, వెడల్పుల మధ్య ఒక ప్రత్యేక నిష్పత్తి ఉంటే చూడడానికి ఇంపుగా ఉంటాయని ప్రాచీన గ్రీకులు భావించేవారు. ఆ నిష్పత్తినే సువర్ణనిష్పత్తి (golden ratio) అనేవారు. ఆ నిష్పత్తిలో పొడవు, వెడల్పు గల దీర్ఘచతురస్రాన్ని సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం (golden rectangle) అంటారు.
గ్రీకులు స్వతహాగా సౌందర్య పిపాసులు. అయితే వారి సౌందర్య దృష్టి వెనుక ఒక వైజ్ఞానిక దృక్పథం ఉంటుంది. ప్రకృతిలో ఎక్కడ సౌందర్యం కనిపించినా, ఆ అందం వెనుక గణితపరమైన, జ్యామితి పరమైన, సంఖ్యాపరమైన ధర్మాల ప్రభావం అదృశ్యంగా ఉంటుందని భావించేవారు.
క్రీ.పూ. 5 వ శతాబ్దపు గ్రీకు వాస్తులో కూడా సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం తరచు కనిపిస్తూ ఉంటుంది. ప్రాచీన ఏథెన్స్ కి చెందిన పార్తెనాన్ మందిరమే దానికి చక్కని తార్కాణం (చిత్రం). సువర్ణ నిష్పత్తి యొక్క విలువని ’phi' (ఫై) అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచించేవారు. ప్రఖ్యాత ప్రాచీన గ్రీకు శిల్పి ఫైడియాస్ పేరులోని మొదటి అక్షరాన్ని ఇక్కడ వాడారు అంటారు. ఈ ఫైడియాస్ తన నిర్మాణాలలో సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రాలని విరివిగా వాడుకున్నాడు.
వాస్తులోనే కాక కళలో కూడా సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం చోటుచేసుకుంది. లూకా పాచియోలీ రాసిన Da Divine Proportione (దివ్య నిష్పత్తి) అనే పుస్తకంలో, లియొనార్డో డా వించీ మానవ శరీర నిర్మాణంలో సువర్ణ నిష్పత్తి ఎలా దాగి వుందో వర్ణిస్తాడు. రమారమి 1483 లో లియొనార్డో డా వించీ వేసిన ’సెయింట్ జెరోమ్’ చిత్రంలో సెయింట్ జెరోమ్ చక్కగా ఓ సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రంలో ఇమిడిపోతాడు. ఇది కాకతాళీయంగా జరిగిన విషయం కాదని లియొనార్డో కావాలనే అలా చిత్రించాడని నిపుణుల ఉద్దేశం. కళని విజ్ఞానంతో రంగరించడంలో లియొనార్డో పెట్టింది పేరని అంతకు ముందు మనం చెప్పుకుందాం. అతడి దృష్టిలో కళ, విజ్ఞానం ఒకే తత్వం యొక్క రెండు ముఖాలు. "గణిత పరమైన విశ్లేషణ, నిర్ధారణ లేకుండా ముందుకి సాగే ఏ మానవ శోధనని విజ్ఞానం అనలేం," అంటాడు లియొనార్డో.
http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm
ప్రాచీన భారతంలో సువర్ణ నిష్పత్తి
అథర్వ వేదంలో వర్ణించబడ్డ శ్రీయంత్రంలో సువర్ణనిష్పత్తిని వాడడం జరిగింది. శ్రీ యంత్రంలో వాడే ముఖ్యమైన సమద్విబాహు త్రిభుజాల (isosceles triangles) త్రిభుజం యొక్క వాలు భుజానికి, ఆధార భుజంలో (base) సగానికి మధ్య నిష్పత్తి సువర్ణ నిష్పత్తి అవుతుంది. శ్రీ యంత్రం యొక్క నిర్మాణంలో ఎంతో అధునాతన గణితం దాగి ఉందని ఆధునిక అధ్యయనాలలో తేలింది.
(http://alumni.cse.ucsc.edu/~mikel/sriyantra/sriyantra.html)
సువర్ణ నిష్పత్తి విలువ
ఇంతకీ ఈ సువర్ణ నిష్పత్తి విలువ ఎంత? ఆ సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం ఎలా ఉంటుంది?
సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటో ఈ కింది చిత్రం చూస్తే తెలుస్తుంది. ఈ కింద కనిపిస్తున్న చిత్రంలో ABCD ఒక సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం.
ఇప్పుడు DF=AE=FE=DA అయ్యేట్టుగా, EF అనే నిలువు గీతతో ABCD ని రెండుగా విభజించాలి. ఇప్పుడు ADEF అనే చతురస్రాన్ని ABCD లోంచి తీసేయగా మిగిలిన BCFE కూడా ఒక సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది.
అంటే,
AB/AD =FE/FC = సువర్ణ నిష్పత్తి.
ఇప్పుడు AB = x, AD = 1, అనుకుందాం. అంటే x విలువే సువర్ణ నిష్పత్తి అన్నమాట.
అప్పుడు, FC = x-1, అవుతుంది. అంటే,
FE/FC = 1/(x-1) = x
x-x^2 = 1
దీన్ని సాధిస్తే
x = (1 + sqrt(5))/2
అని తేలుతుంది. ఉజ్జాయింపుగా దీని విలువ 1.618
సువర్ణ నిష్పత్తికి - ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి సంబంధం
సువర్ణ నిష్పత్తికి, ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి మధ్య ఓ విచిత్రమైన సంబంధం ఉంది. ఫిబొనాచీ శ్రేఢి లో పక్కపక్కనే వచ్చే సంఖ్యల నిష్పత్తులని వరుసగా రాస్తే ఇలా ఉంటుంది:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (ఫిబొనాచీ శ్రేఢి)
1/1 , 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 (ఫిబొనాచీ శ్రేఢి లో పక్కపక్కనే వచ్చే సంఖ్యల నిష్పత్తులు)
(1, 2, 1.5, 1.6, 1.625, 1.6153,) (పై నిష్పత్తుల విలువలు)
పోగా పోగా ఈ నిష్పత్తుల శ్రేఢి ఒక మితి (limit) ని చేరుకుంటుంది. ఆ మితే సువర్ణ నిష్పత్తి! అదెలాగో సులభంగా నిరూపించొచ్చు.
n అనంతాన్ని సమీపిస్తున్నప్పుడు,
F(n)/F(n-1) = R
అలాగే
F(n-1)/F(n-2) = R అవుతుంది.
మరి,
R=F(n)/F(n-1) = (F(n-1) + F(n-2))/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1) = 1 + 1/R
అంటే,
R = 1 + 1/R
R = (1+ sqrt(5))/2
ఇదే సువర్ణ నిష్పత్తి కూడా.
ఫిబొనాచీ సంఖ్యల అదృశ్య హస్తం ప్రకృతిలో ఎన్నో చోట్ల కనిపిస్తుంది...
(సశేషం...)
ఫిబోనాచీ సంఖ్యలు
మధ్యయుగపు యూరప్ కి చెందిన ఓ పేరుమోసిన గణితవేత్త ఫిబొనాచీ. అంకగణితం, ఆల్జీబ్రా, జ్యామితి మొదలైన రంగాల్లో ఎనలేని కృషి చేశాడు. ఇతడి అసలు పేరు లియొనార్డో ద పీసా (1775-1850). ఇతడి తండ్రి బోనాచీ, ఇటాలియన్ కస్టమ్స్ అధికారిగా, దక్షిణాఫ్రికాలో బర్గియాలో పని చేసేవాడు. (అసలు ఫిబోనాచీ అంటే బోనాచీ పుత్రుడు అని అర్థం). తండ్రి బోనాచీ ఉద్యోగ రీత్యా ఎన్నో ప్రాంతాలు తిరిగేవాడు. తండ్రితో బాటు ఫిబొనాచీ కూడా అరేబియా, ఇంకా తూర్పు ప్రాంతపు నగరాలెన్నో తిరిగాడు. ఆ యాత్రల వల్ల అతడికి హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యా వ్యవస్థలతో గాఢమైన పరిచయం ఏర్పడింది. తను నేర్చుకోవడమే కాక వాటి వినియోగం గురించి యూరప్ లో బాగా ప్రచారం చేయటం మొదలెట్టాడు ఫిబోనాచీ. 1802 లో అతడు హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యల గురించి ’లిబిర్ అబాచీ’ అనే పుస్తకం రాశాడు. వాటితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు మొదలైన పరికర్మలు (operations) ఎలా చెయ్యాలో అందులో వివరించాడు. అందులో ఆల్జీబ్రా, జ్యామితి కి చెందిన విస్తృత చర్చ కూడా ఉంది. ఈ కొత్త సంఖ్యా పద్ధతిని ఇటాలియన్ వర్తకులు అంత సులభంగా ఒప్పుకోలేదు. అయితే ఫిబొనాచీ తదితర యూరోపియన్ గణితవేత్తల కృషి వల్ల హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యల వాడుకు యూరప్ లో క్రమంగా పెంపొందింది.
ఫిబోనాచీ పేరు మీద ప్రస్తుతం బాగా చెలామణిలో ఉన్న ఓ సంఖ్యా శ్రేఢి (series) లో వరుసగా ఇలా అంకెలు ఉంటాయి.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
అయితే ఈ శ్రేఢి ’లిబర్ అబాచీ’ లో కేవలం ఓ చిన్న లెక్క . కేవలం ఓ చిన్న అభ్యాసంలా ఇవ్వబడింది. కాని తదనంతరం 19 వ శతాబ్దంలో ఎడ్వర్డ్ లూకాస్ అనే ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త నాలుగు భాగాల వినోద గణితం అనే గ్రంథమాలని కూర్చుతూ అందులో ఈ ఫిబోనాచీ శ్రేఢి గురించి ప్రస్తావించాడు. ’లిబర్ అబాచీ’ లో ఇవ్వబడ్డ సమస్య ఇలా ఉంటుంది.
పునరుత్పత్తి వల్ల కుందేళ్ల జనాభా ఎలా వృద్ధి చెందుతుందో ఈ లెక్క వర్ణిస్తుంది. ఈ లెక్కలో కుందేళ్ళ జనాభా వృద్ధిని శాసించే నియమాలు ఇలా ఉంటాయి.
1) ఒకే నెల వయసు ఉన్న కుందేళ్ల జంట పునరుత్పత్తికి సిద్ధంగా ఉండదు.
2) కాని రెండు నెలలు వయసున్న జంట పక్వానికి వచ్చి సంతానాన్ని కంటుంది.
3) రెండవ నెల నుండి నెలనెలా జంటలు సంతానాన్ని కంటాయి.
4)ఆ సంతానంలో ఎప్పుడూ సరిగ్గా రెండే కూనలు (ఒక ఆడ కూన, ఒక మగ కూన) ఉంటాయి.
5)కుందేళ్లకి చావు లేదు (!!!)
ఇలా ఎదుగుతున్న కుందేళ్ళ జనాభా (కుందేళ్ళ జంటల సంఖ్య), నెల నెలా ఎలా పెరుగుతుంది అన్నదే ఈ సమస్య.
n వ నెల మొదట్లో ఉండే కుందేళ్ల జనాభా F_n అనుకుంటే,
జనాభా మొదట్లో ఒక జంట మాత్రమే ఉంటుంది. కనుక F_1 = 1
రెండవ నెల మొదటికి ఆ జంట పక్వానికి రాదు కనుక, రెండవ నెలలో కూడా ఒకే జంట ఉంటుంది. కనుక, F_2 = 1
మూడవ నెల మొదటికి ఆ జంట పక్వానికి వచ్చి సంతానాన్ని కంటుంది. ఇప్పుడు రెండు జంటలు ఉంటాయి. F_3= 2
ఇలా కుందేళ్ల జనాభా వృద్ధిని ఈ చిత్రంలో చూడొచ్చు.
(చిత్రం ఇక్కణ్ణుంచి: http://rahul-aggarwal.blogspot.com/2009/09/fibonacci-series.html)
ఈ శ్రేఢిలో n వ నెలలో జనాభా విలువని, n-1 వ మరియు n-2వ నెలలలో జనాభా విలువల కూడిక అవుతుంది. అంటే,
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (1)
పైన (1) లో ఇచ్చినట్టు F(n) విలువని ఒక పునరావృత్త సూత్రంలా (recurrent formula) ఇవ్వకుండా, నేరుగా F(n) ని n యొక్క ప్రమేయంగా వ్యక్తం చెయ్యగలమా?
సామాన్యంగా జనాభా ఇంతింతై అన్నట్టుగా కాలం యొక్క ఘాతాలుగా (powers) గా పెరగడం వింటాం. కనుక F(n) ని x అనే ఓ అజ్ఞాత సంఖ్య యొక్క ఘాతం అనుకుంటే లెక్క సరిపోతుందేమో చూద్దాం.
F(n) = x^n
('^' అన్న చిహ్నం ఘాతాన్ని సూచిస్తుంది)
దీన్ని పైన సూత్రం (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
x^n = x^(n-1) + x^(n-2)
లేదా,
x^2 = x + 1
ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని (quadratic equation) సాధిస్తే, దాని రెండు మూలాలని (roots) a, b అనుకుంటే, అవి,
a = (1+ sqrt(5))/2, (2a)
b = (1-sqrt(5))/2 (2b)
అని తెలుస్తుంది.
పై రెండు విలువలు సూత్రం (1) ని సంతృప్తి పరుస్తాయి కనుక, F(n) ఈ విధంగా రెండు పదాల యొక్క రేఖీయ సంయోగం (linear combination) గా వ్యక్తం చేద్దాం.
F(n) = c1 a^n + c2 b^n (౩)
ఇప్పుడు c1, c2 విలువలని కనుక్కోవాల్సి ఉంది.
F(1) = 1, F(2) = 2 అని తెలుసు కనుక (3) లో వాటిని ప్రతిక్షేపించి,
c1 = 1/sqrt(5), c2 = -1/sqrt(5) అని తెలుసుకోవచ్చు.
కనుక చివరికి,
F(n) = (1/sqrt(5)) ((1+sqrt(5))/2)^n - (1/sqrt(5))((1-sqrt(5))/2)^n
కరణీయ సంఖ్యల (irrational numbers) తో కూడుకున్న పై సమాసంలో n విలువ పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ఫలితం ఎప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్యే కావడం విశేషం.
ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి తదితర ఎన్నో గణిత అంశాలతో సంబంధం ఉంది. అంతకు ముందు చర్చించుకున్న మేరు ప్రస్తారం లేదా పాస్కల్ త్రిభుజంలో కూడా ఇది దాగి వుంది. సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) అనే గణిత విశేషానికి కూడా దీంతో సంబంధం ఉంది. అంతే కాదు. ప్రకృతి లయలలోనూ ఎన్నో సందర్భాలలో ఈ ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు దోబూచులాడుతుంటాయి. ఆ ముచ్చట్లన్నీ వచ్చే పోస్ట్ లలో...
(సశేషం)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
ప్రపంచ పౌరుడు ఐనిస్టయిన్
ఐనిస్టయిన్ ప్రతిపాదించిన సాపేక్షతా సిద్ధాంతాన్ని ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించే కార్యాన్ని ఫ్రాన్స్ తలపెట్టింది. ఆ సందర్భంలో సోర్బోన్ విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రసంగిస్తూ, మనుషులు సమయానుకూలంగా ఎలా రంగులు మారుస్తారో వివరిస్తూ పరిహాసంగా ఐనిస్టయిన్ ఇలా అన్నార్ట:
"నా సాపేక్షతా సిద్ధాంతం నిజమని తేలితే జర్మనీ నన్ను జర్మన్ పౌరుడిగా గుర్తిస్తుంది, ఫ్రాన్స్ నన్ను ప్రపంచ పౌరుడు అంటుంది. అదే సిద్ధాంతం తప్పని తేలితే ఫ్రాన్స్ నన్ను జర్మన్ పౌరుడు అంటుంది, జర్మనీ నన్ను యూదుడని ఆడిపోసుకుంటుంది."
ప్రయోగం సాపేక్షతా సిద్ధాంతాన్ని సమర్థించింది. ఐనిస్టయిన్ కి ప్రపంచ పౌరుడన్న గౌరవం లభించింది.
సర్క్యుట్ థియరీ నుంచి ఓ చిన్న సమస్య... కెపాసిటర్లకి సంబంధించినది.
(పీ. హెచ్. డీ. ఇంటర్వ్యూ లకి వచ్చిన అభ్యర్థులని ఇబ్బంది పెట్టడానికి దీన్ని విసురుతూ ఉంటారు మా వాళ్లు:-)
పైన చిత్రంలో రెండు సమాన కెపాసిటర్లు ఉన్నాయి. అంటే వాటి కెపాసిటన్స్ C1 = C2 = C అనుకుందాం. రెండిటినీ కలిపే స్విచ్ ముందు తెరిచి (open) ఉంది. C1 మీద Q విద్యుదావేశం (charge) ఉంది; C2 మీద ఉన్న విద్యుదావేశం సున్నా. ఇప్పుడు స్విచ్ ని వేశాం (close).
1) స్విచ్ ని వేశాక రెండు కెపాసిటర్లలోని విద్యుదావేశం ఎంత? (ఇది చాలా సులభం)
2) పై మార్పు వల్ల శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం (law of conservation of energy) ఉల్లంఘింప బడుతోందా?
10. ఐస్లాండ్ పండితులతో ఆసక్తికర సంవాదాలు
భోజనం సిద్ధమయ్యింది. ప్రొఫెసర్ మామయ్య ఆయన వంతు ఆయన ఆవురావురని తినేశాడు. ప్రయాణంలో పస్తులు ఉండడం చేసి కాబోలు, ఆయన కడుపు చెరువు అయినట్టు పళ్ళెంలో ఉన్నదంతా హాం ఫట్ చేసేశాడు. భోజనంలో పెద్దగా విశేషమేమీ లేదు. కాని మేము ఉంటున్న ఇంటాయన ఆతిథ్యం మహిమ కాబోలు. భోజనం మరింత రుచిగా అనిపించింది. ఈయన చూడబోతే ఐస్లాండ్ దేశస్థుడిలా లేడు. డేనిష్ మనిషిలా ఉన్నాడు. ఆయన అదరానికి మా మొహమాటం మటుమాయం అయిపోయింది.
సంభాషణ అంతా స్థానిక భాషలోనే సాగింది. అయితే నా సౌలభ్యం కోసం అందులో మా మామయ్య కొంచెం జర్మన్ కలిపితే, ఫ్రెడిరిక్సెన్ గారు కొంచెం లాటిన్ రంగరించారు. ఇద్దరు తాత్వికులు కలిస్తే సంభాషణ వైజ్ఞానిక విషయాల మీదకి పోవడం ఓ ఆనవాయితీ. ఒక పక్క ఉత్సాహంగా మాట్లాడుతున్నా, మరో పక్క నోరు జారకుండా మా మామయ్య పడుతున్న తిప్పలు కనిపిస్తూనే ఉన్నాయి. పైగా ప్రతీ వాక్యానికి చివర నాకేసి ’నోరు తెరిస్తే చంపేస్తా’ నన్నట్టు కొరకొరా చూడసాగాడు.
"గ్రంథాలయంలో గాలించిన విషయం దొరికిందా?" అడిగారు ఫ్రెడిరిక్సెన్.
"ఆ గ్రంథాలయమా? అందులో ఏవుందండీ ఖాళీ అలమరల్లో అక్కడక్కడ నాలుగు చింకి పుస్తకాలు తప్ప!" తీసిపారేస్తూ అన్నాడు మామయ్య.
"ఓహ్! మీకు తెలీదనుకుంటాను. మా వద్ద ఎనిమిది వేల పుస్తకాలు ఉన్నాయి. వాటిలో చాలా మటుకు అరుదైన, అమూల్యమైన పుస్తకాలు. ప్రాచీన స్కాండినావియన్ భాషలో రాసిన పుస్తకాలు. ఇవి గాక కోపెన్హాగెన్ నుండి ఏటేటా వచ్చే పుస్తకాలు కూడా ఉన్నాయి."
"అవునా? మరి నాకు కనిపించలేదే? ఇంతకీ మీ పుస్తకాలు ఎక్కడుంటాయి?"
"ఓహ్! అవా? దేశమంతటా ఉంటాయి. ఈ శీతల భూమి మీద మాకు పుస్తక పఠనం ఓ ముఖ్యమైన కాలక్షేపం. ఇక్కడ చదువు రాని రైతుగాని, జాలరి గాని ఉండడు. పుస్తకాలు ఇనుప అలమరల కారాగారంలో మగ్గే కన్నా, పాఠకుల బాహువులలో బందీలుగా ఉండడం మేలని మేం నమ్ముతాం. కనుక ఈ పుస్తకాలు చేతులు మారుతూ, ఊళ్లు మారుతూ, మళ్లీ మళ్లీ చదవబడుతూ ఉంటాయి. అలా ఎన్నో ఊళ్లు చుట్టి చుట్టి, చివరికి ఎన్నో ఏళ్లకి సొంతూరికి తిరిగొస్తాయి."
"మరి ఎవరైనా బయటి వాళ్లు వస్తే..." మామయ్య మెల్లగా తన సందేహాన్ని వెలిబుచ్చాడు.
"విదేశీయులకి ఎక్కువగా ఇళ్లలోనే గ్రంథాలయాలు ఉంటాయి. ముఖ్యంగా పని కోసం ఇక్కడికి వచ్చిన వాళ్లు ఇక్కడి పుస్తకాల ద్వార ఇక్కడి పద్ధతుల గురించి నేర్చుకోవడం చాలా అవసరం. పుస్తకాలంటే అభిమానం మా రక్తం లోనే ఉంది. 1816 లో ఇక్కడ ఓ సాహితీ సదస్సును ప్రారంభించాం. సాహితీ ప్రియులు అందులో సభ్యులు కావడమే ఓ పెద్ద గౌరవంలా భావించేవారు. మా దేశస్థులకి విద్యాబుద్ధులు నేర్పించగల అమూల్యమైన పుస్తకాలు ఆ సదస్సు నుండి ప్రచురితం అయ్యేవి. ఆ పుస్తకాలు మా దేశానికి ఎనలేని సేవ చేస్తాయి. ప్రొఫెసర్ లీడెన్బ్రాక్! మీరు కూడా అందులో సభ్యులైతే మాకెంతో సంతోషంగా ఉంటుంది."
అప్పటికే ఓ నూటికి పైగా ఇలాటి సాహితీ సదస్సులలో సభ్యుడిగా ఉన్న మా మామయ్య ఆ అవకాశానికి ఎగిరి గంతేశాడు. మామయ్య సంతోషం చూసి ఫ్రెడిరిక్సెన్ గారు కూడా అనందం పట్టలేకపోయాడు.
"సరే ఇంతకీ మీరు ఎలాంటి పుస్తకాలు వెతుకుతున్నదీ చెప్పనేలేదు. చెప్పారంటే వాటిని వెతికి పట్టుకోవడంలో నేను కూడా సహాయపడగలను."
మామయ్య నాకేసి ఓ సారి చూశాడు. మా ఇద్దరి కళ్లూ కలుసుకున్నాయి. కొంచెం తటపటాయిస్తూనే అడిగాడు -
"ఫ్రెడిరిక్సెన్ గారూ! మీ ప్రాచీన గ్రంథాలలో ఆర్నే సాక్నుస్సెం రచనలు ఏవైనా వున్నాయా?"
"ఆర్నే సాక్నుస్సేమా? ఆ పదహారవ శతాబ్దానికి చెందిన మహాపండితుడు, ప్రకృతి శాస్త్రవేత్త, రసాయన శాస్త్రవేత్త, పర్యాటకుడు రచనల కోసమా మేరు వెతుకుతున్నది?"
"అవును"
"ఐస్లాండ్ విజ్ఞాన, సాహిత్య చూడామణి కోసమా?"
"అవును. సరిగ్గా ఆయన గురించే నేను చెప్పేది."
"జగద్విఖ్యాతి గాంచిన రచయిత!"
"అవునవును."
"మహాధీమంతుడు, మగధీరుడు!"
"ఆయన గురించి మీకు బాగా తెలిసినట్టుందే!"
తన ఆరాధ్య దైవాన్ని ఫ్రెడిరిక్సెన్ గారు అలా తెగ పొగిడేస్తుంటే మామయ్య సంతోషం పట్టలేకపోయాడు.
"మరి ఇంతకీ ఆయన పుస్తకాలు ఎక్కడున్నాయి!" ఇక ఆగలేక అడిగేశాడు మామయ్య.
"ఆయన పుస్తకాలు మాత్రం మా వద్ద లేవు."
"ఏంటీ? ఐస్లాండ్ లో లేవా?"
"ఐస్లాండ్ లోనే కాదు. మరెక్కడా లేవు."
"అదెలా జరిగింది?"
"ఆర్నే సాక్నుస్సెం మీద మత విరోధి అన్న ముద్ర పడింది. 1573 లో ఆయన పుస్తకాలు ఓ ఉరితీసేవాడి చేతిలో తగులబడిపోయాయి."
"ఓ అదన్నమాట! అద్భుతం!" రంకెలు వేశాడు మామయ్య.
(సశేషం...)
ఆలస్యంగా స్పందిస్తున్నందుకు క్షమించాలి. ఊరెళ్లి ఇప్పుడే తిరిగొచ్చాను. రాగానే కిందటి పోస్ట్ మీద ఆసక్తికరమైన వ్యాఖ్యలు చూశాను.చాలా సవివరమైన స్పందన అవసరం అనిపించి ఇలా ప్రత్యేక పోస్ట్ గా రాస్తున్నాను.
మలక్ గారు చెప్పిన విషయాల్లో చాలా మటుకు నిజమే. కాని ఏది ఎప్పుడు, ఏ సందర్భంలో జరుగుతుందో వివరించాలంటే వాదనలో మరి కొంచెం నిర్దుష్టత (rigor) చొప్పించాలి. వరుసగా పాయింట్లు గమనిద్దాం:
1. నా వ్యాఖ్యలో: "భూమికి బంతికి మధ్య friction బట్టి, బంతి angular velocity తగ్గొచ్చు, లేదా పూర్తిగా వ్యతిరేక దిశలో కూడా తిరగడం మొదలెట్టొచ్చు. " అని ఉంది.మలక్ గారి వ్యాఖ్యలో: "స్పిన్ దిశకి వ్యతిరేక దిశలో తిరగడం సాధారణంగా జరగదు (స్పిన్ అవుతూ నేలతో పాటు, వేరే వస్తువునో, లేక గోడనో పక్కనుండీ తాకితే తప్ప). " అని ఉంది.
రెండూ వ్యతిరేక వ్యాఖ్యల్లా కనిపిస్తాయి. కాని రెండూ నిజమే. దానికి వివరణ.వివరణ: నా వ్యాఖ్య ఒక సామాన్య వ్యాఖ్య. కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాల్లో స్పిన్ తిరగబడొచ్చు కూడా అన్నాను. మలక్ గారి వ్యాఖ్య క్రికెట్ బంతికి, మామూలు నేలకి వర్తిస్తుంది. అంటే నేను చెప్పిన సందర్భం క్రికెట్ బంతి కి వర్తించదు.
బంతి ఒక ఉపరితలం మీద పడి పైకి "బౌన్స్" అయినప్పుడు దాని వేగంలోని మార్పుని రెండు గుణకాలు (coefficients of restitution, COR) శాసిస్తాయి. ఒకటి ఉపరితలానికి సమాంతరంగా (tangential) గా పని చేసేది (e_x), మరొకటి ఉపరితలానికి లంబంగా (normal) గా పని చేసేది (e_y).బంతి నిలువుగా పైనుండి కింద పడుతోంది కనుకుందాం. బంతి యొక్క e_x విలువ 0.4 కన్నా ఎక్కువ అయితే బంతి యొక్క స్పిన్ తగ్గడమే కాకుండా, దాని దిశ వ్యతిరేకం కూడా కాగలదు. అంత ఎక్కువ COR_x "సూపర్ బాల్" కి ఉంటుంది. ఈ సూపర్ బాల్ అంటే పిల్లలు ఆడుకునే, బాగా బౌన్స్ అయ్యే ఓ ప్రత్యేక రబ్బర్ బంతి (http://en.wikipedia.org/wiki/Bouncy_ball). మామూలు క్రికెట్ బంతికి అంత COR_x ఉండదు.ఈ విషయం ఈ కింది పేపర్ లో స్పష్టీకరించబడింది.
"If a spinning ball is incident at right angles on a surface, then an increase in ex acts to decrease the forward spin, to the extent that the spin direction is reversed by the bounce when ex is greater than about 0.4 as it is for a superball." (pg 915)
R. Cross, "Bouncing of a spinning ball near normal incidence," American Journal of Physics. 73, 10, October 2005,
దీన్ని ప్రయోగం చేసి చూద్దామని మా దగ్గర్లో ఉన్న స్టేషనరీ షాప్ కి వెళ్లాను సూపర్ బాల్ ఉంటే కొందామని. కాని దొరకలేదు. మీరు గాని యూ.ఎస్. లో ఉన్నట్లయితే ఏ "టాయ్స్ ఆరస్" లోనో ప్రయత్నించి చూడండి. ఈ చిన్న ప్రయోగం చేసి చూడచ్చు:బంతిని స్పిన్ చేసి నేరుగా కింద పడేసి, బంతి పైకి వస్తున్నప్పుడు ఆ స్పిన్ ఏమవుతుందో చూడండి.
2. మలక్ గారి వ్యాఖ్యలో: "కానీ ఒక్క సారిగా భూమిని తాకిన తరువాత - భూమిని ఎక్కడ తాకిందో ఆ బిందువు (రెస్ట్ కి వచ్చేసిన బిందువు) గుండా ఏక్సిస్ ఆఫ్ రొటేషన్ పోతుంది." అని ఉంది.కాని ఇది అన్ని సందర్భాలలోనూ నిజం కాదు. భూమికి, బంతికి మధ్య తగినంత రాపిడి (friction) ఉంటే గాని బంతిలో భూమిని తాకిన బిందువు నిశ్చల స్థితికి రాదు. రాపిడి తక్కువ ఉంటే బంతి జారిపోతుంది (slippage అంటారు దీన్నే).
3. దూస్రా గురించి మలక్ గారు చెప్పిన విషయం ఆసక్తి కరంగా ఉంది.
4. మలక్ గారు ప్రస్తావిస్తున్నది అమెరికన్ ఫుట్బాల్ అని నాకు అర్థమయ్యింది. కాని అందులో angular momentum conservation సంగతే అర్థం కాలేదు.5. ఆ విషయాన్ని పక్కన పెడితే గోళాకార ఫుట్బాల్ (అమెరికనేతరులు ఆడేది:) లో మాగ్నస్ ప్రభావం ఎంత బలంగా ఉంటుందో చూడాలంటే ఈ కింది వీడియో చూడండి.http://www.youtube.com/watch?v=gL5Rllv7yVs&feature=related5 min 41 sec పొడవు ఉన్న ఈ వీడియోలో 1:13 నుంచి 1:24 వరకు చూడండి. అందులో బంతిలోని స్పిన్ వల్ల గాల్లో బంతి ఎంత నాటకీయంగా దిశ మారేదీ కనిపిస్తుంది.
6. ఇక కోడిగుడ్డు ఆకారంలో ఉండే అమెరికన్ ఫుట్బాల్ లో ఏరోడైనమిక్స్ సంగతి.క్వార్టర్ బాక్ బంతిని పాస్ చేస్తున్నప్పుడు అది వీలైనంత దూరంగా, కచ్చితంగా, మధ్యలో దాన్ని ఎవరూ అటకాయించకుండా (intetcept) చెయ్యకుండా, విసరడానికి ప్రయత్నిస్తాడు. అలా విసిరేటప్పుడు దానికి స్పిన్ ఇచ్చి విసురుతాడు. ఆ స్పిన్ దిశ బంతి గమనదిశలోనే ఉంటుంది. ఆ స్పిన్ వల్ల బంతి యొక్క orientation (దాని "ముక్కు" సూచిస్తున్న దిశ) స్థిరం (stabillize) అవుతుంది. (దీనికి చిన్న ఉదాహరణ బొంగరం. బొంగరాన్ని ఊరికే నేల మీద నించోబెడితే పడిపోతుంది. అదే స్పిన్ ఇచ్చి నించోబెడితే చిన్నగా precession అవుతూ స్థిరంగా నిలుస్తుంది.) కనుక స్పిన్ ఇచ్చిన ఫుట్బాల్ "ముక్కు దిశ" , మరియు దాని గమన దిశ ఒక్కటే అవుతాయి. ఆ కారణం చేత దాని "ముక్కు" గాల్లోంచి కోసుకుంటూ ముందుకు దూసుకుపోగలుగుతుంది. Drag తక్కువ అవుతుంది. మరింత ఎక్కువ దూరంలో పడుతుంది.
క్షిపణుల (missiles) విషయంలో కూడా ఇదే జరుగుతుంది. వాటి స్పిన్ వల్ల అవి స్థిరత్వాన్ని పొందుతాయి. కొన్ని రకాల తుపాకుల లో కూడా ఈ ప్రభావాన్ని వాడడం జరుగుతుంది. ఆ తుపాకుల బారెల్ లో వలయాలు తిరిగే గాడి (grove) ఉంటుంది. ఆ గాడిని రాసుకుంటూ కదిలే బులెట్ స్పిన్ అవుతుంది. స్పిన్ అవుతూ గాల్లో కదులుతున్న బులెట్ గాలి నిరోధకతని మరింత సులభంగా ఎదుర్కోగలుగుతుంది.( http://www.faqs.org/sports-science/Fo-Ha/Football-Passing-Aerodynamics.html)
మొత్తం మోద ఈ బ్లాగ్ మొదలుపెట్టిన దగ్గర్నుంచి ఇంత వివరమైన శాస్త్ర చర్చ జరగడం ఇదే మొదటి సారి అనుకుంటా. ఇంగ్లీష్ లో ఉండే సైన్స్ బ్లాగ్ లలో మంచి చర్చలని చూసినప్పుడు కుళ్లుకునే వాణ్ణి. ఇప్పుడిక మానేస్తాను:-) ఇంత మంచి చర్చని ఆరంభించిన మలక్ గార్కి కృతజ్ఞతలు.
నాకైతే సరవణభవన్ లో వేడివేడి ’పొంగల్, వడ’ తిన్నంత సంతోషంగా ఉంది!!!
ఆటగాడి మహిమా - మాగ్నస్ ప్రభావమా?
గాల్లోకి ఒక వస్తువుని విసిరినప్పుడు పైకి ఎగిరి, ఒక గరిష్ఠ ఎత్తుని చేరి ఆ తరువాత కొంత దూరంలో కింద పడుతుందని మన సామాన్య అనుభవం చెప్తుంది. అలాంటి వస్తువు యొక్క గమన రేఖ పారాబోలా ఆకారంలో ఉంటుందని చిన్నప్పుడు భౌతిక శాస్త్రంలో చదువుకుని వుంటాం.
అయితే ఆ బంతి యొక్క గమన రేఖ పూర్తిగా నిలువుగా ఉన్న ఒక సమతలానికి పరిమితమై ఉంటుంది.
కాని ఆ వస్తువు, దాని చుట్టూ అది, ఒక అక్షం మీద గిర్రున తిరుగుతుంటే, దాని గమనం కొంచెం విచిత్రంగా ఉంటుంది. గిర్రున తిరుగుతూ గాల్లో ముందుకి దూసుకుపోయే బంతి మీద, చుట్టూ ఉన్న గాలి వత్తిడి చేస్తుంది. ఆ వత్తిడి వల్ల బంతి దాని దారి నుండి పక్కకి జరుగుతూ, ఒక విచిత్రమైన గమనరేఖని అనుసరిస్తుంది. ఈ ప్రభావాన్నే మాగ్నస్ ప్రభావం అంటారు.
దీన్ని 1852 లో హైన్రిక్ మాగ్నస్ అనే వ్యక్తి వర్ణించాడు. కాని అంతకు ముందే 1672 లో ఐసాక్ న్యూటన్ దీన్ని గుర్తించాడు. కేంబ్ర్రిడ్జ్ లో పనిచేసే రోజుల్లో టెనిస్ ఆటని గమనిస్తూ బంతి కదిలే తీరుని చూసి ఈ సత్యాన్ని గుర్తించాడు న్యూటన్. అలాగే 1742 లో బ్రిటన్ కి చెందిన బెంజమిన్ రాబిన్స్ అనే తుపాకీ ఇంజినీరు, గాల్లో తూటాలు కదిలే గతుల మీద ఈ మాగ్నస్ ప్రభావాన్ని గమనించాడు.
మాగ్నస్ ప్రభావం గాల్లోనే కాదు. వస్తువు ఏ ద్రవంలో గిర్రున తిరుగుతు ముందుకి కదిలినా ఈ ప్రభావం కనిపిస్తుంది.
ఒక ప్రవాహంలో గిర్రున తిరుగుతున్న వస్తువు చుట్టూ దాన్ని అంటుకున్న ద్రవం ఓ సరిహద్దు పొర (boundary layer) లా ఏర్పడుతుంది. 
వస్తువు ప్రవాహంలో V వేగంతో కదులుతున్నప్పుడు, దానికి ఒక పక్క ద్రవం V కన్నా కొంచెం ఎక్కువ వేగం తోను, అవతలి పక్క ద్రవం V కన్నా కొంచెం తక్కువ వేగంతోను కదులుతుంది. ఉదాహరణకి పైన చిత్రంలో ద్రవం కుడి నుండి ఎడమ పక్కకి ప్రవహిస్తోంది. (లేదా నిశ్చలంగా ఉన్న ద్రవంలో వస్తువు ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతోందని ఊహించుకోవచ్చు). వస్తువు అపసవ్య (anticlockwise) దిశలో తిరుగుతోంది. పరిభ్రమించే వస్తువు యొక్క పై భాగం ప్రవాహానికి వ్యతిరేక దిశలో కదులుతొంది. కనుక అక్కడ ప్రవాహం వేగం V కన్నా కొంచెం తక్కువ ఉంటుంది. వస్తువుకి కింది భాగం ప్రావాహం దిశలోనే కదులుతోంది కనుక అక్కడ ప్రవాహ వేగం V కన్నా కొంచెం ఎక్కువ ఉంటుంది.
బెర్నూలీ సూత్రం ప్రకారం ప్రవాహం వేగం ఎక్కువ ఉన్న చోట పీడనం తక్కువ ఉంటుంది. కనుక వస్తువు కింది భాగంలో పై భాగం కన్నా పీడనం తక్కువ ఉంటుంది. పైన పీడనం ఎక్కువ కావడంతో వస్తువు కిందికి నొక్కబడుతుంది.
అదే వస్తువు సవ్య దిశలో తిరుగుతూ ఉన్నట్లయితే కింద భాగంలో పీడనం ఎక్కువై వస్తువు పైకెత్త బడుతుంది.
మాగ్నస్ ప్రభావంలో, ఓ గోళాకార వస్తువు మీద పని చేసే బలం (force, F) యొక్క విలువని ఈ సూత్రం నుండి తెలుసుకోవచ్చు:
F = 1/2 * rho*omega* r * V* A*l
rho - గాలి (లేదా ద్రవ) సాంద్రత
omega - వస్తువు తిరిగే కోణీయ వేగం (angular velocity)
r - వస్తువు యొక్క వ్యాసార్థం
V - వస్తువు యొక్క వేగం
A - వస్తువు యొక్క పరిచ్ఛేదం యొక్క వైశాల్యం (దాని గమన దిశలో)
l - ఉద్ధారణా గుణకం (lift coefficient)
ఆటల్లో మాగ్నస్ ప్రభావం
బంతాటల్లో కదిలే బంతి మీద ఈ మాగ్నస్ ప్రభావం తరచు కనిపిస్తూ ఉంటుంది.
క్రికెట్ ఆటలో బౌలర్ బంతిని స్పిన్ చేసినప్పుడు కూడా, బంతి మీద మాగ్నస్ ప్రభావం కొంత ఉంటుంది. అయితే క్రికెట్ బంతి మీద మాగ్నస్ ప్రభావం కొంచెం బలహీనంగా ఉంటుంది. బంతి స్పిన్ కావడానికి కారణం అది గిర్రున తిరుగుతూ కింద పడుతున్నప్పుడు, కదిలే దాని ఉపరితలం భూమిని ఒక దిశలో తంతుంది. దానికి ప్రతిచర్యగా భూమి కూడా బంతిని ’తన్ని’దాని గమన దిశని మారుస్తుంది. అలా కింద పడి పైకి లేస్తున్న బంతి హఠాత్తుగా దిశ తిరగడం చూసి బాట్స్ మన్ తల తిరిగిపోతుంది!
కాని క్రికెట్ బంతి కన్నా, ఫుట్బాల్ పరిమాణం ఎక్కువ కనుక మాగ్నస్ ప్రభావం మరింత బలంగా ఉంటుంది. పెద్ద వస్తువుల మీద మాగ్నస్ ప్రభావం మరింత హెచ్చుగా ఉంటుందని పైన సూత్రం బట్టి అర్థమవుతుంది.
టీటీ బంతి చిన్నదైనా దాని మీద కూడా మాగ్నస్ ప్రభావం గణనీయంగా ఉంటుంది. టీటీ రాకెట్ ల మీద రబ్బరు తొడుగు ఉంటుంది. దాని వల్ల బంతి మీద మంచి పట్టు దొరుకుతుంది. అందుకని ఆటగాడు ఒడుపుగా బంతిని కొడితే, బంతి బాగా గిర్రున తిరుగుతుంది - అంటే పై సూత్రంలో కోణీయ వేగం (omega) హెచ్చు అవుతుంది. కనుక మాగ్నస్ ప్రభావం యొక్క బలం హెచ్చవుతుంది. బంతి గమన దిశ గణనీయంగా మారుతుంది.
పైగా టీటీ బంతి తేలిగ్గా ఉంటుంది కనుక ఈ ప్రభావం మరింత ప్రస్ఫుటంగా కనిపిస్తుంది.
Reference:
http://wapedia.mobi/en/Magnus_effect
(ఇక్కడ అల్ గోర్ వ్యక్తిగత జీవన కథనం కొంచెం ఉంటుంది. ఒక ప్రమాదంలో అకాలంగా గోర్ తన కుమారుణ్ణి కోల్పోతాడు. దాంతో..)
నా ప్రపంచం తలక్రిందులయ్యింది.
అంతా శూన్యంగా అనిపించింది.
నా జీవితమంతా పూర్తిగా మారిపోయింది.
ఇక ఈ భూమి మీద జీవితం ఎలా గడపాలి?
ఎంతో ఆలోచించాను.
చాలా లోతుగా ఆలోచించాను.
అంటార్కిటికా వెళ్లాను.
దక్షిణ ధృవానికి, ఉత్తర ధృవానికి, అమేజాన్ కి వెళ్ళాను.
ముందు అంతగా అర్థం కాని విషయాన్ని
శాస్త్రవేత్తల నుండీ నేర్చుకోడానికి
ఎన్నో ప్రాంతాలు తిరిగాను.
నాకెంతో విలువైన విషయం నా చేజారిపోతుందేమో నన్న ఆలోచన.
అంతకు ముందు లేని ఓ కొత్త శక్తి,
నాలో ప్రవేశించింది.
కాని ఒక్కసారి అనిపించాక,
దాన్ని పోగొట్టుకుంటామేమో అని అనిపించాక
ఇప్పుడు మనకి సొంతం అయ్యింది
రేపు మన పిల్లలకి దక్కదేమో నని భయం వేసింది.
వాతావరణ ఉష్ణోగ్రతకి చెందిన కొలతలివి
సివిల్ వార్ నాటి నుండి తీసుకున్నవి.
ఒక్క ఏడాదిలో చూస్తే తగ్గుతున్నట్టు కనిపించొచ్చు
కాని మొత్తం మీద ఒరవడి చాలా స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది.
ఇటీవలి కాలంలో ఆ ఒరవడి మరింత తీవ్రతరం అవుతోంది.
ఈ మొత్తం వాతావరణ రికార్డులో అత్యధిక ఉష్ణోగ్రత నమోదు అయిన
పది సంవత్సరాలని తీసుకుంటే
అవన్నీ ఈ గత 14 ఏళ్లలోనే వచ్చాయి.
అత్యధిక ఉష్ణోగ్రత 2005 లో నమోదు అయ్యింది.
ఎండ కెరటాల (heat waves) గురించి తరచు వింటున్నాం
ఇలాంటివి ఇంకా పరిపాటిగా వస్తాయని శాస్త్రవేత్తలు అంటున్నారు.
కొన్నేళ్ళ క్రితం యూరప్ లో ఓ పెద్ద ఎండ కెరటం వచ్చింది.
అది 35,000 మంది ప్రాణాలు తీసుకుంది.
జనం దృష్టి అప్పటికి ఇండియా మీద పళ్ళేదు.
కాని అదే ఏడాది అక్కడి ఉష్ణోగ్రత 122 డిగ్రీల ఫారిన్హీట్ ని చేరుకుంది.
గత వేసవిలో పశ్చిమ అమెరికాలో ఎన్నో నగరాలలో అధిక ఉష్ణోగ్రతల విషయంలో
రికార్డులు బద్దలయాయి.
ఎన్నో సందర్భాలలో వరుసగా కొన్ని రోజులపాటు ఉష్ణోగ్రత 100 డిగ్రీలు దాటింది.
పశ్చిమంలో రెండు వందల నగరాలు, ఊళ్లు పాత రికార్డులన్నీ భేదించాయి.
తూర్పులో కూడా ఎన్నో నగరాలలో అదే జరిగింది.
న్యూ ఆర్లియన్స్ లో కూడా అదే జరిగింది.
కనుక ప్రపంచం అంతటా ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతోంది.
సముద్రాలలో కూడా...
సముద్రాల ఉష్ణోగ్రతలోని మారుదలకి ఓ సహజ విస్తృతి ఉంది
అందుకని "అదంతా ఎప్పుడూ ఉండేదేలే!" అంటారేమో.
"కిందకీ మీదకీ పోతుంటుంది. అదేం పట్టించుకోకండి" అంటారేమో.
గత 60 ఏళ్లలో ఆశించిన మారుదల ఇలా ఉంటుంది.
కాని ధరాతాపనంలో నిపుణులైన శాస్త్రవేత్తలు
కొందరు కంప్యూటర్ నమూనాలని ఉపయోగించి
ఉష్ణోగ్రత ఇంతలా పెరుగుతుందని ఎప్పుడో చెప్పారు.
ఇప్పుడు నేను చూపించేది ఇటీవలే విడుదలైన
సముద్ర ఉష్ణోగ్రతా వివరాలు. సముద్రాలు వేడెక్కితే దాని వల్ల
మరింత తీవ్రమైన తుఫానులు వస్తాయి.
గత కొన్నేళ్ళలో ఎన్నో పెద్ద హరికేన్లు చూశాం మనం.
వాటిలో హరికేన్ జీనీ, ఫ్రాన్సిస్, ఇవాన్ లు కూడా ఉన్నాయి.
అదే సంవత్సరం వరుసగా ఎన్నో పెద్ద హరికేన్లు వచ్చాయి.
టోర్నాడోల విషయంలో కూడా అమెరికాలో
రికార్డులు బద్దలయ్యాయి.
మన వార్తా పత్రికల్లో జపాన్ ప్రస్తావన అంతగా రాలేదు.
కాని టైఫూన్ లలో వాళ్ళు కూడా గత రికార్డులు బద్దలు కొట్టారు.
గత రికార్డు ఏడు అయితే 2004 లో వచ్చిన పదింటి సమాచారం చూడండి.
సైన్సు పుస్తకాలన్నీ తిరగరాయాలి ఎందుకంటే వాటిలో దక్షిణ అట్లాంటిక్ సముద్రంలో హరికేన్లు రావు, రాలేవని ఉంటుంది.
కాని అదే సంవత్సరం బ్రెజిల్ మీద మొట్టమొదటిది దెబ్బ కొట్టింది.
2005 లోని వేసవి గురించి పుస్తకాలు పుస్తకాలుగా రాసుకోవచ్చు.
మొదటిది యుకటాన్ ని భీభత్సం చేసిన ఎమిలీ.
తరువాత హరికేన్ డెనిస్ వచ్చి చాలా విధ్వంసం చేసింది.
పెట్రోల్ పరిశ్రమ దెబ్బ తింది.
ప్రపంచంలో అతి పెద్ద ఆయిల్ ప్లాట్ఫార్మ్ డెనిస్ దెబ్బకి ఎలా అయ్యిందో చూడండి (చిత్రం).
ఆ తరువాత కట్రినా వచ్చింది.
అది ఫ్లోరిడా మీదకి వచ్చినప్పుడు ఒకటవ స్థాయి హరికేన్ అన్నది గుర్తుంచుకోవాలి.
అందులో ఎంతో మంది ప్రాణాలు కోల్పోయారు.
బిలియన్ల డాలర్ల నష్టం జరిగింది.
అప్పుడేం జరిగింది?
న్యూ ఆర్లియన్స్ మీదకి రాకముందు అది వెచ్చని జలాల మీదుగా వెళ్లింది
నీటి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతున్న కొలది, గాలి వేగం పెరుగుంది.
దాంతో తేమ కూడా పెరుగుతుంది.
ఆ విధంగా ఫ్లోరిడా మీద హరికేన్ కట్రీనా ఏర్పడింది.
అలా వెచ్చని జలాల మీదుగా గల్ఫ మీదకు వచ్చినప్పుడు
శక్తి పుంజుకుని ఇంకా ఇంకా బలవత్తరమవుతుంది.
ఆ హరికేన్ కంటిని చూడండి. (చిత్రం)
పర్యవసానాలు దారుణంగా ఉన్నాయని వేరే చెప్పనక్కర్లేదు.
వర్ణించడానికి మాటల్లేవు.
వార్తలు వింటుంటే గుండె తరుక్కుపోతుంది.
"నేలమాళిగాలో దాక్కున్నాను. ఇంకీ బాధ భరించలేను," అన్నారు కొందరు.
"పీకల్దాకా నీరు. ఇక నా వల్లకాదు."
ఇక్కడ మనం మాట్లాడుకుంటుంటే అవన్నీ జరుగుతున్నాయక్కడ.
17 వీధి కాలువ సమస్య యొక్క ప్రాముఖ్యత
గురించి అందరికీ తెలియజేశాం.
"దీని సంగతి కొంచెం చూడండి" అని అర్థించాం.
"ఏం చేస్తారో మాకు తెలీదు. ఎలాగైనా దీన్ని
పరిష్కరించండి," అన్నాం.
ఇది అమెరికాకి కొత్త సమస్య.
కాని అసలు అలాంటిది ఇక్కడ ఎలా సాధ్యం?
హరికేన్లు ఇంకా ఇంకా ఉధృతం అవుతాయని హెచ్చరికలు వచ్చాయి.
ఈ హరికేన్ వచ్చిందంటే కట్టలకి గండి పడుతుందని అది రావడానికి కొన్ని రోజుల ముందే
హెచ్చరికలు వచ్చాయి.
బోలెడంత విధ్వంసం జరుగుతుంది అన్నారు.
అలాగే జరిగింది.
ప్రపంచంలో మేటి శాస్త్రవేత్తలంతా చెప్తున్నప్పుడు
ఒక దేశపు ప్రజగా మనమంతా ఎలా స్పందిస్తామన్నది
మనమే నిర్ణయించుకోవాలి.
(సశేషం...)
ఇక్కడ మనకో సందేశం వినిపిస్తోంది.
ఓ విశ్వవ్యాప్తమైన సందేశం.
ఈ కరిగే మంచు మనకెన్నో కథలు చెప్తోంది.
నా స్నేహితురాలు లానీ థాంసన్ మంచు గడ్డలని తవ్వుతుంది.
లోతుగా తవ్వి తవ్విన మంచుగడ్డలని పైకి తెచ్చి
చూసి వాటిని పరీక్షిస్తారు.
మంచు పడినప్పుడు అందులో వాతావరణం చిన్న బుడగలుగా చిక్కుకుంటుంది.
వాటిని కోసి, కొలిచి ఆ మంచు పడ్డ ఏట వాతావరణంలో CO2 ఎంతుందో
కొలవచ్చు.
అంతకన్నా ఆసక్తికరమైన విషయం ఏంటంటే ఆక్సిజన్ యొక్క వివిధ ఐసోటోప్ లని
కూడా కొలవచ్చు. అదో కచ్చితమైన ధర్మామీటర్ లా పని చేస్తుంది.
మంచు పడ్డ ఏడాది ఉష్ణోగ్రత ఎంతో చెప్తుంది.
నేను అంటార్కిటికా కి వెళ్లినప్పుడు
ఇలాంటి మంచు తునకలని ఎన్నో చూశాను.
దాన్ని ఒకాయన చూసి "యుఎస్ కాంగ్రెస్ క్లీన్ ఎయిర్ బిల్లు పాస్ చేసింది సరిగ్గా ఇక్కడే" అన్నాడు.
నేను నమ్మలేకపోయాను. కాని తేడా స్పష్టంగా కంటికి కనిపిస్తుంది. ఆ బిల్లు అమలు జరిగిన కొన్నేళ్ళలోనే
తేడా స్పష్టంగా కనిపించింది.
ఏటేటా తేడాలు కొలుస్తూ పోవచ్చు. చెట్టు వలయాలు చూసి చెట్టు వయసు చెప్పటం లాంటిదే ఇదీను.
ప్రతీ ఏడు కరిగి మళ్లీ గడ్డ కట్టిన పొరని చూడొచ్చు.
పర్వత హిమానీనదాలలో ఈ విధంగా వెయ్యేళ్లు గతంలోకి తొంగి చూడొచ్చు.
దాన్ని ఉష్ణోగ్రత కొలిచే థర్మామీటర్ లా వాడుకోవచ్చు.
నీలం అంటే చల్లదనం, ఎరుపు అంటే వేడి.
దీన్ని చూపించడానికి రెండు కారణాలు.
మొదటిది - నమ్మకం లేని వాళ్లు కొన్నిసార్లు అంటూంటారు
"ఆ(! ఇదంతా చక్రికంగా జరిగే వ్యవహారమేలే"
మధ్య యుగంలో కూడా ఒక దశలో ఉష్ణోగ్రత పెరిగింది.
అవును నిజమే. అదుగో అది ఇక్కడ కనిపిస్తుంది.
అలాగే మరి రెండు.
కాని ప్రస్తుతం జరుగుతున్న దాంతో పోల్చితే
అసలు పోలికే లేదు.
వెయ్యేళ్లు గతంలో ఉష్ణోగ్రతలని పరిశీలిస్తే,
అలాగే వెయ్యేళ్లు గతంలో CO2 ని పరిశీలిస్తే
రెండూ ఎంత చక్కగా సరిపోతాయో చూడండి.
(గత నాలుగు లక్షల ఏళ్ల కాలంలో CO2, ఉష్ణోగ్రత కలిసి ఎలా మారుతున్నాయో ఈ గ్రాఫ్ లో చూడొచ్చు)
http://www.daviesand.com/Choices/Precautionary_Planning/New_Data/
ఇప్పుడు పర్వత హిమానీనదాల్లో వెయ్యేళ్ళ CO2 ని చూద్దాం.
దీన్ని అలా ఉంచితే అంటార్కిటికా లో గతంలో 650,000 ఏళ్ల వరకు కూడా పోవచ్చు.
మరో విశేషం ఏంటంటే వైజ్ఞానిక సమాజానికి బయట ఈ చిత్రాన్ని ప్రదర్శించడం ఇదే మొదటిసారి.
ఇది వర్తమానం, అది క్రిందటి హిమయుగం. గతంలోకి తొంగి చూద్దాం.
రెండు హిమయుగాల మధ్య వచ్చిన తాపయుగం అది.
అది రెండో హిమయుగం. అదుగో మూడో హిమ యుగం.
నాలుగోది, ఐదవది, ఆరవది. అదుగో ఏడవది.
ఇప్పుడో ముఖ్య విషయం చెప్పుకోవాలి.
ఇంత కాలంలోను అంటే 650,000 ఏళ్ళలోను CO2 స్థాయి ఎప్పుడూ మిలియన్లో 300 భాగాలు మించలేదు.
ఇప్పుడు ఉష్ణోగ్రత కూడా కొలుస్తున్నారని ఇందాక చెప్పాను.
మన భూమి మీద ఉష్ణోగ్రత అలా ఉండేది.
ఇక్కడ కొట్టొచ్చినట్టు కనిపించే విషయం ఒకటుంది.
దాన్ని ఇలా చెప్తాను.
ఇప్పుడు మా ఆరోక్లాసు క్లాస్ మేటు ఆఫ్రికా, దక్షిణ అమెరికా తీరాల గురించి మాట్లాడిన వాడు
వచ్చి "అవి అసలు ఎప్పుడైనా కలిసి ఉండేవా?" అనడిగినప్పుడు
మా టీచరు "ఇంతకన్నా వెర్రి ఆలోచన నేనెక్కడా విన్లేదు"
అన్నాడనుకోండి. కాని మరి నిజంగానే అవి కలిసి ఉండేవి.
అయితే వాటి మధ్య సంబంధం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది.
కాని అంత కన్నా ప్రగాఢమైన సంబంధం ఒకటుంది.
మిగతా అన్నిటికన్నా లోతైన సంబంధం.
CO2 పెరుగిన ప్రతీ సారి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతుంది.
ఎందుకంటే CO2 సూర్యతాపాన్ని బంధిస్తుంది.
అమెరికా దేశంలో ఆధునిక మహానగరాలు ఉన్న ప్రాంతాల్లో క్లీవ్లాండ్, డెట్రాయిట్, న్యూ యార్క్ మొదలైన ఉత్తర ప్రాంతపు ఊళ్లలో
ప్రశాంత వాతావరణం ఉన్న రోజుకి నెత్తిన మైలు మందంలో మంచు ఉండడానికి మధ్య తేడా ఉంది.
ఈ కింది విషయాన్ని గమనిస్తున్నప్పుడు అది గుర్తుంచుకోండి.
కార్బన్ డయాక్సయిడ్ మిలియన్ లో 300 భాగాలు ఎప్పుడూ దాటకపోగా
ప్రస్తుతం దాని విలువ ఇక్కడ ఉంది. గత విలువల కన్నా చాలా చాలా ఎక్కువ.
సమాచారం ఉన్నంత వరకు మనకి ఇదే కనిపిస్తోంది
ఒక్కసారి ఈ విషయం ఎంత ముఖ్యమైనదో చెప్తాను.
ఇక్కడి సిబ్బంది ఈ పరికరం ఎలా వాడాలో
ఇందాక నేర్పించారు.
నేను ఏ అఘాయిత్యమూ చెయ్యకపోతే...
(చిత్రంలో ఈ సన్నివేశంలో తెర మీద గ్రాఫు ’వర్తమానం’లో చాలా పైకి పోతుంది. అంత పైనున్న విలువలని చూపించడానికి ఒక చిన్న ’లిఫ్ట్’ లాంటి పరికరాన్ని వాడతాడు గోర్. దాని గురించే ఇక్కడ ప్రస్తావిస్తున్నాడు. - అనువాదకుడు).
ఇదుగో ఇక్కడ ఉంది.
ప్రకృతి సహజమైన లయకి ఇది ఎంత ఎత్తున ఉందో చూడండి.
దానికి కారణం మనం.
సోదర సోదరీ మణులారా,
వచ్చే 50 ఏళ్లలో నిజానికి 50 ఏళ్ళ లోపే అది ఇంకా పైకి పోతుంది.
ఇక్కడున్న పిల్లల్లో కొందరు నా వయసుకి వచ్చినప్పుడు 50 ఏళ్ల లోపు అది ఎక్కడికి వస్తుందో చూడండి.
చార్టు నుండి బయటకి పొడుచుకొచ్చే గ్రాఫులంటే సరిగ్గా ఇవే.
50 ఏళ్లలో అక్కడికి చేరుకుంటుంది.
ఈ పరిశీలనలో భాగం అయిన ఏ సంఖ్యలో గాని, తేదీలో గాని ఏ విధమైన వివాదమూ లేదు.
నమ్మకం లేని వాళ్లు ఇవన్నీ చూసి "ఇప్పుడు కొంపలేం అంటుకుపోయాయ్?" అంటారు.
"ఇప్పుడేం కొంపలు అంటుకుపోయాయని?"
సరే అయితే మళ్లీ ఉష్ణోగ్రత పక్కకి వస్తే
చల్ల దనం వైపు ఇక్కడికి వచ్చినప్పుడు నెత్తి మీద మైలు ఎత్తు మంచు ఉంటే
తాపం వైపు అంత పెరిగినప్పుడు ఎలా ఉంటుందో?
చివరికి చూస్తే ఇది రాజకీయ సమస్య కాదు.
నైతిక సమస్య కూడా కాదు.
కాని ఈ సమాచారాన్ని అలా వక్రపరిస్తే మాత్రం అది ఘోరమైన పాపమే అవుతుంది.
మన ప్రజాస్వామ్య పద్ధతి అంటే, స్వయంపాలన అంటే , నాకు గొప్ప గౌరవం.
గట్టి నమ్మకం ఉండేది
ఈ విషయం వినగానే కాంగ్రెస్ స్పందించి సమూలమైన మార్పులు వచ్చేలా
గట్టి చర్యలు తీసుకుంటుంది అనుకునేవాణ్ణి.
వాళ్ళు కూడా నాలాగే అదిరిపోతారనుకున్నాను. కాని అలా జరగలేదు.
అవి విజయాలు కాని విజయాలు
పరాజయాలు కాని పరాజయాలు.
ఆ చిన్న మొదటి మెట్టు యొక్క ప్రాముఖ్యతని పెంచటానికి పనికొచ్చాయి.
ఓ ఘోర పరాజయం యొక్క ప్రాముఖ్యతని ప్రస్ఫుటం చేశాయి.
(సశేషం...)
కాని నాలో ఓ ప్రశ్న మిగిలిపోయింది.
ప్రతి ఏటా అది (CO2) ఒకసారి పైకి కిందకి ఎందుకు పోతుంది?
దానికి సమాధానంగా ఆయన ఇలా అన్నాడు.
భూమి మీద భూభాగాన్ని ఓసారి గమనిస్తే భూమధ్య రేఖకి దిగువగా ఎక్కువ భూమి లేదు.
భూమధ్యరేఖకి ఉత్తరంలోనే ఎక్కువ ఉంది.
కనుక వృక్ష సంపద కూడా ఎక్కువ భూమధ్యరేఖకి పైనే ఉంది.
కనుక వసంతంలోను, ఎండా కాలంలోను ఉత్తర భూగోళం
సూర్యుడి వైపుకి వొరిగి నప్పుడు
ఆకులు పొడుచుకొచ్చి కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని లోనికి పీల్చుకుంటాయి.
కనుక వాతావరణంలో ఆ వాయువు మోతాదు తగ్గుతుంది.
కాని శరత్తులోను, చలికాలంలోను ఉత్తర భూగోళం
సూర్యుడి నుండి దూరంగా ఒరిగినప్పుడు ఆకులు రాలి కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని బయటికి వదిలేస్తాయి.
అలా వొదిలిన వాయువంతా తిరిగి వాతావరణంలోకి చేరుతుంది.
ఆ విధంగా భూమి మొత్తం ఏడాది కొకసారి శ్వాస తీసుకున్నట్టు అవుతుంది.
1958 లో కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని కొలవడం మొదలేట్టాం.
ఇదుగో చూడండి. 60 లలో ఆయన మాకీ చిత్రాన్ని చూపించినప్పుడు
అది పెరుగుతోందని అప్పటికే స్పష్టమయ్యింది.
ఆయనంటే నాకు గౌరవం. ఆయన నుండి ఎంతో నేర్చుకున్నాను.
1970 లలో కాంగ్రెస్ లో చేరినప్పుడు
ధరాతాపనం మీద మొట్టమొదటి సమావేశాలని
నేనే ఏర్పాటు చేశాను.
మా ప్రొఫెసర్ ని వాటిలో సాక్షిగా పాల్గొనమన్నాను.
ఆ సమావేశాలకి గొప్ప ప్రభావం ఉంటుందని అనుకున్నాను.
వెంటనే చర్యలు మొదలెడతాం అనుకున్నాను. కాని అనుకున్నట్టు జరగలేదు.
ఆ సమావేశాలు కొనసాగాయి. 1984 లో సెనేట్ లో చేరినప్పుడు
సమస్యని మరింత లోతుగా శోధించాను.
ఎన్నో వైజ్ఞానిక సమావేశాలలో పాల్గొన్నాను.
దాని మీద ఒక పుస్తకం రాశాను.
1988 లో రాష్ట్రపతి ఎన్నికల్లో పోటీ చేశాను.
అలాగైనా ఆ సమస్యకి ప్రాచుర్యం తేవాలని నా ఉద్దేశం.
1992 లో వైట్ హౌస్ లో ప్రవేశించాను.
కార్బన్ సిస్తుకి రూపాంతరాన్ని అమలుజరిపాం.
అలాంటివే మరి కొన్ని చర్యలు కూడా తీసుకున్నాం.
1997 లో క్యోటోకి వెళ్లి వివాదాస్పదమైన ఆ ఒప్పందాన్ని అమెరికా లోనైనా
అమలు జరపాలని అనుకున్నాను.
2000 లో నా ప్రత్యర్థి కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని నియంత్రిస్తానని ప్రమాణం చేశాడు గాని దానికి కట్టుబడలేదు.
కనుక ఇదంతా చూస్తున్నప్పుడు ఎన్నో ఏళ్ళుగా మళ్లీ మళ్ళీ ఒకే ధోరణి కనిపిస్తోంది.
అదలా పెరుగుతూనే ఉంది. ఎడతెరిపిలేకుండా...
వాస్తవ ప్రపంచంలో ఇప్పుడు దాని ప్రభావం కనిపిస్తోంది.
30 ఏళ్ల క్రితం ఇది కిలిమంజారో పర్వతం. ఇటీవలి కాలంలో దాని స్వరూపం.
ఈ మధ్యనే ఓ మిత్రుడు కిలిమంజారో ని చూసొచ్చాడు.
కొన్ని నెలల క్రితం అతడు తీసిన ఫోటో ఇది.
లానీ థాంసన్ అనే మరో నేస్తం హిమానీనదాలని (glaciers)
అధ్యయనం చేస్తున్నాడు.
(http://researchnews.osu.edu/archive/scndkili.htm)
ఒకప్పుడు మహాహిమానీ నదం అనుకున్న దాని నుండి
మిగిలిన ఆఖరు వెండి తళుకులు తెచ్చి చూపించాడు లానీ.
మరో దశాబ్దం తిరిగేలోపు కిలిమాంజారో మీద ఇక మంచు ఉండదు.
హిమానీనద జాతీయ వనంలో ఇది ఇప్పటికే జరుగుతోంది.
1998 లో నా ఇద్దరు కూతుళ్లని తీసుకుని నేనీ కొండ ఎక్కాను.
15 ఏళ్లలో ఒకప్పుడు హిమానీనదం అయ్యింది, ఇలా మారిపోతుంది.
ఏటా కొలంబియా హిమానీనదంలో వచ్చే మార్పులు చూడండి.
ప్రతీ ఏడూ క్రమంగా వెనక్కు జరిగిపోతోంది.
చూస్తే బాధ అనిపిస్తుంది ఎందుకంటే హిమానీనదాలు చాలా అందంగా ఉంటాయి.
వాటిని చూద్దాం అని వెళ్లిన వాళ్లకి నానాటికి కనిపిస్తున్నది ఇదీ.
హిమాలయలలో ఓ ప్రత్యేక సమస్య ఉంది.
ప్రపంచంలో 40 % మనుషులు నదుల నుండి, నీటి బుగ్గల నుండి త్రాగేనీటిని పొందుతారు.
వాటిలో సగానికి పైగా మంచు కరిగిన నీటి చేతనే పోషించబడతాయి.
ఇక వచ్చే అర్థ శతాబ్దంలో భూమి మీద ఆ 40 % మంది హిమానీనదాలు కరగడం వల్ల తీవ్రమైన నీటి కొరతని
ఎదుర్కుంటారు.
ఇటలీలోని ఇటాలియన్ ఆల్ప్స్. నేడు అదే పరిస్థితి.
స్విట్జర్ లాండ్ నుండి వచ్చిన ఓ పాత పోస్ట్ కార్డ్.
ఆల్ప్స్ లో ఎక్కడ చూసినా అదే కథ.
దక్షిణ అమెరికాలో కూడా అదే కథ.
ఇది పెరూ... 15 ఏళ్ళ క్రితం. నేడు అదే హిమానీనదం.
20 ఏళ్ళ క్రితం ఇది అర్జెంటీనా. అదే హిమానీనదం నేడు.
దక్షిణ అమెరికా కొమ్ము వద్ద ఉండే పటగోనియా డెబ్బై ఏళ్ల క్రితం.
ఈ విశాల మంచు ప్రాంతం అంతా ఇప్పుడు లేదు.
ఇక్కడ మనకో సందేశం వినిపిస్తోంది.
ఓ విశ్వవ్యాప్తమైన సందేశం.
(సశేషం...)
కాని అవి నిజానికి అవి కదులుతాయని మనకి తెలుసు.
అవి ఒకదాన్నుండి ఒకటి దూరంగా జరుగుతాయి. నిజానికి ఒక సమయంలో అవి ఒకదాంతో ఒకటి సరిగ్గా అతికిపోయేవి. కాని ఆ తప్పుడు భావనతోనే వచ్చింది చిక్కు. జీవితంలో అనుభవం చెప్పే పాఠం ఒకటుంది. మనకు సమస్యలు వచ్చేది తెలీని విషయాల వల్ల కాదు. తెలుసునని నమ్మే విషయాల వల్ల.
అలాంటి తప్పుడు నమ్మకమే ఇక్కడ కూడా ఒకటి ఉంది.
ధరాతాపనం విషయంలో కూడా చాలా మంది, అసలలాంటిది లేదని
మనస్పూర్తిగా నమ్ముతారు. ఆ నమ్మకం తీరు ఇలా ఉంటుంది. భూమి చాలా పెద్దది. కనుక భూమి యొక్క పర్యావరణానికి
మనం శాశ్వత హాని చెయ్యడం అనేది జరగని పని. ఆ విషయం గతంలో నిజం కావచ్చు కాని నేడు కాదు.
నేడు అది నిజం కాకపోవడానికి కారణం భూమి యొక్క పర్యావరణంలో చాలా సున్నితమైన ప్రాంతం వాతావరణం కావడమే.
ఎందుకంటే అది చాలా సన్నని పొర. నా మిత్రుడు కార్ల్ సాగన్ అంటూ ఉండేవాడు - పైన వార్నిష్ పూత వేసిన
ఓ పెద్ద గోళాన్ని తీసుకుంటే గోళం యొక్క మందానికి వార్నిష్ మందం ఎంతో భూమి వాతావరణపు మందం కూడా
భూమితో పోల్చితే అంతే. అది కూడా చాలా సన్నగా ఉంటుంది.
అందులోని అంశాలని మనం మార్చగలం. కనుక మనం ధరాతాపనం గురించి వివరంగా చెప్పుకోవాలి.
ఈ విషయం గురించి ఎక్కువగా చర్చించబోవటం లేదు. ఇవి మీకు తెలిసిన విషయాలే.
సూర్య తేజం కాంతి తరంగాలుగా ప్రసారం అవుతుంది. ఆ తరంగాలు భూమిని వేడెక్కిస్తాయి.
భూమి చేత గ్రహించబడి భూమిని వేడెక్కించిన కిరణాలలో కొన్ని పరావర్తనం చెంది తిరిగి అంతరిక్షంలోకి
పరారుణ క్రిరణాలుగా (infrared radiation) ప్రసారం అవుతాయి. అలా బయటికి పోతున్న కిరణాలలో కొన్ని
వాతావరణపు పొరలో చిక్కుకుపోయి వాతావరణంలోనే ఉండిపోతాయి. ఇది ఒక రకంగా మంచిదే. ఎందుకంటే ఇందువల్ల భూమి ఉష్ణోగ్రత
కొన్ని మితుల మధ్య క్రమబద్ధీకరించబడుతుంది. ఇంచుమించు స్థిరంగా జీవనానికి అనుగుణంగా ఉంచుతుంది.
కాని చిక్కేంటంటే ఈ సన్నని వాతావరణపు పొర అందులో చేరుతున్న ధరాతాపన కాలుష్యం వల్ల
మరింత దట్టం అవుతోంది. అలా వాతావరణం దట్టం అవుతున్న కొలది బయటికి పోవాల్సిన పరారుణ కాంతి మరింతగా చిక్కు పడిపోతోంది.
ఆ విధంగా వాతావరణం నానాటికీ వేడెక్కిపోతోంది. అదే ధరాతాపనం. సాంప్రదాయక వివరణ అలా ఉంటుందన్నమాట.
కాని దానికి అసలు వివరణ ఏంటో నేను చెప్తాను.
మీ ఐస్క్రీం అంతా ఎక్కడికిపోయిందని మీరు ఆశ్చర్యపోతున్నారేమో. చూడండమ్మా, దానికి కారణం విదేశీయులు కారు. దానికి కారణం ధరాతాపనం.
ఇప్పుడు మిస్టర్ సూర్యకిరణ్ గార్ని కలుద్దాం. ఈయన గారు సూర్యుడి నుండి భూమిని సందర్శిస్తున్నారు.
"హలో, భూమీ! నీ జీవితంలో కాంతులు నింపటానికే వచ్చా! ఇక వస్తా, వెళ్లొస్తా."
"అంత తొందరొద్దు సూర్యకిరణ్ గారూ. మేమంతా హరిత గృహ వాయువులం. ఎక్కడికెళతారు లేండి. ఉండిపోండి."
"ఓరి దేవుడోయ్ ఈ ఎండనిభరించటం ఇక నా వల్ల కాదు!"
త్వరలోనే భూమి మొత్తం కిరణాలతో నిండిపోయింది.
వాటి అవశేషాలు వాతావరణాన్ని వేడెక్కిస్తున్నాయి.
ఈ హరితగృహ వాయువులని వొదిలించుకునేదెలా?
అదృష్టవశాత్తు మన అతితెలివి రాజకీయనాయకులు ధరాతాపనానికి విరుగుడుగా ఓ చవకబారు మార్గాన్ని కనిపెట్టారు.
2063 నుండి అప్పుడప్పుడు సముద్రంలో ఓ పెద్ద ఐసుముక్కని పడేస్తూ ఉంటే చాలట.
మీ డాడీ రోకూ డ్రింక్ లో వేసుకునే ఐసుముక్క లాంటిది అన్నమాట.
కాని హరితగృహ వాయువులు అలా పెరుగుతూనే ఉన్నాయి.
పోగా పోగా ఇంకా ఎక్కువ ఐసు కావాల్సి వస్తుంది.
ఆ విధంగా సమస్యకి శాశ్వత పరిష్కారం జరుగుతుందని ఆలోచన!
కాని...
నిజంగా ఆవిధంగా శాశ్వత పరిష్కారం దొరుకుతుందా?
ఈ చిత్రాన్ని చూశాకే ఈ సమస్య మీదకి నా దృష్టి మళ్లింది.
నేను కాలేజి స్టూడెంట్ గా ఈ చిత్రాన్ని చూశాను.
మాకు రోజర్ రెవెల్ అనే ప్రొఫెసర్ ఉండేవారు.
పృథ్వీ వాతావరణంలో కార్బన్ డయాక్సయిడ్ ని కొలవమని
సూచించిన మొదటి వ్యక్తి అతడు. కథ ఎటు పోతోందో ఆయన గుర్తించాడు.
మొదటి పేజీలు తిరగేయగానే, ప్రప్రథమ సమాచారాన్ని చూడగానే
దాని అంతరార్థమేమిటో, భవిష్యత్తు ఏమిటో ఆయన పట్టేశాడు.
1957 లో వాళ్లు ఒక ప్రయోగం చేశారు. చార్లెస్ డేవిడ్ కీలింగ్ ని నియమించారు.
ఇలాంటి కొలతలు చాలా కచ్చితంగా, నిర్దుష్టంగా తీసుకోవడంలో కీలింగ్ గొప్ప నిపుణుడు.
రోజూ ఆ వాతావరణ బెలూన్ లని పంపించడం మొదలెట్టారు. పసిఫిక్ సముద్రం మధ్యలో నుంచి పంపించారు.
అది జనావాసానికి దూరంగా ఉన్న ప్రాంతమని.
ఈయన ముక్కుకి సూటిగా పోయే మనిషి. కచ్చితమైన సమాచారాన్ని తప్ప మరేదీ నమ్మడు.
అవి నాకు మరపురాని రోజులు. ఎంతో మంది యువతలాగే నాకు కూడా
కొత్త, పాత భావాల మధ్య సంఘర్షణతో కలలో కూడా ఊహించని ఊహలతో
పరిచయం ఏర్పడింది.
ఒక సారి మాకు క్లాసులో చూపించాడు. కొన్నేళ్లలోనే తీసుకున్న కొలతల వివరాలు చూపించాడు.
నాకైతే దిమ్మదిరిగి పోయింది. ఆయన కూడా అదిరిపోయాడు.
దాని అంతరార్థం ఏమిటో క్లాసులో అందరికీ స్పష్టం చేశాడు.
అందరం ఆ పాఠాన్ని మనసుకి పట్టించుకున్నాం.
ఎన్నో పర్యవసానాలు, మానవజాతిలో వచ్చే ముఖ్య మార్పులు
ఇప్పుడు పృథ్వీ వాతావరణంలో కళ్లకి కట్టినట్టు కనిపించాయి.
సకాలంలో చర్యలు తీసుకోకపోతే ఆ ఒరవడి భవిష్యత్తులో ఎటు పోతుందో చూపించాడు.
అంతా స్పష్టంగా బోధపడింది.
మొదటి ఏడు, ఎనిమిది, తొమ్మిది ఏళ్ళలోనే ఆ ఒరవడి ఎలా మారుతుందో కనిపిస్తోంది.
కాని నాలో ఓ ప్రశ్న మిగిలిపోయింది.
(సశేషం...)
ప్రస్తుత సమాజంలో, మీడియాలో పర్యావరణాన్ని గురించి, ధరాతాపనం (global warming) గురించి చాలా చర్చ జరుగుతోంది.
ఈ అంశం మీద అమెరికాకి చెందిన మాజీ ఉపరాష్ట్రపతి ఆల్ గోర్ "An Inconvenient Truth" అనే పేరుతొ ఒక చక్కని డాక్యుమెంటరీ రూపొందించాడు.
ప్రస్తుతం వాతావరణంలో కనిపిస్తున్న సంచలనాత్మక మార్పులన్నీ ఎప్పుడూ ఉండే ఆటుపోట్లే నని చాలా మంది ధరాతాపనాన్ని మొదట్లో కొట్టిపారేశారు. అసలు అలాంటిది ఉందని కూడా ఒప్పుకునేవారు కారు. కాని ధరాతాపనం అనేది మనకి నచ్చినా నచ్చకపోయినా ఒక స్థిర వాస్తవమని, అందులో మానవుడి పాత్ర ఎంతో ఉందని సామాన్యులకి అర్థమయ్యే తీరులో చక్కగా వర్ణిస్తాడు గోర్. ఆ చిత్రంలోని వ్యాఖ్యానానికి ఇది సచిత్ర అనువాదం.
---
నచ్చని నిజం
అంతరిక్షం లోంచి భూమిని తీసిన చిత్రాలలో ఇది మనం చూసిన మొట్టమొదటి చిత్రం.
1968 లో క్రిస్మస్ నాడు తీసిన చిత్రం.
అపోలో 8 మిషన్ లో తీసిని చిత్రం.
ప్రశాంత వాతావరణపు పొరల మధ్య భూమి ఒదిగిపోయింది.
కాని ఆ వాతావరణపు సన్నని పైపొరని కాలుష్యంతో నింపుతున్నాం.
(సోదర సోదరీమణులారా, ఇప్పుడు మిస్టర్ ఆల్ గోర్ ప్రసంగిస్తారు.)
నా పేరు ఆల్ గోర్.
అమెరికా దేశానికి ఒకప్పుడు నన్ను భావి రాష్ట్రపతిగా చెప్పుకునేవారు. (ప్రేక్షకులలో నవ్వు)
అది నాకేం అంత గమ్మత్తుగా అనిపించటంలేదు.
ఈ కథని నేను చాలా కాలంగా చెప్పాలని చూస్తున్నాను. కాని ఈ సందేశాన్ని అందించడంలో విఫలం అయ్యానని అనిపిస్తుంది.
రాజకీయాలలో ఎంతో కాలం సేవలు అందించాను. ఆ సేవలకి గర్వపడుతున్నాను.
మీరు నమ్మకపోవచ్చు గాని ఇది నిజంగా ఓ జాతీయ ఉపద్రవం. ఇది చాలా చాలా పెద్ద ఉపద్రవం.
మరిప్పుడు ఏం చెయ్యాలి? ప్రస్తుతం రాజకీయాల్లో మంచి వాళ్ళు ఉన్నారు. వాళ్ళు ఇరు పక్షాలలోను ఉన్నారు. కాని ఈ సమస్యకి దూరంగా ఉంటున్నారు. ఎందుకంటే వాళ్ళీ సమస్యని ఒప్పుకుంటే, గుర్తిస్తే పెద్ద పెద్ద మార్పులు చెయ్యాల్సిన నైతిక బాధ్యత వాళ్ల నెత్తిన పడుతుంది.
ఈ దేశపు చరిత్రలోనే అతిపెద్ద ఉపద్రవం ఇది.
చందమామ మీద ఎక్కడ వాలాలో వెతుకుతుంటే
రేడియో సంబంధాలు తెగిపోయాయి
చంద్రుడి మీద చీకటి వైపుకి వెళ్ళారు.
కాసేపు ఏమయ్యిందో తెలీని ఉత్కంఠ.
రేడియో సంబంధాలు మళ్లీ ఏర్పడ్డాయి.
అప్పుడు పైకి చూశారు.
ఈ ఫోటో తీశారు. వసుధోదయం గా దీనికి పేరు వచ్చింది.
ఆ ఒక్క చిత్రం మానవ చైతన్యం మీద చెరగని ముద్ర వేసింది.
సంచలనాత్మక మార్పులు కలుగజేసింది.
అది తీసిన పద్దెనిమిది నెలల్లో ఆధునిక పర్యావరణ ఉద్యమం మొదలయ్యింది.
ఈ తదుపరి చిత్రం ఆఖరు అపోలో మిషన్ లో తీసింది. అపోలో పదిహేడు. దీన్ని 1972 లో డెసెంబర్ 11 నాడు తీశారు.
బహుశ చరిత్రలో ఇన్ని సార్లు ముద్రించబడ్డ ఫోటో మరేదీ లేదేమో.
అంతరిక్షం నుండి భూమిని తీసిన ఫోటోల్లో సూర్యుడు వ్యోమనౌకకి సరిగ్గా వెనక్కి ఉండగా తీసిన ఫోటో ఇదొక్కటేనేమో.
కోటి కాంతులతో భూమి ప్రకాశిస్తోంది ఇందులో.
నేను ఇప్పుడు చూపించబోయే ఫోటో మీరు ఎప్పుడూ చూసి ఉండరు.
గెలీలియో అనే వ్యోమనౌక నుండి తీసిన ఫోటో. సౌరమండలం మీద అన్వేషణలో బయలుదేరింది ఈ నౌక.
భూమి నుండి దూరం అవుతున్న సమయంలో అది దాని కెమేరాలని వెనక్కి తిప్పింది.
ఆగాగి తీస్తూ ఒక పూర్తి రోజు కాలం భూమిని ఫోటోలు తీసింది. 24 సెకనుల కాలంలో దాన్ని కుదిస్తున్నాం.
ఎంత అందంగా ఉంది కదూ?
ఒకరకంగా ఇదో అద్భుతమైన చిత్రం. నా మిత్రుడు టామ్ వాన్ సాంత్ దీన్ని తయారుచేశాడు. మూడు వేల సాటిలైట్ చిత్రాలని మూడేళ్ళ పాటూ సేకరించి వాటిని డిజిటల్ గా కలిపి కుట్టాడు. మబ్బులు క్రమ్మని దృశ్యాలని మాత్రమే తీసుకున్నాడు. భూమి మీద ప్రతీ అంగుళం కనిపించేలా
భూభాగాలన్నీ కచ్చితంగా కనిపించేలా అవన్నీ కలిపి ఒక్క సారి ప్రదర్శిస్తే అదో కళాఖండం అవుతుంది.
ఇది ఎందుకు చూపిస్తునానంటే... మీకొక కథ చెప్పాలి. నాకు చదువు చెప్పిన ఇద్దరు టిచర్ల గురించి చెప్పాలి.
వాళ్లలో ఒకరంటే నాకంత ఇష్టం లేదు. రెండో వ్యక్తి నాకు ఆరాధ్య దైవం.
నాకు బళ్లో జ్యాగ్రఫీ చెప్పిన టీచరు బోర్డుకి అడ్డుగా వేలాడే ఓ పెద్ద ప్రపంచ పటం చూపిస్తూ పాఠం చెప్పేది.
ఆరోక్లాసు లో ఓ సారి నా క్లాస్ మేట్ ఒకడు చెయ్యి పైకెత్తి దక్షిణ అమెరికా తూర్పు తీర రేఖని చూపిస్తూ ఆఫ్రికా పశ్చిమ తీరంతో దాన్ని పోల్చుతూ
"ఈ రెండూ ఎప్పుడైనా కలిసి ఉండేవా?" అని అడిగాడు.
అప్పుడా టీచర్ అంది. "ఎప్పుడూ లేవు. అయినా అంత బుద్ధితక్కువ మాట నేను ఎక్కడా విన్లేదు" అంది.
ఆ కుర్రాడు తరువాత మత్తుమందుకి బానిస అయ్యాడు. జీవితంలో ఓడిపోయాడు.
ఆ టీచరు సైన్స్ అడ్వయిసర్ గా ప్రస్తుత అధికారవర్గంలో నియమించబడింది. కాని ఆ టీచర్ కేవలం ఆ రోజుల్లోవైజ్ఞానిక అధికార వర్గం యొక్క పాఠాలనే వల్లె వేసింది. ఖండాలు అంతంత పెద్దవి కనుక కదలవు అనుకుంది.
కాని అవి నిజానికి అవి కదులుతాయని మనకి తెలుసు.
(సశేషం...)
అలాగే ఆ ఊరి మేయర్ మోన్ ష్యూ ఫిన్సెన్ కూడా మామయ్యని సాదరంగా ఆహ్వానించాడు. ఇతడి తీరు తెన్నులు కూడా కొంచెం సేనా విభాగానికి చెందిన అధికారిలాగానే ఉన్నాయి.
తరువాత బిషప్ సహచరుడైన పిక్టర్సెన్ ని కలుసుకున్నాం. ఇతగాడు ప్రస్తుతం ఏదో మతకార్యం మీద ఉత్తర ప్రాంతాన్ని సందర్శిసున్నాడు. ఆయనతో పరిచయం కలిగే భాగ్యం కోసం ఎదురుచూస్తూ ఉండిపోయాం. కాని రెయిక్జావిక్ లో ప్రకృతిశాస్త్రపు ప్రొఫెసర్ అయిన ఫ్రెడెరిక్ సెన్ చాలా హుషారైన మనిషి.
ఆయనతో స్నేహం త్వరలోనే బలపడింది. వినయశీలి అయిన ఈ మహాపండితుడు ఎప్పుడూ లాటిన్ లోను, డేనిష్ లోను మాత్రమే మాట్లాడతాడు. హోరేస్ మాట్లాడిన భాషలో మాట్లాడుతూ తన సహాయసహకారాలు అందిస్తానన్నాడు. ఇద్దరం ఒకరికొకరు త్వరలోనే అర్థమైపోయాం. అసలు మొత్తం ఐస్లాండ్ లోనే నేను మాట్లాడదగ్గ వ్యక్తి ఇతనొక్కడే అనిపించింది.
ఈ పెద్ద మనిషి మూడు గదులున్న తన ఇంట్లో రెండు గదులు మాకు ఇచ్చేశాడు. ఆ గదులలో మా సామానంతా చేర్చాము. సముద్రం లాంటి మా సామాను చూసి సముద్రం గురించి బాగా తెలిసిన రెయిక్ జావిక్ పురవాసులు కూడా ముక్కున వేలేసుకున్నారు.
"మన ప్రయాణంలో చాలా మటుకు పూర్తయ్యింది ఏక్సెల్!" మామయ్య ఉత్సాహంగా అన్నాడు.
"చాలా మటుకా?" అర్థంకాక ఆశ్చర్యంగా అడిగాను.
"మరింకేవుంది? ఇక్కడి దాకా వచ్చేశాం. ఇక మిగిలింది కిందకి దిగడమేగా?"
"అంతవరకు బాగానే ఉంది. కాని పైకి వచ్చే మాట గురించి ఆలోచించావా మామయ్యా?"
"ఓహ్! అదా. దాని గురించి నువ్వేం ఆలోచించకు. ఇక ఆలస్యం చెయ్యడానికి లేదు. నేనిప్పుడే లైబ్రరీ కి వెళ్తున్నాను. అక్కడ సాక్నుస్సెం కి చెందిన వ్రాతప్రతులు ఏవైనా దొరుకుతాయేమో పోయే చూసొస్తాను."
"సరే. నేనూ అలా ఊరు చూసి వస్తాను. నువ్వూ వస్తావా మామయ్యా?"
"ఉహు వద్దు. నా దృష్టి ఈ ఊరి మీద లేదు. ఈ ఊరి కింద ఉన్నదాని మీద ఉంది!"
మెల్లగా ఊర్లోకి బయలుదేరాను. కాళ్లు ఎటు తీసుకుపోతే అటు నడిచాను.
రెయిక్ జావిక్ నగరంలో దారి తప్పిపోవడం చాలా కష్టం. కనుక ఎవరినీ దారి అడగలేదు. అడిగితే ఇంకా లేనిపోని సమస్యలొస్తాయి. ఎందుకంటే భాష రాని నా మూగవేదన ఆ ఊరి ప్రజలకి అర్థం కాదు.
రెండు కొండల మధ్య ఉండే బురద నేల మీద ఊరు విస్తరించి ఉంది. ఒక పక్కగా ఓ పెద్ద లావా పీఠం సముద్రం దిక్కుగా విస్తరించి ఉంటుంది. మరో పక్క విశాలమైన ఫాక్సా ఖాతం. ఆ ఖాతానికి ఉత్తరాన విశాలమైన స్నెఫెల్ హిమానీనదం. ఆ ఖాతంలో ఉన్న రేవులోనే ఇప్పుడు వాల్కిరా ఒంటరిగా లంగరు వేసి ఉంది.
రెయిక్ జావిక్ లో రెండే పెద్ద రహదార్లు ఉన్నాయి. వాటిలో కొంచెం పొడవైన దారి తీరానికి సమాంతరంగా పరిగెడుతుంది. ఈ దారి వెంబడి బోలెడు అంగళ్లు ఉన్నాయి. ఆ వీధి లోనే బోలెడుమంది వర్తకుల ఇళ్లున్నాయి. రెండవ వీధి పశ్చిమంగా పరిగెడుతూ ఓ చెరువు వద్ద అంతం అవుతుంది.
బిషప్ లాంటి వ్యాపారరంగంలో లేని వారి ఇళ్లు ఈ వీధిలో ఉన్నాయి.
ఈ ఒంటరి దారుల వెంట చాలా సేపు తిరిగాను. అక్కడక్కడ ఇళ్లలో పచ్చిక కనిపించింది. కొందరు పెరట్లో కూరలు పండించుకుంటున్నారు. గోడలెక్కిన లతల మీద విరిసిన పూలు ఎండలో, చల్లగాలిలో హాయిగా నవ్వుతున్నాయి.
వర్తకుల వీధి వెంబడి నడుస్తూ పోతుంటే ఒక చోట శ్మశాన వాటిక కనిపించింది. చుట్టూ ఎత్తయిన మట్టి గోడలు ఉన్నాయి. లోపల బోలెడంత ఖాళీ స్థలం ఉన్నట్టుంది.
మరో నాలుగు అడుగులేస్తే గవర్నరు గారి బంగళా వచ్చింది. హాంబర్గ్ టౌన్ హాలుతో పోల్చితే ఇది పూరి గుడిసె. ఐస్లాండ్ లో చిన్న చిన్న పెట్టెల్లాంటి సామాన్యుల ఇళ్లతో పోల్చితే ఇది రాజసౌధం. పక్కనే ఉన్న ఓ కొండ మీద ఓ జాతీయ పాఠశాల ఉంది. అక్కడ హీబ్రూ, ఇంగ్లీష్, ఫ్రెంచ్, డేనిష్ భాషలన్నీ చెప్తారని తరువాత తెలిసింది.
అలా మూడు గంటలు తిరిగాక ఊరు మాత్రమే కాక ఊరి పరిసరాలు కూడా చూడగలిగాను. మొత్తం మీద ఆ ఊళ్లో నాకు పెద్ద విశేషమేమీ కనిపించలేదు.
చెట్లు చేమలు తక్కువ. ఎటు చూసినా కరకు బండలు అగ్నిపర్వతాల చర్యకి చిహ్నాలుగా మిగిలాయి. అక్కడి భూమిలో సహజంగా ఉండే తాపం కారణంగా పచ్చిక మొలుస్తుంది.
నా ఈ నగర సంచారంలో పెద్దగా మనుషులు ఎవరూ తారసపడలేదు. వర్తక వీధికి తిరిగి వచ్చాక అక్కడ చాలా మంది కాడ్ చేపలని ఎండపెడుతూ, ఉప్పు పట్టిస్తూ కనిపించారు. కాడ్ చేపలని అక్కడ పెద్ద ఎత్తున ఎగుమతి చేస్తారు. ఇక్కడ జనం బాగా ధృఢ కాయులు. ఎర్ర జుట్టుగల జర్మన్ల లా ఉంటారు.
ఇతర దేశస్థులకి వాళ్లకి మధ్య తేడా వాళ్లకి బాగా తెలుసు. జీవితమంతా ఈ చల్లని, తెల్లని హిమభూమి మీద గడపడం వాళ్ల తలరాత అని వాళ్లకి తెలుసు. ఇంకొంచెం ఉంటే వీళ్ళకి ఎస్కిమోలకీ తేడాయే ఉండదు. ఆర్కిటిక్ వృత్తానికి వీళ్లు కాస్తంత బయట ఉన్నారంతే. ముఖంలో ఎక్కడా చిరునవ్వు కనిపించని అస్మితవదనులు! కొన్ని సార్లు పొరపాట్న, అప్రయత్నంగా, అనుకోకుండా ఆ ముఖంలో నవ్వు పెల్లుబుకుతుందేమో గాని చిరునవ్వు మాత్రం అక్కడ ఎప్పుడూ విరియదు!
అక్కడి స్త్రీలు కూడా మగవారి లాగానే విచారంగా కనిపించారు. ముఖంలో అందం లేదని కాదు గాని ఏ భావమూ కనిపించదు. ’వాడ్మెల్’ అనే ప్రత్యేకమైన నల్లని ఉన్ని బట్టతో చేసిన అంగీలు, గౌన్లు ధరిస్తారు. పెళ్లయిన స్త్రీలు తల చుట్టూ రంగు రంగుల రుమాలు లాంటిది చుట్టుకుని దాని మీద ఓ తెల్లని బట్టని తురాయిలా అమర్చుకుంటారు.
అలా చాలా సేపు ఊరంతా కాళ్లరిగేలా నడిచి తిరిగి ఫ్రిడెరిక్సెన్ గారి ఇంటికి వచ్చాను. మా మామయ్య ఆయన అప్పటికే లోతుగా కబుర్లలో కూరుకుపోయి ఉన్నారు.
(తొమ్మిదవ అధ్యాయం సమాప్తం)
బక్షాళి వ్రాతప్రతి గురించి ప్రఖా సత్యనారాయణ శర్మ గారి పుస్తకంలో ఇచ్చిన పరిచయాన్ని ఈ కింది రెండు పేరాలలో ఉన్నదున్నట్టు ఇస్తున్నాను.
"అది 1881 వ సంవత్సరం. ఆగస్టు నెల.
పెషావర్ జిల్లా, బక్షాళి గ్రామం. మార్ధాన్. బక్షాళి రహదారికి తూర్పు పక్కనే ఉన్న మట్టి దిబ్బలు. ఒకప్పుడు అక్కడ ఉన్న ఒక గ్రామము శిధిలమై ఆ మట్టి దిబ్బల్లో, రాళ్లు రప్పల్లో కలిసిపోయి వుంది. ఎవరో బహుశా ఏ నిధి నిక్షేపాల కోసమో ఓ దిబ్బను తవ్వుతున్నారు. క్రమంగా రాళ్లు, రప్పలు, ఒక శిధిల గృహం బయటపడ్డాయి. అందులో నేల మీద ఒక మూల త్రిభుజాకృతిలో ’దివా’ అనబడే రాతినిర్మాణము, వ్రాయటానికి ఉపయోగించే సుద్ద, అడుగున చిన్న చిన్న రంధ్రాలతో ఉన్న పెద్ద మట్టి పాత్ర ఉన్నాయి. వాటిని ఆశగా బయటికి తీశారు. వాళ్లు ఆశించిన నిధి నిక్షేపాలేవీ లేవు. కాని అంతకన్నా విలువైనదే ఉన్నది. శిధిలస్థితిలో ఉన్న భూర్జపత్రాల గ్రంథం ఒకటి అందులో ఉంది. అజాగ్రత్తగా తీయటంలో మరికొంత శిధిలమయ్యింది. ఎలాగోలా పూర్తిగా శిధిలం కాకమునుపే అది లాహోరు జేరింది. కొంతలో కొంత నయం. దాని మీద పరిశోధనలు జరిగి కొన్ని అంశాలు 1888 లో వెలుగులోకి వచ్చాయి. దాదాపు ప్రతీ భారతీయ పురాతన వ్రాతప్రతులకు ఏ దురదృష్టము పట్టిందో అలాగే ఇది కూడా విదేశాలకు చేరింది. ప్రస్తుతము అమూల్యమైన ఈ వ్రాతప్రతి బొడిలియన్ లైబ్రరీ (Bodleian library), ఆక్స్ ఫర్డ్ అధీనంలో ఉంది.
"1927 లో రెండు భాగాలుగా, 1933 లోమూడవ భాగంగా భాక్షాళి వ్రాతప్రతిలోని అంశాలు ప్రచురించబడ్డాయి. సుమారు 70 భూర్జ పత్రాలలో అంకగణిత, బీజగణిత అత్యున్నత భావాలు, సమస్యలు, సాధనలు గల్గి వున్న అపురూప గ్రంథమిది. అది ఎనిమిదవ శతాబ్దములో తిరిగి వ్రాయబడిన భూర్జపత్ర గ్రంథమయినప్పటికి దీని మూలప్రతి క్రీ.పూ. 200 నుండి క్రీ.శ. 200 లోపు ఎప్పుడో ఒకప్పుడు వ్రాయబడి ఉంటుందని దాని లోని సందర్భము, భాష, శైలి, సాహిత్య విధానము, ఛందస్సు వంటి అంశాల ఆధారంగా నిర్ణయించారు. వేద కాలం నాటి గణితానికి, ఆర్యభటతో ప్రారంభమైన సిద్ధాంత గణితానికి మధ్య కాలపు అగాధాన్ని ఈ గ్రంథము చాలా వరకు పూర్తి చేసి ఒక వారధిగా పనిచేస్తుంది."
బక్షాళి వ్రాతప్రతిలో కనిపించిన కొన్ని గణిత విశేషాలు:
(http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html)
1. వర్గమూలాన్ని (square root) కనుక్కోవడానికి ఒక సూత్రం:
sqrt(Q) = sqrt(A^2 + b) = A + b/2A - (b/2A)^2/(2(A+b/2A))
ఉదాహరణకి Q = 41, అనుకుందాం. అది వర్గం కాదు. కనుక దాని కన్నా తక్కువై, అత్యంత సమీపంలో ఉన్న వర్గాన్ని తీసుకోవాలి. అది 36. అంటే A=6. మరి Q = A^2 + b, కనుక b = 41-36 = 5 అవుతుంది. A, b విలువలని పై సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,
sqrt(Q) = 6.403138528 అని వస్తుంది. ఇది ఆధునిక విలువ అయిన 6.403124237 తో నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు సరిపోతోంది.
2. బక్షాళి వ్రాతప్రతిలో మరో విశేషం అనిర్దేశిత సమీకరణాలు (indeterminate equations). అంటే పూర్తి సమాచారం లేకుండా పరిష్కారం కనుక్కోవలసిన సమీకరణాలు. ఉదాహరణకి -
ఒక వర్తకుడి వద్ద 7 అశ్వాలు ఉన్నాయి. మరో వ్యక్తి వద్ద 9 హయాలు ఉన్నాయి. మూడో వ్యక్తి వద్ద 10 ఒంటెలు ఉన్నాయి. ప్రతి ఒక్కరు మిగతా ఇద్దరికీ చెరో జంతువు సమర్పించుకుంటారు. ఇప్పుడు అందరి వద్ద ఉన్న జంతువుల విలువ ఒక్కటే. ఒక్కొక్క జంతువు విలువ కనుక్కోండి. ఒక్కొక్క వ్యక్తి వద్ద ఉండే మొత్తం జంతువుల విలువ కనుక్కోండి.
(ఇక్కడ ’అశ్వం’, ’హయం’ అంటే రెండు విభిన్న రకాల గుర్రాలు అన్న అర్థంలో వాడినట్టుంది.)
అశ్వం ఖరీదు = a
హయం ఖరీదు = b
ఒంటె ఖరీదు = c
అనుకుందాం.
మొదటి వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = 5a + b + c
రెండవ వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = a + 7b + c
మూడో వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = a + b + 8c
ఈ మూడు విలువలు ఒక్కటే కనుక,
5a + b + c =a + 7b + c=a + b + 8c = k
అనుకుందాం.
దీని నుంచి,
4a=6b=7c=k-(a+b+c)
అని తెలుస్తుంది.
ఈ సమీకరణాల నుంచి a,b,c ల నిష్పత్తి తెలుస్తుంది గాని, అసలు విలువ తెలియదు. తెలుసుకోలేము కూడా. అందుకే వాటిని అనిర్దేశిత సమీకరణాలు అంటారు. ఏ విలువైనా తీసుకోవచ్చు కనుక సాధ్యమైన విలువలలో కనిష్ఠ విలువలని తీసుకుందాం.
ఇప్పుడు (k-(a+b+c)) అనే విలువ 4, 6, 7 అనే అంకెల చేత భాగింపబడాలి కనుక,
k-(a+b+c) = 4 X 6 X7
అనుకోవచ్చు, అంటే 168 అవుతుంది. బక్షాళీ వ్రాతపత్రి ఈ విలువనే తీసుకుంటుంది. కాని అది కొంచెం పెద్ద సంఖ్య. అంత కన్నా చిన్నది కావాలంటే,
4, 6, 7 ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణకం (least common multiple - lcm) ని తీసుకుంటే సరిపోతుంది. దాని విలువ 84.
4a=6b=7c=84
అయితే a=21, b=14, c=12, అవుతుంది.
