శాస్త్ర విజ్ఞానము

ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు - సువర్ణ నిష్పత్తి

బహుభుజులలో (polygons) సమబాహువులు, సమకోణాలు గల బహుభుజులు చక్కని సౌష్టవంతో అందంగా ఉంటాయి. అందుకే సమబాహు చతుర్భుజానికి ఉన్న అందం సామాన్యంగా దీర్ఘ చతురస్రానికి ఉండదు. కాని దీర్ఘ చతురస్రాలలో కూడా పొడవు, వెడల్పుల మధ్య ఒక ప్రత్యేక నిష్పత్తి ఉంటే చూడడానికి ఇంపుగా ఉంటాయని ప్రాచీన గ్రీకులు భావించేవారు. ఆ నిష్పత్తినే సువర్ణనిష్పత్తి (golden ratio) అనేవారు. ఆ నిష్పత్తిలో పొడవు, వెడల్పు గల దీర్ఘచతురస్రాన్ని సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం (golden rectangle) అంటారు.

గ్రీకులు స్వతహాగా సౌందర్య పిపాసులు. అయితే వారి సౌందర్య దృష్టి వెనుక ఒక వైజ్ఞానిక దృక్పథం ఉంటుంది. ప్రకృతిలో ఎక్కడ సౌందర్యం కనిపించినా, ఆ అందం వెనుక గణితపరమైన, జ్యామితి పరమైన, సంఖ్యాపరమైన ధర్మాల ప్రభావం అదృశ్యంగా ఉంటుందని భావించేవారు.

క్రీ.పూ. 5 వ శతాబ్దపు గ్రీకు వాస్తులో కూడా సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం తరచు కనిపిస్తూ ఉంటుంది. ప్రాచీన ఏథెన్స్ కి చెందిన పార్తెనాన్ మందిరమే దానికి చక్కని తార్కాణం (చిత్రం). సువర్ణ నిష్పత్తి యొక్క విలువని ’phi' (ఫై) అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచించేవారు. ప్రఖ్యాత ప్రాచీన గ్రీకు శిల్పి ఫైడియాస్ పేరులోని మొదటి అక్షరాన్ని ఇక్కడ వాడారు అంటారు. ఈ ఫైడియాస్ తన నిర్మాణాలలో సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రాలని విరివిగా వాడుకున్నాడు.

వాస్తులోనే కాక కళలో కూడా సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం చోటుచేసుకుంది. లూకా పాచియోలీ రాసిన Da Divine Proportione (దివ్య నిష్పత్తి) అనే పుస్తకంలో, లియొనార్డో డా వించీ మానవ శరీర నిర్మాణంలో సువర్ణ నిష్పత్తి ఎలా దాగి వుందో వర్ణిస్తాడు. రమారమి 1483 లో లియొనార్డో డా వించీ వేసిన ’సెయింట్ జెరోమ్’ చిత్రంలో సెయింట్ జెరోమ్ చక్కగా ఓ సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రంలో ఇమిడిపోతాడు. ఇది కాకతాళీయంగా జరిగిన విషయం కాదని లియొనార్డో కావాలనే అలా చిత్రించాడని నిపుణుల ఉద్దేశం. కళని విజ్ఞానంతో రంగరించడంలో లియొనార్డో పెట్టింది పేరని అంతకు ముందు మనం చెప్పుకుందాం. అతడి దృష్టిలో కళ, విజ్ఞానం ఒకే తత్వం యొక్క రెండు ముఖాలు. "గణిత పరమైన విశ్లేషణ, నిర్ధారణ లేకుండా ముందుకి సాగే ఏ మానవ శోధనని విజ్ఞానం అనలేం," అంటాడు లియొనార్డో.
http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm



ప్రాచీన భారతంలో సువర్ణ నిష్పత్తి

అథర్వ వేదంలో వర్ణించబడ్డ శ్రీయంత్రంలో సువర్ణనిష్పత్తిని వాడడం జరిగింది. శ్రీ యంత్రంలో వాడే ముఖ్యమైన సమద్విబాహు త్రిభుజాల (isosceles triangles) త్రిభుజం యొక్క వాలు భుజానికి, ఆధార భుజంలో (base) సగానికి మధ్య నిష్పత్తి సువర్ణ నిష్పత్తి అవుతుంది. శ్రీ యంత్రం యొక్క నిర్మాణంలో ఎంతో అధునాతన గణితం దాగి ఉందని ఆధునిక అధ్యయనాలలో తేలింది.
(http://alumni.cse.ucsc.edu/~mikel/sriyantra/sriyantra.html)


సువర్ణ నిష్పత్తి విలువ

ఇంతకీ ఈ సువర్ణ నిష్పత్తి విలువ ఎంత? ఆ సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం ఎలా ఉంటుంది?

సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటో ఈ కింది చిత్రం చూస్తే తెలుస్తుంది. ఈ కింద కనిపిస్తున్న చిత్రంలో ABCD ఒక సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం.
ఇప్పుడు DF=AE=FE=DA అయ్యేట్టుగా, EF అనే నిలువు గీతతో ABCD ని రెండుగా విభజించాలి. ఇప్పుడు ADEF అనే చతురస్రాన్ని ABCD లోంచి తీసేయగా మిగిలిన BCFE కూడా ఒక సువర్ణ దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది.

అంటే,

AB/AD =FE/FC = సువర్ణ నిష్పత్తి.

ఇప్పుడు AB = x, AD = 1, అనుకుందాం. అంటే x విలువే సువర్ణ నిష్పత్తి అన్నమాట.
అప్పుడు, FC = x-1, అవుతుంది. అంటే,
FE/FC = 1/(x-1) = x
x-x^2 = 1

దీన్ని సాధిస్తే
x = (1 + sqrt(5))/2
అని తేలుతుంది. ఉజ్జాయింపుగా దీని విలువ 1.618


సువర్ణ నిష్పత్తికి - ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి సంబంధం

సువర్ణ నిష్పత్తికి, ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి మధ్య ఓ విచిత్రమైన సంబంధం ఉంది. ఫిబొనాచీ శ్రేఢి లో పక్కపక్కనే వచ్చే సంఖ్యల నిష్పత్తులని వరుసగా రాస్తే ఇలా ఉంటుంది:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (ఫిబొనాచీ శ్రేఢి)
1/1 , 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 (ఫిబొనాచీ శ్రేఢి లో పక్కపక్కనే వచ్చే సంఖ్యల నిష్పత్తులు)
(1, 2, 1.5, 1.6, 1.625, 1.6153,) (పై నిష్పత్తుల విలువలు)

పోగా పోగా ఈ నిష్పత్తుల శ్రేఢి ఒక మితి (limit) ని చేరుకుంటుంది. ఆ మితే సువర్ణ నిష్పత్తి! అదెలాగో సులభంగా నిరూపించొచ్చు.

n అనంతాన్ని సమీపిస్తున్నప్పుడు,
F(n)/F(n-1) = R
అలాగే
F(n-1)/F(n-2) = R అవుతుంది.
మరి,
R=F(n)/F(n-1) = (F(n-1) + F(n-2))/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1) = 1 + 1/R
అంటే,
R = 1 + 1/R
R = (1+ sqrt(5))/2
ఇదే సువర్ణ నిష్పత్తి కూడా.


ఫిబొనాచీ సంఖ్యల అదృశ్య హస్తం ప్రకృతిలో ఎన్నో చోట్ల కనిపిస్తుంది...

(సశేషం...)