శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

తరంగము - sin() ప్రమేయము

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, June 28, 2014
నిశ్చలమైన నీటి ఉపరితలం మీద ఒక రాయి పడేస్తే తరంగం ఎలా ఏర్పడుతుందో కిందటి సారి చూశాం. అలాంటి తరంగాన్ని నీటి ఉపరితలం  వద్ద, పక్క నుండి చూస్తే పడి లేస్తున్న నీటి ఉపరితలం కనిపిస్తుంది. ఒక ప్రత్యేక తరుణంలో అలాంటి తరంగాన్ని ఫోటో తీస్తే, అందులో కొన్ని చోట్ల నీటి మట్టం కిందికి, కొన్ని చోట్ల పైకి అలా మిట్టపల్లాలుగా కనిపిస్తుంది. అలాంటి మిట్టపల్లాల వక్రాన్ని గణితపరంగా వ్యక్తం చేస్తారు.

గ్రహాలని మనం పరిపూర్ణ గోళాలుగా ఊహించుకుంటాం. అవి నిజంగా పరిపూర్ణ గోళాలు కాకపోయినా గణితపరంగా అదొక అనువైన ఉజ్జాయింపు అవుతుంది. అదే విధంగా తరంగం ఆకారాన్ని గణితపరంగా sin(q)  అనే ప్రత్యేక ప్రమేయంతో వ్యక్తం చేస్తారు. అది ఇలా వుంటుంది.



Y  =sin(q)  అనే ఈ ప్రమేయంలో  q  విలువ పెరుగుతుంటే  y  విలువ పెరిగి తగ్గుతూ వుంటుంది. q =0  వద్ద y =0  అవుతుంది. q  విలువ 90 డిగ్రీల వద్ద  y  విలువ  1 అవుతుంది.  అలాగే వరుసగా,
q =180,  y = 0
q = 270, y = -1
q  = 360, y = 0
అవుతుంది. q   విలువ అలా అనంతంగా పెరుగుతుంటే ప్రతీ 360  డిగ్రీలకి  q  యొక్క విలువలు ఒకే విధంగా మళ్లీ మళ్లీ ఆవృత్తం అవుతుంటాయి. ఇలాంటి ప్రమేయాలని ఆవర్తక ప్రమేయాలు (periodic functions)  అంటారు.

ఆవర్తక ప్రమేయాలు చక్రికంగా మారే రాశులని సూచిస్తాయి. చక్రికంగా మారే అత్యంత సామాన్యమైన ప్రక్రియకి ఉదాహరణని తీసుకోవాలంటే ఒక చక్రం (లేదా వృత్తం) మీద సమ వేగంతో కదిలే బిందువుని తీసుకోవచ్చు. కింద చిత్రంలో సూచించినట్టు  O  కేంద్రంగా  r  వ్యాసార్థంగా గల వృత్తం మీద  P అనే బిందువు కదులుతోంది. OP  అనే రేఖ x-అక్షంతో q  అనే కోణాన్ని ఏర్పరుస్తోంది.  P నుండి x-అక్షం  మీదకి లంబాన్ని గీస్తే అది x-అక్షాన్ని N వద్ద కలుస్తోంది. PN  విలువని  h  తో సూచిద్దాం. అప్పుడు sin(q) ని ఈ విధంగా వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.




Sin(q) = h/r

Sin()  ప్రమేయాన్ని తరంగానికి వర్తింపజేసినప్పుడు sin(q)  బదులుగా sin(x)  అని వాడుతాం. ఇక్కడ x  అనే రాశి నీటి ఉపరితలం మీద దూరాన్ని సూచిస్తుంది. (అయితే ఇక్కడ ఒక విషయం గుర్తుపెట్టుకోవాలి. వాస్తవ తరంగాలు అన్నీ అచ్చం sin(x) మాదిరిగానే వుండవు. వాటిని ఉజ్జాయింపుగా మాత్రమే sin(x) తో వ్యక్తం చేస్తారు. ఓ పరిపూర్ణమైన, ఆదర్శవంతమైన తరంగం sin(x)  లాగా వుంటుంది అనుకోవాలి. )
తరంగంలో అత్యున్నత స్థానాలని శృంగం అంటారు. అట్టడుగున వున్న స్థానాలని ద్రోణి అంటారు (చిత్రం).

ఇందాక నీటి తరంగం ఒక ప్రత్యేక తరుణంలో చిత్రం ** లోని sin(x) ఆకారంలా ఉండొచ్చు. కాని కాసేపయ్యాక చూస్తే ఆ తరంగ పక్కకి జరుగుతుంది. అలా తరంగం పక్కకి జరిగినప్పుడు, తరంగం యొక్క ఈ కొత్త స్థితిని sin(x) బదులుగా sin(x - a)  అనే ప్రయేయంతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. Sin(x)  మరియు sin(x-a)  ప్రమేయాలని ఒకే గ్రాఫులో ప్రదర్శిస్తే ఇలా వుంటుంది.





పై గ్రాఫులో నీలం  రేఖని కుడి పక్కకి కదల్చగా ఏర్పడ్డదే ఆకుపచ్చ  రేఖ. రెండిటికీ మధ్య తేడా a =45  డిగ్రీలు. ఇలా పక్కకి కదల్చడం కాకుండా ఆకుపచ్చ రేఖని నీలం  రేఖ నుండి పుట్టించడానికి మరో విధానం కూడా వుంది.
ఇప్పుడు నీలం రేఖలో ప్రతీ బిందువుని బాణాలతో సూచించినట్టుగా కిందకి గాని, పైకి గాని జరిపామని అనుకోండి. అలా జరపడం వల్ల ఆకుపచ్చ  రేఖ పుడుతోంది. అంటే తరంగం మీది వివిధ బిందువులు కిందకి, పైకి కదులుతుంటే అందుకు ఫలితంగా తరంగం పక్కకి కదిలినట్టు కనిపిస్తుంది అన్నమాట.

వాస్తవంలో ఈ విషయాన్ని  పరీక్షించుకోడానికి నీటి తరంగం మీద ఓ చిన్న కాగితం ముక్కని వేసి చూడొచ్చు. తరంగం వేగంగా పక్కకి జరుగుతున్నా, కాగితం ముక్క మాత్రం ఉన్న చోటే పైకి కిందకి కదులుతుంటుంది.
పైన చిత్రం  లో చూపించిన  ప్రక్రియ ఆధారంగా స్టేడియమ్ లలో ప్రేక్షకులు లయబద్ధంగా పైకి కిందకి లేస్తూ స్టేడియం అంతా వ్యాపించే ఓ ‘మానవ తరంగాన్ని’ సృష్టిస్తారు. అలాంటి ఓ తరంగాన్ని ఈ వీడియోలో చూడొచ్చు.


ఇలాంటి సరదా ప్రయోగం క్లాసులో కూడా చేసుకోవచ్చు. క్లాసులో పిల్లలని ఒక పెద్ద వలయాకారంలో కూర్చోబెట్టాలి. ముందుగా ఎవరో ఒక పిల్లవాణ్ణి లేచి కూర్చోమనాలి. కాస్త ఆలస్యంగా అతడి/ఆమె పక్క విద్యార్థిని కూడా అలాగే లేచి కూర్చోమనాలి. ఇలా వరుసగా చేస్తూ పోతే విద్యార్థుల వలయంలో తరంగం పుడుతుంది.
(ఇంకా వుంది)

2 comments

  1. చక్రికంగా ?

    సరైనమాట చక్రీయంగా అనుకుంటాను.
    సరిజేస్తారని ఆశిస్తున్నాను.

     
  2. Anonymous Says:
  3. Interesting explanation.

    Please keep up the good work.

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email