శాస్త్ర విజ్ఞానము

కాప్రేకర్ సంఖ్య లోని రహస్యం

కాప్రేకర్ సంఖ్య ఎలా వస్తుందో చూద్దాం.

మొదట మనం తీసుకున్న నాలుగు అంకెల సంఖ్యలోని అంకెలని అవరోహణా క్రమంలో పెడితే అవి a, b, c, d అనుకుందాం. అంటే,
9≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0.

ఇప్పుడు,
అవరోహణా క్రమంలో ఉన్న సంఖ్య విలువ = 1000a + 100b + 10c + d
ఆరోహణా క్రమంలో ఉన్న సంఖ్య విలువ = 1000d + 100c + 10b + a

రెండిటి మధ్య బేధం =

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c) (1)

a, b, c, d విలువలు అన్నీ ఒక్కటే కాకూడదు కనుక, a అన్నిటికన్నా పెద్దది కనుక (a-d) విలువ కనీసం 1 అవుతుంది. దాని గరిష్ఠ విలువ 9 అవుతుంది.
అలాగే (b-c) విలువ 0కి, 1 కి మధ్య ఉంటుందని సులభంగా గమనించొచ్చు.
అంటే

1<= (a-d) <=9, 0<=(b-c) <= 9 (2) ఈ నియమాలని (1) లోని సంఖ్యల మీద వర్తింపజేస్తే మొత్తం 9 X 10 సంఖ్యలు వస్తాయి. ఈ 90 సంఖ్యల్లో వేటికైనా కాప్రేకర్ లక్షణం ఉందేమో చూస్తే చాలు. అయితే ఈ 90 సంఖ్యలని కూడా పూర్తిగా పరీక్షించనక్కర్లేదు. ఎందుకంటే a ≥ b ≥ c ≥ d≥0.
అంటే (a-b)≥0, మరియు (c-d)≥0,

అంటే (a-b) + (c-d)≥ 0,
కనుక, (a-d) ≥ (b-c) అవుతుంది.


అంటే (2) లోని నియమాలు ఇప్పుడు ఇలా విస్తరించబడతాయి.

1<= (a-d) <=9; 0<=(b-c) <= 9 ; (a-d) ≥ (b-c) (3)

అంటే ఈ కింది టేబుల్ లో తెల్లని భాగంలో ఉన్న44 సంఖ్యలని మాత్రం పరీక్షిస్తే చాలు.









ఇప్పుడు ఈ 44 సంఖ్యలలోని అంకెలని అవరోహణా క్రమంలో ఏర్పాటు చేస్తే, వచ్చిన సంఖ్యలలో కొన్ని చోట్ల ఒకే సంఖ్య పలు మార్లు రావడం గమనించొచ్చు. అలా పలు మార్లు వచ్చిన సంఖ్యలని పక్కన పెడితే కింది టేబుల్ కనిపించే మిగతా 30 సంఖ్యలని మాత్రం పరీక్షిస్తే సరిపోతుంది.

ఆ మిగిలిన వాట్లో 6174 (లేదా దాని రూపాంతరం 7641) ఉందని గమనించొచ్చు. మిగతా 29 సంఖ్యలకి కాప్రేకర్ లక్షణం లేదు.




http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/index.html